Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

TANIM: x 2 +1 = 0 denkleminin gerçel sayılar kümesinde çözümü olmadığını biliyoruz.(  <0) x 2 +1 = 0 denkleminin çözülebildiği ve gerçel sayılar kümesini.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "TANIM: x 2 +1 = 0 denkleminin gerçel sayılar kümesinde çözümü olmadığını biliyoruz.(  <0) x 2 +1 = 0 denkleminin çözülebildiği ve gerçel sayılar kümesini."— Sunum transkripti:

1

2

3 TANIM: x 2 +1 = 0 denkleminin gerçel sayılar kümesinde çözümü olmadığını biliyoruz.(  <0) x 2 +1 = 0 denkleminin çözülebildiği ve gerçel sayılar kümesini kapsayan daha geniş sayılar kümesi olan karmaşık sayılar kümesini oluşturacağız. Reel sayılar kümesinin kendisi ile çarpımı olan RxR kümesini C ile gösterelim. C = {a + bi ; a,b  R ve i 2 = } kümesine KARMAŞIK SAYILAR kümesi denir.

4 İ - SAYISININ KUVVETLERİ  -5 =  -1.  5 = i 55  -9 =  9.  -1 = 3i x2 x2 +1 = 0 denkleminde x2 x2 = -1  x =  -1 olur. i =  -1 i sayısının herhangi bir kuvveti bulunurken kuvvetin 4 ile bölümündeki kalan i’nin kuvvetine yazılır. alınırsa

5 KALAN SONUÇ 0 ise1 1 i 2 3 ise-i i2 i2 = i.i = (  -1)(  -1) = i3 i3 =i 2.i = (-1)i = -i i 4 = i 2.i 2 = (-1)(-1) = 1

6 ÖRNEKLER 1) i 21 = ? 2) i 543 = ? 3) P(x) = 4x x x x 24 ise P(i) = ? 4) P(x) = x3 x3 + x - 1 olduğuna göre P(  -4) = ?

7 KARMAŞIK SAYILARIN STANDART BİÇİMİ Elemanları a +bi şeklinde olan kümeye karmaşık sayılar kümesi adı verilir. C ile gösterilir. Her (a,b) karmaşık sayısı a+bi biçiminde yazılır ki bu yazılışa karmaşık sayının standart biçimi denir. z = a+bi şeklinde gösterilir. Herhangi bir z = a+bi karmaşık sayısında a reel sayısına z’nin gerçel (reel) kısmı, b reel sayısına da z’nin sanal (imajiner) kısmı denir. z = a+bi ise Re(z) = a ve Im(z) = b dir.

8 ÖRNEKLER 1) z = 5 isez = 5 + 0iRe(z) = 5 ve Im(z) = 0 2) z = 3i isez = 0+3iRe(z) = 0, Im(z) = 3 3) z = (-3-4i).(1+i)= 1-7iRe(z) = 1, Im(z) = -7

9 KARMAŞIK SAYILARIN EŞİTLİĞİ İki karmaşık sayının karşılıklı olarak gerçel ve sanal kısımları kendi aralarında eşitse bu iki karmaşık sayı eşittir denir. z1 z1 = a+bi ve z2 z2 = c+di karmaşık sayıları için; z1 z1 = z 2  a = b ve c = d dir. ÖRNEKLER 1) z1 z1 = 2x+3i+y ve z2 z2 = xi+2+yi karmaşık sayıları eşit olduğuna göre (x,y) sayıları nedir? 2) 3x+2y+(2x-y)i = 1-4i eşitliğini sağlayan x ve y sayılarını bulunuz. 3) 2i+  5 = 3-2xi+  20.i-y ise x ve y’yi bulunuz.

10 KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ z = a+bi karmaşık sayısının eşleniği a-bi dir ve - z ile gösterilir. z = a+bi ise - z = a-bi ÖRNEKLER 1) z = 3+4i ise - z = 3-4i 2) z = -2-iise - z = -2+i 3) z = 4ise - z = 4 4) z =-2iise - z = 2i

11 KARMAŞIK SAYILAR KÜMESİNDE İŞLEMLER TOPLAMA-ÇIKARMA İki karmaşık sayının toplamında ve çıkarmasında, gerçel kısımlar kendi aralarında, sanal kısımlar da kendi aralarında toplanır ve çıkarılır. z 1 = a+bi ve z 2 = c+di olsun. z 1 +z 2 =(a+c)+(b+d)i z 1 - z2 z2 =(a-c)+(b-d)iz 1 +(-z 2 ) = ÖRNEKLER 1) z1 z1 = 3-2i ve z 2 = -4+5i ise z1 z1 + z2 z2 = ? 2) z1 z1 = -2+6i ve z 1 +z = -4i ise z’nin eşiti nedir?

12 ÇARPMA Normal çarpma işlemi yapılır. İşlem neticesinde i’nin kuvvetlerinin değeri bulunarak yerine konur. z1 z1 = a+bi, z2 z2 = c+di olmak üzere; z 1.z 2 =(a+bi).(c+di) =(ac-bd)+(bc+ad)i ÖRNEKLER 1) z1 z1 = 2+3i, z2 z2 = 4-5i ise z 1.z 2 = ? 2) z = (2-7i) ise z 2 sayısı nedir? 3)  -5.  -8.  -10 = ? 4) (1+i) 35 sayısını a+bi biçiminde yazınız.

13 5) Çözüm kümesi {2-5i, 2+5i} olan ikinci derece denklemi bulunuz? BÖLME İki karmaşık sayının bölümünde pay ile payda paydanın eşleniği ile çarpılır. z 1 = a+bi ve z2 z2 = c+di ise z1z1 z2z2 = a+bi c+di. c-di = (a+ib)(c+id) c 2 +d 2 ÖRNEKLER 1) z1 z1 = 4+3i, z2 z2 =3+2i ise z 1 /z 2 = ?

14 KARMAŞIK DÜZLEM Analitik düzlemde x eksenini gerçel (reel) eksen, y-eksenini sanal (imajiner) eksen olarak aldığımızda oluşan düzleme karmaşık düzlem denir. A 3 2 Sanal (imajiner) eksen Reel eksen A = 2+3i

15 BİR KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERİ Karmaşık düzlemde z = x+yi sayısına karşılık gelen noktanın orjine olan uzaklığına z karmaşık sayısının mutlak değeri (modülü) adı verilir. UYARI 1.  z  C için IzI  0 2. Iz 1.z 2 I = Iz 1 I.Iz 2 I z 1 Iz 1 | z 2 |z 2 I = 3. A=(x+yi) y O H x IzI IzI = I x+yi I =  (x 2 +y 2 ) dir.

16 4. z n = z n ÖRNEKLER 1. Aşağıdaki karmaşık sayıları düzlemde görüntüleyerek mutlak değerini bulunuz. A) z = 2 + 3i B) z = -  5 i C) z= ( i ) ( 8 +6 i ) = ? 3. ( z 1 = 5  3 -  6 i, z 2 = 2  11 +  5 i, z 3 = 1 +2  2 i ise z 1 z 2 z 3 = ? 7. | | z1| z1| - | z 2 | |  | z 1 + z 2 |  | z1| z1| +| z2|z2| 5. z = z = - z = - z 6. | 1/z| = 1 / |z| (z  0)

17 5. z, bir karmaşık sayı olmak üzere ; z - 2i = i.z + 1 ise Im (z) = ? 4. z = x + y i karmaşık sayısı için z- z = i ise z = ?

18 KARMAŞIK DÜZLEMDE İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK Karmaşık düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık; x1x1 x2x2 y2y2 y1y1 A z 1 =x 1 +y 1 i B z 2 =x 2 +y 2 i | z 1 -z 2 | = |AB| =  (x 1 -x 2 ) 2 +(y 1 -y 2 ) 2

19 z 1 = 2-4i ve z2 z2 = -4+4i sayıları arasındaki uzaklık; z1 z1 = 2-4i sayısının görüntüsüM 1 (2,-4) z2 z2 = -4+4i sayısının görüntüsüM 2 (-4,4) | z 1 -z 2 | =  (2-(-4)) 2 + (-4-4) 2 =  100 = 10 y b a x z0z0 z NOT z 0  C, z 0 =a+bi |z-z 0 |=r, r  R, z=x+yi |z-z 0 |=r ise| (x+iy)-(a+bi) | = r  (x-a) 2 +(y-b) 2 = r ise (x-a) 2 +(y-b) 2 = r 2 dir.

20 1. | z-z 0 | = | z-(a+bi)| = r denklemi analitik düzlemde merkezi M(a,b) ve yarıçapı r-olan çember denklemidir. 2.| z-z 0 | = | z-(a+bi)| < r ifadesi merkezi (a,b), yarıçapı r olan çemberin iç bölgesidir. 3. |z-z 0 | = | z-(a+bi)| > r ifadesi merkezi (a,b), yarıçapı r olan çemberin dış bölgesidir. ODAKLAYICI SORU: 1. {z| z  C ve |z- (2+3i)|=3}Kümesini karmaşık sayı düzleminde gösteriniz. 2. |z+1+i|  3 Kümesini karmaşık sayı düzleminde gösteriniz. 3. |z-i| > 3 Kümesini karmaşık sayı düzleminde gösteriniz. 4. |z+i|  2 Kümesini karmaşık sayı düzleminde gösteriniz.

21 5. z 0 =3+4i ise A={z| z  C ve |z- z 0 |=3} kümesini karmaşık düzlemde gösteriniz 6. { z| z  C ve |z+3i|  |z+6-5i| } kümesini karmaşık düzlemde gösteriniz. 7. x,y  R olduğuna göre z=x+yi dir. 1  |z-1+i|  2 ifadesini karmaşık düzlemde gösteriniz. TOPLAMIN GEOMETRİK GÖSTERİMİ : z 1 =a+bi z 2 =c+di  z 1 +z 2 =(a+c)+(b+d)i 0,z 1,z 2 ve z 1 +z 2 bir parelel kenarın köşeleridir. ac b d z1z1 z2z2 z 1 +z 2

22 ÇIKARTMANIN GEOMETRİK GÖSTERİMİ z 1 =a+bi nin görüntüsü A, z 2 =c+di nin görüntüsü B, -z 2 =-c-di dir. z 1 - z 2 =(a-c)+(b-d)i 0,z 1,-z 2 ve z 1 - z 2 bir parelel kenarın köşeleridir. a c b d z1z1 z2z2 -z 2 z 1 -z 2

23 KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) BİÇİMİ z=x+yi karmaşık sayısının düzlemdeki görüntüsü M(x,y) ve |OM|=r=|z|=  x 2 +y 2 0  Mz=x+yi A x y. |z|=r OMA ‘de xrxr Cos  =  x=r.Cos , (x=|z|.Cos  ) yryr Sin  =  y=r.Sin , (y=|z|.Sin  ) z=x+yi z=rCos  +r.i.Sin  = r(Cos  +i.Sin  )= r.Cis  z=r(Cos  +i.Sin  ) veya z=r[Cos(  +2k  )+i.Sin(  +2k  )],  x

24 ARGÜMENT 0 o  2  olmak koşulu ile  açısına z’nin esas argümenti denir. ve Arg(z)=  biçiminde yazılır. Arg( z )=Argz -1 =2  -Argz z=x+yi karmaşık sayısının argümentinin esas ölçüsü bulunurken z=x+yi karmaşık düzlemde işaretlenerek hangi bölgede olduğu araştırılır. I. Bölgede ise Argz=    II. Bölgede ise Argz=  -   III. Bölgede ise Argz=  +   IV. Bölgede ise Argz= 2  - 

25 ÖRNEK: Yandaki z karmaşık sayısının kutupsal biçimi; r=|z|=6 ve  =180 o -20 o =160 o olduğundan, z=6(Cos160 o +iSin160 o ) dır. 20 o z x y 6 ODAKLAYICI SORU: 1212 33 2 z - =+ i sayısının esas argümenti nedir ?  z= 2  2- 2  2 i sayısının esas argümenti nedir ?  z=1-  3 i sayısını kutupsal biçimde yazınız.  z -3  2 +3  6 i ise (-z) sayısını kutupsal biçimde yazınız. =  z -2i sayısını kutupsal biçimde yazınız. =   4 Arg(z+2)= eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısının görüntülerini çiziniz. 


"TANIM: x 2 +1 = 0 denkleminin gerçel sayılar kümesinde çözümü olmadığını biliyoruz.(  <0) x 2 +1 = 0 denkleminin çözülebildiği ve gerçel sayılar kümesini." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları