Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Doç. Dr. Cemil Öz SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Doç. Dr. Cemil Öz SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz."— Sunum transkripti:

1 Doç. Dr. Cemil Öz SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz

2 Matris m x n tane sayının, m satır ve n sütuna yerleştirilmesiyle oluşturulan tabloya bir matris denir. Genel olarak bir matris şeklinde gösterilir ve A, B, C,... gibi harfler ile temsil edilir. m satır ve n sütundan oluşan bir matrise m x n tipinde bir matris ve a ij sayılarına da matrisin öğeleri denir. m x n tipindeki bir matris, kısaca A = (a ij )mxn şeklinde yazılır. Bir a ij öğesindeki i indisi öğenin i. satırda olduğunu, j indisi ise j. sütunda olduğunu gösterir. Bundan dolayı a ij öğesi, matrisin i. satır ile j. sütununun kesiştiği yerdedir

3 matrisinde a 23 öğesi, 2. satır ile 3. sütunun kesiştiği yerde olan 5'tir.

4 Matrislerin Toplanması A = (a ij )mxn ve B = (b ij )mxn aynı tipten iki matris olsun. Öğeleri, c ij = a ij + b ij (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) şeklinde oluşturulan C = (c ij )mxn matrisine A ve B matrislerinin toplamı denir ve bu matris A + B şeklinde gösterilir.

5 Matrisin sabit sayı ile çarpılması A = (a ij )mxn ve r ∈ R olsun. Öğeleri, b ij = r a ij (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) şeklinde oluşturulan B = (b ij )mxn matrisine A matrisinin r sayısı ile çarpımı denir ve bu matris rA şeklinde gösterilir.

6 Matrislerin Çarpımı A = (a ij )mxp ve B = (b ij )pxn olsun. (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) şeklinde oluşturulan C = (c ij )mxn matrisine A ile B matrisinin çarpımı denir ve bu matris AB şeklinde gösterilir. A = (a ij )mxp ile B = (b ij )pxn matrisinin çarpımı olan AB matrisinin satır sayısı, A matrisinin satır sayısına, sütun sayısı ise B matrisinin sütun sayısına eşittir. Ayrıca, iki matrisin çarpılabilmesi için birinci çarpan matrisinin sütun sayısı ile ikinci çarpan matrisinin satır sayısının eşit olması gerektiğine dikkat edilmelidir.

7

8 İKİ BOYUTLU DÖNÜŞÜMLER Temel grafik elemanları olan nokta ve çizgi gösterimleri ve bunlara uygulanan dönüşümleri ele alalım. Bu bölümler BG nin temelini oluşturacaktır. Herhangi bir obje görüntülendiğinde; ölçekleme, döndürme, öteleme yada perspektif oluşma istenebilir. 2D uzayda nokta satır, veya sütun vektörü ile, Burada satır vektör gösterimi ele alınacaktır. Bu satır matrisler genellikle, konum vektörleri (position vectors) olarak anılmaktadır. Birden fazla nokta bir matris olarak bilgisayarda saklanır. Böylece bu noktaların konumlarının denetimi, bu matris üzerinde yapılan işlemlerle gerçeklenir.

9 DÖNÜŞÜMLER: Genel olarak 2x2 bir T dönüşüm matrisini ele alalım. Bu gösterim, P(x,y) noktasının P*(x*,y*) noktasına dönüşümü olarak alınacaktır.

10 Bazı özel durumları göz önüne alalım Yatay Eksende Ölçekleme

11 c) c=b=0 durumunda x,y’de ölçekleme a=d>1 ise büyütme 1>a=d>0 ise küçültme

12 d ) Eğer a ve/veya d negatif ise, eksene yada düzleme göre ayna lama (reflection) oluşacaktır. Örneğin, a = -1, d = 0, b = c = 0

13 Ölçekleme ile simetrik alma işlemleri gerçeklenebilir. Dönüşüm matrisinin köşegen elemanları ölçekleme ve aynalama etkisi yapar.

14 Bu etki, (shearing) olarak anılmaktadır. Bir başka deyişle köşegen dışı elemanların 0 dan farklı olması bu etkiyi oluşturmaktadır. (x, y) noktası orijin olduğunda bu dönüşümlerden etkilenmeyecektir. Şimdi benzer şekilde A ve B noktaları ile verilmiş bir doğru parçasına dönüşüm uygulayabiliriz:

15 ORTA NOKTA DÖNÜŞÜMÜ : Doğrunun uç noktaları Ve dönüşüm matrisi T Uç noktalarının dönüşümü

16 A*B* doğrusunun orta noktası (x* m,y* m ) olsun. Buna göre; AB doğrusunun orta noktası; T dönüşümünü bu noktaya uygularsak, sonucun aynı olacağını kolaylıkla görürüz. Böylece bir doğrunun noktalarının bire bir dönüştüğünü söyleyebiliriz.

17

18 DÖNDÜRME ( ROTASYON )

19 Şimdi genel olarak bir  açısı kadar döndürmeye karşılık dönüşümü bulmalıyız. Bunu bulmak için bir P noktası alalım.

20 x-y düzleminde iki boyutlu döndürmeyi x-y eksenine dik bir eksen etrafında döndürme olduğundan yola çıkarsak, ayna lamayı da benzer biçimde x, y düzlemi içinde, etrafında lik bir döndürme olarak tanımlanabilir.

21 ÖLÇEKLEME ( SCALING ) : Ölçeklemenin, dönüşüm matrisinin asal köşegen elemanları ile gerçeklendiğini biliyoruz. Örneğin, aşağıda verilen dönüşüm matrisi[T], şekilli 2 kat büyütülecek diyebiliriz. Bu düzgün ölçekleme olarak anılır. Eğer ölçekleme genlikleri farklı ise bu durumda bozulma olacaktır ki, bu da düzgün olmayan ölçekleme olarak anılır. Düzgün olmayan ölçekleme

22

23 BİRLEŞİK DÖNÜŞÜMLER: Bir noktaya T 1 dönüşümü sonra da T 2 dönüşümü yapılıyorsa, sonuçta bu noktaya T 3 = T 1.T 2 dönüşümü uygulanmıştır. Demek ki bir resme yapılacak dönüşümleri her zaman birleştirebiliriz.

24


"Doç. Dr. Cemil Öz SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları