Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 1 DERS 2 MATRİSLERDE İŞLEMLER VE TERS MATRİS YÖNTEMİ.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 1 DERS 2 MATRİSLERDE İŞLEMLER VE TERS MATRİS YÖNTEMİ."— Sunum transkripti:

1 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 1 DERS 2 MATRİSLERDE İŞLEMLER VE TERS MATRİS YÖNTEMİ

2 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 2 Tanım: (Kare Matris) A nxn biçimindeki matrislere kare matris denir. matrisleri birer kare matristir. Tanım: (Birim Matris) a ii = 1, diğer girdileri (elemanları) sıfır olan kare matrislere birim matris denir ve I n ile gösterilir.

3 A = [a ij ] mxn, B = [b ij ] mxn olsun. Eğer her i ve j için a ij = b ij oluyorsa A = B dir denir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 3 İki Matrisin Eşitliği: Örnek:

4 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 4 Matrislerin Toplamı ve Farkı: Örnek: verilsin. olur. A = [ a ij ] mxn, B = [ b ij ] mxn matrisleri verilsin. A ± B = [ a ij ± b ij ] mxn olarak tanımlanır. Örnek: verilsin. olur.

5 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 5 Toplama İşleminin Özellikleri: Bir A matrisinin her girdisinin işareti değiştirilerek elde edilen yeni matrise A MATRİSİNİN TOPLAMSAL TERSİ denir ve -A ile gösterilir. Her A matrisi için A + (-A) = (-A) + A = 0 dır. Bir Matrisin Toplamsal Tersi: 1. A + B = B + A 2. A + (B + C) = (A + B) + C A = [a ij ] mxn ise –A = [ -a ij ] mxn olarak tanımlanır.

6 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 6 Örnek: Bir Sayı İle Bir Matrisin Çarpımı: A = [ a ij ] mxn verilsin. C bir sabit sayı olmak üzere, cA = [ca ij ] mxn, c[ a ij ] = [ ca ij ] şeklinde tanımlanır.

7 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 7 A, mxp tipinde, B, pxn tipinde birer matris olsun. A ile B nin çarpımı AB = C ile gösterilir. C, mxn tipinde bir matristir. A = [a ik ], 1  i  m ; 1  k  p ve B = [b kj ], 1  k  p ; 1  j  n ise, c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j a ip b pj 1  i  m ; 1  j  n olarak tanımlanır. İki Matrisin Çarpımı: AB = [c ij ] olsun. c ij ; A matrisinin i inci satırı ile B matrisinin j inci sütununun çarpımıdır Kısaca yazılabilir.

8 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 8 Aynı sayıda elemana sahip olan bir satır ve bir sütunun çarpımı şöyle tanımlanır: Örnek: Bir Satır İle Bir Sütunun Çarpımı:

9 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 9 c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j a ip b pj 1  i  m ; 1  j  n olsun. Açıklama:

10 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 10 Örnek: (4x2)x(2x3) (4x3) olsun. 4. (-2) = -3 -3

11 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 11 Örnek: (-2) = 6 0. (-2) = 9 3x4 x 4x2 3x2 6 9

12 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 12 Matris çarpımının değişme özelliği yoktur: AB  BA olan matrisler vardır. matrisleri verilsin. olup AB  BA dır.

13 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 13 Matris çarpımının birleşme özelliği vardır: A(BC) = (AB)C dır. Matris çarpımının toplama üzerine dağılma özelliği vardır: A(B + C) = (AB) + (AC ), (A + B)C = (AC) + (BC) dir. A, B ve C matrisleri verilsin. A (BC) çarpımı tanımlı ise, AB, AC ve BC tanımlı ise,

14 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 14 A, n  n tipinde bir kare matris ve I n birim matris olmak üzere A (A -1 ) = (A -1 ) A = I n olacak biçimde bir A -1 matrisi varsa, bu matrise A matrisinin ÇARPIMSAL TERSİ veya kısaca tersi denir. Bir Kare Matrisin Çarpımsal Tersi: 1. Her kare matrisin çarpımsal tersi bulunmayabilir; ancak, varsa bir tanedir. Tersi olan matrislere tersinir matris denir. 2. A ve B tersinir n  n matrisler ise, AB de tersinir ve (AB) -1 =B -1 A -1 dir.

15 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 15 Örnek: matrisinin varsa tersini bulunuz. bulunur. Çözüm: Gerçekten; dır. olsun.

16 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 16 A, n  n tipinde bir kare matris olsun. A nin tersini bulmak için A ve I yan yana yazılarak n  2n büyüklüğündeki [ A | I n ] matrisi oluşturulur ve bu matrise satır işlemleri uygulanarak [ I n | A -1 ] matrisi bulunur. Ters Matrisin Satır İşlemleri İle Bulunması: Satır işlemleri

17 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 17 matrisinin tersini bulalım: Örnek: Satır işlemleri

18 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 18 Örnek: matrisinin tersini bulalım:

19 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 19 Matrislerle Doğrusal Denklem Sistemleri Arasındaki İlişki: Doğrusal denklem sistemini ele alalım. Buradan matrislerini ve eşitliğini yazabiliriz.

20 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 20 O halde AX=B denklemi, değişken sayısı denklem sayısına eşit olan (A karesel matris) bir doğrusal denklem sistemi olsun. Bu denklemi sağlayan X matrisi yukarıdaki doğrusal denklem sisteminin çözümünü verecektir. Eğer A matrisinin tersi var ve tersi A -1 ise, AX=B A -1 (AX)=A -1 B (A -1 A)X=A -1 B I n X=A -1 B X=A -1 B Böylece AX=B matris denkleminin çözümü X=A -1 B olur. Denklem sisteminin çözümünü bulmaya yarayan bu yönteme Ters Matris Yöntemi denir. AX=B X=A -1 B

21 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 21 Örnek: Ç = { (1, 2, 5) } Ters matris yöntemi ile çözüm yapılabilmesi için değişken sayısı ile denklem sayısının eşit ve katsayılar matrisinin tersinir olması gerektiğini unutmayınız. Denklem sistemini ters matris yöntemi ile çözelim. olur. bulmuştuk.

22 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 22 Örnek: denklem sistemini ters matris yöntemi ile çözelim. Ç = { (22, 47, -20) }

23 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 23 matrisleri veriliyor. XA=D eşitliğinden elde edilecek denklem sistemini Gauss Jordan Yok Etme Yöntemi ile çözünüz. Örnek: Çözüm:

24 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 24 Gerçekten bulunur.

25 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 25 ÖDEVLER Aşağıda verilen denklem sistemlerini ters matris yöntemi ile çözünüz ve sağlamasını yapınız.


"Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 1 DERS 2 MATRİSLERDE İŞLEMLER VE TERS MATRİS YÖNTEMİ." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları