Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

KARMAŞIK SAYILAR. GİRİŞ: x 2 +1=0  x 2 =-1 olup, bu eşitliği sağlayan bir gerçek sayı yoktur. O halde bu tür denklemler için daha geniş sayı sistemlerinin.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "KARMAŞIK SAYILAR. GİRİŞ: x 2 +1=0  x 2 =-1 olup, bu eşitliği sağlayan bir gerçek sayı yoktur. O halde bu tür denklemler için daha geniş sayı sistemlerinin."— Sunum transkripti:

1 KARMAŞIK SAYILAR

2 GİRİŞ: x 2 +1=0  x 2 =-1 olup, bu eşitliği sağlayan bir gerçek sayı yoktur. O halde bu tür denklemler için daha geniş sayı sistemlerinin tanımlanması gerekmektedir. İşte karmaşık sayılar kümesi, gerçek kökleri olmayan denklemlerin de çözümlerinin yapılabileceği bir kümedir. Tanım 1: i = sayısına sanal (imajiner) sayı birimi, b  R olmak üzere b i türündeki sayılara da sanal sayılar denir. Tanım 2: a,b  R ve i= veya i 2 = -1 olmak üzere a+bi biçimindeki sayılara karmaşık sayılar denir.

3 C={z:z=a+bi, a,b  R ve i 2 =-1} kümesine karmaşık sayılar kümesi denir. z=a+bi karmaşık sayısının gerçek kısmı R(z)=a, sanal kısmı Im(z)=b şeklinde gösterilir. z=a+bi aynı zamanda bir karmaşık sayının standard formda gösterimi olarak adlandırılır. Örnek 1: z=2-4i karmaşık sayısının gerçek ve sanal kısımlarını bulun. Çözüm: R(z)=2, Im(z)=-4. Örnek 2: z=6i karmaşık sayısının gerçek ve sanal kısımlarını bulun. Çözüm: R(z)=0, Im(z)=6.

4 Bir Karmaşık Sayının Karmaşık Düzlem Üzerinde Gösterimi: Örnek: z 1 =3-4i, z 2 =-2+i, z 3 =-2i, z 4 =1+3i karmaşık sayılarını karmaşık düzlemde şu şekilde gösteririz. Im(z) R(z) z1z1 z2z2 z3z3 z4z4

5 Karmaşık Sayıların Eşitliği: z 1 =a+bi ve z 2 =c+di karmaşık sayıların eşit olması için bu sayıların hem gerçek hem de sanal kısımlarının birbirine eşit olması gerekir. a+bi=c+di  a=c ve b=d Örnek 1: 5x+2yi-3+4i=7-3xi olması için (x,y) ikilisi kaç olmalıdır? Çözüm: 5x-3=7  x=2 2y+4= -3x  2y+4= -6  y= -5 (x,y)=(2,-5)

6 Karmaşık Sayılarda Toplama, Çıkarma ve Çarpma İşlemleri: z 1 =a+bi ve z 2 =c+di olsun. i) z 1 +z 2 =(a+c)+(b+d)i ii) z 1 -z 2 =(a-c)+(b-d)i iii) z 1.z 2 =ac-bd+(ad+bc)i Örnek 1: z 1 =3+4i ve z 2 =-1+5i ise i) z 1 +z 2, ii) z 1 -z 2 ve iii) z 1.z 2 nin değerlerini bulunuz. Çözüm: i) z 1 +z 2 =3-1+(4+5)i= 2+9i ii) z 1 -z 2 =3-(-1)+(4-5)i= 4-i iii) z 1.z 2 = -3+15i-4i+20i 2 =-23+11i

7 =i Sanal Sayısının Kuvvetleri: i= i 2 =-1 i 3 =-i i 4 =1 Buna göre k  Z + olmak üzere i k sayısını hesaplamak için k’nın değerini (mod 4)’e göre bulmak yeterlidir. Şöyle ki i k =1 (k  0, mod 4) i k =i (k  1, mod 4) i k =-1 (k  2, mod 4) i k =-i (k  3, mod 4)

8 Örnek: i 2383 =? Çözüm: 2383=  3 (mod4) i 2383 =i 3 =-i Bir Karmaşık Sayının Eşleniği: z=a+bi karmaşık sayısı veriliyor. z=a-bi karmaşık sayısına z=a+bi karmaşık sayısının eşleniği denir. Örnek: a) z 1 =3-5i, b) z 2 =-1+5i, c) z 3 =5 karmaşık sayılarının eşleniklerini yazınız. Çözüm: a) z 1 =3+5i b) z 2 =-1-5i c) z 3 =5.

9 Bir Karmaşık Sayının Mutlak Değeri (Modülü): 0 a b z=a+bi IzI Im(z) R(z) Bir z=a+bi karmaşık sayısının mutlak değeri (modülü), bu sayının, karmaşık düzlemde eşlendiği noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığıdır ve IzI olarak gösterilir. Yandaki şekle göre IzI=Ia+biI= z=a+bi ise z=a-bi, -z=-a-bi, -z=-a+bi dir. Buna göre IzI=IzI=I-zI=I-zI= olur. Örnek: z=3-2i ise I-zI=? Çözüm: IzI=I-zI= olur.

10 Bir Karmaşık Sayının Çarpmaya Göre Tersi: karmaşık sayısı z sayısının çarpmaya göre tersi olur. z=a+bi için olur. Karmaşık Sayılarda Bölme İşlemi: z 1 =a+bi ve z 2 =c+di ise bölümünü Bulmak için pay ve payda, paydanın eşleniği ile çarpılır. Örnek: z 1 =3-i ve z 2 =2+3i ise z 1 /z 2 nedir? Çözüm:

11 NOT: 1) z=a+bi karmaşık sayısı için z.z=(a+bi).(a-bi)=a 2 +b 2 olur. Yani z.z=IzI 2 dir. 2) z ve z karmaşık sayıları reel eksene göre simetriktir. 3) z ve –z karmaşık düzlemde başlangıç noktasına göre simetriktir. Bir Karmaşık Sayının Standard Formu ile İlgili Örnekler: 1) z=(3+i)(1-3i) 3 ise IzI=? Çözüm: IzI=I3+iI.I1-3iI 3 = =100 2) IzI 2 +5i=4z+9i-3 ise z karmaşık sayısı nedir? Çözüm: z=x+yi olarak tanımlanırsa IzI 2 +5i=4z+9i-3  x 2 +y 2 +5i=4x+4yi+9i-3  x 2 +y 2 =4x-3 ve 4y+9=5  y=-1 x 2 +1=4x-3  x 2 -4x+4=0  x=2 Sonuç olarak z=2-i olur.

12 3) z=-2+i ise Iz -1 I=? Çözüm: 4) Çözüm: z 1 =2.2i+3.3i+5=5+13i z 2 =1-i

13 Bir Karmaşık Sayının Kutupsal Koordinatlarla Gösterimi: Kartezyen biçimde z=a+bi olarak tanımlanan bir karmaşık sayının gösterilişi (a,b)=a+bi 0 a b Im(z) R(z) biçimindedir. 0 a b (a,b)=a+bi r=IzI Im(z) R(z)  Şekle göre, Sin  =b/r  b=r.Sin  Cos  =a/r  a=r.Cos  dır. z=a+bi oldugğuna göre “a” yerine rCos  ve “b” yerine rSin  yazılırsa z=rCos  +irSin  =r(Cos  +iSin  ) olur.

14 z=a+bi kartezyen veya standard biçim z= r(Cos  +iSin  ) kutupsal veya trigonometrik biçim olarak adlandırılır. (a,b) kartezyen koordinatlar (r,  ) kutupsal koordinatlar olarak adlandırılır. Bir karmaşık sayı z= r(Cos  +iSin  ) biçiminde yazıldığında  ’ya z karmaşık sayısının argümenti denir ve Argz=  şeklinde gösterilir. 0  <2  ise  ’ya z’nin esas argümenti ve k  Z olmak üzere z’nin esas argümenti  ise 2k  +  sayılarına da argümentleri denir. z= r(Cos  +iSin  ) nın kısa olarak yazılışı z=rcis  olarak gösterilir.

15 z=a+bi= r(Cos  +iSin  )= rcis  Argz=  r=IzI= tan  =b/a Örnek 1: karmaşık sayısını kutupsal biçimde yazın. Çözüm: z sayısını kutupsal biçimde yazmak için IzI=r ve  bulunur. IzI=r= =2 tan  = dır. Argümenti doğru belirlemek için karmaşık sayının hangi bölgede olduğuna bakılır 0 Im(z) R(z) r  ve  = = Argz=120 0 olarak bulunur. O halde kutupsal biçimde gösterimi z=2cis120 0 dir.

16 Örnek 2: z=6(Cos iSin300 0 ) karmaşık sayısını kartezyen biçimde gösterin. Çözüm: Cos300 0 =Cos( )=Cos 60 0 =1/2 Sin300 0 =Sin( )=-Sin60 0 = O halde z=

17 Kutupsal Biçimde Verilen Karmaşık Sayılarda İşlemler: z 1 =r 1 (cos  1 +isin  1 ) Z 2 =r 2 (cos  2 +isin  2 ) ise 1) z 1.z 2 =r 1.r 2 [cos(  1 +  2 )+isin(  1 +  2 )] 2) z 1 n =r 1 n (cos n  1 +isin n  2 ) (De Moivre teoremi) 3)

18 Örnekler Soru 1: z 1 =2cis40 ve z 2 =5cis170 ise z 1.z 2 karmaşık sayısını kartezyen (standard) biçimde bulun. Çözüm: z 1.z 2 =2cis40.5cis170 =10 cis(40+170) =10 cis 210

19 Soru 2: z 1 =2cis110 ve z 2 =8cis200 ise z 1 /z 2 karmaşık sayısını kartezyen (standard) biçimde bulun. Çözüm: =4cis90 =4i.

20 Soru 3: karmaşık sayısını standard formda bulun. Çözüm: z 10 sayısının bulunabilmesi için önce z sayısı kutupsal biçimde yazılır.  =Arg z=300 0 z=2cis300 0 z n =r n cisn  olduğu bilindiğinden z 10 =2 10 cis10.300=2 10 cis =2 10 cis120 0

21 Soru 4: karmaşık sayısının esas argümentini bulun. Çözüm: olduğu biliniyor. Arg z 1 =150 0

22 Soru 5: 2z=z+1+3i olduğuna göre z -1 karmaşık sayısının esas argümenti nedir? Çözüm: z=a+bi 2a+2bi=a-bi+1-3i a+3bi=1-3i a=1 b=-1 z=1-i Arg(z -1 )=45 0

23 Karmaşık Sayıların Kökleri: Bir z karmaşık sayısının n  N + olmak üzere n’inci kuvvetten kökü olarak gösterilir ve koşulunu sağlayan w sayılarıdır. z= rcis(  +k2  ) sayıları z’nin n’inci kuvvetten kökleridir.

24 Örnek 1: karmaşık sayısının kareköklerini bulunuz. Çözüm: Karekökler istendiğine göre kökler;


"KARMAŞIK SAYILAR. GİRİŞ: x 2 +1=0  x 2 =-1 olup, bu eşitliği sağlayan bir gerçek sayı yoktur. O halde bu tür denklemler için daha geniş sayı sistemlerinin." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları