Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Öğretmenin; Adı Soyadı : :MATRİSLER 1 Tanım : m,n  N + için (i=1,2,3...,m; j=1,2,3...,n) olmak üzere, a ij reel sayılarından oluşturulan; a 11 a 12...

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Öğretmenin; Adı Soyadı : :MATRİSLER 1 Tanım : m,n  N + için (i=1,2,3...,m; j=1,2,3...,n) olmak üzere, a ij reel sayılarından oluşturulan; a 11 a 12..."— Sunum transkripti:

1

2 Öğretmenin; Adı Soyadı : :MATRİSLER

3 1 Tanım : m,n  N + için (i=1,2,3...,m; j=1,2,3...,n) olmak üzere, a ij reel sayılarından oluşturulan; a 11 a a 1j... a 1n a 21 a a 2j... a 2n.... a i1 a i2... a ij... a in.... a m1 a m2... a mj..a mn j. sütun i. satır tablosuna, m x n biçiminde matris denir.

4 A matrisindekiA matrisindeki her sayıya,matrisin elemanı yada bileşeni ve a i j elemanındaki i sayısına indis, j sayısına da ikinci indis denir. a ij elemanı, A matrisinin i. satır ile j. sütunun kesim noktasında bulunur. Tablo biçiminde gösterilen A matrisine kısaca A= [a i j ] m x n şeklinde gösterilir. Burada, m matrisin sayısını, n de sütun sayısını gösterir. 2 A matrisinin, a i1 a i2... a ij... a in elemanlarına i.satır elemanları; a i1 a i2... a ij... a in elemanlarına da j.sütun elemanları denir.

5 Tanım : A= [a ij ] m x n matrisinin her satırına, satır matrisi denir. B 1 = [a 11 a a 1n ] (1.satır matrisi) B 2 = [a 21 a a 2n ] (2.satır matrisi).... B m = [a m1 a m2... a mn ] (m.satır matrisi) A= [a ij ] m x n = şeklinde gösterilir. A matrisi satır matrisine bağlı olarak, 3 Satır Matris

6 4 Tanım : A= [a ij ] m x n matrisinin her sütununa, sütun matrisi denir. A 1 :1.satır matrisi A 2 : 2.satır matrisi... A n : n.satır matrisi A matrisi sütun matrisine bağlı olarak, A= [a ij ] m x n = [A1 A2 A3... An] şeklinde gösterilir. Sütun Matris

7 Tanım : n x n tipindeki A= [a ij ] m x n matrisine, n. basamaktan kare matris denir. Örneğin; 5 Kare Matris matrisi, 2.sıradan bir kare matrisidir.

8 Tanım : Bütün elemanları sıfır olan matrise,sıfır matrisi denir ve O harfi ile gösterilir. Örneğin; 6 Sıfır Matrisi matrisi, 2x3tipinde bir sıfır matristir.

9 Tanım : A= [a ij ] n x n kare matrisine a 11,a 22,a 33,...,a nn elemanlarının oluşturduğu köşegene, asal köşegen; a n1,a (n-1)2,...,a 1n terimlerinin oluşturduğu köşegene, yedek köşegen denir. 7 Örneğin; Yedek köşegen Asal köşegen a 11,a 22,a 33 : asal köşegen a 31,a 22,a 13 : yedek köşegen Asal Köşegen, Yedek Köşegen

10 Tanım: A= [a ij ] n x n kare matrisinde asal köşegen üzerindeki elemanların sıfır ise, bu tip kare matrise, köşegen matris denir. 8 Örneğin; matrisi, 3.sıradan bir köşegen matrisidir. Köşegen Matris

11 matrisi, 2.sıradan bir skalar matristir. 9 Tanım: A= [a ij ] n x n köşegen matrisinde a 11 = a 22 = a 33...= a nn = k ise,(k  R) bu matrise, skalar matris denir. Örneğin; Skalar Matris

12 Tanım : Asal köşegen üzerindeki elemanları bir, diğer elemanları sıfır olan kare matrise, birim matris denir. n x n tipindeki bir birim matris I n ile gösterilir. Örneğin; 10 Birim Matris matrisi, 4.sıradan bir birim matrisidir. I 4 ile gösterilir. (asal köşegen)

13 İKİ MATRİSİN EŞİTLİĞİ  (i, j)  M x N için, a ij = b ij  [a ij ] m x n = [b ij ] m x n Tanım : Tipleri aynı ve karşılıklı elemanları eşit olan matrisler, eşit matrisler denir. ÖRNEK:        2 4 y x BveA         ba ba b a olmak üzere, A = B ise kaçtır ? 11

14         ba ba b a =       2 4 y x matrislerinin eşitliğinden, ÇÖZÜM ÇÖZÜM : A = B  5a = 4, 5b = 2, 3a + 2b = x,a + 2b = y olduğundan 5a = 22 5b = 2  52b = 22  5a = 52b den,a =2b olur. Bulunan değer x/y de yerine yazılırsa; bulunur. 12

15 MATRİSLERDE TOPLAMA İŞLEMİ O halde, matrisleri toplarken sadece karşılıklı elemanlar toplanır. Tanım: A= [a ij ] m x n ve B= [b ij ] m x n matrisleri verilmiş olsun. A + B = [a ij ] m x n + [b ij ] m x n = A= [a ij+ b ij ] m x n matrisine, A ve B matrislerinin toplamı denir. ÖRNEK: A matrisi, (m+1) x 2 ; B matrisi, (n+1)x(p-2) ve A+B matrisi 3 x k biçimindeyse; (m+p+k) kaçtır? ÇÖZÜM: İki matrisin toplanabilmesi için tipleri aynı olmalı idi. Buna göre; m+1 = n+1  p-2 = 2  m = n  p = 4 3xk = (m+1)x 2 den m+1 = 3  k = 2 m =n 2, p = 4, k = 2 olmalıdır. m+p+k = = 8 dir. 13

16 TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ 2. Matrisler kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır. A = [a ij ] m x n, B = [b ij ] m x n C = [c ij ] m x n matrisleri için; A+(B+C) = [a ij ] m x n + ( [b ij ] m x n + [c ij ] m x n ) = [a ij ] m x n + [b ij + c ij ] m x n = [a ij + (b ij + c ij )] m x n = [(a ij + b ij ) + c ij ] m x n = [a ij + b ij ] m x n + [c ij ] m x n = (a ij ] m x n + [ [b ij ] m x n ) + [c ij ] m x n = (A+B) + C olur. 16

17 3. Sıfır matrisi toplama işleminin etkisiz elemanıdır. A = [a ij ] m x n ve O = [O] m x n matrisleri için; A+O = [a ij ] m x n + [O] m x n = [a ij + O] m x n = [a ij ] m x n = A O + A = [O] m x n + [a ij ] m x n = [O + a ij ] m x n = [a ij ] m x n = A dır. 17 TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

18 A = [a ij ] m x n matrisinin toplama işlemine göre ters matrisi, -A = [a ij ] m x n matrisidir. A = [a ij ] m x n ve B = [b ij ] m x n matrisleri için; A+(-A) = [a ij ] m x n + [-a ij ] m x n = [a ij - a ij ] m x n = [0 ij ] m x n A+(-A) = [-a ij ] m x n + [a ij ] m x n = [- a ij +a ij ] m x n = [0 ij ] m x n dir. 18 TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

19 Tanım : A = [a ij ] m x n ve B = [b ij ] m x n Tanım : A = [a ij ] m x n ve B = [b ij ] m x n matrislerinin farkı, A - B = A +(-B) = [a ij ] m x n + [-b ij ] m x n = [a ij - b ij ] m x n dir. İki Matrisin Farkı 19

20 MATRİSLERİN SKALARLA ÇARPIMI C bir cisim olmak üzere, bu cismin elemanlarına skalar denir. Tanım : k skalar sayısı ve A= [a ij ] m x n matrisi verilmiş olsun. k.A = k. [a ij ] m x n = A= [k.a ij ] m x n matrisine, k skalar sayısı ile A matrisinin çarpımı denir. ÖRNEK: matrisi ve k = 2 sayısı için, k. A matrisini bul. ÇÖZÜM: bulunur. = 2.= 2. 20

21 MATRİSTE ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ 1. Çarpma işleminin değişme özelliği yoktur. A. B  B. A 2. A  O ve B  O olduğu halde, A. B = O olabilir. Örneğin; veolup; dır. 23

22 MATRİSTE ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ 3. A. O = 0. A = 0 dır. Buna göre,sıfır matrisi çarpma işleminde yutan elemandır. 4. Birim matris çarpma işleminin etkisiz elemanıdır. I birim matris olmak üzere, A. I = I. A = A dır. 24

23 MATRİSTE ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ 5.Matrislerde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır. A = [a ij ] m x n ve B = [b jk ] n x p, C = [c jk ] p x r olmak üzere ; A.(B.C) = (A.B). C dir. 5. Matrislerde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır. A = [a ij ] m x n ve B = [b jk ] n x p, C = [c jk ] p x r olmak üzere ; A.(B.C) = (A.B). C dir. 6.Matrislerde çarpma işleminin dağılma özelliği vardır. a. Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine soldan dağılma özelliği; 6. Matrislerde çarpma işleminin dağılma özelliği vardır. a. Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine soldan dağılma özelliği; A = [a ij ] m x n ve B = [b jk ] n x p, C = [c jk ] n x p olmak üzere ; A.(B +C) = A.B + A. C dir. A.(B +C) = A.B + A. C dir. 25

24 MATRİSTE ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ b.Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan dağılma özelliği; b. Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan dağılma özelliği; A ve B matrisleri m x n türünde, C matrisi n x p türünde iseler, (A +B) C. = A.C + B. C olur. (A +B) C. = A.C + B. C olur. 7.A = [a ij ] m x n ve B = [b jk ] n x p ve k = R sayı ise, k.(A.B)=A.(k.B)=(k.A).B dir. 7. A = [a ij ] m x n ve B = [b jk ] n x p ve k = R sayı ise, k.(A.B)=A.(k.B)=(k.A).B dir. 26

25 MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ Tanım: n.sıradan bir A matrisi için, A.B=B.A=I n koşulunu sağlayan n. sıradan B kare matrisi varsa, B matrisine, A matrisinin çarpma işlemine göre tersi denir. Örnek: matrisinin çarpma işlemine göre tersi matrisini bulalım. A -1 ile gösterilir. A. A -1 = A -1.A = I n A matrisinin çarpma işlemine göre ters matrisi, A -1 ile gösterilir. A. A -1 = A -1.A = I n 29

26 ÇÖZÜM: A -1 = A. A -1 = A -1.A = I 2 olduğundan olsun. A. A -1 = A -1.A = I 2 olduğundan yazalım: elde edilir. Matrislerin eşitliğinden, A -1 = bulunur. O halde, A -1 = 30

27 ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERS MATRİSLERİN ÖZELLİKLERİ 1.k  R-  0  olmak üzere, n.sıradan bir A kare matrisinin 1. k  R-  0  olmak üzere, n.sıradan bir A kare matrisinin çarpma işlemine göre tersi varsa (k.A)=1/k.A -1 dir. 2.n. sıradan A ve B kare matrislerinin çarpma işlemine göre tersleri, A -1 ve B -1 ise; (A.B) -1 = A -1. B -1 dir ise, dır. Eğer, ad - bc = 0 ise,A -1 yoktur. 31

28 BİR MATRİSİN TRANSPOROZU (DEVRİĞİ) Tanım: A= [a ij ] m x n matrisinin sütunları ya da satırları sütun haline getirmekle elde edilen A = [a ij ] m x n matrisine,A matrisinin transporozu denir ve A T veya A d ile gösterilir. Örneğin; matrisinin transporozu, 32

29 Teorem: A tersi olan bir matris ise, (A T ) -1 =(A -1 ) T dir. Örnek : Çözüm: 35

30 Tanım : A, n x n tipinde bir kare matris olsun; 1. A T = A ise, A matrisine, simetrik matris denir. 2. A T = -A ise, A matrisine, antisimetrik matris denir. 3. A T = A -1 ise, A matrisine, ortogonal matris denir. 36

31 Örnek : matrislerinin hangisinin simetrik hangisinin antisimetrik olduğunu görelim. Çözüm: simetrik bir matristir. Çünkü, A = A T dir. matrisi, antisimetrikmatristir. Çünkü, A T = -A dır. Antisimetrik matrislerde,asal köşegen üzerindeki elemanlar sıfırdır. Asal köşegenlere göre simetrik elemanların toplamı sıfırdır. 37

32 Sunum sona ermiştir. Arz ederim


"Öğretmenin; Adı Soyadı : :MATRİSLER 1 Tanım : m,n  N + için (i=1,2,3...,m; j=1,2,3...,n) olmak üzere, a ij reel sayılarından oluşturulan; a 11 a 12..." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları