Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

MATRİSLER ve DETERMİNANTLAR Matrisler devam etmek için tıklayınız.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "MATRİSLER ve DETERMİNANTLAR Matrisler devam etmek için tıklayınız."— Sunum transkripti:

1

2 MATRİSLER ve DETERMİNANTLAR Matrisler devam etmek için tıklayınız

3 MATRİSLER DETERMİNATLAR devam etmek için tıklayınız

4 1 Tanım : m,n  N + için (i=1,2,3...,m; j=1,2,3...,n) olmak üzere, a ij reel sayılarından oluşturulan; a 11 a a 1j... a 1n a 21 a a 2j... a 2n.... a i1 a i2... a ij... a in.... a m1 a m2... a mj..a mn j. sütun i. satır tablosuna, m x n biçiminde matris denir. devam etmek için tıklayınız

5  A matrisindeki  A matrisindeki her sayıya,matrisin elemanı yada bileşeni ve a i j elemanındaki i sayısına indis, j sayısına da ikinci indis denir. a ij elemanı, A matrisinin i. satır ile j. sütunun kesim noktasında bulunur. Tablo biçiminde gösterilen A matrisine kısaca A= [a i j ] m x n şeklinde gösterilir. Burada, m matrisin sayısını, n de sütun sayısını gösterir. 2  A matrisinin, a i1 a i2... a ij... a in elemanlarına i.satır elemanları; a i1 a i2... a ij... a in elemanlarına da j.sütun elemanları denir. devam etmek için tıklayınız

6 Tanım : A= [a ij ] m x n matrisinin her satırına, satır matrisi denir. B 1 = [a 11 a a 1n ] (1.satır matrisi) B 2 = [a 21 a a 2n ] (2.satır matrisi).... B m = [a m1 a m2... a mn ] (m.satır matrisi) A= [a ij ] m x n = şeklinde gösterilir. A matrisi satır matrisine bağlı olarak, 3 Satır Matris devam etmek için tıklayınız

7 4 Tanım : A= [a ij ] m x n matrisinin her sütununa, sütun matrisi denir.  A 1 :1.satır matrisi  A 2 : 2.satır matrisi ...  A n : n.satır matrisi  A matrisi sütun matrisine bağlı olarak,  A= [a ij ] m x n = [A1 A2 A3... An] şeklinde gösterilir. Sütun Matris devam etmek için tıklayınız

8 Tanım : n x n tipindeki A= [a ij ] m x n matrisine, n. basamaktan kare matris denir.  Örneğin; 5 Kare Matris matrisi, 2.sıradan bir kare matrisidir. devam etmek için tıklayınız

9 Tanım : Bütün elemanları sıfır olan matrise,sıfır matrisi denir ve O harfi ile gösterilir.  Örneğin; 6 Sıfır Matrisi matrisi, 2x3tipinde bir sıfır matristir. devam etmek için tıklayınız

10 Tanım : A= [a ij ] n x n kare matrisine a 11,a 22,a 33,...,a nn elemanlarının oluşturduğu köşegene, asal köşegen; a n1,a (n-1)2,...,a 1n terimlerinin oluşturduğu köşegene, yedek köşegen denir. 7  Örneğin; Yedek köşegen Asal köşegen  a 11,a 22,a 33 : asal köşegen  a 31,a 22,a 13 : yedek köşegen Asal Köşegen, Yedek Köşegen devam etmek için tıklayınız

11 Tanım: A= [a ij ] n x n kare matrisinde asal köşegen üzerindeki elemanların sıfır ise, bu tip kare matrise, köşegen matris denir. 8  Örneğin; matrisi, 3.sıradan bir köşegen matrisidir. Köşegen Matris devam etmek için tıklayınız

12 matrisi, 2.sıradan bir skalar matristir. 9 Tanım: A= [a ij ] n x n köşegen matrisinde a 11 = a 22 = a 33...= a nn = k ise,(k  R) bu matrise, skalar matris denir.  Örneğin; Skalar Matris devam etmek için tıklayınız

13 Tanım : Asal köşegen üzerindeki elemanları bir, diğer elemanları sıfır olan kare matrise, birim matris denir. n x n tipindeki bir birim matris I n ile gösterilir.  Örneğin; 10 Birim Matris matrisi, 4.sıradan bir birim matrisidir. I 4 ile gösterilir. (asal köşegen) devam etmek için tıklayınız

14 İKİ MATRİSİN EŞİTLİĞİ  (i, j)  M x N için, a ij = b ij  [a ij ] m x n = [b ij ] m x n Tanım : Tipleri aynı ve karşılıklı elemanları eşit olan matrisler, eşit matrisler denir. ÖRNEK:        2 4 y x BveA         ba ba b a olmak üzere, A = B ise kaçtır ? 11 devam etmek için tıklayınız

15         ba ba b a =       2 4 y x matrislerinin eşitliğinden, ÇÖZÜM ÇÖZÜM : A = B  5a = 4, 5b = 2, 3a + 2b = x,a + 2b = y olduğundan 5a = 22 5b = 2  52b = 22  5a = 52b den,a =2b olur. Bulunan değer x/y de yerine yazılırsa; bulunur. 12 devam etmek için tıklayınız

16 MATRİSLERDE TOPLAMA İŞLEMİ O halde, matrisleri toplarken sadece karşılıklı elemanlar toplanır. Tanım : A= [a ij ] m x n ve B= [b ij ] m x n matrisleri verilmiş olsun. A + B = [a ij ] m x n + [b ij ] m x n = A= [a ij+ b ij ] m x n matrisine, A ve B matrislerinin toplamı denir. ÖRNEK: A matrisi, (m+1) x 2 ; B matrisi, (n+1)x(p-2) ve A+B matrisi 3 x k biçimindeyse; (m+p+k) kaçtır? ÇÖZÜM: İki matrisin toplanabilmesi için tipleri aynı olmalı idi. Buna göre; m+1 = n+1  p-2 = 2  m = n  p = 4 3xk = (m+1)x 2 den m+1 = 3  k = 2 m =n 2, p = 4, k = 2 olmalıdır. m+p+k = = 8 dir. 13 devam etmek için tıklayınız

17 MATRİSİN TOPLAMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ Tanım : A= [a ij ] m x n matrisi verilmiş olsun. - A= [a ij ] m x n matrisine, A= [a ij ] m x n matrisinin toplamı işlemine göre tersi denir.  Örneğin; matrisinin toplama işlemine göre tersi, matrisidir. 14 devam etmek için tıklayınız

18 TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ 1. Matrisler kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır. A = [a ij ] m x n ve B = [b ij ] m x n matrisleri için; A+B = [a ij ] m x n + [b ij ] m x n = [a ij + b ij ] m x n = [b ij + a ij ] m x n = [b ij ] m x n + [a ij ] m x n = B + A 15 devam etmek için tıklayınız

19 TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ 2. Matrisler kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır. A = [a ij ] m x n, B = [b ij ] m x n C = [c ij ] m x n matrisleri için; A+(B+C) = [a ij ] m x n + ( [b ij ] m x n + [c ij ] m x n ) = [a ij ] m x n + [b ij + c ij ] m x n = [a ij + (b ij + c ij )] m x n = [(a ij + b ij ) + c ij ] m x n = [a ij + b ij ] m x n + [c ij ] m x n = (a ij ] m x n + [ [b ij ] m x n ) + [c ij ] m x n = (A+B) + C olur. 16 devam etmek için tıklayınız

20 TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ 3. Sıfır matrisi toplama işleminin etkisiz elemanıdır. A = [a ij ] m x n ve O = [O] m x n matrisleri için; A+O = [a ij ] m x n + [O] m x n = [a ij + O] m x n = [a ij ] m x n = A O + A = [O] m x n + [a ij ] m x n = [O + a ij ] m x n = [a ij ] m x n = A dır. 17 devam etmek için tıklayınız

21 TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ A = [a ij ] m x n matrisinin toplama işlemine göre ters matrisi, -A = [a ij ] m x n matrisidir. A = [a ij ] m x n ve B = [b ij ] m x n matrisleri için; A+(-A) = [a ij ] m x n + [-a ij ] m x n = [a ij - a ij ] m x n = [0 ij ] m x n A+(-A) = [-a ij ] m x n + [a ij ] m x n = [- a ij +a ij ] m x n = [0 ij ] m x n dir. 18 devam etmek için tıklayınız

22 Tanım : A = [a ij ] m x n ve B = [b ij ] m x n Tanım : A = [a ij ] m x n ve B = [b ij ] m x n matrislerinin farkı, A - B = A +(-B) = [a ij ] m x n + [-b ij ] m x n = [a ij - b ij ] m x n dir. İki Matrisin Farkı 19 devam etmek için tıklayınız

23 MATRİSLERİN SKALARLA ÇARPIMI C bir cisim olmak üzere, bu cismin elemanlarına skalar denir. Tanım : k skalar sayısı ve A= [a ij ] m x n matrisi verilmiş olsun. k.A = k. [a ij ] m x n = A= [k.a ij ] m x n matrisine, k skalar sayısı ile A matrisinin çarpımı denir. ÖRNEK: matrisi ve k = 2 sayısı için, k. A matrisini bul. ÇÖZÜM: bulunur. = 2.= devam etmek için tıklayınız

24 SKALARLA ÇARPMANIN ÖZELLİKLERİ Teorem: Bir C cismindeki üç skalar sayı; k,k 1,k 2 olsun. Her A = [a ij ] m x n ve B = [b ij ] m x n matrisleri için; k. (A+B) = k. A + k. B k 1 +k 2 ). A = k 1. A + k 2. A (k 1 +k 2 ). A = k 1. A + k 2. A k 1.(k 2. A) = (k 1. k 2 ). A k 1.(k 2. A) = (k 1. k 2 ). A 21 devam etmek için tıklayınız

25 elemanları c ik    jkij n j ba. 1 toplamıyla bulunan C=[c ik ] mxp matrisine, A ve B matrislerinin çarpımı denir ve C mxp = A mxp. B mxp şeklindedir. a i1.b 1k +a i2. b 2k a in. b nk MATRİSLERDE ÇARPMA İŞLEMİ Tanım : İki matrisin çarpılabilmesi için 1.matrisin sütun sayısı,2.matrisin satır sayısına eşit olmalıdır. A= [a ij ] m x n ve B= [b ij ] m x n olmak üzere; Buna göre,A. B matrisinin i.satır j.sütun elemanı c jk ise, bu eleman Bi satır vektörü ile Aj sütun vektörünün skalar çarpımıdır. O halde birinci matrisin her satırı, ikinci matrisin her sütununa karşılık gelen elemanlarıyla çarpılıp toplanır. 22 devam etmek için tıklayınız

26 MATRİSTE ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ 1. Çarpma işleminin değişme özelliği yoktur. A. B  B. A 2. A  O ve B  O olduğu halde, A. B = O olabilir.  Örneğin; veolup; dır. 23 devam etmek için tıklayınız

27 MATRİSTE ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ 3. A. O = 0. A = 0 dır. Buna göre,sıfır matrisi çarpma işleminde yutan elemandır. 4. Birim matris çarpma işleminin etkisiz elemanıdır. I birim matris olmak üzere, A. I = I. A = A dır. 24 devam etmek için tıklayınız

28 MATRİSTE ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ 5. Matrislerde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır. A = [a ij ] m x n ve B = [b jk ] n x p, C = [c jk ] p x r olmak üzere ; A.(B.C) = (A.B). C dir. 6. Matrislerde çarpma işleminin dağılma özelliği vardır. a. Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine soldan dağılma özelliği; A = [a ij ] m x n ve B = [b jk ] n x p, C = [c jk ] n x p olmak üzere ; A.(B +C) = A.B + A. C dir. A.(B +C) = A.B + A. C dir. 25 devam etmek için tıklayınız

29 MATRİSTE ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ b. Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan dağılma özelliği; A ve B matrisleri m x n türünde, C matrisi n x p türünde iseler, (A +B) C. = A.C + B. C olur. (A +B) C. = A.C + B. C olur. 7. A = [a ij ] m x n ve B = [b jk ] n x p ve k = R sayı ise, k.(A.B)=A.(k.B)=(k.A).B dir. 26 devam etmek için tıklayınız

30 ÖRNEK: matrisleri veriliyor. A. B= A. C olduğunu gösterelim. ÇÖZÜM: A. B = A. C = O halde, A. B = A.C dir.dikkat edilirse, A. B = A.C iken B  C dir. 8. A  O ve A. B = A. C iken, B = C olmayabilir. 27 devam etmek için tıklayınız

31 Tanım : n.sıradan bir A kare matrisi verilmiş olsun. K  N + olmak üzere; A 0 =I n, A 1 =A, A 2 = A. A,A 3 =A.A 2,...,A k =A.A k-1 dir.  Örnek; n.sıradan A ve B kare matrisleri için, A 2 - B 2 = (A-B).(A+B) eşitliği doğru olmayabilir. Açıklayalım. Kare Matrisin Kuvveti  Çözüm; (A-B).(A+B) = A. A + A. B - B. A - B. B = A 2 + A.B-B.A - B 2 dir. Matrislerde çarpma işleminin değişme özelliği olmadığından,A.B=B.A yazılamaz. Bu nedenle A 2 - B 2 = (A-B).(A+B) ifadesi doğru olmayabilir. Aynı şekilde,(A+B) 2 =A 2 +2AB+B 2 eşitliği de doğru değildir. 28 devam etmek için tıklayınız

32 MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ Tanım : n.sıradan bir A matrisi için, A.B=B.A=I n koşulunu sağlayan n. sıradan B kare matrisi varsa, B matrisine, A matrisinin çarpma işlemine göre tersi denir.  Örnek: matrisinin çarpma işlemine göre tersi matrisini bulalım. A -1 ile gösterilir. A. A -1 = A -1.A = I n  A matrisinin çarpma işlemine göre ters matrisi, A -1 ile gösterilir. A. A -1 = A -1.A = I n 29 devam etmek için tıklayınız

33 ÇÖZÜM: A -1 = A. A -1 = A -1.A = I 2 olduğundan olsun. A. A -1 = A -1.A = I 2 olduğundan yazalım: elde edilir. Matrislerin eşitliğinden, A -1 = bulunur. O halde, A -1 = 30 devam etmek için tıklayınız

34 ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERS MATRİSLERİN ÖZELLİKLERİ 1. k  R-  0  olmak üzere, n.sıradan bir A kare matrisinin çarpma işlemine göre tersi varsa (k.A)=1/k.A -1 dir. 2. n. sıradan A ve B kare matrislerinin çarpma işlemine göre tersleri, A -1 ve B -1 ise; (A.B) -1 = A -1. B -1 dir. 3. ise, dır. Eğer, ad - bc = 0 ise,A -1 yoktur. 31 devam etmek için tıklayınız

35 BİR MATRİSİN TRANSPOROZU (DEVRİĞİ) Tanım : A= [a ij ] m x n matrisinin sütunları ya da satırları sütun haline getirmekle elde edilen A = [a ij ] m x n matrisine,A matrisinin transporozu denir ve A T veya A d ile gösterilir.  Örneğin; matrisinin transporozu, dır. 32 devam etmek için tıklayınız

36 Teorem: A ve B matrisleri m x n türünden iki matris ve k bir skalar ise; 1. (A T ) T = A, 2. (A+B) T = A T + B T, 3. (k.A) T = k.A T dir. 33 devam etmek için tıklayınız

37 Teorem: A= [a ij ] m x n ve B = [b ij ] n x p matrisleri için, (A.B) T = A T. B T dir.  Örnek:, ise, (A.B) T = B T. A T olduğunu gösterelim.  Çözüm: 34 devam etmek için tıklayınız

38 Teorem: A tersi olan bir matris ise, (A T ) -1 =(A -1 ) T dir.  Örnek:  Çözüm: 35 devam etmek için tıklayınız

39 Tanım : A, n x n tipinde bir kare matris olsun; 1. A T = A ise, A matrisine, simetrik matris denir. 2. A T = -A ise, A matrisine, antisimetrik matris denir. 3. A T = A -1 ise, A matrisine, ortogonal matris denir. 36 devam etmek için tıklayınız

40  Örnek: matrislerinin hangisinin simetrik hangisinin antisimetrik olduğunu görelim.  Çözüm: simetrik bir matristir. Çünkü, A = A T dir. matrisi, antisimetrikmatristir. Çünkü, A T = -A dır. Antisimetrik matrislerde,asal köşegen üzerindeki elemanlar sıfırdır. Asal köşegenlere göre simetrik elemanların toplamı sıfırdır. 37 devam etmek için tıklayınız

41 Tanım:1x1 biçimindeki matrisinin determinantı, dir. Örneğin; A=[7] matrisi için dir. Tanım: 2x2 biçimindeki matrisinin determinantı dir. 38 devam etmek için tıklayınız

42 Tanım 39 devam etmek için tıklayınız

43 Örnek  bulunur. 34)000()0304( 2.0).4()1.( )4 1).1( A:Çözüm    hesaplayalım. yı A göre, olduğuna A :            40 devam etmek için tıklayınız

44 Tanım : n. sıradan bir A kare matrisinin i. Satır ve j. Sütun atıldıktan sonra geriye kalan matrisin determinantına, elemanının Minör’ü denir ve ile gösterilir. 41 devam etmek için tıklayınız

45 olmak üzere, ile tanımlı fonksiyonuna, determinant fonksiyonu denir. Tanım: 3x3 türünden bütün matrislerin kümesi olsun. 42 devam etmek için tıklayınız

46 Örnek:determinantını hesaplayalım. Çözüm: 3000=a dersek, olur. Buna göre, =(a+1).(a-1)-(a-3).(a+3)=[(a.a)-1]-[(a.a)-9]=8 açılımını 43 devam etmek için tıklayınız

47 Tanım: n. Mertebeden kare matrislerin kümesi olsun. olmak üzere ile tanımlı fonksiyonuna, determinant fonksiyonu; D(A)= ifadesine de A matrisinin determinantı denir. 44 devam etmek için tıklayınız

48 Örnek: değerini bulalım. Çözüm: = -1.( )+2.( ) = -1.(-10)+2.(3)=16 bulunur. 45 devam etmek için tıklayınız

49 1) Bir kare matrisin, determinant değeriyle devriğinin determinant değeri eşittir. 2) Bir kare matrisin iki satır veya sütun elemanları orantılı ise, bu matrisin determinantının değeri sıfırdır. A karesel matris ise, dir. determinantı verilmiş olsun. Bu determinantın birinci satırındaki terimlerle ikinci satırındaki terimler, karşılıklı olarak orantılı olduğu için, dır. 3) Bir kare matrisin herhangi bir satır veya sütununda buluna tüm terimler sıfır ise, determinantın değeri sıfırdır. =0 dır. 46 devam etmek için tıklayınız

50 4) Bir kare matriste bir köşegenin üstündeki yada altındaki tüm elemanlar sıfır ise determinantın değeri köşegen üzerindeki elemanların çarpımı ya da bu çarpımın ters işaretlisine eşittir. (Asal köşegen altındaki elemanlar sıfırdır.) ise (1. Satır ile 2. Satır yer değiştirmiştir.) 5) Bir determinantın iki satırı veya sütunu aralarında yer değiştirilirse, determinant işaret değiştirir. 6) Bir determinantın bir satır veya sütunu k sayısı ile çarpılırsa, determinantın değeri de k katına çıkar. ise olur. 47 devam etmek için tıklayınız

51 7) Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütununda bulunan tüm terimlerin k katı alınarak, başka bir satırın veya sütunun elemanlarıyla toplanarak elde edilen yeni determinantın değeri değişmez. dir. (1. Satırın k katı 2. Satıra eklenmiştir.) 8) Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütunundaki her eleman iki terimin toplamından oluşuyorsa, bu determinant aynı sıradan iki determinantın toplamı biçiminde yazılabilir. Determinantı aynı sıradan iki determinantın toplamı biçiminde yazılırsa ; olur. 48 devam etmek için tıklayınız

52 9. Bir determinantın herhangi bir satır yada sütunun ait terimler, bir başka satır veya sütunun terimlerine ait eş çarpanlar ile karşılıklı çarpılır ve çarpımlar toplanırsa, toplam sıfır olur. 3. Sıradan bir determinantta a 11 *A 21 +a 12 *A 22 +a 13 *A 23 = 0 dır. 10. N. Mertebeden A ve B matrisleri için, dir. ve 49 devam etmek için tıklayınız

53 Tanım: n. mertebeden Kare matrisi verilmiş olsun. a ij elemanının kofaktörü ise ; matrisine, A matrisinin ek matrisi denir ve Ek(A) ile gösterilir. Matrisinin ek matrisi bulunurken, tanıma göre matriste her elemanın yerine kofaktörü yazılır ve elde edilen matrisin transpozu alınır. İşaretleri değişir. Yerleri değişir. 50 devam etmek için tıklayınız

54 A.Ek(A)=Ek(A).A=.I Yukarıdaki özelliği, A=Matrisi için gösterelim: =(ad-bc) 51 devam etmek için tıklayınız

55 Teorem: A matrisiolan bir matris olmak üzere, ‘dır. 52 devam etmek için tıklayınız

56 matrisinin tersini bulalım. olduğu için, det(A) yı ve Ek(A) yı bulalım. Örnek: Çözüm: 53 devam etmek için tıklayınız

57 Sunum sona ermiştir. Arz ederim 54


"MATRİSLER ve DETERMİNANTLAR Matrisler devam etmek için tıklayınız." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları