Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

ÇIKIŞ Tanım: m, n eleman pozitif doğal sayılar için, (i = 1, 2, 3,..., m : j = 1, 2, 3,..., n) olmak üzere, a ij reel sayılardan oluşturulan; a 11 a.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "ÇIKIŞ Tanım: m, n eleman pozitif doğal sayılar için, (i = 1, 2, 3,..., m : j = 1, 2, 3,..., n) olmak üzere, a ij reel sayılardan oluşturulan; a 11 a."— Sunum transkripti:

1

2 ÇIKIŞ

3 Tanım: m, n eleman pozitif doğal sayılar için, (i = 1, 2, 3,..., m : j = 1, 2, 3,..., n) olmak üzere, a ij reel sayılardan oluşturulan; a 11 a 12.. a 1j.. a 1n a 21 a 22.. a 2j.. a 2n a i1 a i2.. a ij.. a in a m1 a m2.. a mj.. a mn j. sütun i. satır Tablosuna, m x n biçiminde (tipinde) bir matris denir. KONULAR ÇIKIŞ

4 A matrisindeki her sayıya, matrisin elemanı ya da bileşeni ve a ij elemanındaki i sayısına birinci indis, j sayısına da ikinci indis denir. a ij elemanı, A matrisinin i. Satırı ile j. Sütununun kesim noktasında bulunur. Tablo biçiminde gösterilen A matrisi kısaca A = [ a ij ] m x n şeklinde gösterilir. Burada, m matrisin satır sayısını, n ise sütun sayısını gösterir. A matrisinin, a i1,...., a ij...., a in elemanlarına i. Satır elemanları; a 1j,...., a ij...., a mj elemanlarına da j. Sütun elemanları denir. Örnek: Aşağıdaki matrislerin biçimlerini belirtelim. a b c Çözüm: a. 3 x 2 biçiminde b. 3 x 3 biçiminde c. 2 x 1 biçiminde KONULAR ÇIKIŞ

5 Tanım: A= [ a ij ] m x n matrisinin her satırına, satır matrisi ( satır vektörü ) denir. B 1 = [ a 11 a a 1n ] ( 1. Satır matrisi) A matrisi satır matrisine bağlı olarak, B 2 = [ a 21 a a 2n ] ( 2. Satır matrisi)...B 1...A = [ a ij ] m x n = B 2 şeklinde B m = [ a m1 a m2... a mn ] ( m. Satır matrisi) : gösterilir. B m Tanım: A= [ a ij ] m x n matrisinin her sütununa, sütun matrisi ( sütun vektörü ) denir. a 11 a 12 a 1n A 1 = a 21, A 2 = a 22,......, A n = a 2n :: : a m1 a m2 a mn A 1 : birinci sütun matrisi A 2 : ikinci sütun matrisi : : : : A n : n. sütun matrisi A matrisi sütun matrislerine bağlı olarak, A = [ a ij ] m x n = [A 1 A 2 A A n ] şeklinde gösterilir. KONULAR ÇIKIŞ

6 KARE MATRİS: Tanım: n x n tipindeki [ aij ]m x n matrisine, n. sıradan (basamaktan ya da mertebeden) kare matris denir. Örnek: 3 -4 matrisi 2. sıradan bir kare matristir. 1 5 SIFIR MATRİSi: Tanım: Bütün elemanları sıfır olan matrise, sıfır matrisi denir ve O harfi ile gösterilir. Örnek: O = 0 0 0matrisi, 2x3 tipinde bir sıfır matristir x3 BİRİM MATRİS: Tanım: Asal köşegen üzerendeki elemanları bir diğer elemanları sıfır olan kare matrise birim matris denir. N x n tipindeki bir birim matris I n ile gösterilir. Örnek: I 4 = Asal köşegen Matrisi, 4. Sıradan bir birim matristir. I 4 ile gösterilir. KONULAR ÇIKIŞ

7 Tanım: Tipleri aynı ve karşılıklı elemanları eşit olan matrislere eşit matrisler denir. Her (i, j) eleman M x N için, a ij = b ij ise [ a ij ] m x n = [ b ij ] m x n dir. Örnek: 5 a 3a + 2b 4 x A = a + 2b 5 b ve B = y 2 olmak üzere, A = B ise, kaçtır? Çözüm: A = B ise 5 a 3a + 2b 4 x a + 2b 5 b y 2 xyxy Matrislerinin eşitliğinden, 5 a = 4, 5 b = 2, 3a + 2b = x, a + 2b = y olduğundan, 5 a = b = 2 ise 5 2b = 2 2 ise 5 a = 5 2b den, a = 2b olur. Bulunan değer de yerinde yazılırsa; x 3a + 2b 3(2b) + 2b 8b y a+ 2b 2b + 2b 4b xyxy 2 bulunur. KONULAR ÇIKIŞ

8 Tanım: A = [ a ij ] m x n ve B = [ b ij ] m x n matrisleri verilmiş olsun. A + B = [ a ij ] m x n + [ b ij ] m x n matrisine, A ve B matrislerinin toplamı denir. O halde matrisleri toplarken sadece karşılıklı elemanlar toplanır. Örnek: A matrisi, (m + 1) x 2 ; B matrisi, (n + 1) x (p –2) ve A + B matrisi 3 x k biçiminde ise (m + p + k) kaçtır? Çözüm: İki matrisin toplanabilmesi için tipleri aynı olmalı idi. Buna göre; m + 1 = n + 1 Λ p – 2 = 2 ise m = n Λ p = 4 3 x k = (m + 1) x 2 den m + 1 = 3 Λ k = 2 m = n = 2, p = 4, k = 2 olmalıdır. m + p + k = = 8 dir. KONULAR ÇIKIŞ

9 Bir Matrisin Toplama İşlemine Göre Tersi: Tanım: A = [ a ij ] m x n matrisi verilmiş olsun. –A = [ -a ij ] m x n matrisine, A = [ a ij ] m x n matrisinin toplama işlemine göre tersi denir. Örnek: A = matrisinin toplama işlemine göre tersi, matrisidir KONULAR ÇIKIŞ

10 TOPLAMA İLEMİNİN ÖZELLİKLERİ: DEĞİŞME ÖZELLİĞİ: A = [ a ij ] m x n ve B = [ b ij ] m x n matrisleri için, A +B = [ a ij ] m x n + [ b ij ] m x n = [ a ij + b ji ] m x n = [ b ji + a ji ] m x n = B + A dır. BİRLEŞME ÖZELLİĞİ: A = [ a ij ] m x n, B = [ b ij ] m x n ve C = [ c ij ] m x n matrisleri için A + (B + C) = [ a ij ] m x n + ( [ b ij ] m x n + [ c ij ] m x n ) = [ a ij ] m x n + [ b ij + c ji ] m x n = [ a ij + (b ij + c ij ) ] m x n = [ (a ij + b ij )+ c ij ] m x n = [ a ij + b ij ] m x n + [c ji ] m x n = ( [ a ij ] m x n + [b ij ] m x n ) + [c ji ] m x n = (A + B) + C olur. KONULAR ÇIKIŞ

11 ETKİSİZ ELEMAN (SIFIR MATRİSİ) : A = [ a ij ] m x n, O = [ 0 ] mxn matrisleri için, A + O = [ a ij ] m x n + [ 0 ] mxn = [ a ij + 0] m x n = [ a ij ] m x n = A O + A = [ 0 ] mxn + [ a ij ] m x n = [ 0 + a ij ] m x n = [ a ij ] m x n = A dır. TERS MATRİS: A + ( -A ) = [ a ij ] m x n + [ -a ij ] m x n = [ a ij -a ij ] m x n = [ 0 ij ] mxn ( -A ) + A = [ -a ij ] m x n + [ a ij ] m x n = [ -a ij + a ij ] m x n = [ 0 ij ] mxn dir. KONULAR ÇIKIŞ

12 İKİ MATRİSİN FARKI: Tanım: A = [ a ij ] m x n, B = [ b ij ] m x n matrislerinin farkı, A – B = A + (-B) = [ a ij ] m x n + [ -b ij ] m x n = [ a ij – b ij ] m x n dir. MATRİSLERİN SKALARLA ÇARPIMI: Tanım: k skalar sayısı ve A = [ a ij ] m x n matrisi verilmiş olsun. k. A = [ a ij ] m x n = [ k. a ij ] m x n matrisine, k skalar sayısı ile A matrisinin çarpımı denir. Örnek: Matrisi ve k = 2 sayısı için, k. A matrisini bulalım. Çözüm: (2) -3. (2) (2) 1. (2) 8 2 Bulunur. k. A = 2. KONULAR ÇIKIŞ

13 SKALARLA ÇARPMANIN ÖZELLİKLERİ: Teorem: Bir C cismindeki üç skalar sayı; k, k 1, k 2 olsun. Her A = [ a ij ] m x n ve B = [ b ij ] m x n matrisleri için: 1. k. (A + B) = k. A + k. B 2. (k 1 + k 2 ). A = k 1. A + k 2. A 3. k 1. (k 2. A) = (k 1. k 2 ). A KONULAR ÇIKIŞ

14 Tanım: iki matrisin çarpılabilmesi için 1. Matrisin sütun sayısı 2. Matrisin satır sayısına eşit olmalıdır. A= [ a ij ] m x n B = [ b jk ] n x p olmak üzere; Elemanları cik = a ij. b 1k + a i2. b 2k a in. b nk toplamıyla bulunan C = [ c ik ] m x p matrisine, A ve B matrislerinin çarpımları denir ve C m x n = A m x n. B n x p biçiminde gösterilir A =, B = matrisleri için A. B çarpım matrisini bulalım: 2 x 3 3 x 3 BİR SONRAKİ SAYFA Örnek: KONULAR ÇIKIŞ

15 Çözüm: (-2) (2) + 0.(-4) 1.(-4) + (-2) (-2).(-1) (1) + 4.(2) + (-1).(-4) 3.(-4) (-1) (-1) + (-1) (-4) A.B = bulunur. Örnek: A = [ a ij ] (m+1)x2, B = [ b jk ] (n+1)x(p-2), C = [ c ik ] 3x4 matrisleri için A.B =C ise m + n + p = ? Çözüm: A. B işleminin yapılabilmesi için n+1=2 olmalıdır. Buradan n = 1 bulunur. (A. B) (m+1)x(p-2) = ( C ) 3x4 olması için m + 1 = 3 ise m = 2 ve p - 2 = 4 ise p=6 bulunur. O halde m + n + p = 9 olur. KONULAR ÇIKIŞ

16 ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ: 1)BİRLEŞME ÖZELLİĞİ A = [ a ij ] mxn, B = [ b jk ] nxp, C= [ c ik ] pxr olmak üzere A.(B.C) = (A.B).C dir. 2)DAĞILMA ÖZELLİĞİ Matrislerde çarpma işleminin dağılma özelliği vardır. 3)TOPLAMA İŞLEMİNE GÖRE SOLDAN DAĞILMA ÖZELLİĞİ A = [ a ij ] mxn, B = [ b jk ] nxp, C= [ c ik ] pxr olmak üzere A.(B+C) = A.B + A.C dir. BİR SONRAKİ SAYFA KONULAR ÇIKIŞ

17 4)TOPLAMA İŞLEMİ ÜZERİNE SAĞDAN DAĞILMA ÖZELLİĞİ A ve B matrisleri m x n türünde, C matrisi n x p türünde iseler; (A.B).C = A.C + B.C olur. ( skalar sayısı içinde aynı dağılma özellikleri geçerlidir) 5) ÖZEL DURUM: A matrisi 0’a eşit değil ve A.B = A.C iken, B = C olmayabilir. 6) BİRİM MATRİS ÇARPMA İŞLEMİNİN ETKİSİZ ELEMANIDIR I birim matris olmak üzere; a A.I = I.A = A dır. 7)YUTAN ELEMAN Sıfır matrisi çarpma işleminin yutan elemanıdır. 8) ÇARPMA İŞLEMİNDE DEĞİŞME ÖZELLİĞİ YOKTUR KONULAR ÇIKIŞ

18 1. n. sıradan bir A kare matrisinin çarpma işlemine göre tersi varsa. ( k.A) -1 = 1/k. A -1 dir. 2. n. Sıradan A ve B matrislerinin çarpma işlemine göre tersleri A -1 ve B -1 ise ( A.B ) -1 = B -1.A -1 dir. 3. A = ise A -1 = 1/ ad –bc dir. a b d -b c d -c a ÖRNEK: A, B, C kare matrisleri n. sıradan olmak üzere A kare matrisinin çarpma işlemine göre tersi varsa; A.B = 0 ise B = 0 olduğunu gösterelim. ÇÖZÜM: A -1. A. B = A ise (A -1. A). B = 0 ise I n. B = 0 ise B = 0 olur. KONULAR ÇIKIŞ

19 Tanım: A = [a ij ] mxn matrisinin sütunları satır ya da satırları sütun haline getirmekle elde edilen [a ij ] nxm matrisine A matrisinin transpozu denir ve A T veya A d ile gösterilir. Örnek: A = matrisinin transpozu A T = A d = dır. ÖZELLİKLER: 1) (A T ) T = A, (A+B) T = A T + B T, (k.A) T = k.A T dır. 2) A ve B matrisleri için, (A.B) T = B T. A T dir. 3) A tersi olan bir matris ise (A T ) -1 = (A -1 ) T dir KONULAR ÇIKIŞ

20 A kare matris olmak üzere A matrisinin determinantı A veya det(A) biçiminde gösterilir. A matrisi n x n biçiminde ise A’ nın determinantı n. Mertebedendir denir. Tanım: 1 x 1 biçimindeki A matrisinin determinantı A = a 11 dir. Örnek: A = [7] matrisi için det(A) = 7 B = [ 3 1/2 ] matrisi için det(B) = 3 1/2 Tanım: 2 x 2 biçimindeki A = matrisinin determinantı Det(A) = = a 11. a 22 – a 12. A 21 dir. a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 a 12 a 21 a 22 KONULAR ÇIKIŞ

21 Tanım: 3 x 3 biçimindeki A = matrisinin determinantı; det(A) = = (a 11.a 22.a 33 +a 21.a 22.a 23 +a 31.a 32.a 33 ) - (a 13.a 22.a 31 +a 23.a 32.a 11 +a 33.a 12.a 21 ) dir. Örnek: A = olduğuna göre det(A) yı hesaplayınız. Çözüm: det(A) = = [(-1).1.(-4) ] – [ (-1) + (-4).0.2] = (4+30+0) – (0+0+0) = 34 bulunur. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a KONULAR ÇIKIŞ

22 Tanım: 3 x 3 türünden bütün matrislerin kümesi M 3 olsun, A = M 3 ün elemanı olmak üzere det(A) = a 11. A 11 + a 12. A 12 + a 13. A 13 ile tanımlı D: M 3 R fonksiyonuna determinant fonksiyonu denir. Örnek: A = matrisi için; a. a 21 minörünü bulalım, b. a 21 kofaktörünü bulalım. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 BİR SONRAKİ SAYFA KONULAR ÇIKIŞ

23 Çözüm: a. b.A 21 = (-1) 2+1 M 21 den, A 21 = -1.(-18) = 18 bulunur. Örnek: det(A) = determinantını hesaplayalım. Çözüm: 3000 = a dersek, det(A) = (a+1).(a-1) – (a-3).(a+3) = (a 2 -1)-(a 2 -9) = 8 bulunur A =ise M 21 = = 6-24=-18 bulunur KONULAR ÇIKIŞ

24 SARRUS (SARUS) TEOREMİ: Üçüncü mertebeden bir matrisin determinantı Sarus kuralına göre de hesaplanır, bu kural det(A) nın alt tarafına iki satır veya sağ tarafına iki sütun yazılarak aşağıdaki gibi hesaplanır: İlk iki satır tekrar edilerek açılırsa, a 11 a 12 a 13 det(A) = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a Det(A) = (a 11 a 22 a 33 +a 21 a 32 a 13 +a 31 a 21 a 23 ) - (a 13 a 22 a 31 +a 23 a 32 a 11 +a 33 a 12 a 21 ) dir. KONULAR ÇIKIŞ Ö R N E K

25 KONULAR ÇIKIŞ Örnek: C = matrisinin determinantını bulalım: Det(C) = = -15 bulunur

26 DETERMİNANT FONKSİYONU: Tanım: n. Mertebeden kare matrislerin kümesi M 3 olsun. a 22 a a 1n a 21 a a 2n : : :M n in elemanı olmak üzere, a n1 a n2... a nn Det(A) = a 11. A 11 + a 12. A a 1n. A 1n ile tanımlı D:M n R fonksiyonuna determinant fonksiyonu; D(A) = det(A) ifadesine de A matrisinin determinantı denir. KONULAR ÇIKIŞ

27 1. Bir kare matrisin determinant değeri ile devriğinin determinant değeri eşittir. 2. Bir kare matrisin iki satır veya sütun elemanları orantılı ise bu matrisin determinantının değeri sıfırdır. (ya da iki satır veya sütun aynı ise determi – nantın değeri sıfırdır) 3. Bir kare matrisin her hangi bir satır veya sütununda bulunan tüm terim- ler sıfır ise determinantın değeri sıfırdır. 4. Bir kare matriste bir köşegenin üstündeki ya da altındaki tüm elemanlar sıfır ise determinantın değeri köşegen üzerindeki elemanların çarpımı ya da bu çarpımın ters işaretlisine eşittir. 5. Bir determinantın iki satırı veya sütunu aralarında yer değiştirilirse determinant işaret değiştirir. KONULAR ÇIKIŞ

28 6. Bir determinantın bir satırı veya sütunu k sayısı ile çarpılırsa determinantın değeri de k katına çıkar. 7. Bir determinantın her hangi bir satırında veya sütununda bulunan tüm elemanların k katı alınarak başka bir satırın veya sütunun elemanlarıyla toplanarak elde edilen yeni determinantın değeri değişmez. 8. Bir determinantın her hangi bir satırında veya sütunundaki her eleman iki terimin toplamından oluşuyorsa bu determinant aynı sıradan iki determinantın toplamı biçiminde yazılabilir. 9. Bir determinantın herhangi bir satır veya sütununa ait terimler bir başka satır veya sütunun terimlerine ait eş çarpanlar ile karşılıklı çarpılır ve çarpımlar toplanırsa toplam sıfır olur. 10. n. Mertebeden A ve B matrisleri için det(A.B) = det(A). det(B) dir. KONULAR ÇIKIŞ

29 Tanım: n. Mertebeden A kare matrisi verilmiş olsun. a ij elemanının kofaktörü A ij ise [A ij ] T matrisine A matrisinin ek matrisi denir ve Ek(A) ile gösterilir. Örnek: A =matrisinin ek matrisi bulunurken tanıma göre matriste her elemanın yerine kofaktörü yazılır ve elde edilen matrisin transpozu alınır. T Ek(A) = = Örnek: A = matrisinin ek matrisini bulalım. Çözüm: Önce her elemanın kofaktörlerini hesaplarız. Ek(A) = T = bulunur. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a A 11 = 7, A 12 = -6 A 21 = -5, A 22 = KONULAR ÇIKIŞ

30 EK MATRİS ÖZELLİĞİ A. Ek(A) = Ek(A). A = det(A). I Yukarıdaki özelliği A = matrisi için gösterelim:. == (ad-bc) = det(A). I 2 dir. a b c d a b c d d -b -c a ad - bc -ab+ab cd - cd -bd+ad KONULAR ÇIKIŞ

31 * M.E.B YAYINLARI LİSE 3 DERS KİTABI * TÜMAY YAYINLARI MATEMETİK SET’İ KONULAR ÇIKIŞ


"ÇIKIŞ Tanım: m, n eleman pozitif doğal sayılar için, (i = 1, 2, 3,..., m : j = 1, 2, 3,..., n) olmak üzere, a ij reel sayılardan oluşturulan; a 11 a." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları