Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Diferansiyel Denklemler Prof.Dr.Şaban EREN Ege Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Bölüm 1 1.6.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Diferansiyel Denklemler Prof.Dr.Şaban EREN Ege Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Bölüm 1 1.6."— Sunum transkripti:

1 Diferansiyel Denklemler Prof.Dr.Şaban EREN Ege Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Bölüm

2 2 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler 1.6. Verilen diferansiyel denklemde c veya c sabitlerinden en az birinin sıfır olmadığı varsayılmaktadır. Her ikisinin sıfır olduğu durumda eşitlik homojen diferansiyel türüne dönüşür. Bu diferansiyel denklemin çözümünde iki durumun gözönüne alınması gerekir.

3 3 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Durum-I: ax + by + c = 0 ve ax + by + c = 0 doğrularının kesişmesi durumu. Bu durum Şekil:1.2’de görülmektedir. Şekilden de görüldüğü gibi P noktasının koordinatları Oxy koordinat sistemine göre P(x,y) ve OXY koordinat sistemine göre P(X,Y)’dir. O noktasının bu iki doğrunun kesim noktası ve koordinatlarının (h, k) olduğunu varsayalım.

4 4 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Şekil: 1.2. P noktasının Oxy ve O’XY koordinat eksenlerine göre pozisyonu.

5 5 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.31) diferansiyel denkleminde, x = h + X, y = k + Y konursa denklem

6 6 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.31) diferansiyel denkleminde, x = h + X, y = k + Y konursa denklem (1.32) şekline dönüşür.

7 7 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.31) diferansiyel denkleminde, x = h + X, y = k + Y konursa denklem (1.32) şekline dönüşür.

8 8 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (h, k) iki doğrunun kesim noktası olup doğru denklemlerinde yerine konduğunda ah + bk + c = 0 ve ah + bk + c = 0 olacağından (1.32) nolu eşitlik, (1.33) homojen denklem türüne dönüşür. Bu tür denklemlerin çözümü bir önceki bölümde açıklanmış idi.

9 9 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz.

10 10 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz. Pay ve paydadaki doğruların eğimleri eşit olmadığından doğrular kesişir. Kesim noktasının koordinatlarının (h, k) olduğu varsayılırsa, 2x + 3y –1 doğrusundan 2h + 3k – 1 = 0 ve x – 2y – 4 doğrusundanh – 2k – 4 = 0 eşitlikleri elde edilir.

11 11 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu eşitliklerden h = 2 ve k = -1 değerleri bulunur. Verilen diferansiyel denklemde, x = X + h ve y = Y + k konursa diferansiyel denklem (1.34) homojen denklem türüne dönüşür.

12 12 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.34) nolu eşitlikte, konursa

13 13 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.34) nolu eşitlikte, konursa (1.34) nolu eşitlik şekline dönüşür ve buradan,

14 14 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

15 15 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

16 16 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

17 17 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

18 18 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

19 19 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler elde edilir.

20 20 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.35) değerleri (1.35) nolu eşitlikte yerine konursa genel çözüm

21 21 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.35) değerleri (1.35) nolu eşitlikte yerine konursa genel çözüm şeklinde olur.

22 22 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz.

23 23 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Eğimleri eşit olmadığından pay ve paydadaki doğruların kesim noktası(h, k) olsun. h – k = 0 h – 8k + 7 = 0 eşitliklerinden h = 1, k = 1 elde edilir.

24 24 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Eğimleri eşit olmadığından pay ve paydadaki doğruların kesim noktası(h, k) olsun. h – k = 0 h – 8k + 7 = 0 eşitliklerinden h = 1, k = 1 elde edilir. Dolayısıyla x = X + h den X = x – h = x– 1 ve y = Y + k danY = y – k = y – 1 elde edilir.

25 25 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler x = X + h ve Y = Y + k eşitlikleri verilen diferansiyel denklemde yerine konursa, diferansiyel denklemimiz (1.36) homojen denklem türüne dönüşür.

26 26 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler x = X + h ve Y = Y + k eşitlikleri verilen diferansiyel denklemde yerine konursa, diferansiyel denklemimiz (1.36) homojen denklem türüne dönüşür. Y = VX ifadeleri (1.36)’da yerine konursa,

27 27 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

28 28 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

29 29 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

30 30 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

31 31 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

32 32 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

33 33 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

34 34 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

35 35 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

36 36 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

37 37 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

38 38 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

39 39 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.37) bulunur.

40 40 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler X = (x – 1), Y = (y – 1) değerleri (1.37)’de yerine konursa

41 41 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler X = (x – 1), Y = (y – 1) değerleri (1.37)’de yerine konursa genel çözümü elde edilmiş olur.

42 42 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz.

43 43 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Pay ve paydadaki doğruların eğimi eşit değildir. Dolayısıyla bu doğrular kesişir ve kesim noktasının (h, k) olduğunu varsayalım. 2h – k = 0 h +2k – 5 = 0 eşitliklerinden h = 1, k = 2 bulunur. Dolayısıyla X = x – 1 ve Y = y – 2’dir.

44 44 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler x = X + h ve y = Y + k eşitlikleri verilen diferansiyel denklemde yerine konursa diferansiyel denklemimiz, (1.38) homojen denklem türüne dönüşür.

45 45 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Y = VX eşitlikleri yardımıyla (1.38) nolu diferansiyel denklemimiz,

46 46 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Y = VX eşitlikleri yardımıyla (1.38) nolu diferansiyel denklemimiz,

47 47 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Y = VX eşitlikleri yardımıyla (1.38) nolu diferansiyel denklemimiz, şekline dönüşür.

48 48 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Buradan,

49 49 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Buradan,

50 50 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Buradan,

51 51 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Buradan,

52 52 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

53 53 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

54 54 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

55 55 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

56 56 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

57 57 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

58 58 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler genel çözümü elde edilir.

59 59 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Durum II. Doğruların paralel olması durumu. diferansiyel denkleminde pay ve paydadaki doğruların eğimleri eşit yani doğrular paralel ise denklemin çözümü için aşağıdaki adımlar uygulanır.

60 60 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Durum II. Doğruların paralel olması durumu. diferansiyel denkleminde pay ve paydadaki doğruların eğimleri eşit yani doğrular paralel ise denklemin çözümü için aşağıdaki adımlar uygulanır. dersek

61 61 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Durum II. Doğruların paralel olması durumu. diferansiyel denkleminde pay ve paydadaki doğruların eğimleri eşit yani doğrular paralel ise denklemin çözümü için aşağıdaki adımlar uygulanır. dersek(1.39) olur.

62 62 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler eşitliğinden elde edilir.

63 63 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler eşitliğinden elde edilir. eşitliği (1.39)’da yerine konursa

64 64 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler eşitliğinden elde edilir. eşitliği (1.39)’da yerine konursa (1.40)

65 65 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler ve bu eşitliğin düzenlenmesi sonucunda (1.41) bulunur.

66 66 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler ve bu eşitliğin düzenlenmesi sonucunda (1.41) bulunur. Görüldüğü gibi verilen diferansiyel denklem değişkenlerine ayrılmış olduğundan eşitliğinin integrali alınarak sonuca gidilir.

67 67 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz.

68 68 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler olduğundan doğrular paraleldir.

69 69 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler olduğundan doğrular paraleldir. z = x – 2y dersek Dolayısıyla,

70 70 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler olduğundan doğrular paraleldir. z = x – 2y dersek Dolayısıyla, olur.

71 71 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu eşitlik verilen diferansiyel denklemde yerine konursa

72 72 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu eşitlik verilen diferansiyel denklemde yerine konursa ve bu eşitliğin düzenlenmesi sonucunda (1.42) elde edilir.

73 73 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.42) nolu eşitlik değişkenlerine ayrılabilir duruma düzenlenebilir. Bu eşitliğin her iki yanının integrali alınırsa, ifadesinden

74 74 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler eşitliği bulunur. Bu eşitlikte z = x – 2y konursa (1.43) genel çözümü elde edilir.

75 75 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz.

76 76 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Eşitlikten de görüldüğü gibi olduğundan doğrular paraleldir.

77 77 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Eşitlikten de görüldüğü gibi olduğundan doğrular paraleldir. Verilen denklemde,

78 78 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Eşitlikten de görüldüğü gibi olduğundan doğrular paraleldir. Verilen denklemde,

79 79 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Eşitlikten de görüldüğü gibi olduğundan doğrular paraleldir. Verilen denklemde, konursa,

80 80 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler eşitlik

81 81 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler eşitlik

82 82 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler eşitlik (1.44) şekline dönüşür.

83 83 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki tarafın integrali alınırsa,

84 84 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki tarafın integrali alınırsa,

85 85 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki tarafın integrali alınırsa,

86 86 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

87 87 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

88 88 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

89 89 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.45) genel çözümü bulunur.


"Diferansiyel Denklemler Prof.Dr.Şaban EREN Ege Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Bölüm 1 1.6." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları