Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

HER GENÇ MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR www.muratguner.net MURAT GÜNER KELKİT- 2012.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "HER GENÇ MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR www.muratguner.net MURAT GÜNER KELKİT- 2012."— Sunum transkripti:

1 HER GENÇ MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR MURAT GÜNER KELKİT- 2012

2 İÇİNDEKİLER BİR KARMAŞIK SAYININ ORİJİN ETRAFINDA DÖNDÜRÜLMESİ195 BİR KARMAŞIK SAYININ n. DERECEDEN KÖKLERİ218 BİR KARMAŞIK SAYININ KUVVETİ( DE MOİVRE KURALI )203 KUTUPSAL BİÇİMDE VERİLEN KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM182 KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL(TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ150 KARMAŞIK SAYI ÇEMBER İLİŞKİSİ111 İKİ KARMAŞIK SAYI ARASI UZAKLIK102 EŞLENİK VE MUTLAK DEĞER İLE İLGİLİ ÖZELLİKLER95 İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM ÇÖZÜMÜ75 KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM51 KARMAŞIK SAYILARIN MUTLAK DEĞERİ( MODÜLÜ – UZUNLUĞU )44 KARMAŞIK SAYILARIN EŞLENİĞİ39 KARMAŞIK SAYILARIN GEOMETRİK GÖSTERİMİ36 KARMAŞIK ( KOMPLEKS ) SAYI27 SANAL SAYININ KUVVETLERİ7 SANAL SAYI3 İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ31 KUTUPSAL KOORDİNATLAR142 ARGÜMENT137 KAYNAKÇA235

3 Birinci sınıfta matematik dersimizde, sayılar konusunda x + 2 = 0 gibi bir denklemi doğal sayılarda çözemeyince, doğal sayılar kümesi genişletilerek içinde bu gibi denklemlerin çözülebildiği tamsayılar kümesini oluşturmuştuk.Tamsayılar kümesini genişleterek, içinde 2x – 5 = 0 gibi denklemlerin çözülebildiği rasyonel sayılar kümesini ve rasyonel sayılar kümesini genişleterek içinde x 2 = 2 biçimdeki denklemlerin çözülebileceği reel sayılar kümesini elde etmiştik. x = 0 denklemini ele alalım: x = 0  x 2 = – 4 tür.  x  R için x 2  0 olduğundan, karesi (– 4) olan sayı yoktur. O halde; reel sayılar kümesinde x = 0 denkleminin çözüm kümesi boş kümedir. Ana Sayfaya Geri Dön

4 Bu bölümde, reel sayılar kümesini genişleterek içinde bu türdeki denklemlerin de çözülebileceği bir sayı sistemi oluşturacağız. SANAL SAYI sayısında m bir çift sayma sayısı olmak üzere a < 0 ise, sayıya sanal sayı denir.Yani; kök kuvveti çift olduğunda kök içi negatif olan sayılardır. gibi sayılar sanal sayılardır. x 2 = – 1 denkleminde sayısını ( i ) sembolü ile göstereceğiz. Yani; i 2 = – 1 Ana Sayfaya Geri Dön

5 ÖRNEK sayısını hesaplayalım: ; i 2 = – 1 TANIM a sıfırdan büyük bir gerçek sayı olmak üzere ile tanımlıdır. UYARI Ana Sayfaya Geri Dön

6 ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön a) b) c) Aşağıda verilen işlemleri hesaplayınız.

7 SANAL SAYININ ( i SAYISININ ) KUVVETLERİ i 2 = – 1 i 3 = i 2. i = ( – 1 ).i = – i i 4 = i 2. i 2 = ( – 1 ).( – 1 ) = 1 Bu durumu genelleştirelim. k  Z olmak üzere i 4k = 1 i 4k+1 = i i 4k+2 = –1 i 4k+3 = – i bulunur. –1– i1i1 –1i1– i–1i i 14 i 15 i 16 i 13 i 12 i 11 i 10 i9i9 i8i8 i7i7 i6i6 i5i5 Ana Sayfaya Geri Dön

8 Yani; i p gibi sayının eşitini bulmak için p tamsayısı 4’e bölünür.Kalan doğal sayı a olsun, ( Bir doğal sayının 4 ile bölümünden kalan, son iki basamağının -birler ve onlar- meydana getirdiği sayının 4 ile bölümünden kalana eşittir. ) p 4 a a = 0 ise i P = i 0 = 1 a = 1 ise i P = i 1 = i a = 2 ise i P = i 2 = – 1 a = 3 ise i P = i 3 = – i olur. Ana Sayfaya Geri Dön

9 ÖRNEK i 413 – i 203 i 314 işleminin sonucu nedir? ÇÖZÜM i 413 = i 1 = i i 203 = i 3 = – ii 314 = i 2 = – 1 i 413 – i 203 i 314 = i – ( – i ) – 1 = – 2i i + i – 1 = Ana Sayfaya Geri Dön

10 ÖRNEK i – 435 i 123 işleminin sonucu nedir? ÇÖZÜM – i 558 = i 2 = – 1 i – 435 i 123 = 1 i 435. i i 558 == – 1 Ana Sayfaya Geri Dön

11 ÖRNEK i – 435 i 123 işleminin sonucu nedir? ÇÖZÜM – i 123 = i 3 = – i i – 435 i 123 = i i3i3 = = – 1 – i i – 435  1 (mod 4 ) Ana Sayfaya Geri Dön

12 ÖRNEK ( 1 + i + i 2 + i 3 + i 4 ) 10 işleminin sonucunu bulunuz. ÇÖZÜM ( 1 + i – 1 – i + 1 ) 10 ( 1 + i + i 2 + i 3 + i 4 ) 10 = = ( 1 ) 10 = 1 i 2 = – 1 i 3 = – i i 4 = 1 Ana Sayfaya Geri Dön

13 ÖRNEK i 2 = – 1 olmak üzere (1+ i 20 ).(1+ i 21 ).(1+ i 22 ) = ? ÇÖZÜM (1+ i 20 ).(1+ i 21 ).(1+ i 22 ) = i 22 = i 2 = – 1 (1+ i 20 ).(1+ i 21 ).(1 – 1 ) = (1+ i 20 ).(1+ i 21 ).( 0 ) = 0 Ana Sayfaya Geri Dön

14 ÖRNEK i 4n+14 + i 200n + i 8n+6 + i 20n+18 = ? ÇÖZÜM i 4n+14 = i 4n.i 14 = 1. ( – 1 ) = – 1 i 200n = 1 i 8n+6 = i 8n. i 6 =1.( – 1) = – 1 i 20n+18 = i 20n.i 18 = 1(– 1 ) = – 1 i 4n+14 + i 200n + i 8n+6 + i 20n+18 = – – 1 – 1 = – 2 i 4n = 1 Ana Sayfaya Geri Dön

15 ÖRNEK P( x ) = x 19 + x 18 + x 17 + x x polinomunda P( i ) =? ÇÖZÜM P(i) = i 19 + i 18 + i 17 + i 16 + …..+ i i 19 = i 3 = – i i 18 = i 2 = – 1 i 17 = i 1 = i i 16 = i 0 = 1 = ( i 3 + i 2 + i +1) + ( i 3 + i 2 + i +1) i 3 + i 2 + i = ( – i – 1 + i + 1 ) + ( – i – 1 + i + 1 ) +…+ ( – i – 1 + i ) = ( 0 ) + ( 0 ) + ( 0 ) + ( 0 ) + ( – 1 ) = – 1 Ana Sayfaya Geri Dön

16 UYARI i + i 2 + i 3 + i 4 + …..+ i n işleminin sonucunu kısa yoldan bulmak için n sayısı 4’e bölünür.Elde edilen kalanı k ile gösterelim.k= 0 ise sonuç sıfırdır.k  0 ise sonuç i 1 den i k ya kadar olan tam kuvvetlerin toplamına eşittir. ÖRNEK i + i 2 + i 3 + i 4 + …..+ i 100 = ? ÖRNEK i + i 2 + i 3 + i 4 + …..+ i 4446 = ? ÖRNEK i + i 2 + i 3 + i 4 + …..+ i 8753 = ? Cevap: 0 Cevap: i + i 2 = i – 1 Cevap: i Ana Sayfaya Geri Dön

17 ÖRNEK 2011 LYS Karmaşık sayılar kümesi üzerinde f fonksiyonu biçiminde tanımlanıyor.Buna göre, f(i) değeri nedir? ÇÖZÜM  Ana Sayfaya Geri Dön

18 ÖRNEK i 23 + i 24 + i 25 +….+ i 126 = ? ÇÖZÜM i 22 ( i + i 2 +….+ i 104 )i 23 + i 24 + ….+ i 126 = = i 22.0 = 0 i + i 2 + i 3 + i 4 + …..+ i n işleminin sonucunu kısa yoldan bulmak için n sayısı 4’e bölünür.Elde edilen kalanı k ile gösterelim.k= 0 ise sonuç sıfırdır.k  0 ise sonuç i 1 den i k ya kadar olan tam kuvvetlerin toplamına eşittir. Ana Sayfaya Geri Dön

19 ÖRNEK i i i 113 +…. i 213 = ? ÇÖZÜM i 110 ( i + i 2 +…. i 103 ) i i 112 +…. i 213 = = i 110 ( i + i 2 + i 3 ) i + i 2 + i 3 + i 4 + …..+ i n işleminin sonucunu kısa yoldan bulmak için n sayısı 4’e bölünür.Elde edilen kalanı k ile gösterelim.k= 0 ise sonuç sıfırdır.k  0 ise sonuç i 1 den i k ya kadar olan tam kuvvetlerin toplamına eşittir. i 110 = i 2 = – 1 = – 1( i – 1 – i ) = – 1( – 1 ) = 1 Ana Sayfaya Geri Dön

20 ÖRNEK i 9 + i 18 + i 27 +…. +i 135 = ? ÇÖZÜM i 9 + i 18 + i 27 +…. i 135 = i 9 + ( i 9 ) 2 + ( i 9 ) 3 +….+ ( i 9 ) 15 i 9 = i = i + i 2 + i 3 +….+i 15 = i + i 2 + i 3 = i – 1 – i = – 1 i + i 2 + i 3 + i 4 + …..+ i n işleminin sonucunu kısa yoldan bulmak için n sayısı 4’e bölünür.Elde edilen kalanı k ile gösterelim.k= 0 ise sonuç sıfırdır.k  0 ise sonuç i 1 den i k ya kadar olan tam kuvvetlerin toplamına eşittir. Ana Sayfaya Geri Dön

21 ÖRNEK i 13 + i 26 + i 39 +….+ i 1326 = ? ÇÖZÜM i 13 + i 26 +…. i 1326 = i 13 + ( i 13 ) 2 + ( i 13 ) 3 +….+ ( i 13 ) 102 i 13 = i = i + i 2 + i 3 +….+ i 102 i + i 2 + i 3 + i 4 + …..+ i n işleminin sonucunu kısa yoldan bulmak için n sayısı 4’e bölünür.Elde edilen kalanı k ile gösterelim. k = 0 ise sonuç sıfırdır.k  0 ise sonuç i 1 den i k ya kadar olan tam kuvvetlerin toplamına eşittir. = i + i 2 = i – 1 Ana Sayfaya Geri Dön

22 ÖRNEK i 5 + i 6 + i 7 +…. i n = 0 olduğuna göre n’nin en küçük üç basamaklı doğal sayı değeri kaçtır? ÇÖZÜM i 5 + i 6 + i 7 +…. i n = 0i 4 ( i+i 2 + i 3 +….+ i n – 4 ) = 0  i + i 2 + i 3 +….+ i n – 4 = 0 i 4n = 1 (n – 4) sayısı 4 ün katı olmalıdır.n nin en küçük üç basamaklı olması için: n – 4 = 96  n = 100 Ana Sayfaya Geri Dön

23 ÖRNEK i n sayısının bir gerçek sayıya eşit olmasını sağlayan iki basamaklı kaç değişik n doğal sayısı vardır? ÇÖZÜM i n = 1  i 4n = 1 olduğundan n  { 12,16,….., 96 } iki basamaklı doğal sayıların sayısı 96  4 = 24 – 2 = 22 i n = –1  i 4n+2 = – 1 olduğundan n  { 10,14,….., 98 } ( Terim sayısı formülü ile de hesaplanabilir.) iki basamaklı doğal sayıların sayısı; + 1 = – 10 4 iki basamaklı n doğal sayıların sayısı = 45 Ana Sayfaya Geri Dön ( 4 ve 8 olmayacağı için)

24 ÖRNEK i – i 3 + i 5 – i 7 + i 9 – i 11 + …..+ i 197 – i 199 = ? ÇÖZÜM i + i + i + i + i + …..+ i + i = 2n – 1 = 199 ise n = i Ana Sayfaya Geri Dön

25 ÖRNEK i – 1 + i –2 + i – 3 + i –4 + …..+ i – 99 = ? ÇÖZÜM i – 1 + i –2 + i – 3 + i – 4 = i 3 + i 2 + i = 0 i – 1 + i – i – 99 = ( i – 1 + i –2 + i – 3 + i – 4 )+…+ i – 97 + i –98 + i –99 = i – 97 + i –98 + i –99 = i 3 + i 2 + i 1 = – i – 1 + i = – 1 i –97 = i 3 = – i i –98 = i 2 = – 1 i –99 = i Ana Sayfaya Geri Dön

26 UYARI i -1 + i -2 + i -3 + i -4 + …..+ i -n işleminin sonucunu kısa yoldan bulmak için n sayısı 4’e bölünür.Elde edilen kalanı k ile gösterelim.k= 0 ise sonuç sıfırdır. k  0 ise sonuç i -1 den i -k ya kadar olan tam kuvvetlerin toplamına eşittir.(n  N + ) ÖRNEK i -1 + i -2 + i -3 + i -4 + …..+ i -100 = ? Cevap: 0 ÖRNEK i -1 + i -2 + i -3 + i -4 + …..+ i -707 = ? Ana Sayfaya Geri Dön Cevap : i -1 + i -2 + i -3 = – 1

27 KARMAŞIK ( KOMPLEKS ) SAYI a ve b reel sayılar i 2 = – 1 olmak üzere, a+ib biçimindeki sayılara karmaşık ( kompleks ) sayılar denir.Karmaşık sayıyı z ve bu sayıların kümesini C ile göstereceğiz.O halde, karmaşık sayıların kümesini C = { z = a + ib, a, b  R, i 2 = – 1 } şeklinde gösterebiliriz. z = a+ib eşitliğinde a sayısına z sayısının Reel Kısmı denir ve Re(z) = a biçiminde, b sayısına z sayısının İmajiner(sanal) Kısmı denir ve İm(z) = b biçiminde gösterilir. Karmaşık sayılar kümesi reel sayılar kümesini kapsar. Yani kümeleri N  Z  Q  R  C biçiminde gösterebiliriz.   Karmaşık sayılar arasında sıralama yapılamaz. Ana Sayfaya Geri Dön

28 ÖRNEK z 1 = 3 + 5i sayısının reel kısmı 3, imajiner(sanal) kısmı 5 tir z 2 = 7 – i sayısındaRe( z 2 ) = 7 İm( z 2 ) = – 1 z 3 = sayısındaRe( z 3 ) = İm( z 3 ) = 2 z 4 = 2 – 2i sayısındaRe( z 4 ) = 2 İm( z 4 ) = – 2 z 5 = 8 sayısındaRe( z 5 ) = 8 İm( z 5 ) = 0 z 6 = 9i sayısındaRe( z 6 ) = 0 İm( z 6 ) = 9 Ana Sayfaya Geri Dön

29 ÖRNEK z = 1 + sayısının sanal kısmı kaçtır? ÇÖZÜM z = 1 + i -1 + i -2 + i -3 + i -4 + …..+ i -n işleminin sonucunu kısa yoldan bulmak için n sayısı 4’e bölünür.Elde edilen kalanı k ile gösterelim.k= 0 ise sonuç sıfırdır.k  0 ise sonuç i -1 den i -k ya kadar olan tam kuvvetlerin toplamına eşittir.(n  N + ) z = 1 + z = – i İm(z) = – 1 i –1 = i 3 = – i i –2 = i 2 = – 1 Ana Sayfaya Geri Dön

30 ÖRNEK a < b < 0 olmak üzere z = karmaşık sayısının reel kısmı kaçtır? ÇÖZÜM z = + – Re(z) = 0 Ana Sayfaya Geri Dön

31 İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ z 1 ve z 2 kompleks ( karmaşık ) sayıları z 1 = a + ib ve z 2 = c + id olsun. z 1 = z 2  a = c ve b = d dir. Yani; iki karmaşık sayının eşit olması için, reel ve sanal kısımlarının ayrı ayrı eşit olması gerekir.Bunun karşıtı da doğrudur. ÖRNEK z 1 = –7x i ve z 2 = – 8x i(2y – 1 ) karmaşık sayıları veriliyor. z 1 = z 2 olması için x ve y sayıları kaç olmalıdır. –7x + 1 = – 8x = 2y – 1 ÇÖZÜM x = 4 y = 3 Ana Sayfaya Geri Dön

32 ÖRNEK z 1 = a bi – i ve z 2 = 2a – 3 + bi – ai karmaşık sayıları veriliyor. z 1 = z 2 olduğuna göre a + b = ? ÇÖZÜM a bi – i = 2a – 3 + bi – ai a i( 3b – 1 ) = 2a – 3 + i( b – a) a + 2 = 2a – 33b – 1 = b – a a = 5 2b = 1 – 5 b = – 2 a + b = 3 Ana Sayfaya Geri Dön

33 ÖRNEK x,y  R olmak üzere z = ( 2 + i )x + ( 1 – i )y – 7 – 8i ve z = 0 ise x + y =? ÇÖZÜM ( 2 + i )x + ( 1 – i )y – 7 – 8i = 0 + 0i 2x + ix + y – iy – 7 – 8i = 0 + 0i 2x + y – 7 + i(x – y – 8 ) = 0 + 0i 2x + y – 7 = 0 x – y – 8 = 0 x = 5 y = – 3 x + y = 2  Ana Sayfaya Geri Dön

34 ÖRNEK x, y  R olmak üzere z 1 = 3 + 4( x – i ), z 2 = ( x + iy)i + x z 1 = z 2 ise y kaçtır? ÇÖZÜM 3 + 4( x – i ) = ( x + iy)i + x 3 + 4x – 4i = xi + i 2 y + x 3 + 4x – 4i = x – y + xi 3 + 4x = x – y – 4 = x y = 9 Ana Sayfaya Geri Dön

35 1993-II ÖRNEK Karmaşık düzlemde ( Cosx + iSinx ) 2 = Cos 2 x – iSin 2 x olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi x in değerlerinden biridir? ( 30° – 45° – 60° – 90° – 180° ) ÇÖZÜM (Cosx + iSinx) 2 = Cos 2 x – iSin 2 x Cos 2 x + 2iSinxCosx – Sin 2 x = Cos 2 x – iSin 2 x Cos 2 x – Sin 2 x = Cos 2 x2SinxCosx = – Sin 2 x ….. – Sin 2 x = 0 Sinx = 0 x = 180° Ana Sayfaya Geri Dön

36 KARMAŞIK SAYILARIN GEOMETRİK GÖSTERİMİ Karmaşık sayılar ile analitik düzlemin noktaları birebir eşlenebilir.Bu eşlemede a+ib sayısına (a, b) noktası karşılık gelir.Örneğin; 1+2i sayısı ile (1, 2), –3+4i sayısı ile ( –3, 4 ) noktası eşlenir. Aşağıdaki şekilleri inceleyiniz. z 1 =1+ i2 = (1, 2) z 2 = – 3 + 4i = (- 3, 4 ) z 3 =2 – 2i = (2, – 2 ) – – 2 Ana Sayfaya Geri Dön x ( Reel eksen ) y ( Sanal eksen ) Z = a+ib = ( a,b) a b

37 ÖRNEK – x x z Yandaki karmaşık düzlemde, x ve y eksenine teğet olan çember verilmiştir.Çemberin merkez noktası, z karmaşık sayısıdır. Buna göre z sayısının reel ve sanal kısmının toplamı kaçtır? ÇÖZÜM z = x – xi olup İm( z ) + Re( z ) = 0 Ana Sayfaya Geri Dön

38 ÖRNEK Re(z) > 1 ve İm(z)  2 koşullarını sağlayan z karmaşık sayılarını karmaşık düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM 1 2 x y Ana Sayfaya Geri Dön

39 KARMAŞIK SAYILARIN EŞLENİĞİ a +ib ve a – ib sayılarından birine diğerinin eşleniği denir.z karmaşık sayısının eşleniği z ile gösterilir. Buna göre, z = a+ib ise z = a – ib dir. ( sadece i’li ifadenin katsayısının işareti değişecek.) Örneğin; z 1 = 2 – 5i z 2 = – 3 + 4i  z 1 = 2 + 5i z 2 = – 3 – 4i  z 3 = – 6i + 7 z 3 = 6i + 7  z 4 = 7  z 5 = 9i z 5 = – 9i  Ana Sayfaya Geri Dön

40 ÖRNEK z = x +iy olmak üzere 3z + 4 – 2i = 6 +4i + z olduğuna göre z karmaşık sayısını yazınız. ÇÖZÜM 3z + 4 – 2i = 6 +4i + z 2z = 2 +6i z = 1 +3i z = 1 – 3i Ana Sayfaya Geri Dön

41 UYARI a +ib ve a – ib sayıları reel eksene ( x eksenine ) göre simetriktir. z = a+ib = ( a, b) z = a – ib = ( a, – b ) Ana Sayfaya Geri Dön

42 ÖRNEK a, b  R, z = 5+ ib ve w = a+7i karmaşık sayıları reel eksene göre simetriktir.Buna göre a + b kaçtır? ÇÖZÜM Reel eksene göre simetrik ise z = w veya w = z 5 + ib = a +7i  5 – ib = a +7i b = – 7 a = 5 a + b = – 2 Ana Sayfaya Geri Dön

43 ÖRNEK z = x +iy olmak üzere 2z + 4 = z + i olduğuna göre x.y =? 2(x – iy) + 4 = x + iy + i ÇÖZÜM 2x – 2iy + 4 = x + iy + i 2x + 4 – 2yi = x + i(y + 1) 2x + 4 = x x = – 4 –2y = y + 1 y = 1 3 – x.y = (– 4 ).( ) = 1 3 – 4 3 Ana Sayfaya Geri Dön

44 KARMAŞIK SAYILARIN MUTLAK DEĞERİ ( MODÜLÜ-UZUNLUĞU) Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın, başlangıç noktasına olan uzaklığına bu sayının mutlak değeri (modülü) denir ve I z I ile gösterilir. x y z = x + iy = ( x, y ) o IzI z = x + iy ise I z I = 22 yx  Ana Sayfaya Geri Dön

45 ÖRNEK Aşağıda verilen karmaşık sayıların mutlak değerlerini bulunuz. A) z 1 = 3 – 4i  I z 1 I = (– 4 ) 2 = 5 B) z 2 = 1 + 3i  I z 2 I = ( 3 ) 2 = 10 z = ( 3,– 4 ) 3 – 4 I z 1 I z = ( 1,3 ) 1 3 I z 2 I Ana Sayfaya Geri Dön

46 C) z 3 = 3  I z 3 I = ( 0 ) 2 = 3 D) z 4 = 7i  I z 4 I = ( 7 ) 2 = Ana Sayfaya Geri Dön

47 ÖRNEK i 2 = – 1 ve x  R olmak üzere z = – 3 + i – xi karmaşık sayısının başlangıç noktasına uzaklığı 5 br olan z karmaşık sayılarını yazınız. ÇÖZÜM I z I = (– 3) 2 + (1 – x ) 2 = (1 – x ) 2 = 25 (1 – x ) 2 = 16 x = – 3x = 5 z 1 = – 3 + i – ( –3i ) = – 3 + 4i z 2 = – 3 + i – ( 5i ) = – 3 – 4i Ana Sayfaya Geri Dön

48 ÖRNEK ÇÖZÜM z = x + iy olsun. – 4i = x – iy + 2 x 2 + y 2 = x + 2 x 2 + y 2 4 = y I z I – 4i = z + 2 eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısının mutlak değeri kaçtır? x = x 2 + 4x = 4x + 4 x = 3 z = 3 + 4i  I z I = ( 4 ) 2 = 5 Ana Sayfaya Geri Dön

49 ÖRNEK2006/MAT-2 I z I + z = 3 – 2i eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısını yazınız. ÇÖZÜM z= x+iy olsun. I x + iy I + x + iy = 3 – 2i + x + iy = 3 – 2i x 2 + y 2 + x = 3 x 2 + y 2 y = – 2 + x = 3 x = 3 – x x x = ( 3 – x ) 2  z = – 2i x =  Ana Sayfaya Geri Dön

50 2012-LYS ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön

51 KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM 1– TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ Karmaşık sayılar toplanırken veya çıkarılırken reel kısımlar kendi aralarında, sanal kısımlar da kendi aralarında toplanır veya çıkarılır. z 1 = a + ib ve z 2 = c + id olsun. z 1 + z 2 = ( a + c ) + ( b + d )i z 1 – z 2 = ( a – c ) + ( b – d )i ÖRNEK z 1 = 7 – 3i ve z 2 = 4 + 8i olsun. z 1 + z 2 = 7 – 3i i = i z 1 – z 2 = 7– 3i – 4 – 8i = 3 – 11i Ana Sayfaya Geri Dön

52 İKİ KARMAŞIK SAYININ TOPLAMININ VE FARKININ GEOMETRİK YORUMU a b C d b + d a + c Z1Z1 Z2Z2 Z 1 + Z 2 z 1 = a + ib ve z 2 = c + di olsun. z 1 + z 2, karmaşık düzlemde OACB paralelkenarının C köşesi ile eşlenir. 0 B A C a b C d Z1Z1 Z2Z2 0 B A C –Z 1 z 2 + ( – z 1 ) = z 2 – z 1 Ana Sayfaya Geri Dön

53 2– ÇARPMA İŞLEMİ z 1 = a + ib ve z 2 = c + di olsun. z 1. z 2 = ( a + ib)( c + di )= ac + adi +ibc + i 2 bd = ac + adi +ibc – bd = ( ac – bd ) + i(ad + bc ) ÖRNEK (2 +3i )( 3 – 4i ) = ? ÇÖZÜM İki polinomun çarpımı gibi işlem yapılır. (2 +3i )( 3 – 4i ) = 2.3 – 2.4i +3i.3 – 3i.4i = 6 – 8i +9i – 12i 2 = 6 + i + 12 = 18 + i ; i 2 = – 1 Ana Sayfaya Geri Dön

54 ÖRNEK (4 – 2i )( 4 + 2i ) = ? ÇÖZÜM – 1 (4 – 2i )( 4 + 2i ) = i – 8i – 4i 2 = = 20 ÇÖZÜM – 2 (a – bi )( a + bi ) = a 2 + abi – abi – bi 2 = a 2 + b 2 i 2 = – 1 Ana Sayfaya Geri Dön (4 – 2i )( 4 + 2i ) = = = 20

55 ÖRNEK (3 +2i ) 2.( 1 + i ) = ? ÇÖZÜM (3 +2i ) 2.( 1 + i ) = ( i + 4i 2 ).( 1 + i ) = ( 9 + 6i – 4 ).( 1 + i ) = ( 5 +12i ).( 1 + i ) = 5 + 5i + 12i – 12 = – i Ana Sayfaya Geri Dön i 2 = – 1

56 ÖRNEK ( 1 + i ) 11 = ? ÇÖZÜM ( 1 + i ) 2 = 1 + 2i + i 2 = 1 + 2i – 1 = 2i ( 1 + i ) 11 = (1 + i ).[ (1 + i ) 2 ] 5 = (1 + i ).[ 2i ] 5 = (1 + i ).32i 5 = (1 + i ).32i = 32i + 32i 2 = 32i – 32 Ana Sayfaya Geri Dön

57 ÖRNEK ÇÖZÜM ( 1 + i ) 8.z =1+2i ise z karmaşık sayısını a+ib biçiminde yazınız. ( 1 + i ) 8.z =1+2i  [ ( 1 + i ) 2 ] 4.z =1+2i [ 2i ] 4.z =1+2i 16.z =1+2i z = 1+2i 16 z = i + z = i – ( 1 + i ) 2 = 2i Ana Sayfaya Geri Dön

58 ÖRNEK ( 1 + i ) 11. ( 1 – i ) 11 = ? ÇÖZÜM ( 1 + i ) 11. ( 1 – i ) 11 = [ ( 1 + i ).( 1 – i ) ] 11 = [ ( ) ] 11 = 2 11 ; ( a – ib )( a + ib ) = a 2 + b 2 Ana Sayfaya Geri Dön

59 ÖRNEK ÇÖZÜM ( 2 – i ) 6.( 2 + i ) 8.( 3 – 4i ) = ? (2 – i) 6.(2 + i) 6.( 2 + i ) 2.( 3 – 4i ) ( 2 – i ) 6.( 2 + i ) 8.( 3 – 4i ) = = [(2 – i)(2 + i)] 6.( 2 + i ) 2.( 3 – 4i ) = ( ) 6.( 4 + 4i – 1).( 3 – 4i ) = 5 6.( 3 + 4i ).( 3 – 4i ) = 5 6.( ) = = 5 8 Ana Sayfaya Geri Dön

60 ÖRNEK i 2 = – 1 olduğuna göre (1+ i )(1 + i 3 )(1 + i 5 )(1+ i 7 ) = ? ÇÖZÜM 1991-II (1+ i )(1 + i 3 )(1+ i 5 )(1+ i 7 ) = ( 1+ i )( 1 – i )( 1 + i)( 1 – i ) = ( )( ) = 4 ( a – ib )( a + ib ) = a 2 + b 2 i 3 = – i i 5 = i i 7 = i 2 = – 1 Ana Sayfaya Geri Dön

61 ÖRNEK ÇÖZÜM 3z – 4iz + 5i = 2 eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısını bulunuz. z = a + bi olsun. 3( a – bi) – 4i( a +bi ) + 5i = 2 3a – 3bi – 4ai – 4bi 2 + 5i = 2 3a – 3bi – 4ai + 4b + 5i = 2 3a + 4b – i(–3b – 4a + 5) = 2 + 0i 3a + 4b = 2 –3b – 4a + 5 = 0 a = 2b = – 1 z = 2 – i  Ana Sayfaya Geri Dön i 2 = – 1

62 ÖRNEK sağlayan z karmaşık sayılarını standart biçimde yazınız. ÇÖZÜM z.z + z = 9 + 3i   a 2 + b 2 + a + ib = 9 + 3i a 2 + b 2 + a = 9b = 3 a a = 9 a 2 + a = 0 a = 0 a = – 1 z = 3i, z = – 1 + 3i Ana Sayfaya Geri Dön (a – bi )( a + bi ) = a 2 + b 2 z = a + bi

63 ÖRNEK 2011 LYS z = a +ib ( b ≠ 0 ) ve w= c+di karmaşık sayıları için z+w toplamı ve z.w birer gerçel sayı olduğuna göre, I. z ve w birbirinin eşleniğidir. Il. z – w gerçeldir. lll.z 2 +w 2 gerçeldir. İfadelerinden hangileri doğrudur? ÇÖZÜM z = a +ib ( b ≠ 0 ) ve w = c+ di karmaşık sayılarının toplam ve çarpımlarının gerçel sayı olması için z ve w birbirinin eşleniği olmalıdır.Örneğin; z = 2 + 3i, w = 2 – 3i ise z + w = 4, z.w = 13, z – w = 6i, z 2 + w 2 = –10 olduğundan I ve III doğrudur. Ana Sayfaya Geri Dön

64 3– BÖLME İŞLEMİ bölme işlemi yapılırken amaç paydada sanal (i’li) terimin bulunmaması olduğundan pay ve payda, paydanın eşleniği ile çarpılır. ÖRNEK ÇÖZÜM – 1 Ana Sayfaya Geri Dön

65 ÖRNEK sayısını a+ib biçiminde yazınız. ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön

66 ÖRNEK ÇÖZÜM z  C olmak üzere z 2 = 3 – 4i ve z 3 = 2 –11i ise Re(z) + İm(z)=? Re(z) + İm(z)= 2 – 1 = 1 Ana Sayfaya Geri Dön

67 ÖRNEK ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön

68 ÖRNEK ÇÖZÜM ( z – 1)( 1+ i ) = 7 – 3i oluğuna göre z karmaşık sayısını standart biçimde yazınız. ( z – 1)( 1+ i ) = 7 – 3i z – 1 = z = z = 3 – 5iz = 3 + 5i  Ana Sayfaya Geri Dön

69 ÖRNEK z = 3 + 4i karmaşık sayısının çarpma işlemine göre tersini standart biçiminde yazınız. ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön

70 ÖRNEK 1992-II i 2 = – 1 olmak üzere ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön

71 ÖRNEK İ 2 = – 1 ve n pozitif tamsayı olmak üzere ÇÖZÜM – II i 4n = i 8n = 1 ÇÖZÜM – 2 n pozitif tamsayısını keyfi seçerek de çözüm yapılabilir. Ana Sayfaya Geri Dön n = 1 için

72 2010 LYS ÖRNEK z = 2 + i karmaşık sayısı için sayısını a+ib biçiminde yazınız. ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön

73 ÖRNEK denklemini sağlayan z karmaşık sayısını bulunuz. ÇÖZÜM – 1 ( z – i ) ( z +3i )  z – i + z + 3i = 1 + i 2z + 2i = 1 + i 2z = 1– i 2 z = 1 – i Ana Sayfaya Geri Dön

74 ÖRNEK denklemini sağlayan z karmaşık sayısını bulunuz. ÇÖZÜM – 2  z – i + z + 3i = 1 + i 2 z = 1 – i Ana Sayfaya Geri Dön

75 KARMAŞIK SAYILARDA İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM ÇÖZÜMÜ 9x = 0 denkleminin köklerini bulunuz. ÇÖZÜM 9x 2 = – 36 x 2 = – 4  ÖRNEK Köklerin birbirinin eşleniği olduğuna dikkat edelim. Ana Sayfaya Geri Dön

76 ÖRNEK x 2 – 2x + 2 = 0 denkleminin köklerini bulunuz. ÇÖZÜM – 1  = b 2 – 4ac = 4 – = – 4 ( Farklı iki sanal kök var ) Denklemi çarpanlarına ayırmaya gücünüz yetmiyorsa hiç çekinmeden  ’ya başvurabilirsiniz. Ana Sayfaya Geri Dön

77 ÖRNEK x 2 – 2x + 2 = 0 denkleminin köklerini bulunuz. ÇÖZÜM – 2 Verilen ifadeyi mümkünse, tam kareye benzetmeye çalışalım. x 2 – 2x + 2 = 0( x – 1) = 0 x 1 = 1 – i x 2 = 1 + i  ( x – 1) 2 = – 1 Ana Sayfaya Geri Dön

78 UYARI Reel katsayılı ax 2 + bx + c = 0 ( a, b, c  R ) ikinci dereceden denkleminde  < 0 ise birbirinden farklı iki karmaşık kök vardır ve bu kökler birbirinin eşleniğidir.Bu da köklerden birini biliyorsak diğerini de zaten biliyoruz demektir. Denklem reel katsayılı değilse kökler de birbirinin eşleniği değildir. Ana Sayfaya Geri Dön 

79 ÖRNEK m tamsayı olmak üzere x 2 +2x + m = 0 denkleminin bir kökü – 1+3i olduğuna göre m kaçtır? ÇÖZÜM Denklemin katsayıları reel sayı olduğuna göre, bir kökü ( – 1+3i ) ise diğer kökü ( –1– 3i ) dir. ( – 1 + 3i )( – 1 – 3i ) = m 10 = m ; ( a – ib )( a + ib ) = a 2 + b 2 Ana Sayfaya Geri Dön

80 2010 LYS ÖRNEK b ve c gerçel sayılar olmak üzere, P(x) = x 2 + bx + c polinomunun bir kökü 3 – 2i karmaşık sayısıdır. Buna göre, P(–1) kaçtır? ÇÖZÜM Denklemin katsayıları reel sayı olduğuna göre, bir kökü ( 3 – 2i ) ise diğer kökü ( 3 +2i ) dir. ( 3 – 2i )( 3 + 2i ) = c 13 = c ; ( a – ib )( a + ib ) = a 2 + b 2 ( 3 – 2i ) + ( 3 + 2i ) = – b b = – 6 P(x) = x 2 – 6x +13  P( – 1 ) = 20 Ana Sayfaya Geri Dön

81 ÖRNEK Köklerinden biri ( 2 – 3i ) olan reel katsayılı ikinci dereceden denklemi yazınız. ÇÖZÜM Denklemin katsayıları reel sayı olduğuna göre, bir kökü 2 – 3i ise diğer kökü 2 + 3i dir. Kökleri bilinen denklemi yazmak için; x 2 – ( x 1 + x 2 )x + x 1 x 2 = 0 bağıntısını kullanırsak x 2 – 4x + 13 = 0 denklemi elde edilir. ( 2 – 3i )(2 + 3i) = 13 ( 2 – 3i )+(2 + 3i) = 4 ( a – ib )( a + ib ) = a 2 + b 2 Ana Sayfaya Geri Dön

82 ÖRNEK m ve n reel sayılar olmak üzere x 3 + mx 2 + 6x + n = 0 denkleminin bir kökü 2 diğer kökü (1 – i) dir. Buna göre m + n = ? ÇÖZÜM Denklemin katsayıları reel sayı olduğuna göre, reel olmayan kökler birbirinin eşleniğidir. x 1 = 2, x 2 = 1 – i, x 3 = 1 + i x 1 + x 2 + x 3 = – m  2 + (1 – i ) + ( 1 + i ) = m  m = – 4 x 1. x 2. x 3 = – n  2(1 – i )( 1 + i ) = – n  n = – 4 m + n = – 8 x 1 + x 2 + x 3 = – b/a x 1. x 2. x 3 = –d/a Ana Sayfaya Geri Dön

83 ÖRNEK 2011 LYS Baş katsayısı 1 olan, – i ve 2i karmaşık sayılarını kök kabul eden dördüncü dereceden gerçel katsayılı p(x) polinomu için p(0) kaçtır? ÇÖZÜM Denklemin katsayıları reel sayı olduğuna göre, diğer kökler - i ve 2i nin eşleniğidir. p(x) = (x + i)(x – i )(x – 2i)(x + 2i) p(0) = i.(– i )(– 2i)( 2i ) p(0) = 4 Ana Sayfaya Geri Dön

84 ÖRNEK x 4 + 8x 2 – 9 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÇÖZÜM x 2 = t diyelim. t 2 + 8t – 9 = 0  9 – 1 t t ( t + 9 )( t – 1 ) = 0 t = – 9 ve t = 1 x 2 = – 9 x 2 = 1 x 1 = 3ix 2 = –3i x 3 = 1 x 4 = –1 Ç.K = { 3i, – 3i, 1, – 1 } Ana Sayfaya Geri Dön

85 ÖRNEK x 2 – ( 1 – 2i )x –1 – i = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÇÖZÜM  = 1 Ç.K = { 1– i, – i } Denklem reel katsayılı olmadığından kökler birbirinin eşleniği değildir. Ana Sayfaya Geri Dön

86 ÖRNEK z 3 + zi + a – 3i = 0 denkleminin bir kökü (1 + i ) ise a kaçtır? ÇÖZÜM Kök denklemi sağlar mantığı ile z yerine ( 1 + i ) yazılarak denklem sıfıra eşitlenir. (1 + i ) 3 + ( 1 + i )i + a – 3i = 0 (1 + i ) 2.( 1 + i ) + i + i 2 + a – 3i = 0 (1 + 2i + i 2 ).( 1 + i ) + i – 1 + a – 3i = 0 ( 2i ).( 1 + i ) – 1 + a – 2i = 0 2i + 2i 2 – 1 + a – 2i = 0 2i – 2 – 1 + a – 2i = 0 – 3 + a = 0  a = 3 Ana Sayfaya Geri Dön

87 ÖRNEK x 3 = 1 denkleminin bütün köklerini bulunuz. ÇÖZÜM ( a – b )( a 2 + ab + b 2 ) = a 3 – b 3 x 1 = 1 x 3 – 1= 0  ( x – 1 )( x 2 + x + 1 ) = 0 x 2 + x + 1= 0  = 1 – = – 3 Ana Sayfaya Geri Dön

88 ÖRNEK z 2 + z + 1 = 0 olduğuna göre z 2004 – 2.z ifadesinin değeri kaçtır? ÇÖZÜM ( a – b )( a 2 + ab + b 2 ) = a 3 – b 3 z 2 + z + 1 = 0  ( z – 1 )( z 2 + z + 1 ) = 0.( z – 1 ) z 3 – 1 = 0 z 3 = 1 z 2004 – 2.z = 1 – = 0 Ana Sayfaya Geri Dön ( z 3 ) 668 = z 2004 = 1 ( z 3 ) 334 = z 1002 = 1

89 ÖRNEK z 2 – 4iz + 5 = 0 denkleminin kökleri z 1 ve z 2 olduğuna göre I z 1 – z 2 I kaçtır? ÇÖZÜM – 1  = (– 4i ) 2 – = –16 – 20 = –36 I z 1 – z 2 I = I 5i – (– i ) I = I 6i I = 6 Ana Sayfaya Geri Dön

90 ÖRNEK z 2 – 4iz + 5 = 0 denkleminin kökleri z 1 ve z 2 olduğuna göre I z 1 – z 2 I kaçtır? ÇÖZÜM – 2 z 2 – 4iz + 5 = 0 – 5i i z z ( z – 5i )( z + i ) = 0  z 1 = 5iz 2 = – i I z 1 – z 2 I = I 5i – (– i ) I = I 6i I = 6 Ana Sayfaya Geri Dön

91 ÖRNEK Köklerinden biri ( – i ) olan gerçek katsayılı ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) x 2 + x + 1 = 0B) x 2 + x – 1 = 0 C) x = 0D) x 2 – 1 = 0 E ) x 2 + x +12 = 0 ÇÖZÜM Denklemin katsayıları reel sayı olduğuna göre, bir kökü ( –i ) ise diğer kökü ( i ) dir. Kökler toplamı = 0 Kökler çarpımı = – i 2 = 1 Ana Sayfaya Geri Dön

92 ÖRNEK Köklerinden biri (1– i ) olan gerçek katsayılı ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) x 2 + 2x + 1 = 0B) x 2 + 2x + 2 = 0 C) x 2 – 2x + 2 = 0 D) x 2 – 2x – 2 = 0 E ) x 2 – 2x – 1 = 0 ÇÖZÜM Denklemin katsayıları reel sayı olduğuna göre, bir kökü ( 1 – i ) ise diğer kökü ( 1+ i ) dir. Kökler toplamı = 2 Kökler çarpımı = 1+1= 2 Ana Sayfaya Geri Dön

93 ÖRNEK Toplamları 4 ve çarpımları 5 olan sayıları bulunuz. ÇÖZÜM Sayıları bulmak için önce denklem kurmalıyız. Kökleri bilinen denklemi yazmak için; x 2 – ( x 1 + x 2 )x + x 1 x 2 = 0 bağıntısını kullanırsak x 2 – 4x + 5 = 0 denklemi elde edilir. – 2 + i – 2 – i x x x 1 = 2 – i x 2 = 2 + i İsterseniz  yöntemini de çekinmeden kullanabilirsiniz. Ana Sayfaya Geri Dön

94 ÖRNEK x 2 –2x+10 üç terimlisinin çarpanlarına ayrılmış halini yazınız. ÇÖZÜM x 2 –2x+10 = ( x – 1 ) 2 – ( – 9 ) = ( x – 1 ) 2 – ( 3i ) 2 = ( x – 1– 3i )(x – 1 + 3i ) ( a – b )( a + b ) = a 2 – b 2 Ana Sayfaya Geri Dön

95 EŞLENİK VE MUTLAK DEĞERLE İLGİLİ ÖZELLİKLER ( z ) = z 1) z = a + bi  z = a – bi( z ) = a + bi  z 1  z 2 = z 1  z 2 2) z 1. z 2 = z 1. z 2 3) 4) z1z1 z2z2 [ ] = z1z1 z2z2 ; z 2  0 I z 1.z 2 I = I z 1 I. I z 2 I 5) z1z1 z2z2 I I = I z 1 I I z 2 I ; z 2  0 6) Ana Sayfaya Geri Dön

96 ÖRNEK 2007 / MAT- 2 Karmaşık sayılar kümesi üzerinde  işlemi z 1  z 2 = z 1 + z 2 + I z 1.z 2 I biçiminde tanımlanıyor.Buna göre, ( 1 – 2i )  ( 2 + i ) işleminin sonucu nedir? ÇÖZÜM z 1  z 2 = z 1 + z 2 + I z 1.z 2 I ( 1 – 2i )  ( 2 + i ) = (1 – 2i ) + ( 2 + i ) + I 1 – 2i I. I 2 + i I = 3 – i + = 3 – i + 5 = 8 – i Ana Sayfaya Geri Dön

97 I z I = I – z I = I z I = I – z I7) ÖRNEK ÇÖZÜM z = x+ iy ve I z I + I– z I + Ii.z I+ I–i.z I = 12 ise x 2 + y 2 = ? I z I + I – z I + I iz I + I –iz I = 12 I z I + I –1I.I z I + I i I.I z I + I –i I.I z I = 12 I z I + I z I + I z I + I z I = 12 4I z I = 12 I z I = 3  x 2 + y 2 = 3 x 2 + y 2 = Ana Sayfaya Geri Dön

98 ÖRNEK ( 1 – i ) 8.z = 32i ise I z I = ? ÇÖZÜM l ( 1 – i ) 8.z l = I 32i l l ( 1 – i ) 8 I. I z l = I 32i l I 1 – i I 8. I z l = I 32i l  8 ) 11 ( .I z l = I z l = 32 I z l = 2 I z n I = I z I n, n  R 8) Ana Sayfaya Geri Dön

99 ÖRNEK z = i + i 2 + i 3 + i 4 + …..+ i 50 ise I z 2 I = ? ÇÖZÜM z = i + i 2 + i 3 + i i 49 + i 50 z = i + i 2 z = i – 1 I z 2 I = I z I 2  I z 2 I = I i – 1 I 2 = ( ) = 2 Ana Sayfaya Geri Dön i + i 2 + i 3 + i 4 + …..+ i n işleminin sonucunu kısa yoldan bulmak için n sayısı 4’e bölünür.Elde edilen kalanı k ile gösterelim.k= 0 ise sonuç sıfırdır.k  0 ise sonuç i 1 den i k ya kadar olan tam kuvvetlerin toplamına eşittir.

100 ÖRNEK karmaşık sayısının modülü kaçtır? ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön

101 x ÖRNEK z.z – 3 = 2IzI olduğuna göre IzI kaçtır? ÇÖZÜM z.z = IzI 2 olduğundan IzI 2 – 3 = 2IzI  IzI 2 – 2IzI – 3 = 0 IzI –3 1 ( IzI – 3 )( IzI + 1 ) = 0  IzI = 3, IzI = –1 Uzaklık negatif olmaz IzI = 3 z.z = I z I 2 = a 2 + b 2 9) Ana Sayfaya Geri Dön

102 İKİ KARMAŞIK SAYI ARASI UZAKLIK z 1 = x 1 + iy 1 sayısına karşılık gelen noktaya A, z 2 = x 2 + iy 2 sayısına karşılık gelen noktaya B diyelim ve bu noktaların geometrik gösterimi de aşağıdaki gibi olsun. z1z1 z2z2 B A IABI x2x2 x1x1 y2y2 y1y1 x 1 – x 2 y 1 – y 2 z 1 ve z 2 sayıları arasındaki uzaklık IABI kadardır.ABC üçgeninde pisagor teoreminden IABI 2 = ( x 1 – x 2 ) 2 + (y 1 – y 2 ) 2 IABI = ( x 1 – x 2 ) 2 + (y 1 – y 2 ) 2 I z 1 – z 2 I = I x 1 +iy 1 – ( x 2 +iy 2 ) I = I ( x 1 – x 2 ) +i( y 1 – y 2 ) I Diğer taraftan = ( x 1 – x 2 ) 2 + (y 1 – y 2 ) 2 = IABI Iz 1 –z 2 I gösterimi karmaşık düzlemde iki karmaşık sayı arasındaki uzaklığı belirtir. Ana Sayfaya Geri Dön

103 ÖRNEK z 1 = 5+7i ve z 2 = 2 + 3i karmaşık sayıları arasındaki uzaklığı bulunuz. ÇÖZÜM I z 1 – z 2 I = I 5+7i – ( 2 +3i ) I = I 3 + 4i I = =  İsterseniz geometrik çözüm de yapabilirsiniz. Bazı sorularda ciddi kolaylık sağlar. Nasıl mı? z2z2 z1z formülüyle de siz yapınız. I z 1 – z 2 I = ( x 1 – x 2 ) 2 + (y 1 – y 2 ) 2 Ana Sayfaya Geri Dön

104 ÖRNEK z 1 = –1+3i ve z 2 = 2 – i karmaşık sayıları arasındaki uzaklığı bulunuz. ÇÖZÜM – z2z2 z1z1 I z 1 – z 2 I = (– 1 – 2 ) 2 + ( 3 – ( – 1 ) ) 2 = 5 – Ana Sayfaya Geri Dön

105 ÖRNEK z = 3 + 4i karmaşık düzlemde pozitif yönde120° döndürülmesiyle w karmaşık sayısı elde ediliyor.Buna göre I w – z I değeri kaçtır? ÇÖZÜM z = 3 + 4i 3 4 w 120° 5 5 I w – z I ifadesinin, w karmaşık sayısı ile z karmaşık sayısı arası uzaklığı olduğunu hatırlayınız. z = 3 + 4i sayısının 120° döndürülmesiyle elde edilen w karmaşık sayısının mutlak değeri, z sayısının mutlak değeri ile aynıdır. ( yani döndürülmeyle uzunluk değişmez. I z I = I w I ) I w – z I = 35 Ana Sayfaya Geri Dön

106 ÖRNEK z 1 = x – 1+ (x + 2)i ve z 2 = –1 + (x – 1)i karmaşık sayıları arasındaki uzaklık 5 birim olduğuna göre x’in pozitif değeri kaçtır? ÇÖZÜM I z 1 – z 2 I = 5  I x – 1 + ( x + 2)i – (–1 + ( x – 1 )i I = 5 I x – 1 + ( x + 2)i +1 – ( x – 1 )i I = 5 I x – ( x + 2– x +1 )i I = 5 I x + 3i I = 5 = x  x 2 = 16 x = 4 Ana Sayfaya Geri Dön

107 ÖRNEK Karmaşık düzlemde A( i ), B( – i ), C( 2 + 8i ) noktaları veriliyor.A noktasının [BC]’nin orta noktasına olan uzaklığı kaç birimdir? ÇÖZÜM B(– 8, 12 ) C( 2, 8 ) D( x, y ) ll x = = – 3 – y = = IADI = ( 5 – ( – 3 )) 2 + (25 – 10) 2 = 17 Ana Sayfaya Geri Dön

108 ÖRNEK I z – 2 + i I  I z + 1 I eşitsizliğini sağlayan z karmaşık sayılarının görüntüsünü düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM I z – 2 + i I  I z + 1 I I x + iy – 2 + i I  I x + iy + 1 I ( x – 2 ) 2 + (y + 1) 2  ( x +1 ) 2 + y 2 x 2 – 4x y 2 + 2y + 1  x 2 + 2x y 2 – 4x + 2y + 5  2x + 1 – 6 x + 2y  – 4 – 3x + y  – 2 2/3 – 2 ( 0, 0 ) Ana Sayfaya Geri Dön

109 ÖRNEK I z + 3i I = I z – 3 I eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının görüntüsünü düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM I x + iy + 3i I = I ( x + iy ) – 3I I x + i(y + 3) I =I x + iy – 3 I x 2 + (y + 3) 2 = ( x – 3 ) 2 + y 2 x 2 + y 2 + 6y + 9 =x 2 – 6x y 2 y = – x Ana Sayfaya Geri Dön

110 2010 LYS ÖRNEK I z + 2 I = I z – 1 I eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının görüntüsünü düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM I ( x + iy ) + 2 I = I ( x + iy ) – 1 I I x iy I = I x – 1 + iy I x 2 + 4x + 4 = x 2 – 2x + 1 Ana Sayfaya Geri Dön

111 KARMAŞIK SAYI ÇEMBER İLİŞKİSİ Söz konusu ilişkiyi belirtmek için önce çemberi kısaca hatırlatmakta fayda var. TANIM a, b  R ve r  R + olmak üzere sabit bir M( a, b ) noktasına r kadar uzakta olan düzlemdeki bütün noktaların kümesine M( a, b ) merkezli r yarıçaplı çember denir. M( a, b ) P( x, y ) IPMI = r = ( x 1 – x 2 ) 2 + (y 1 – y 2 ) 2 r r 2 = ( x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 Bu eşitlik, çemberin her noktası için sağladığından, çember denklemidir.O halde M( a, b ) merkezli, r yarıçaplı çember denklemi: r 2 = ( x – a) 2 + (y – b) 2 Ana Sayfaya Geri Dön

112 ÖRNEK Merkezi M( 2, 3 ), yarıçapı 2 birim olan çember denklemi: ( x – 2 ) 2 + (y – 3 ) 2 = 4 Merkezi M( – 1, 4 ), yarıçapı 5 birim olan çember denklemi: ( x + 1 ) 2 + (y – 4 ) 2 = 25 Merkezi M( 0, 0 ), yarıçapı 6 birim olan çember denklemi: x 2 + y 2 = 36 Denklemi:( x – 5 ) 2 + (y – 4 ) 2 = 9 M(, ), r =5 4 3 Denklemi:( x + 7 ) 2 + (y – 1 ) 2 = 16 M(, ), r =–7 1 4 Denklemi:( x + 1 ) 2 + (y + 3 ) 2 = 49 M(, ), r =–1 –3 7 Ana Sayfaya Geri Dön

113 ÖRNEK z = x + iy, z 0 = a + ib ve r  R + olmak üzere I z – z 0 I = r bağıntısını sağlayan z karmaşık sayıları, merkezi M(a, b) ve yarıçapı r olan çember belirtir.Gösteriniz. ÇÖZÜM I x + iy – (a + ib) I = r I (x – a) + i( y – b) I = r  ( x – a) 2 + (y – b) 2 = r ( x – a) 2 + (y – b) 2 = r 2 Ana Sayfaya Geri Dön

114 ÖRNEK I z – (2 + 3i) I = 3 eşitliğini sağlayan z = x+ iy karmaşık sayılarının geometrik yerini bulunuz ve karmaşık düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM  I z – (2 + 3i) I = 3 I (x – 2) + i( y – 3) I = 3 (x – 2) 2 + ( y – 3) 2 = 9 Merkezi M( 2, 3 ), yarıçapı 3 birim olan çember denklemidir. 2 3 M( 2,3 ) r = 3 I z – z 0 I = r eşitliğinde z 0 'ın koordinatları çemberin merkezinin koordinatları olduğuna dikkat edin. Ana Sayfaya Geri Dön

115 ÖRNEK I z + 2 – 2i I = 1 eşitliğini sağlayan z = x+ iy karmaşık sayılarının geometrik yerini bulunuz ve karmaşık düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM I z + 2 – 2i I = 1  I z – ( – 2 + 2i ) I = 1 Merkezi M(– 2, 2 ), yarıçapı 1 birim olan çember denklemidir. – 2 2 (– 2,2 ) 1 (x + 2) 2 + ( y – 2) 2 = 1 Ana Sayfaya Geri Dön

116 ÖRNEK I z – 2 + 3i I = 4 eşitliğini sağlayan z = x+ iy karmaşık sayılarının geometrik yeri aşağıdakilerden hangisidir? A) Merkezi ( – 2, 3 ) ve yarıçapı 4 birim olan çember B) Merkezi ( 2, 3 ) ve yarıçapı 2 birim olan çember C) Merkezi ( 2, – 3 ) ve yarıçapı 4 birim olan çember D) Merkezi ( 2, – 3 ) ve yarıçapı 2 birim olan çember E) Merkezi (– 2, – 3 ) ve yarıçapı 4 birim olan çember ÇÖZÜM I z – 2 + 3i I = 4  Merkezi M( 2, – 3 ), r =4 Ters işaretli olduğuna dikkat ediniz. Ana Sayfaya Geri Dön

117 ÖRNEK I z + 3 – 4i I = 2 eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının geometrik yeri aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak gösterilmiştir? 3 4 ( 3,4 ) – 3 4 (–3,4 ) – 3 4 (– 3,4 ) 3 – 4 (3, –4 ) 3 – 4 (3, –4 ) I z + 3 – 4i I = 2  Merkezi M( – 3, 4 ), r =2 Ana Sayfaya Geri Dön

118 ÖRNEK Denklemi ( x – 2 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 16 olan çember, z  C olmak üzere aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilir? A) I z + 2 – i I = 4 B) I z + 2 – i I = 16 C) I z –2 + i I = 4 D) I z –2 + i I = 16 E) I z –2 – i I = 4 Denklemi; ( x – 2 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 16 olan çemberin M ( 2, – 1) ve r = 4 tür. ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön

119 ÖRNEK Denklemi x 2 + ( y – 3 ) 2 = 9 olan çember, z  C olmak üzere aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilir? A) I z + 3 i I = 3 B) I z – 3i I = 9 C) I z – 3 I = 3 D) I z + 3i I = 9 E) I z – 3i I = 3 Denklemi; x 2 + ( y – 3 ) 2 = 9 olan çemberin M ( 0, 3) ve r = 3 tür. ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön

120 ÖRNEK d 4 + 3i Yandaki karmaşık düzlemde, orijinden geçen d doğrusu ile x eksenine teğet olan çember verilmiştir.Çemberin merkez noktası 4+3i dir.Z sayısı çember ve d doğrusu üzerinde olduğuna göre I z I kaçtır? z ÇÖZÜM üçgeni 5 3 I z I = = 8 3 Ana Sayfaya Geri Dön

121 ÖRNEK w =1–2i karmaşık sayısına uzaklığı 3 br olan karmaşık sayıların kümesi aşağıdaki eşitliklerden hangisi ile ifade edilir? A) I z + 1 – 2i I = 3 B) I z – 1 +2i I = 3 C) I z – 1 + 2i I = 9 ÇÖZÜM w = 1 – 2i karmaşık sayısına uzaklığı 3 br olan karmaşık sayı z olsun. I z – w I = 3 ise I z – ( 1 – 2i ) I = 3 I z – 1 + 2i I = 3 – 2 1 Ana Sayfaya Geri Dön

122 ÖRNEK I z –1+ i I = 1 eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının eşleniklerinin geometrik yerini bulunuz ve karmaşık düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM I z –1 + i I = 1  Merkezi M( 1, – 1 ), r = 1 a+ib ve a – ib sayıları reel eksene (x eksenine) göre simetrik olduğundan bize sorulan geometrik gösterim yukarıda bahsedilen çemberin reel eksene göre simetriği olan (1,1) merkezli ve 1br yarıçaplı çemberdir. 1 – 1 1 Ana Sayfaya Geri Dön

123 ÖRNEK I z + 5 – 2i I = 2 ve I z – 3 + 4i I = 3 çemberleri arasındaki uzaklık kaç birimdir? ÇÖZÜM ( – 5, 2 ) r = 2 ( 3, – 4 ) r = 3 IM 1 M 2 I = x + 5 = ( – 5 – 3 ) 2 + ( 2 – ( – 4 ) ) 2 M1M1 M2M2 x + 5 = 10 x = 5 Ana Sayfaya Geri Dön x Geometrik çözümü de siz yapınız.

124 2012-LYS ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön

125 UYARI z = x + iy, z 0 = a + ib ve r  R + olmak üzere I z – z 0 I = r bağıntısını sağlayan z karmaşık sayıları, merkezi M(a, b) ve yarıçapı r olan çember belirtir. I z – z 0 I < r bağıntısını sağlayan z karmaşık sayıları, bu çemberin içini temsil eder. I z – z 0 I > r bağıntısını sağlayan z karmaşık sayıları, bu çemberin dışını temsil eder. a b a b a b Eşitlik halinde çember çözüme dahil edilir. Ana Sayfaya Geri Dön

126 ÖRNEK { z : I z – 3 + 2i I  2, z  C } kümesini karmaşık düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM I z – 3 + 2i I = 2 { z : I z – 3 + 2i I  2, z  C } kümesi, M( 3,– 2) ve r = 2 olan çember ile içinin bileşimidir. 3 – 2  Merkezi M( 3, – 2 ), r = 2 Ana Sayfaya Geri Dön

127 ÖRNEK { z : I z – 5 – 4i I > 3, z  C } kümesini karmaşık düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM I z – 5 – 4i I = 3 { z : I z – 5 – 4i I > 3, z  C } kümesi, M( 5,4 ) ve r = 3 olan çemberin dış bölgesidir.Çemberin kendisi dahil değil. 4 5  Merkezi M( 5, 4 ), r = 3 Ana Sayfaya Geri Dön

128 ÖRNEK ÇÖZÜM z = x+ iy  O halde 4  x 2 + y 2  9 eşitsizliğini sağlayan (x, y) noktalarının kümesi, 4  x 2 + y 2 ve x 2 + y 2  9 eşitsizliklerinin çözüm kümelerinin kesişimidir. { z : 4  z.z  9, z  C } kümesini karmaşık düzlemde gösteriniz. z = x – iy z.z = x 2 + y 2  2 3 – 2 – 3 Ana Sayfaya Geri Dön

129 ÖRNEK 2  I z + 1 I < 3 eşitsizliğini sağlayan z karmaşık sayılarının geometrik yer denklemini yazınız. ÇÖZÜM 2  I z + 1 I < 3  2  I x + iy + 1 I < 3 2  ( x + 1 ) 2 + y 2 < 3 4  ( x + 1 ) 2 + y 2 < 9 Eşitsizliği; merkezi (–1, 0 ), yarıçapı 2 br olan çember ve dış bölgesi ile merkezi (– 1, 0), yarıçapı 3 br olan çemberin iç bölgesinin kesişimidir. –1 12–3–4 Ana Sayfaya Geri Dön

130 ÖRNEK 2 < I z – 1 + 2i I  4 eşitsizliğini sağlayan z karmaşık sayılarının görüntüsünü düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM 2 < I z – 1 +2i I  4  2 < I z – ( 1 – 2i ) I  4 2 < I z –1+ 2i I  4 eşitsizliğinin merkezi ( 1, – 2 ), yarıçapları 2 ve 4 br olan çemberlerin arasında kalan bölgedir. ( 1,–2 ) Dahil Dahil değil Ana Sayfaya Geri Dön

131 ÖRNEK z = x + iy olmak üzere ( z – 1 )( z + 1 ) = 2z + 8 eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının geometrik yer denklemini yazınız. ÇÖZÜM ( z – 1 )( z + 1 ) = 2z + 8  z.z + z – z – 1 = 2z + 8 x 2 + y 2 = x+iy + (x – iy)+9 x 2 + y 2 = 2x + 9 ( x – 1 ) 2 – 1 + y 2 = 9 z.z = z + z + 9 x 2 – 2x + y 2 = 9 ( x – 1 ) 2 + y 2 = 10 Ana Sayfaya Geri Dön

132 ÖRNEK A = { z  C: I z – 1 – i I > 1, I z – 1 – 2i I  2 } kümesini karmaşık düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM I z – 1 – i I > 1 I z – 1 – 2i I  2 I z –1– i I > 1 eşitsizliğinin merkezi ( 1, 1 ), yarıçapı 1 br olan çemberin dış bölgesidir. I z –1– 2i I  2 eşitsizliğinin merkezi ( 1, 2 ), yarıçapı 2 br olan çemberin kendisi ve iç bölgesidir. ( 1,1 ) ( 1,2 ) Ana Sayfaya Geri Dön

133 ÖRNEK A = { z  C : I z I 3 } kümesini karmaşık düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM I z I < 3 I z + 3i I > 3 I z I < 3 eşitsizliğinin merkezi ( 0,0 ), yarıçapı 3 br olan çemberin iç bölgesidir. I z + 3i I > 3 eşitsizliğinin merkezi ( 0, – 3 ), yarıçapı 3 br olan çemberin dış bölgesidir. – 3 – 6 3 – 3 3 Ana Sayfaya Geri Dön

134 ÖRNEK I z I  2 olduğuna göre I z – 3 + 4i I ifadesinin en büyük değeri kaçtır? ÇÖZÜM IzI  2 ifadesi merkezi orijin ve yarıçapı 2 birim olan çember ve iç bölgesini ifade eder. I z – ( 3 – 4i ) I ifadesi ise çember ve iç bölgesi ile ( 3 – 4i ) sayısı arası uzaklığı ifade eder. 2 – 4 – 2 A 3 – 4i B O 2 3 Şekle göre aranan en uzun mesafe IABI dir. IABI = I OA I + I OB I = = üçgeni Ana Sayfaya Geri Dön

135 ÖRNEK I z I  3 olduğuna göre I z + 4 – 3i I ifadesinin en küçük değeri kaçtır? ÇÖZÜM IzI  3 ifadesi merkezi orijin ve yarıçapı 3 birim olan çember ve iç bölgesini ifade eder. I z – ( – 4 + 3i ) I ifadesi ise çember ve iç bölgesi ile ( – 4 + 3i ) sayısı arası uzaklığı ifade eder. Şekle göre aranan en kısa uzaklık IABI dir. 3 – 4 – 3 A – 4 + 3i B O IABI = I OA I – I OB I = 5 – 3 = üçgeni Ana Sayfaya Geri Dön

136 ÖRNEK I z i I = 1 eşitliğini sağlayan z karmaşık sayıları için I z – 2 – 6i I ifadesinin en büyük değeri kaçtır? ÇÖZÜM I z i I = 1 ifadesi merkezi ( -– 3, – 6 ) ve yarıçapı 1 birim olan çember ifade eder. I z – ( 2 + 6i ) I ifadesi z karmaşık sayısının 2+6i karmaşık sayısına uzaklığını gösterir. – 6 – z = 2 + 6i 1 1 A B I AB I = = 14 Ana Sayfaya Geri Dön

137 z = a+bi sayısı verilsin.z karmaşık sayısını orijine birleştiren doğrunun reel eksenle pozitif yönde yaptığı açıya z karmaşık sayısının argümenti denir ve argz =  + 2k  ( k  Z ) biçiminde gösterilir. ARGÜMENT  +2k  açısının esas ölçüsüne de z karmaşık sayısının esas argümenti denir ve Argz =  biçiminde gösterilir. x y z = a +bi o a b  Ana Sayfaya Geri Dön

138 z = 1 + i sayısının esas argümentini bulunuz. ÖRNEK ÇÖZÜM x y z = 1 + i = ( 1, 1 ) o ° Argz = 45° Ana Sayfaya Geri Dön

139 ÖRNEK ÇÖZÜM Argz = 180° – 60° = 120° z = – 1 + i sayısının esas argümentini bulunuz. y o 1 60° –1 30° I z I = 2 x Ana Sayfaya Geri Dön

140 ÖRNEK 2011 LYS ÇÖZÜM z ile z’nin eşleniği gösterildiğine göre z 2 = z eşitliğini sağlayan ve argümenti π/2 ile π arasında olan sıfırdan farklı karmaşık sayı nedir? z = x+iy olsun. z 2 = z  ( x+iy ) 2 = x – iy x 2 +2xyi – y 2 = x – iy x 2 – y 2 = x 2xy = –y ( z 2, 3.bölgede ) ( z 1, 2.bölgede ) Argümenti π/2 ile π arasında olan, sıfırdan farklı karmaşık sayı 2.bölgeye düşer.Yukarıda verilen eşitliği sağlayan, 2. bölgenin elemanı olan z karmaşık sayısını bulalım. Ana Sayfaya Geri Dön

141 Ana Sayfaya Geri Dön

142 z=a+bi sayısı verilsin.z karmaşık sayısının mutlak değeri ile argümentine bu sayının kutupsal koordinatları denir.( I z I,  ) veya ( r,  ) şeklinde gösterilir. KUTUPSAL KOORDİNATLAR x y z = a +bi = ( a,b ) o a b  IzI=r Ana Sayfaya Geri Dön

143 ÖRNEK z = 1 – i sayısının kutupsal koordinatlarını bulunuz. ÇÖZÜM z = 1 – i = ( 1, – 1 ) o – ° 1 Argz = 270° + 45° = 315° ve z = 1 – i = ( 1, – 1 ) = (, 315° ) ( kutupsal koordinatları) ( kartezyen koordinatları) I z I = Ana Sayfaya Geri Dön

144 ÖRNEK Kutupsal koordinatları ( 2, ) olan karmaşık sayıyı yazınız. 44 3 ÇÖZÜM 60° 2 1 z = – 1 – i Ana Sayfaya Geri Dön

145 ÖRNEK Arg( z – 2 – i ) = 225°olduğuna göre z karmaşık sayılarının düzlemdeki görüntüsünü bulunuz. ÇÖZÜM Arg( z – 2 – i ) = 225° Arg( x + iy – 2 – i ) = 225°  y = x –1 (  = 225° açısı III. bölgede olduğundan x – 2 < 0,y – 1 < 0 dır) Arg(x – 2 + i(y–1)) = 225° – ° Ana Sayfaya Geri Dön

146 UYARI x, y  R olmak üzere z 0 = x+ iy karmaşık sayısına karşılık gelen nokta A( x, y ) olsun. Arg( z – z 0 ) = , 0   < 360° koşulunu sağlayan z karmaşık sayılarının karmaşık düzlemdeki görüntüsü ]AB yarı doğrusudur.   A B Ana Sayfaya Geri Dön

147 ÖRNEK Arg( z + 1 – i ) =135° eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının düzlemdeki görüntüsünü bulunuz. ÇÖZÜM Arg( z + 1 – i ) =135° Arg( z – ( – 1 + i ) =135° – ° Ana Sayfaya Geri Dön

148 ÖRNEK Arg( z – i ) = 90°, Arg( z + 1 ) = 60° eşitliklerini sağlayan z karmaşık sayını yazınız. ÇÖZÜM Arg( z – i ) = 90°  Arg( z – ( 0 + i ) ) = 90° Arg( z +1 ) = 60°  Arg( z – (– i ) ) = 60° – 1 60° 1 z =? Ana Sayfaya Geri Dön

149 ÖRNEK 90°  Arg( z – 1 ) < 135° eşitliklerini sağlayan z karmaşık sayılarını düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM y o 1 x 1 135° 90°  Arg( z – ( 1 + 0i ) ) < 135° Ana Sayfaya Geri Dön

150 z = a+ib = IzI.Cos  + i.IzI.Sin  = IzI.[ Cos  + iSin  ] = IzI.Cis  = IzI.[Cos(  +2k  )+iSin(  +2k  )] x y z = a +bi o a b  r = IzI Cos  = a I z I Sin  = b I z I  a = IzI.Cos   b = IzI.Sin  Tan  = b a KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL ( TRİGONOMETRİK ) GÖSTERİMİ Ana Sayfaya Geri Dön

151 ÖRNEK ÇÖZÜM z = 2.[Cos120° + iSin120°] z = – 1 + i sayısının kutupsal biçimde yazınız. y o 1 60° –1 30° I z I = 2 x z = IzI.[ Cos  + iSin  ] Argz = 180° – 60° = 120° z = 2.Cis120° Ana Sayfaya Geri Dön

152 ÖRNEK ÇÖZÜM z = – 1– i sayısını kutupsal biçimde yazınız. y o 1 60° –1 I z I = 2 x 30° Argz = 180° + 60° = 240° z = 2.[Cos240° + iSin240°] z = IzI.[ Cos  + iSin  ] z = 2.Cis240° Ana Sayfaya Geri Dön

153 ÖRNEK ÇÖZÜM z = 4 – 4i sayısını kutupsal biçimde yazınız. y 45° – 4 x 4 z = IzI.[ Cos  + iSin  ] z =.[Cos315° + iSin315°] z =.Cis315° Argz = 270° + 45° = 315° Ana Sayfaya Geri Dön

154 ÖRNEK ÇÖZÜM z = 5i sayısını kutupsal biçimde yazınız. y x 5 z = 5( Cos90°+ iSin90°) = 5Cis90° Ana Sayfaya Geri Dön

155 ÖRNEK ÇÖZÜM z = – 3i sayısını kutupsal biçimde yazınız. z = 3( Cos270°+ iSin270°) =3Cis270° y x – 3 Ana Sayfaya Geri Dön

156 ÖRNEK ÇÖZÜM z = 8 sayısını kutupsal biçimde yazınız. z = 8( Cos0°+ iSin0°) = 8Cis0° y x 8 Ana Sayfaya Geri Dön

157 ÖRNEK ÇÖZÜM – 1 z = 6( Cos210°+ iSin210°) sayısını standart biçimde yazınız. z = 6( Cos210° + iSin210 ) z = 6( – Cos30° – iSin30° ) z = 6( – – i ) z = –3 – 3i 3 y o 3 30° –3 I z I = 6 x 60° Ana Sayfaya Geri Dön Geometrik Çözüm ÇÖZÜM – 2

158 ÖRNEK ÇÖZÜM sayısını standart biçimde yazınız. z = Cis( ) 4 33 y o 4 45° –4 45° x 4 4 z = – 4+ 4i Ana Sayfaya Geri Dön

159 2010 LYS ÖRNEK z = 1+ i sayısının kutupsal biçimde yazınız. x y o 1  IzI = 2 ÇÖZÜM Argz = 60° z = 2( Cos60°+ iSin60° ) Ana Sayfaya Geri Dön

160 ÖRNEK ÇÖZÜM Kutupsal koordinatları ( 2, 200°) olan z karmaşık sayısını kutupsal biçimde yazınız. (2, 200°) = ( IzI,  ) olduğundan I z I = 2 ve Arg(z) = 200° dir. z = 2(Cos200°+iSin200°) = 2Cis200° Ana Sayfaya Geri Dön

161 ÖRNEK ÇÖZÜM z = 5 +12i karmaşık sayısını kutupsal biçimde yazınız. I z I = 13 =  tan  = 5 12  Arctan( tan  ) = Arctan ( ) 5 12  = Arctan ( ) 5 12 z = i = 13Cis( Arctan ) 5 12 Ana Sayfaya Geri Dön

162 HATIRLATMA Bütün Sınıf Kara Tahtada Coşar Sin230° = Sin(180°+ 50°) = – Sin50° Sin165° ° = sin(180° – 15°) = Sin15 Cos340° = Cos (360°– 20) = Cos20°  180° –  180° +  360°–  Sinüs Kosinüs Tanjant Kotanjant değerleri pozitiftir Sinüs değeri pozitif, diğerleri negatiftir Kotanjant ve Tanjant değeleri pozitif, diğerleri negatiftir Kosinüs değeri pozitif, diğerleri negatiftir Ana Sayfaya Geri Dön

163 ÖRNEK Aşağıda verilen karmaşık sayıların esas argümentlerini bulunuz. A) z 1 = Cos2009° + iSin2009° 0   < 360° olduğundan 2009°  209° (mod 360°) z 1 = Cos209° + iSin209° Arg( z 1 ) = 209° olur. B) z 2 = Cos37° + iCos53° z 2 = Cos37° + iSin37° Arg( z 2 ) = 37° olur. z = IzI.[ Cos  + iSin  ] X Ana Sayfaya Geri Dön

164 X C) z 3 = 6( Sin5° + iCos5°) z = IzI.[ Cos  + iSin  ] olduğundan z 3 = 6( Cos85° + iSin85°) olur. Arg( z 3 ) = 85° olur. 2.yol tan  = Cos5° sin5° = Cot5°= tan85°  = 85° 6 Sin5° > 0 ve 6Cos5° > 0 olduğundan z 3 birinci bölgededir. Arg( z 3 ) = 85° olur. Ana Sayfaya Geri Dön

165 X D) z 4 = 4( Sin160° + iCos340°) z = IzI.[ Cos  + iSin  ] olduğundan z 4 = 4( Sin20° + iCos20°) z 4 = 4( Cos70° + iSin70°) Arg( z 4 ) = 70° olur. Sin160° = Sin20° Cos340° = Cos20° 2.yol tan  = 4cos340° 4sin160°  = 70° 4 Sin160° > 0 ve 4Cos340° > 0 olduğundan z 4,birinci bölgededir. Arg( z 4 ) = 70° olur. cos20° sin20° = = cot20°= tan70° Ana Sayfaya Geri Dön

166 E) z 5 = Cos50° + iSin230° Sin230° = Sin( 180° + 50° ) = – Sin50° = Cos50° – iSin50° = Cos( – 50°) + iSin( – 50° ) = Cos( 310°) + iSin( 310° ) Arg( z 5 ) = 310° olur 2.yol tan  = sin230° cos50°  = 50° Cos50° > 0 ve sin230° < 0 olduğundan z 5 dördüncü bölgededir. Arg( z 5 ) = 360°– 50° = 310° olur. – sin50° Cos50° = = tan50° Ana Sayfaya Geri Dön

167 X F) z 6 = 7( – Cos15° + iSin15° ) z = IzI.[ Cos  + iSin  ] z 6 = 7(Cos165° + iSin165° ) Arg( z 6 ) = 165° olur Sin165° = sin( 180° – 15° ) = Sin15° Cos165° = Cos(180 – 15 ) = – Cos15° –7 Cos15° 0 olduğundan z 6 ikinci bölgededir. 2.yol  = 15° Arg( z 6 ) = 180°– 15° = 165° olur. tan  = 7sin15° – 7cos15° = tan15° –7 Cos15° 0 olduğundan z 6,ikinci bölgededir. Ana Sayfaya Geri Dön

168 G) z 7 = – 3( Sin66° + iCos66°) –7 Cos24° < 0 ve – 3Sin24° < 0 olduğundan z 7, 3. bölgededir. Arg( z 7 ) = 180° + 24° = 204° olur tan  = – 3cos66° – 3sin66° = cot66 = tan24°  = 24° Ana Sayfaya Geri Dön

169 H) z 8 = Cos40°– iSin40° Arg( z 8 ) = 360° – 40° = 320° olur tan  = – sin40° cos40° = tan40°  = 40° Cos40° > 0 ve –Sin40° < 0 olduğundan z 8, 4. bölgededir. Ana Sayfaya Geri Dön

170 J) z 9 = Sin50° + iCos310° Arg( z 8 ) = 40° olur Sin50° > 0 ve cos310° > 0 olduğundan z 8, 1. bölgededir. tan  = cos310° sin50° = cot50° = tan40  = 40° cos50° sin50° = Ana Sayfaya Geri Dön

171 ÖRNEK z = Sin70° + i( 1+ Cos70°) ise Argz kaç derecedir? ÇÖZÜM – 1 z = Sin70° + i( 1+ 2Cos 2 35° – 1 ) Cos2a = 2Cos 2 a – 1 z = Sin70°+ i2Cos 2 35° z = 2Sin35°.Cos35° + i2Cos 2 35° z = 2Cos35°.[ Sin35° + iCos35° ] z = 2Cos35°.[ Cos55° + iSin55° ] IzI Argz = 55° Ana Sayfaya Geri Dön

172 ÖRNEK z = Sin70° + i( 1+ Cos70°) ise Argz kaç derecedir? ÇÖZÜM – 2 Cos2a = 2Cos 2 a – 1 tan  = 1+ cos70° sin70° 1+2cos 2 35°– 1 2sin35°.cos35° = 2cos 2 35° 2sin35°.cos35° = cos35° sin35° = = cot35° = tan55 Argz = 55° Ana Sayfaya Geri Dön

173 ÖRNEK z = Sin70° + i( 1+ Cos70°) ise Argz kaç derecedir? ÇÖZÜM – 3 z = Sin70° + i( 1+ Cos70°) = i + Sin70°+ iCos70° z1z1 z2z2 = i + Cos20°+ iSin20° i z1z1 z2z2 Iz 1 I = 1 Iz 2 I = 1 20° 35° I z 2 I = I Cos20°+ iSin20° I = 1 Eşkenar dörtgende köşegenler açıortaydır. Argz = Arg( z 1 +z 2 ) = 20°+35°= 55° Ana Sayfaya Geri Dön

174 ÖRNEK ÇÖZÜM – 4 z = i + cos20° + iSin20° z = Cos90° + iSin90° + cos20°+ iSin20° z = Cos90°+cos20° + i[ Sin90°+Sin20° ] z = 2Cos55°.Cos35° + i[ 2Sin55°.Cos35° ] z = 2Cos35°.[ Cos55° + iSin55° ] IzI Argz = 55° z = Sin70° + i( 1+ Cos70°) = i + Sin70°+ iCos70° z = Sin70° + i( 1+ Cos70°) ise Argz kaç derecedir? Ana Sayfaya Geri Dön

175 ÖRNEK z = 1+ Cos52° + iSin52° ise Argz kaç derecedir? ÇÖZÜM- 1 z = 1+ 2Cos 2 26 – 1+ i2Sin26°.Cos26° z = 2Cos i2Sin26°.Cos26° Cos2a = 2Cos 2 a – 1 Sin2a = 2SinaCosa z = 2Cos26 [ Cos26° + iSin26° ] IzI Argz = 26° ( Sorunun geometrik çözümü öğrenciye bırakılmıştır.) Ana Sayfaya Geri Dön

176 ÖRNEK z = 1+ Cos52° + iSin52° ise Argz kaç derecedir? ÇÖZÜM – 2 Cos2a = 2Cos 2 a – 1 Sin2a = 2SinaCosa Ana Sayfaya Geri Dön tan  = sin52° 1+cos52° 1+2cos 2 26°– 1 2sin26°.cos26° = 2cos 2 26° 2sin26°.cos26° = sin26° cos26° = = tan26 Argz = 26°

177 ÖRNEK I z + 4i I = 2 eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarından esas argümenti en küçük olanın esas argümenti kaç derecedir? ÇÖZÜM I z + 4i I = 2 eşitliğinden M( 0,– 4 ) ve r = 2 br olan çember elde edilir. – 2 – 4 – ° z karmaşık sayıları şekildeki çember üzerindedir.Bu sayılar içinde argümenti en küçük olan T değme noktasındaki sayıdır. T Argz = 270° – 30° = 240° Neden 30° Ana Sayfaya Geri Dön

178 UYARI z ile z karmaşık sayılarının reel eksene göre simetrik olduklarını ve modüllerinin eşit olduğunu biliyoruz Arg( z ) =   Arg( z ) = 2  –   –  IzI 2  –  z z Ana Sayfaya Geri Dön

179 UYARI z – z   +  z ile –z karmaşık sayılarının orijine göre simetrik olduklarını ve modüllerinin eşit olduğunu biliyoruz Arg( z ) =   Arg( – z ) =  +  Ana Sayfaya Geri Dön

180 ÖRNEK z = 3Cis205° ise Arg( z ) kaç derecedir? ÇÖZÜM z = I z I( Cos  + iSin  ) ise Arg( z ) = 2  –  Arg( z ) = 360° – 205° = 155° Ana Sayfaya Geri Dön

181 ÖRNEK ÇÖZÜM 360 – 40 z = Cos40°+ iSin40° ise Arg( – z ) kaç derecedir? z = I z I( Cos  + iSin  ) ise Arg( z ) = 2  –  z = I z I( Cos  + iSin  ) ise Arg( –z ) =  +   Arg( z ) = 320° Arg( z ) = Arg( –z ) = 180° + 320° = 500° Esas argüment [ 0, 360° ) arasında olmak zorundadır. Arg( –z ) = 500°– 360° = 140° Ana Sayfaya Geri Dön

182 KUTUPSAL BİÇİMDEKİ KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM 1 – TOPLAMA – ÇIKARMA Kutupsal biçimde verilen iki karmaşık sayıyı toplar veya çıkarırken esas argümentlere bakılır.Esas argümentleri kolayca bulunabilen 30,45,60,…gibi açılar ise sayılar standart biçime çevirilir sonra toplama veya çıkarma yapılır. Esas argümentlerin trigonometrik değerleri kolayca bulunamıyorsa modüllere bakılır.Modüler eşit ise trigonometrik dönüşüm formülleri ya da geometrik çözüm kullanılır.Modüller eşit değilse geometrik çözüme başvurulur. Bazı durumlarda geometrik çözüm bizim için en ideal çözüm olacaktır. Ana Sayfaya Geri Dön

183 ÖRNEK z 1 = 4( Cos30° + iSin30°), z 2 = ( Cos135°+ isin135°) karmaşık sayıları için z 1 +z 2 = ? 22 ÇÖZÜM z 1 = 4( Cos30° + iSin30°) = 4 ( ) = + 2i 32 z 2 = ( Cos135°+ isin135°) = ( ) = – 2 + 2i z 1 + z 2 = – 2 + 4i 32 Ana Sayfaya Geri Dön

184 ÖRNEK z 1 = 2( Cos20° + iSin20°), z 2 =2( Cos80°+ isin80°) karmaşık sayıları için z 1 +z 2 işlemini kutupsal biçimde yazın. ÇÖZÜM – 1 I z 1 I = 2 = Iz 2 I olduğundan dönüşüm formülleri kullanılabilir. z 1 + z 2 = 2( Cos20° + iSin20°) + 2( Cos80°+ isin80°) z 1 + z 2 = 2 [ ( Cos20° + Cos80°) + i( Sin20°+ sin80°) z 1 + z 2 = 2 [ 2Cos50°Cos30°) + i( 2Sin50Cos30°) z 1 + z 2 = 2.2Cos30°.[ Cos50°+ iSin50 ] z 1 + z 2 = Cis50° 32 Ana Sayfaya Geri Dön

185 ÖRNEK z 1 = 2( Cos20° + iSin20°), z 2 =2( Cos80°+ isin80°) karmaşık sayıları için z 1 +z 2 işlemini kutupsal biçimde yazın. ÇÖZÜM – 2 Z2Z2 Z1Z1 Z 1 + Z 2 0 B A C 20° 60° 30° z 1 + z 2 = Cis50° 32 Ana Sayfaya Geri Dön

186 ÖRNEK ÇÖZÜM z 1 = Cis33°, z 2 = Cis153° I z 1 – z 2 I = ? I z 1 – z 2 I =I z 1 – z 2 I I z 1 – z 2 I ifadesinin karmaşık düzlemde z 1 ve z 2 arasındaki uzaklık belirttiğini hatırlayalım. 1 1 z1z1 z2z2 33° 120° I z 1 – z 2 I = Ana Sayfaya Geri Dön

187 ÖRNEK ÇÖZÜM z 1 = 4Cis40°, z 2 = 3Cis130° karmaşık sayıları arasındaki uzaklığı bulunuz. 3 4 z1z1 z2z2 40° 90° I z 1 – z 2 I = 5 Ana Sayfaya Geri Dön

188 KUTUPSAL BİÇİMDEKİ KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM 2 – ÇARPMA z 1 = I z 1 I( Cos  1 + iSin  1 ), z 2 = I z 2 I( Cos  2 + iSin  2 ) olsun. z 1.z 2 = I z 1 I( Cos  1 + iSin  1 ). I z 2 I( Cos  2 + iSin  2 ) = Iz 1 IIz 2 I[(cos  1 cos  2 –sin  1 sin  2 )+i[sin  1 Cos  2 + cos  1 Sin  2 )] = Iz 1 IIz 2 I[ ( cos (  1 +  2 ) + i [ ( sin (  1 +  2 ) ] Ana Sayfaya Geri Dön

189 KUTUPSAL BİÇİMDEKİ KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM 2 – BÖLME z 1 = I z 1 I( Cos  1 + iSin  1 ), z 2 = I z 2 I( Cos  2 + iSin  2 ) olsun. I z 1 I( Cos  1 + iSin  1 ) = I z 2 I( Cos  2 + iSin  2 ) z1z1 z2z2 I z 1 I( Cos  1 + iSin  1 ) = I z 2 I( Cos  2 + iSin  2 ) ( Cos  2 – iSin  2 ) I z 1 I = I z 2 I z1z1 z2z2 ( cos (  1 –  2 ) + i [ ( sin (  1 –  2 ) ] … Ana Sayfaya Geri Dön

190 ÖRNEK z = 4( sin20° + iSin70°) 2(cos15° + icos75°)( cos10° + isin10°) olduğuna göre z karmaşık sayısını a +ib biçiminde yazınız. ÇÖZÜM z = 4( cos70° + isin70°) 2( cos15° + isin15°)( cos10° + isin10°) = 4cis70° 2cis(15° + 10) = 4cis70° 2cis25° = 2cis ( 70°– 25° ) = 2cis45° = 2 ( ) = cos70° sin15° Ana Sayfaya Geri Dön

191 ÖRNEK z = –2i cos20°– isin20° olduğuna z karmaşık sayısını kutupsal biçimde yazınız. z = 2( cos270 + isin270 ) cos340°+ isin340° ÇÖZÜM = 2cis ( 270° – 340° ) = 2cis (– 70° ) = 2cis290°  = 20° Cos20° > 0 ve –Sin20° < 0 olduğundan z 8, 4. bölgedir. cos20°– isin20° sayısının argümenti 340° dir tan  = – sin20° cos20° = tan20° Ana Sayfaya Geri Dön

192 ÖRNEK 2009 MAT-2 z = cos75° + isin75° cos15°+ isin15° karmaşık sayısını a +ib biçiminde yazınız. ÇÖZÜM z = cos75 + isin75 cos15°+ isin15° = cos(75° – 15°) + isin(75° – 15°) = cos60°+ isin60° Ana Sayfaya Geri Dön

193 ÖRNEK A( z 1 ) B( z 2 ) x y Yandaki şekilde z 1 ve z 2 karmaşık sayılarının düzlemdeki görüntüsü verilmiştir.I z 1 I = I z 2 I ve m(AOB) = 90° olduğuna göre, z1z1 z2z2 = ? ÇÖZÜM  90° –   = 1 2 z z I z I.Cis(  ) I z I.Cis(  ) = Cis(  –  ) = Cis( 270 ) = – i Ana Sayfaya Geri Dön

194 ÖRNEK z = 3Cis50° olduğuna göre z -1 sayısını kutupsal biçimde yazınız. ÇÖZÜM z -1 = 3cis50° 1 z 1 = cis0° = = cis ( 0 – 50° ) 3 1 = cis ( – 50° ) 3 1 = cis310° 3 1 Ana Sayfaya Geri Dön

195 BİR KARMAŞIK SAYININ ORİJİN ETRAFINDA DÖNDÜRÜLMESİ z =r.Cis  rr z' =r.Cis(  +  )   r  R +, 0° <  < 360° olmak üzere z=r.Cis  karmaşık sayısının karmaşık düzlemde başlangıç noktası(orijin) etrafında pozitif yönde  kadar döndürülmesiyle elde edilen yeni karmaşık sayıyı bulalım. Elde edilen yeni karmaşık sayıyı z' ile gösterirsek z' =r.Cis(  +  ) veya z' = r.(Cis  ).(cis  ) = z.Cis  Negatif yönde  kadar dönmesi z' =z.Cis(–  ) anlamına gelir. Ana Sayfaya Geri Dön

196 ÖRNEK z = 4(Cos20°+iSin20°) karmaşık sayısının orijin etrafında, pozitif yönde 100° döndürülmesi ile oluşan sayıyı bulunuz. ÇÖZÜM – 1 z =4.Cis20 44 z'z' 20° 100° z' = 4Cis120 4 z'z' 120° 2 60° –2 30° z' = – i Ana Sayfaya Geri Dön

197 ÖRNEK z = 4(Cos20°+iSin20°) karmaşık sayısının orijin etrafında, pozitif yönde 100° döndürülmesi ile oluşan sayıyı bulunuz. ÇÖZÜM – 2 Elde edilen yeni karmaşık sayıyı z' ile gösterirsek z' =rCis(  +  ) veya z' = r(Cis  ).(cis  ) = z.Cis  z' = z.Cis100°  z' = 4Cis20°.Cis100° z' = 4Cis120° ( Çarpmada açılar toplanırdı. ) 4 z'z' 120° 2 60° –2 30° z' = – i Ana Sayfaya Geri Dön

198 ÖRNEK z=2(Cos222°+iSin222°) karmaşık sayısının orijin etrafında, negatif yönde 42° döndürülmesi ile oluşan sayıyı bulunuz. ÇÖZÜM – 1 42° z =2.Cis222° 2 42° z' = –2 2 Ana Sayfaya Geri Dön

199 ÖRNEK z=2(Cos222°+iSin222°) karmaşık sayısının orijin etrafında, negatif yönde 42° döndürülmesi ile oluşan sayıyı bulunuz. ÇÖZÜM – 2 Elde edilen yeni karmaşık sayıyı z' ile gösterirsek z' =rCis(  +  ) veya z' = r(Cis  ).(cis  ) = z.Cis  z' = z.Cis( – 42°)  z' = 2Cis222°.Cis( – 42° ) z' = 2Cis180° ( Çarpmada açılar toplanırdı. ) z' = 2Cis180° x -2 y 180° z' = – 2 Ana Sayfaya Geri Dön

200 ÖRNEK z= 1 + i karmaşık sayısının orijin etrafında, pozitif yönde 75° döndürülmesi ile oluşan sayıyı bulunuz. ÇÖZÜM x y z = 1 + i = ( 1, 1 ) o ° z = Cis45° Elde edilen yeni karmaşık sayıyı z' ile gösterirsek z' =rCis(  +  ) veya z' = r(Cis  ).(cis  ) = z.Cis  z' = z.Cis75° z' =z' = ( Çarpmada açılar toplanırdı. ) Cis45°.Cis75° z' =z' = Cis120° z' =z' = Ana Sayfaya Geri Dön

201 ÖRNEK z= 3+4i karmaşık sayısının orijin etrafında, pozitif yönde 90° döndürülmesi ile oluşan sayıyı bulunuz. ÇÖZÜM Arg(z) değerini bilmediğimizden ve geometrik çözüm zor olacağından z' = z.Cis  yı kullanmak daha doğru olacaktır. z' = z.Cis90°  z' = ( 3 + 4i ).Cis90° z' = ( 3 + 4i ).(0 + i ) z' = 3i + 4i 2 z' = – 4 + 3i Ana Sayfaya Geri Dön

202 ÖRNEK z = 3 + 5i karmaşık sayısı orijin etrafında, pozitif yönde en az kaç derece döndürülürse (– 5+3i ) sayısı elde edilir? ÇÖZÜM z' = z.Cis   – 5 + 3i = ( 3 + 5i ).Cis  Cis  = – 5 + 3i 3 + 5i Cis  = i Cis  = Cis90°   = 90° Ana Sayfaya Geri Dön Arg(z) değerini bilmediğimizden geometrik çözüm zor olacağından z' = z.Cis  yı kullanmak daha doğru olacaktır,

203 BİR KARMAŞIK SAYININ KUVVETİ ( DE MOİVRE KURALI ) Bir z karmaşık sayısının herhangi bir tam kuvvetini hesaplamak için z’yi kutupsal biçimde yazmak kolaylık sağlar. r  R +, 0    360° olmak üzere z karmaşık sayısının kutupsal biçimi; z = r.Cis  olsun. z 2 = z.z = r.Cis .r.Cis  = r 2.Cis2  z 3 = z 2.z = r 2.Cis2 . r.Cis  = r 3 Cis3  z 4 = z 3.z = r 3.Cis3 . r.Cis  = r 4 Cis4  z n = r n Cis ( n  ) … Bu son eşitlik De Moivre Kuralı olarak adlandırılır. Ana Sayfaya Geri Dön

204 ÖRNEK z = cis18° olduğuna göre z 20 sayısının reel kısmı kaçtır? ÇÖZÜM z = cis18°z 20 = cis( 20.18°)  z 20 = cis360° z 20 = cos360° + isin360° z 20 = 1 + i.0 z 20 = 1 Re( z 20 ) = 1 Ana Sayfaya Geri Dön

205 ÖRNEK z=3cis20° olduğuna göre z 30 sayısını hesaplayınız. ÇÖZÜM z = 3cis20°z 30 = 3 30.cis( 30.20°)  z 30 = 3 30 cis600° z 30 = 3 30.cis240° z 30 =3 30.         – i – ; cis240° = cos240° + isin240° ; cis600° = cis240°( esas ölçü ) Ana Sayfaya Geri Dön

206 ÖRNEK ( 1 + i ) 10 sayısını hesaplayınız. ÇÖZÜM sayısını kutupsal biçimde yazalım. ( 1 + i ) tan  = 1   =60° sayısının birinci bölgede olduğu âşikârdır. ( 1 + i )I ( 1 + i ) I = 2( 1 + i ) 10 = ( 2cis60° ) 10 = 2 10 cis(10.60°) = 2 10.cis600° = 2 10.cis240° =2 10. = – 2 9.( ) Ana Sayfaya Geri Dön

207 2012-LYS ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön

208 ÖRNEK işleminin en sade halini yazınız π cis π 3 1 π 9 11 cis                   ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön

209 ÖRNEK z=2cis25°olduğuna göre z –41 sayısını hesaplayınız. ÇÖZÜM z = 2cis25°z – 41 = 2 –41.cis( – 41.25°)  = 2 –41.cis( –1025°) = 2 –41.cis55° Ana Sayfaya Geri Dön

210 UYARI Argz =   Arg( z -1 ) = 2  –  ? MİNNACIK BİR İSPAT z = r.cis  = r.( cos  + isin  ) olsun z -1 = r –1 cis ( –  ) = r –1 cis ( 2  –  ) olup Arg( z -1 ) = 2  –  dır. Ana Sayfaya Geri Dön

211 SONUÇLAR  Arg ( z 1. z 2 ) = Arg( z 1 ) + Arg( z 2 ) =  1 +  2 z 1 = I z 1 I( Cos  1 + iSin  1 ), z 2 = I z 2 I( Cos  2 + iSin  2 ) olsun. z1z1 z2z2 Arg[ ] = Arg( z 1 ) – Arg( z 2 ) =  1 –  2   Arg ( z n ) = n.Arg( z ) = n  Arg( z ) =   Arg( z ) = 2  –    Arg( z ) =   Arg( – z ) =  +   Arg( z ) =   Arg( z -1 ) = 2  –  Ana Sayfaya Geri Dön

212 ÖRNEK karmaşık düzlemdeki görüntüsünü çiziniz. eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının ÇÖZÜM z1z1 z2z2 Arg[ ] = Arg( z 1 ) – Arg( z 2 ) =  1 –  2 Argümenti 270 olan bir karmaşık sayının reel kısmı 0 ve sanal kısmı 0 dan küçük olduğundan Buradan x 2 +y 2 =1 ve y > 0 bulunur. Ana Sayfaya Geri Dön

213 ÖRNEK Arg(z 1.z 2 ) = 40°, Arg( z 2.z 3 ) = 60°, Arg(z 1.z 3 ) = 50° olduğuna göre Arg( z 1 z 2 z 3 ) değeri kaçtır? ÇÖZÜM Arg(z 1 ) =  olsun. Arg(z 2 ) =  olsun. Arg(z 3 ) =  olsun. Arg(z 1.z 2 ) = 40° ise  +  = 40° Arg(z 2.z 3 ) = 60° ise  +  = 60° Arg(z 1.z 3 ) = 50° ise  +  = 50° 2(  +  +  ) = 150° (  +  +  ) = 75° Arg( z 1.z 2.z 3 ) =  +  +  = 75° + Ana Sayfaya Geri Dön

214 ÖRNEK 15° 20° 10° Yandaki şekle göre z 1.z 2 ( z 3 ) 2 Arg[ ] = ? ÇÖZÜM z 1.z 2 ( z 3 ) 2 Arg[ ] = Arg(z 1.z 2 ) – Arg(z 3 ) 2 =  1 +  2 – 2  3 = 15° + 160° – 2.260° = – 345° = 15° Ana Sayfaya Geri Dön z1z1 z2z2 z3z3

215 ÖRNEK Arg( z 20 ) = 200°, IzI=1 olduğuna göre z 30 sayısının imajiner kısmı kaçtır? ÇÖZÜM Arg ( z n ) = n.Arg( z ) = n  Arg ( z 20 ) = 20.Arg( z ) = 20  = 200°  = 10° z 30 = 1 30.cis( 30.10°) = cis300° 30° 1 z = İm( z 30 ) = Ana Sayfaya Geri Dön

216 ÖRNEK ÇÖZÜM 2 z 1 = – i, z 2 = 1 + i olduğuna göre Arg( z 1 z 2 )kaç radyandır? Arg ( z 1 ) = 270° Arg ( z 2 ) = 45° Arg( z ) =   Arg( z ) = 2  –  Arg( z 1 z 2 ) = 2 Arg( z 1 ) +Arg( z 2 ) 2 Arg( z 1 ) +Arg( z 2 )2. = = 90° ° =180° =  Ana Sayfaya Geri Dön

217 ÖRNEK z = Cos + iSin ise Arg( z -1 ) kaç radyandır? 44 3 44 3 ÇÖZÜM Arg( z -1 ) = 2  – 44 3 = 22 3 z = I z I( Cos  + iSin  ) ise Arg(z -1 ) = 2  –  Ana Sayfaya Geri Dön

218 BİR KARMAŞIK SAYININ n. DERECEDEN KÖKLERİ z,w  C ve n  Z + olmak üzere z n = w eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının her birine w karmaşık sayısının n.dereceden bir kökü denir. z k =.Cis( )  + 2k  n z n = w = I z I.Cis(  ) = I z I.Cis(  + 2k  ) sayısının n.dereceden kökleri, z  0 olmak üzere z n = w eşitliğini sağlayan birbirinden farklı n tane kök vardır. Bu kökler karmaşık düzlemde, merkezi orijin ve yarıçap uzunluğu birim olan çemberin üzerinde eşit aralıklarla ( 2  / n radyanlık açı farkıyla ) sıralanır. Ana Sayfaya Geri Dön

219 ÖRNEK z 3 = 8i eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısının küp köklerini bulunuz. ÇÖZÜM z 3 = 8i = 8Cis90° Ardışık kökler arasındaki açı artış miktarı 120°dir.O halde, z 1 = 2Cis150° z 2 = 2Cis270° z 0 = Cis( ) 3 90 ° = 2Cis30° z 0,z 1,z 2 kökleri, yarıçapı 2 birim olan bir çember üzerinde argümentleri arasındaki fark 120° olacak şekilde sıralanır.Bu üç kök bir eşkenar üçgenin köşeleridir. = + i= – + i = – 2i z0z0 z2z2 z1z1 30° 120° 30° Ana Sayfaya Geri Dön

220 ÖRNEK z 4 = – 16 eşitliğini sağlayan kökleri bulunuz. ÇÖZÜM z 4 = – 16 = 16Cis180° Ardışık kökler arasındaki açı artış miktarı 90° dir.O halde, z 1 = 2Cis135° z 2 = 2Cis225° z 0 = Cis( ) ° = 2Cis45° z 3 = 2Cis315° = + i= – + i= – – i = – i z0z0 z2z2 z1z1 z3z3 45° 90° 45° z 0, z 1, z 2, z 3 kökleri, yarıçapı 2 birim olan bir çember üzerinde argümentleri arasındaki fark 90° olacak şekilde sıralanır.Bu dört kök bir karenin köşeleridir. Ana Sayfaya Geri Dön

221 ÖRNEK z 5 = 32Cis50° olduğuna göre z’ nin alabileceği değerleri bulalım ve karmaşık düzlemde gösterelim. ÇÖZÜM z 5 = 32Cis50° Ardışık kökler arasındaki açı artış miktarı 72° dir.O halde, z 1 = 2Cis (10°+ 72° ) = 2Cis82° z 2 = 2Cis ( 82°+72° ) = 2Cis154° z 0 = Cis( ) 5 50 ° = 2Cis10° z 3 = 2Cis (154°+72°) = 2Cis226° z 4 = 2Cis (226°+72°) = 2Cis298° z0z0 z3z3 z2z2 z4z4 z1z Ana Sayfaya Geri Dön

222 ÖRNEK sayısının karekökleri bulunuz. z 2 = i ÇÖZÜM = 4cis60° z 2 = i z 0 = 2Cis30° = (Ardışık kökler arasındaki açı artış miktarı 180° dir.) z 1 = 2Cis210° = + i– – i z 0 = – z 1 Ardışık kökler arasındaki açı artış miktarı 180°olduğundan karekökler, orijine göre simetriktir.Yani; Ana Sayfaya Geri Dön

223 xxxxxxxx ÖRNEK karmaşık sayısı için, olduğuna göre,IzI kaçtır? ÇÖZÜM w 2 = 2i =2cis90  w 0 = Cis45° = 1 + iw 1 = Cis225° = – ( 1 + i )  Ana Sayfaya Geri Dön

224 ÖRNEK 2008 z 1 ve z 2 karmaşık sayıları z 2 = i denkleminin kökleridir. Karmaşık düzlemde z 1 ve z 2 noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? ÇÖZÜM z 2 = i =cis90  z 1 = Cis45° z 2 = Cis225°  I z 1 I = 1  I z 2 I = 1 I z 1 – z 2 I = 2 z 2 = – z 1 Ardışık kökler arasındaki açı artış miktarı 180°olduğundan karekökler,orijine göre simetriktir.Yani; Ana Sayfaya Geri Dön

225 ÖRNEK z 4 = 6 – 8i karmaşık sayısının kökleri A, B, C ve D noktalarıdır. Bu köklerin karmaşık düzlemde oluşturduğu ABCD dörtgeninin alanı kaç br 2 dir? ÇÖZÜM I z 4 I = I 6 – 8i I I z I 4 = I z I = Ardışık kökler arasındaki açı artış miktarı 90° dir. O halde köşegen uzunluğu olan karenin alanı 4 10, 2 A B C D3D3 Ana Sayfaya Geri Dön

226 ÖRNEK z = 3 + 4i sayısının kareköklerini bulunuz. ÇÖZÜM z = 3 + 4i sayısını kutupsal biçimde yazmakta zorlandığımızdan aşağıdaki yöntemi kullanmak gerekmektedir. z = 3 + 4i sayısının kareköklerini bulunuz.Yani; w 2 = 3 + 4i ( x + iy ) 2 = 3 + 4i ( x,y  R ) x 2 + 2ixy – y 2 = 3 +4i x 2 – y 2 = 32xy = 4 y =y = x 4 – 3x 2 – 4 = 0 (x 2 – 4)(x 2 + 1) = 0 x =  2 x = 2 ise y = 1 olup w 1 = 2 + i x =– 2 ise y = –1, w 2 = –2 – i  < 0 ( Reel kök yok ) Ana Sayfaya Geri Dön

227 UYARI x,y  R olmak üzere z = x+iy sayısını kutupsal biçime çevirmek bazen kolay olmayabilir.Böyle bir durumda z karmaşık sayısının kare köklerini bulmak için aşağıdaki formülleri kullanabiliriz: z = x+iy sayısının karekökleri z 0 ve z 1 olmak üzere, 1) İm( z ) = y > 0 ise 2) İm( z ) = y < 0 ise Ana Sayfaya Geri Dön

228 ÖRNEK z = 3 + 4i sayısının kareköklerini bulunuz. ÇÖZÜM I z I = 5 z 0 = 2 + i z 1 = –2 – i Ana Sayfaya Geri Dön

229 UYARI x  R, y  R – olmak üzere ( x + 2 ) karmaşık sayısının karekökleri pratik olarak şu şekilde de bulunabilir. y = m.n ve x = m + n olacak şekilde m, n  R varsa karekökler  ( ) karmaşık sayılarıdır. Benzer olarak ( x – 2 ) karmaşık sayısının kökleri de  ( ) karmaşık sayılarıdır. Ana Sayfaya Geri Dön

230 ÖRNEK z = 3 + 4i sayısının kareköklerini bulunuz. ÇÖZÜM z = 3 + 4i = – 1 z 0 = 2 + iz 1 = –2 – i Ana Sayfaya Geri Dön

231 ÖRNEK z = 5 – 12i sayısının kareköklerini bulunuz. ÇÖZÜM z = 5 – 12i = 5 – 2 9 – 4 z 0 = –3 + 2iz 1 = 3 – 2i Ana Sayfaya Geri Dön

232 ÖRNEK z = 7 – 24i sayısının kareköklerini bulunuz. ÇÖZÜM z = 7 – 24i = 7 – 2 16 – 9 z 0 = – 4 + 3iz 1 = 4 – 3i Ana Sayfaya Geri Dön

233 UYARI z, w, z 0, z 1  C olmak üzere z 2 = w eşitliğini sağlayan sayılar z 0, z 1 ise 1) z 0,z 1 karmaşık sayıları w karmaşık sayısının karekökleridir.Yani, z 0 = w ve z 1 = w 2) z 0, z 1 başlangıç noktasına (orijine ) göre simetriktir.Yani; z 0 = – z 1 3) Karekökler çarpımı = z 0.z 1 = – z 1 = w 4) Kökler toplamı sıfırdır Ana Sayfaya Geri Dön

234 ÖRNEK z – 8i = 0 denkleminin kökleri z 1 ve z 2 ’dir.Buna göre z 1 z 2 – z 1 – z 2 ifadesinin sonucu nedir? ÇÖZÜM z 2 = – 5 + 8i z 1 z 2 = – z 2 = 5 – 8i z 1 +z 2 = 0 olup z 1 z 2 – z 1 – z 2 = z 1 z 2 – ( z 1 +z 2 ) = 5 – 8i UYARI z n = a+ bi eşitliğini sağlayan kökler toplamı sıfırdır. Ana Sayfaya Geri Dön

235 Ana Sayfaya Geri Dön KAYNAKÇA : 1- MATEMATİK VADİSİ YAYINLARI 11.SINIF MATEMATİK 2- ALTIN KİTAPLAR YAYINLARI LİSE-3 MATEMATİK 3- MEB 11.SINIF MATEMATİK KİTABI DERS KİTABI 4- BİREY YAYINLARI 11.SINIF MATEMATİK 5- KAREKÖK YAYINLARI MATEMATİK – 4 6- İNKILAP YAYINLARI LİSE-3 MATEMATİK 7- KÜRE YAYINLARI LİSE-3 MATEMATİK 8- FEM YAYINLARI 11.SINIF MATEMATİK 9- AÇI YAYINLARI 11.SINIF MATEMATİK 10- UĞUR YAYINLARI MATEMATİK 11- FEM ÖĞRETMEN DERGİSİ 12- SINAV DERGİSİ 13-ZİHİNSEL MATEMATİK ( MEGA HAFIZA EĞİTİM MERKEZİ )


"HER GENÇ MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR www.muratguner.net MURAT GÜNER KELKİT- 2012." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları