Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 1. 2 R 3 de verilen bir M noktasından geçen ve verilen bir vektöre paralel olan doğrunun denklemi. M(x o,y o,z o ), noktasından.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 1. 2 R 3 de verilen bir M noktasından geçen ve verilen bir vektöre paralel olan doğrunun denklemi. M(x o,y o,z o ), noktasından."— Sunum transkripti:

1 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 1

2 2 R 3 de verilen bir M noktasından geçen ve verilen bir vektöre paralel olan doğrunun denklemi. M(x o,y o,z o ), noktasından geçen ve v=(a,b,c) vektörüne paralel olan doğru d doğrusu olsun. d doğrusu üzerinde değişken bir nokta X(x,y,z,) olsun. d doğrusunun denklemini yazmak demek X noktasının x,y,z, koordinatları arasında X noktasının d doğrusu üzerinde bulunmasını sağlayan bir bağıntı bulmak demektir. Bu bağıntı, d M(x 0,y 0,z 0 ) noktası sabit olduğundan sabit bir vektördür. olarak alınabilir.

3 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 3 d d doğrusunun vektörel denklemi d doğrusunun parametrik denklemi d doğrusunun kartezyen denklemi v vektörüne doğrultman vektörü, a,b,c sayılarına da doğrultman parametreleri denir.

4 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 4 İki Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi: olsun. AB doğrusunu d ile gösterelim. d d doğrusunun parametrik denklemi

5 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 5 d doğrusunun kartezyen denklemi Doğrultman parametrelerinden birisi sıfır ise, doğru bu parametreye karşılık gelen koordinat eksenine diktir. olur. Örneğin b = 0 (y 1 - y o = 0 ise) ise doğru y eksenine dik olup denklemi Örneğin a = 0 (x 1 – x o = 0 ise) ise doğru x eksenine dik olup denklemi

6 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 6 Örnek: vektörü doğrultusunda olup P(-1,2,3) noktasından geçen doğrunun denklemini yazınız. Çözüm: Doğru üzerinde değişken bir noktaolsun. Örnek: AB doğrusununveriliyor. denklemini yazınız. Çözüm: Doğru üzerinde değişken bir nokta.X(x,y,z) olsun.

7 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 7

8 8 Örnek: noktasından geçen ve vektörüne paralel olan doğrunun denklemini yazınız. Çözüm: parametrik denklem kartezyen denklem

9 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 9 Örnek: vektörünün taşıyıcı doğrusunun denklemini yazınız.. Çözüm: vektörü, taşıyıcı doğrusunun doğrultman vektörüdür.

10 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 10 Örnek: Çözüm: Noktasından geçen ve vektörüne paralel olan doğrunun denklemini yazınız. olur.

11 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 11 Bir Vektörün bir d doğrusu üzerindeki dik izdüşümü: t H h Diğer taraftan;. olur. O d doğrusunun doğrultman vektörü v olsun d l

12 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 12 Bir Vektörün bir d doğrusu üzerindeki izdüşüm vektörü: olur. d doğrusunun doğrultman vektörü v ise bir u vektörünün d doğrusu üzerindeki izdüşüm vektörü, uzunluğu u vektörünün d doğrusu üzerindeki izdüşümünün uzunluğu doğrultu ve yönü v vektörünün doğrultu ve yönü olan bir vektördür. Bu vektörü w ile gösterirsek dır. H O t l d

13 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 13 Örnek:A(1,-2,1) ve B(2,0,3) noktaları veriliyor. vektörünün AB doğrusu üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğunu bulunuz. Çözüm: l AB doğrusunun doğrultman vektörü dır.

14 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 14 Örnek: vektörleri veriliyor. u vektörünü biri v ye paralel diğeri v ye dik iki vektörün toplamı olarak yazınız. Çözüm: u vektörünün v vektörü üzerindeki izdüşüm vektörü

15 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 15 Örnek: vektörünün x + y =1 doğrusu üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğunu bulunuz. Çözüm: Bunun için x + y =1 doğrusu üzerinde herhangi iki nokta alalım. A(1,0), B(0,1) olsun. AB doğrusunun doğrultman vektörü dir. x + y =1 doğrusunun doğrultman vektörünü bulalım.

16 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 16 Örnek: Çözüm: doğrusuna dik olan vektörlerin Verilen doğrunun doğrultman vektörü dir. Verilen doğruya dik bir vektör olsun. kümesini bulunuz. Örneğin, olur ve dır.

17 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 17 R 3 te Bir Noktanın Doğruya Olan Uzaklığı: l t

18 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 18 Örnek: noktasının doğrusuna olan uzaklığını bulunuz. Çözüm:

19 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 19 Paralel ve Dik Doğrular: olsun. Paralel doğruların doğrultman vektörleri de paralel olacağından;

20 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 20 Örnek: doğruları verilsin.

21 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 21 Diğer taraftan bulunur. R 3 te Aykırı İki Doğru Arasındaki Uzaklık:

22 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 22 doğruları arasındaki uzaklığı bulunuz. Örnek: Çözüm: dır.

23 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 23 Veya Çözüm:

24 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 24 R 3 te İki Doğrunun Kesim Noktası: olsun. Buradan yazılır. Doğruların kesişmesi için, denklem sisteminin bir tek çözümünün olması gerekir

25 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 25 Üçüncü denklem sağlanmıyorsa doğrular kesişmiyor demektir. Bu durumda doğrular ya paraleldirler ya da aykırıdırlar. Bunun için herhangi iki denklemden bulunan değerleri diğer denklemde yerine yazılır. Bu denklem sağlanıyorsa bir tek çözüm vardır ve bu çözüm bulunan değerlerinden biri doğru denkleminde yerine yazılarak bulunur.

26 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 26 doğrularının kesim noktasını araştırınız. Örnek: Çözüm:

27 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 27 Bir Noktası Bilinen ve Bir Doğrultusuna Dik Olan Düzlemin Denklemi: düzlemin vektörel denklemi ve Bir vektörün bir düzleme dik olması demek vektörün düzlemdeki her doğruya dik olması demektir. Düzlemin kartezyen denklemi vektörüne düzlemin normali denir.

28 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 28 Örnek: Çözüm: E … 2(x-1)-3(y-2)+5(z+3)=0 vektörüne dik olan ve noktasından geçen düzlemin denklemini yazınız. E … 2x-3y+5z+19=0 Örnek: Çözüm: E … 3(x-0)+0(y-2)+2(z-1)=0 vektörüne dik olan ve noktasından geçen düzlemin denklemini yazınız. E … 3x+2z-2=0

29 Aykırı iki doğru arasındaki uzaklık Doğrulardan biri üzerindeki bir noktanın diğer doğruyu içine alan ve doğrusuna paralel olan düzleme uzaklığına eşittir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 29 olur.

30 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 30 Doğru İle Düzlem Arasındaki Açı:

31 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 31 Doğrunun düzleme dik olma koşulu: Doğrunun düzleme paralel olma koşulu: İki düzlemin paralel olma koşulu: İki düzlemin dik olma koşulu: Doğru İle Düzlemin Birbirlerine Göre Durumları: verilsin. x,y,z nin bu değerleri düzlem denkleminde yerine yazılırsa

32 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 32 nın bu değeri doğrunun parametrik denkleminde yerine yazılarak doğru ile düzlemin ortak noktası bulunur. Özel Durumlar: 1. Pay sıfır, payda sıfırdan farklı ise M(x o,y o,z o ) ortak noktadır. 2. Pay sıfırdan farklı, payda sıfır ise ortak nokta yoktur. Doğru düzleme paraleldir. 3. Pay ve payda sıfır ise doğru düzlemin içindedir.

33 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 33 Bir Noktanın Bir Düzleme Olan Uzaklığı: l M E olsun. ile arasındaki açı sıfırdır. olur.

34 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 34 düzlemin denklemini sağlar. noktası düzlemin üzerinde olduğundan olur. M noktasının E düzlemine olan uzaklığı

35 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 35 Örnek: M(7,3,4) noktasının 6x-3y+2z-20=0 düzlemine olan uzaklığını hesaplayınız. Paralel İki Düzlem Arasındaki Uzaklık: l1l1 l2l2 l 2 -l 1

36 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 36 İki Düzlem Arasındaki Açı : İki düzlem arasındaki açı bu düzlemlerin normalleri arasındaki açı olarak tanılanır. Örnek:

37 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 37 Üçlü Skaler Çarpım: vektörleri verilsin. t h olarak tanımlanır.

38 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 38 olsun. Buradan, bulunur. isevektörleri lineer bağımlıdır. oluşturmazlar. Bu durumda bu üç vektör düzlemseldir. Yanivektörleri bir paralel yüz (bir hacim).

39 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 39 Üç Noktası Bilinen Düzlemin Denklemi: X noktasının A,B,C noktalarının belirlediği düzlemde olabilmesi için vektörlerinin (lineer bağımlı olmaları) üçlü çarpımlarının sıfır olması gerekir ve yeter. A,B,C noktalarından geçen düzlemin denklemi olur.

40 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 40 Örnek: Çözüm: noktalarından geçen düzlemin denklemini yazınız. A,B,C noktalarından geçen düzlemin herhangi bir noktası olsun

41 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 41 Örnek: Çözüm: denklemini bulunuz vektörlerinin gerdiği alt uzayın Bu iki vektörün gerdiği uzaya ait her hangi bir vektör yazılabilir. olsun.O zaman u ve v vektörlerinin gerdiği alt uzayın denklemi olur.

42 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 42 Veya; bulunur. Örnek: Çözüm: noktasının olan uzaklığını bulunuz. doğrusuna Doğru üzerindeki nokta A(2,1,2) noktasıdır. h

43 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 43 Örnek: Çözüm: bulunur. düzlemlerinin arakesit doğrusunun denklemini yazınız Parametrik denklemi olur.

44 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 44 Örnek: Çözüm: düzlemlerine paralel olan ve P(-2,-1,5) noktasından geçen doğrunun denklemini yazınız. Aranan doğru her iki düzleme paralel olduğundan bu düzlemlerin normallerine diktir. olur d’ nin parametrik denklemi olur.

45 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 45 Örnek: Çözüm: düzlemlerinin Arakesit doğrusundan ve P(-1,1,2) noktasından geçen düzlemin denklemini yazınız. bulunur. Not: düzlemlerinin ikisini de sağlayan noktalar denklemini de sağlar.

46 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 46 Veya düzlemlerini ortak çözerek ortak iki nokta bulalım. Sonra da bu iki noktadan ve verilen P noktasından geçen düzlemin denklemini yazalım.

47 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 47 Örnek: Çözüm: doğruları veriliyor. a) Varsa kesiştikleri noktayı bulunuz. b)Aralarındaki açıyı bulunuz. bulunur.

48 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 48 Örnek: Çözüm: doğruları veriliyor. a) Paralel veya dik olup olmadıklarını araştırınız. b)Varsa kesim noktasını bulunuz. c) Aralarındaki uzaklığı bulunuz. Bu iki doğru paralel değildir.

49 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 49 Farklı t değerleri bulunduğundan bu iki doğrunun ortak bir noktası yoktur. Doğrular kesişmezler.

50 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 50

51 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 51 Örnek: Çözüm: doğruları veriliyor. a) Varsa kesiştikleri noktayı bulunuz. b)Aralarındaki uzaklığı bulunuz. Farklı t değerleri bulunduğundan doğrular kesişmezler.

52 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 52 Doğrular arasındaki uzaklık

53 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 53 Örnek: Çözüm: Aşağıdaki doğruların standart denklemlerini yazınız..

54 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 54 doğru A noktasından geçer ve düzlemlerin normallerine diktir. Dolaysıyla c) Verilen doru düzlemlerin arakesitidir.

55 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 55 Örnek: Çözüm: olan veDoğrultuları noktasında kesişen doğruların belirttiği düzlemin denklemini yazınız. Aranan düzlemi A noktasından geçen ve normali olur.

56 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 56 Örnek: Çözüm: doğrularına paralel olan ve A(-2,1,2) noktasından geçen düzlemin denklemini yazınız. bulunur. veya

57 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 57 Örnek: vektörlerinin lineer bağımlı (düzlemsel) olduğunu gösteriniz. Çözüm: düzlemseldir.

58 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 58 Ödev: vektörlerinin düzlemsel olduklarını gösteriniz.vektörleri üzerine kurulan paralelyüzün hacmini bulunuz. düzlemsel olmaları için x ne olmalıdır? vektörlerinin aynı düzlemde olduklarını gösteriniz. noktalarının doğrusuna paralel olan doğrunun denklemini yazınız. noktasından geçen ve 6. Orijinden geçen ve koordinat eksenleri ile sırasıyla. açılar yapan doğrunun parametrik ve kartezyen denklemlerini yazınız. doğrusuna olan uzaklığını bulunuz. noktasının

59 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 59 noktasından geçen ve doğrusuna dik olan düzlemin denklemini yazınız. noktasından geçen ve doğrularına paralel olan düzlemin denklemini yazınız. 10. Aşağıda verilen vektörlerin düzlemsel olup olmadıklarını araştırınız.

60 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 60 noktalarının düzlemsel olduğunu gösteriniz. üzerine kurulan paralelyüzün hacmini hesaplayınız. vektörleri noktasından geçen ve doğrularına paralel olan düzlemin denklemini yazınız. düzlemin denklemini yazınız. noktalarının belirttiği denklemini yazınız. vektörlerinin gerdiği uzayın

61 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 61 doğrularının kesim noktasını araştırınız ve bu doğruların belirttiği düzlemin denklemini yazınız veriliyor. kurulan paralelkenarın alanını hesaplayınız. vektörleri R 3 te bir baz oluşturur mu? vektörleri üzerine vektörlerinin lineer birleşimi olarak yazınız.. vektörünü

62 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 62 Çözüm:

63 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 63

64 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 64 Veya düzlemin herhangi bir noktası ise

65 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 65 Veya düzlemin herhangi bir noktası ise

66 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 66 noktasından geçen ve doğrularına paralel olan düzlemin denklemini yazınız. düzlemin herhangi bir noktası ise

67 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 67 vektörleri düzlemsel ise üçlü skaler çarpımları sıfırdır. u,v,w vektörleri düzlemsel değildir.

68 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 68 u,v,w vektörleri düzlemseldir. noktalarının düzlemsel olduğunu gösteriniz. A,B,C,D noktaları düzlemseldir. Çözüm:

69 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 69 A,B,C noktalarının belirttiği düzlemin denklemi olur. D noktasının da bu düzlemde olması için D noktasının koordinatları bu denklemi sağlamalıdır. 3. A,B,C noktalarının belirttiği düzlem ile A,B,D noktalarının belirttiği düzlem aynı olmalıdır. düzlemseldir. 2. Üç nokta bir düzlem belirtir. Dördüncü nokta bu düzlem denklemini sağlamalıdır.

70 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 70 Çözüm: üzerine kurulan paralelyüzün hacmini hesaplayınız. vektörleri noktasından geçen ve doğrularına paralel olan düzlemin denklemini yazınız.

71 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Düzlemin herhangi bir noktası ise Çözüm:

72 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 72

73 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 73 düzlemin denklemini yazınız. noktalarının belirttiği Çözüm: Düzlemin herhangi bir noktası ise

74 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 74 denklemini yazınız. vektörlerinin gerdiği uzayın Çözüm: düzlem u ve v vektörlerinin başlangıç noktası olan orijinden geçeceğinden 1. Düzlemin herhangi bir noktası ise

75 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Bu iki vektörün gerdiği uzayın herhangi bir vektörü bu iki vektörün bir lineer birleşimi olarak yazılabilmelidir. Bu uzayın bir vektörü ise

76 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 76 doğrularının kesim noktasını araştırınız ve bu doğruların belirttiği düzlemin denklemini yazınız Çözüm:


"Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 1. 2 R 3 de verilen bir M noktasından geçen ve verilen bir vektöre paralel olan doğrunun denklemi. M(x o,y o,z o ), noktasından." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları