Çokgen.

... konulu sunumlar: "Çokgen."— Sunum transkripti:

1 Çokgen

2 Çokgensel bölge

3 İç bükey – Dış bükey çokgen

4 Çokgenin temel elemanları
Köşeleri: Kenarları: İç açıları: Dış açıları: Köşegenleri:

5 Kenar – Köşegen ilişkisi
Bir köşe belirleyiniz ve belirlediğiniz köşeden geçen kaç tane köşegen olduğunu bulunuz. Genelleyiniz.

6 Kenar – Açı ilişkisi Kenar sayısına göre iç açılarının toplamını ve dış açılarının toplamını bulunuz. Genelleyiniz.

7 Bir çokgenin temel elemanlarıyla belirlenmesi
n kenarlı bir çokgenin, en az n – 2 tane uzunluk olmak üzere, 2n – 3 tane temel elemanının verilmesiyle belirlenir.

8 Üçgen ve temel elemanları
Köşeleri: Kenarları: Açıları (iç açıları): Dış açıları: İç açılar toplamı: Dış açılar toplamı:

9 Açılarına göre üçgen çeşitleri

10 Kenarlarına göre üçgen çeşitleri

11 Üçgenin kenarortayları – Ağırlık merkezi

12 Üçgenin yükseklikleri – Diklik merkezi

13 Bir köşeye ait yardımcı elemanlar

14 Üçgenin açıortayları – İç merkez

15 Üçgenin dış açıortayları – Dış merkez

16 Ödev 1

17 Ödev 2

18 Ödev 3

19 Ödev 4

20 Ödev 5

21 Ödev 6

22 Ödev 7

23 Ödev 8

24 Ödev 9

25 Ödev 10

26 Ödev 11

27 Ödev 12

28 Ödev 13 Adı Soyadı: Sınıf: No: Ödev kontrol tarihi:

29 Açı – Kenar ilişkileri 1 Üçgenin açısı büyürse karşısındaki kenar da büyür, açı küçülürse karşısındaki kenar da küçülür. Örnek olduğunu ispatlayınız. Genelleme

30 Açı – Kenar ilişkileri 2 Üçgen eşitsizliği: Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunluklarının toplamı ile farkı arasındadır. İspat

31 Alıştırma 1 İki kenarı 3 ve 4 cm olan üçgenin diğer kenar uzunluğunun alacağı tam sayı değerleri bulunuz ve bu değerlere göre değişen uzunluğun karşısındaki açı çeşidini yazınız.

32 Alıştırma 2 B geniş açı olduğuna göre
x in alabileceği değer aralığını bulunuz.

33 Alıştırma 3 B geniş açı olduğuna göre
x in alabileceği değer aralığını bulunuz.

34 Ödev 1 x in değer aralığını bulunuz. 10 6 x 6 3 x 5 12 x

35 Ödev 2

36 Ödev 3

37 Ödev 4

38 Ödev 5

39 Ödev 6

40 Ödev 7

41 Ödev 8

42 Ödev 9

43 Ödev 10

44 Ödev 11 Adı Soyadı: Sınıf: No: Kontrol tarihi:

45 Sinüs teoremi İspat 1: İspat 2: R : çevrel çemberin yarı çapı sin A =

46 Sinüs oranı ile ilgili ansiklopedik bilgiler
A + B + C = 180o sin A = sin (180o – A) = sin (B+C)

47 Alıştırma 1

48 Sinüs teoremi sonucu 150° 75° 165° 15°

49 Alıştırma 2 12 x 12 x 2. yol: ek çizim

50 Alıştırma 3 2. yol: ek çizim

51 Alıştırma 4 2. yol: ek çizim

52 Ödev 1 Çevre(ABC)=?

53 Ödev 2

54 Ödev 3

55 Ödev 4

56 Kosinüs teoremi (hatırlatma)
B C a b c

57 Kosinüs oranı ile ilgili ansiklopedik bilgiler
A + B + C = 180o cos A = – cos (180o – A) = – cos (B+C)

58 Alıştırma 1

59 Alıştırma 2  2. yol 

60 Alıştırma 3

61 Ödev 1

62 Ödev 2

63 Ödev 3

64 Üçgenin kenarını bölen nokta
D noktası, ABC üçgeninin [BC] kenarını oranında içten bölen noktadır. D’ noktası; ABC üçgeninin [BC] kenarını oranında dıştan bölen noktadır.

65 Açıortay [AD]: iç açıortay [AD’]: dış açıortay
oranlarıyla elde edilen D ve D’ noktalarına sırasıyla iç açıortay ayağı ve dış açıortay ayağı denir. Açıortay uzunlukları x ve x’ ile gösterilirse;

66 Alıştırma 1

67 Alıştırma 2

68 Alıştırma 3

69 Üçgenin iç merkezi Herhangi bir üçgenin iç açıortayları tek noktada kesişir. Bu noktaya (K) üçgenin iç merkezi denir. Üçgenin iç merkezi, iç teğet çemberinin de merkezidir. Açıortay üzerindeki bir noktadan kenarlara inilen dikmeler eşittir. K

70 Üçgenin dış merkezi Herhangi bir üçgenin iki dış açıortayı ile diğer iç açıortayı tek noktada kesişir. Bu noktaya üçgenin dış merkezi denir. Üçgenin üç tane dış merkezi vardır. D E F

71 Dış teğet çemberler Üçgenin dış merkezleri, dış teğet çemberlerin merkezidir.

72 Alıştırma 1

73 Alıştırma 2 20

74 Ödev 1

75 Ödev 2

76 Ödev 3

77 Ödev 4

78 Ödev 5

79 Ödev 6

80 Ödev 7

81 Ödev 8

82 Ödev 9

83 Ödev 10 x

84 Ödev 11

85 Ödev 12

86 Kenarortay 1 Va

87 Alıştırma

88 Kenarortay 2

89 Alıştırma

90 Kenarortay 3 k Muhteşem üçlü : BD = DC = AD, m(A)= 90o k

91 Alıştırma 1

92 Alıştırma 2 A ile K noktaları arasındaki uzaklık ? x2 + y2 = ?

93 Kenarortay 4 A Köşeleri A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) olan ABC üçgensel bölgenin ağırlık merkezi G(x0, y0) ise; E G D noktasının koordinatları: B D C G noktasının koordinatları:

94 Alıştırma y A AOB üçgensel bölgenin ağırlık merkezi G(6,8) olduğuna göre, G x O B

95 Ödev 1

96 Ödev 2

97 Ödev 3

98 Ödev 4

99 Ödev 5

100 Ödev 6

101 Ödev 7

102 Ödev 9

103 Ödev 10

104 Ödev 11

105 Ödev 12

106 Ödev 13

107 Yükseklik Herhangi bir üçgenin yükseklikleri tek noktada kesişir , bu noktaya üçgenin diklik merkezi denir. Verilen üçgenlerde ha, hb ve hc yükseklik uzunluklarını ve diklik merkezlerini gösteriniz. Köşelerinin koordinatları verilen üçgenin yüksekliklerinden birini hangi yöntemleri kullanarak bulabilirsiniz. Tartışınız.

108 Araştırma – İnceleme b vektörünün a vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörü b’ vektörü ise Köşelerinin koordinatları verilen bir üçgenin, dikme ayaklarının koordinatlarının bulunması için kullanılabilir. İki nokta arasındaki uzaklık ile yükseklikler de bulunabilir.

109 Alıştırma Köşeleri A(1, 2), B(3, 4), C(4, 1) olan ABC üçgeninin C noktasından çizilen yüksekliğin dikme ayağı D ve diklik merkezi H noktasıdır. D dikme ayağının koordinatlarını bulunuz. [CD] yüksekliğinin uzunluğunu bulunuz. Bu üçgenin yüksekliklerinin tek noktada kesiştiğini göstermek için hangi adımların yapılması gerektiğini söyleyiniz.

110 Üçgensel bölgenin alanı
Üçgenin alanı denildiğinde, üçgensel bölgenin alanı düşünülür. Üçgen alanı = (taban x yükseklik) / 2 Üçgen alanı = dikdörtgen alanı / 2 Üçgen alanı = paralelkenar alanı / 2

111 Temel alan formülü ve yorumları 1
ha a A B C

112 Alıştırma Bir ABC üçgeninde, ha = 3 cm, hb = 4 cm olduğuna göre
hc nin değer aralığı nedir?

113 Temel alan formülü ve yorumları 2
1) Yükseklik ve tabanları aynı olan üçgenlerin alanları da eşittir. 2) Yükseklikleri aynı olan üçgenlerin alanları oranı tabanları oranına eşittir. D C A B C D m n E A B

114 Alıştırma 1 5 10 Taralı alanı =?

115 Alıştırma 2

116 Alıştırma 3

117 Sinüs alan ve yorumları
B C D E m n A B C D E m n p r s t A c B C a

118 Alıştırma 1

119 Alıştırma 2

120 Alıştırma 3 a 3a 4b 3b 7b s1 s2 paralelkenar

121 Heron alan formülü A Örnek
Kenar uzunlukları 5, 6 ve 7 cm olan üçgenin alanını bulunuz. b c B C a

122 Alan formülü ile R nin bulunuşu
Örnek Kenar uzunlukları 5, 6 ve 7 cm olan üçgenin çevrel çember yarı çapını bulunuz.

123 Alan formülü ile r nin bulunuşu
Kenar uzunlukları 5, 6 ve 7 cm olan üçgenin iç teğet çemberinin yarı çapını bulunuz. Örnek

124 Ödev 1

125 Ödev 2

126 Ödev 3

127 Ödev 4

128 Ödev 5 ABC üçgeninde ha = 6 cm, Va = 8 cm olduğuna göre, nA hangi aralıkta değer alır?

129 Ödev 6

130 Ödev 7

131 Ödev 8 Köşeleri A(-4, 3), B(0, -2), C(-3, 0) olan üçgenin [BC] kenarına ait yükseklik ayağının koordinatları toplamı kaçtır?

132 Ödev 9

133 Ödev 10

134 Ödev 11

135 Ödev 12

136 Ödev 13

137 Ödev 14 A B C D E 3 1 2 5

138 Ödev 15 dikdörtgen paralelkenar

139 Karnot teoremi Bir üçgende kenar doğrularından çıkılan dikmelerin tek noktada kesişmesi için gerek ve yeter şart:

140 Alıştırma 1 Üçgenlerin kenar orta dikmeleri tek noktada kesişir, bu nokta çevrel çember merkezidir. c/2 b/2 c/2 b/2 a/2 a/2

141 Alıştırma 2 Üçgenlerin açıortayları tek noktada kesişir, bu nokta iç teğet çember merkezidir.

142 Alıştırma 3 Üçgenlerin yükseklikleri tek noktada kesişir. Bu nokta diklik merkezidir.

143 Alıştırma 4 Bir üçgenin iki dış açıortayı ile diğer iç açıortayı tek noktada kesişir. Bu nokta dış teğet çember merkezidir.

144 Alıştırma 5

145 Genel karnot teoremi A1A2A3A4A5 …An herhangi bir çokgen olmak üzere, çokgen düzleminde alınan bir noktadan sırasıyla ardışık A1A2, A2A3, A3A4, …AnA1 kenar doğrularına inilen dikme ayakları A’1, A’2, A’3, …, An ise Bu bağıntı sağlanıyorsa A’1, A’2, A’3, …, An noktalarından çıkılan dikmeler tek noktada kesişir.