DERS 2 MATRİSLERDE İŞLEMLER VE TERS MATRİS YÖNTEMİ

... konulu sunumlar: "DERS 2 MATRİSLERDE İŞLEMLER VE TERS MATRİS YÖNTEMİ"— Sunum transkripti:

1 DERS 2 MATRİSLERDE İŞLEMLER VE TERS MATRİS YÖNTEMİ
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

2 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Tanım: (Kare Matris) Anxn biçimindeki matrislere kare matris denir. matrisleri birer kare matristir. Tanım: (Birim Matris) aii = 1 , diğer girdileri (elemanları) sıfır olan kare matrislere birim matris denir ve In ile gösterilir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

3 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
İki Matrisin Eşitliği: A = [aij ]mxn , B = [bij ]mxn olsun. Eğer her i ve j için aij = bij oluyorsa A = B dir denir. Örnek: Örnek: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

4 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Matrislerin Toplamı ve Farkı: A = [ aij ]mxn , B = [ bij ]mxn matrisleri verilsin. A ± B = [ aij ± bij ]mxn olarak tanımlanır. Örnek: verilsin. olur. Örnek: verilsin. olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

5 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Toplama İşleminin Özellikleri: 1. A + B = B + A 2. A + (B + C) = (A + B) + C Bir Matrisin Toplamsal Tersi: Bir A matrisinin her girdisinin işareti değiştirilerek elde edilen yeni matrise A MATRİSİNİN TOPLAMSAL TERSİ denir ve -A ile gösterilir. A = [aij ]mxn ise –A = [ -aij ]mxn olarak tanımlanır. Her A matrisi için A + (-A) = (-A) + A = 0 dır. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

6 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Bir Sayı İle Bir Matrisin Çarpımı: A = [ aij ]mxn verilsin. C bir sabit sayı olmak üzere, cA = [caij ]mxn , c[ aij ] = [ caij ] şeklinde tanımlanır. Örnek: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

7 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
İki Matrisin Çarpımı: A, mxp tipinde, B, pxn tipinde birer matris olsun. A ile B nin çarpımı AB = C ile gösterilir. C, mxn tipinde bir matristir. A = [aik] , 1  i  m ; 1  k  p ve B = [bkj] , 1  k  p ; 1  j  n ise, AB = [cij ] olsun. cij ; A matrisinin i inci satırı ile B matrisinin j inci sütununun çarpımıdır cij= ai1b1j + ai2b2j aipbpj 1  i  m ; 1  j  n olarak tanımlanır. Kısaca yazılabilir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

8 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Bir Satır İle Bir Sütunun Çarpımı: Aynı sayıda elemana sahip olan bir satır ve bir sütunun çarpımı şöyle tanımlanır: Örnek: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

9 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Açıklama: olsun. cij= ai1b1j + ai2b2j aipbpj 1  i  m ; 1  j  n Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

10 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: olsun. (4x2)x(2x3) (4x3) 4. (-2) = -3 -3 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

11 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: 1.1 + (-2) = 6 6 9 3x4 x 4x2 3x2 0. (-2) = 9 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

12 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Matris çarpımının değişme özelliği yoktur: AB  BA olan matrisler vardır. matrisleri verilsin. olup AB  BA dır. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

13 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Matris çarpımının birleşme özelliği vardır: A, B ve C matrisleri verilsin. A (BC) çarpımı tanımlı ise, A(BC) = (AB)C dır. Matris çarpımının toplama üzerine dağılma özelliği vardır: AB, AC ve BC tanımlı ise, A(B + C) = (AB) + (AC ) , (A + B)C = (AC) + (BC) dir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

14 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Bir Kare Matrisin Çarpımsal Tersi: A, nn tipinde bir kare matris ve In birim matris olmak üzere A (A -1 ) = (A -1 ) A = In olacak biçimde bir A -1 matrisi varsa, bu matrise A matrisinin ÇARPIMSAL TERSİ veya kısaca tersi denir. 1. Her kare matrisin çarpımsal tersi bulunmayabilir; ancak, varsa bir tanedir. Tersi olan matrislere tersinir matris denir. 2. A ve B tersinir nn matrisler ise, AB de tersinir ve (AB)-1 =B-1A-1 dir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

15 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: matrisinin varsa tersini bulunuz. Çözüm: olsun. bulunur. Gerçekten; dır. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

16 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Ters Matrisin Satır İşlemleri İle Bulunması: A, n n tipinde bir kare matris olsun. A nin tersini bulmak için A ve I yan yana yazılarak n 2n büyüklüğündeki [ A | In ] matrisi oluşturulur ve bu matrise satır işlemleri uygulanarak [ In | A -1 ] matrisi bulunur. Satır işlemleri Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

17 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: matrisinin tersini bulalım: Satır işlemleri Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

18 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: matrisinin tersini bulalım: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

19 Matrislerle Doğrusal Denklem Sistemleri Arasındaki İlişki:
Doğrusal denklem sistemini ele alalım. Buradan matrislerini ve eşitliğini yazabiliriz. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

20 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
O halde AX=B denklemi, değişken sayısı denklem sayısına eşit olan (A karesel matris) bir doğrusal denklem sistemi olsun. Bu denklemi sağlayan X matrisi yukarıdaki doğrusal denklem sisteminin çözümünü verecektir. Eğer A matrisinin tersi var ve tersi A -1 ise, AX=B A-1(AX)=A-1B (A-1A)X=A-1B In X=A-1B X=A-1B Böylece AX=B matris denkleminin çözümü X=A-1B olur. AX=B X=A-1B Denklem sisteminin çözümünü bulmaya yarayan bu yönteme Ters Matris Yöntemi denir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

21 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: Denklem sistemini ters matris yöntemi ile çözelim. olur. bulmuştuk. Ç = { (1 , 2 , 5) } Ters matris yöntemi ile çözüm yapılabilmesi için değişken sayısı ile denklem sayısının eşit ve katsayılar matrisinin tersinir olması gerektiğini unutmayınız. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

22 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
denklem sistemini ters matris yöntemi ile çözelim. Örnek: Ç = { (22 , 47, -20) } Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

23 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: matrisleri veriliyor. XA=D eşitliğinden elde edilecek denklem sistemini Gauss Jordan Yok Etme Yöntemi ile çözünüz. Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

24 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Gerçekten bulunur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

25 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
ÖDEVLER Aşağıda verilen denklem sistemlerini ters matris yöntemi ile çözünüz ve sağlamasını yapınız. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol