Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

DO Ğ RUSAL PRO Ğ RAMLAMA Yavuz DEMIRDOGEN. İ çindekiler  Do ğ rusal Pro ğ ramlama (DP)  DP Modeli  Grafiksel çözüm Yöntemi  Simpleks Çözüm Yöntemi.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "DO Ğ RUSAL PRO Ğ RAMLAMA Yavuz DEMIRDOGEN. İ çindekiler  Do ğ rusal Pro ğ ramlama (DP)  DP Modeli  Grafiksel çözüm Yöntemi  Simpleks Çözüm Yöntemi."— Sunum transkripti:

1 DO Ğ RUSAL PRO Ğ RAMLAMA Yavuz DEMIRDOGEN

2 İ çindekiler  Do ğ rusal Pro ğ ramlama (DP)  DP Modeli  Grafiksel çözüm Yöntemi  Simpleks Çözüm Yöntemi  Excel Solver (Çözücü)  Tamsayılı Programlama  WinQSB

3 Do ğ rusal Programlama  Bir Doğrusal Programlama Modeli doğrusal kısıtlar altında bir doğrusal fonksiyonun değerini maksimize yada minimize etmeye çalışır.  Doğrusal Programlama belli bir amacı gerçekleştirmek için sınırlı kaynakların etkin kullanımını ve çeşitli seçenekler arasında en uygun dağılımını sağlayan matematiksel bir tekniktir.

4 Do ğ rusal Programlama  Do ğ rusal Programlama, optimizasyon problemlerinin çözümünde kullanılan bir yöntemdir.  1947’ de, George Dantzig, do ğ rusal Programlama problemlerinin çözümünde kullanılan etkin bir yol olan Simpleks Algoritma’ yı buldu ve bu buluşla birlikte do ğ rusal Programlama, sıklıkla ve hemen hemen her sektörde kullanılmaya başlandı.

5 Do ğ rusal Fonksiyonlar y = mx+b bir do ğ runun denklemidir. ör. y = -4/3 x +6 3y= -4x+18 yada 4x + 3y = 18 Bir Do ğ rusal Fonksiyon bir pozitif, negatif veya 0 sabitinin de ğ işkenlerle çarpımlarının toplamıdır; ör. 5X1 - 4X2 + 0X3 + 6X4 X1^2, X1/X2, e^-x2,√X1, vb. yer almaz

6 Do ğ rusal Kısıtlar Do ğ rusal kısıtlar şu şekle sahiptir Örnekler:  4X1 + 5X2 - 6X3 + 2X5 ≤ 34  2X1 - 5X2 + 1X4 ≥ 47  - 2X2 + 8X3 + 9X4 + 2X5 = 67  X1 ≥ 0  X5 ≥ 0

7 Do ğ rusal Programlama (DP) Modeli  Max/min Z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n  Kısıtlar:  a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n (≤, =, ≥) b 1  a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n (≤, =, ≥) b 2  :  a m1 x1 + a m2 x a mn x n (≤, =, ≥) b m  x j = Karar de ğ işkenleri  b i = Kısıtlama Seviyesi  c j = Karar De ğ işkeni Katsayısı  a ij = Kısıtlama Katsayıları

8 DP Modelinin Bileşenleri Bir Do ğ rusal Programlama Modeli şu bileşenlere sahiptir:  Bir grup karar de ğ işkeni. (X1, X2 gibi)  Bir Amaç Fonksiyonu. Z max/min = c 1 x 1 + c 2 x c n x n  Bir grup kısıtlık. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n (≤, =, ≥) b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n (≤, =, ≥) b 2

9 DP Modelleri Neden Önemlidir  Bir çok Gerçek Hayat Problemi DP ile Modellenebilir.  Üretim, Pazarlama, Finans, Reklam, Tarım, Enerji gibi bir çok alanda bildik iyi uygulamalar vardır.  Do ğ rusal Programlama modellerinin çözümü İ çin kullanılabilen etkin çözüm teknikleri vardır.  Do ğ rusal Programlama Modellerinin çözümü için geliştirilen yazılımlar çözüm sonrası analizler açısından oldukça güçlüdürler.

10 DP Modelinin Varsayımları Do ğ rusallık: Modeldeki fonksiyonların hepsi do ğ rusaldır. Kısıtlık: Kaynakların sınırlı oldu ğ unu öngörür. Kesinlik: Tüm parametrelerin kesin olarak bilindi ğ ini ve ilgili dönemde de ğ işmeyece ğ ini öngörür. Negatif Olmama: Karar de ğ işkenleri negatif de ğ erler alamazlar. Bölünebilirlik : Her karar de ğ işkenlerinin ondalıklı bir sayı alabilece ğ i anlamına gelir.

11 DP Problemlerinin Modelinin Kurulması DP Problemlerinin modelinin kurulmasında aşa ğ ıdaki adımların izlenmesi gerekmektedir.  Karar de ğ işkenlerinin tanımlanması ve bunların sembolize edilmesi  Amacın belirlenerek amaç fonksiyonun karar de ğ işkenlerinin do ğ rusal bir fonksiyonu olarak yazılması  Tüm kısıtlamaların karar de ğ işkenlerinin do ğ rusal bir fonksiyonları olarak eşitlik veya eşitsizlik olarak yazılması  Negatif olmama koşullarının yazılması.

12 Temel Kavramlar  Çözüm: Bir do ğ rusal programlama probleminin kısıtlayıcı fonksiyonlarının hepsini birden sa ğ layan karar de ğ işkenlerinin (x 1, x 2,..., x n ) oluşturdu ğ u kümeye çözüm denir.  Uygun çözüm: Negatif olmama koşulunu sa ğ layan çözüme uygun çözüm denir.  En iyi çözüm: Amaç fonksiyonuna en iyi de ğ eri (en küçük veya en büyük) sa ğ layan uygun çözüme en iyi çözüm denir.

13 Örnek_1: Siteler Mobilyacısı Siteler mobilyacısı ahşaptan salon takımı ve yatak odası takımı üretmektedir. Yatak odası takımının karı 500TL, Salon takımının karı 700TL dir. Yatak odası takımı aylık en fazla 6 adet sipariş almaktadır. Marangoz aylık 8 adet takım üretebilmektedir. Toplam ahşap miktarı 190m 2, bir salon takımı 30m 2 ahşaptan, bir yatak odası takımı 20m 2 ahşaptan yapılmaktadır. Siteler mobilyacısı maksimum kar elde edebilmek için takımlardan kaçar adet üretmelidir?

14 Örnek_1: Siteler Mobilyacısı AhşapSiparişÜretim Birim Kar Yatak Odası (X1) Salon Takımı (X2)

15 Örnek_1: Siteler Mobilyacısı KARAR DE Ğİ ŞKENLER İ  Üretilecek Salon ve Yatak Odası Takımları  Yatak Odası Takımı : X1  Salon Takımı : X2 AMAÇ FONKS İ YONU  “En Yüksek Karı Elde Etmek” (Takımlardan Elde Edilecek Kar Toplamını Maksimize Etmek”)  Yatak Odası Takımından Elde Edilecek Kar;  Yatak Odası Takımı Sayısı * Birim Kar = X1*500  Salon Takımından Elde Edilecek Kar;  Salon Takımı sayısı * Birim Kar = X2*700  Toplam Kar = Salon Odası Takımı Karı + Yatak Odası Takımı Karı  = 500X X2

16 Örnek_1: Siteler Mobilyacısı Kısıtlar  Yatak Odası Takımı Sipariş Kısıtı  X1 <= 6  Ahşap Kısıtı  20X1 + 30X2 <= 190  Üretim Kısıtı  X1 + X2 <= 8  Negatif Olmama Kısıtı  X1 >= 0 ve X2 >= 0

17 Örnek_1: Model  Max: Z max = 500X X2  Kısıtlar: 20X1 + 30X2 <= 190(Ahşap Kısıtı) X1 <= 6(Sipariş Kısıtı) X1 + X2 <= 8(Üretim Kısıtı) X1 >= 0 ve X2 >= 0

18 Grafiksel Çözüm Yöntemi  Bir do ğ rusal programlama probleminin grafik çözümünde aşa ğ ıdaki adımlar izlenir:  De ğ işkenlerin koordinat sisteminin yatay ve dikey eksenlerine yerleştirilmesi,  Kısıtlayıcı fonksiyonların grafi ğ inin çizilmesi,  Uygun çözüm bölgesinin belirlenmesi,  En iyi çözümün araştırılması.

19 Örnek_1: Grafiksel Çözüm 1.AŞAMA : Negatif Olmama Kısıtlarının Sa ğ lanması X2X2 X1X1

20 Örnek_1: Grafiksel Çözüm 2.AŞAMA: Sipariş Kısıtının Sa ğ lanması

21 Örnek_1: Grafiksel Çözüm 3.AŞAMA: Ahşap Kısıtının Sa ğ lanması Ahşap Kısıtı: 20X1 + 30X2 = 190 Sadece Yatak Odası Takımı Üretilirse X2 = 0 20X1 = 190 => X1 = 190/20 = 9,5 Sadece Salon Takımı Üretilirse X1 = 0 30X2 = 190 => X2 = 190/30 = 6,33

22 Örnek_1: Grafiksel Çözüm 3.AŞAMA: Ahşap Kısıtının Sa ğ lanması

23 Örnek_1: Grafiksel Çözüm 4.AŞAMA: Üretim Kısıtının Sa ğ lanması Üretim Kısıtı: X1 + X2 = 8 Sadece Yatak Odası Takımı Üretilirse X2 = 0 X1 = 8 Sadece Salon Takımı Üretilirse X1 = 0 X2 = 8

24 Örnek_1: Grafiksel Çözüm 3.AŞAMA: Üretim Kısıtının Sa ğ lanması

25 Örnek_1: Grafiksel Çözüm 4.AŞAMA: Kısıtların Grafiksel birleşimi

26 Örnek_1: Grafiksel Çözüm

27 Örnek_1: Grafiksel Çözüm (GÇ) A ve D noktalarının koordinatlarını biliyoruz. B ve C noktalarının koordinatlarını hesaplayalım. B noktası X1+X2=8 ve 20X1+30X2=190 do ğ rularının kesişim noktası oldu ğ undan ◦ X1+X2=8 ◦ 20X1+30X2=190 => X1=3 ve X2=5 olur. C noktası X1+X2=8 ve X2= 6 do ğ rularının kesişim noktası oldu ğ undan ◦ X1+X2=8 ◦ X1 = 6 => X2=2 olur.

28 Örnek_1: Grafiksel Çözüm (GÇ)

29 Kısıtlılıklara göre belirlenen taralı bölgenin uç noktalarından biri optimal çözüm noktasıdır. Bu noktayı iki yöntemle belirleyebiliriz. ◦ Deneme Yanılma Yöntemi ◦ Kayıtsızlık E ğ rileri Yöntemi

30 Örnek_1: Grafiksel Çözüm (GÇ) Deneme-Yanılma Yaklaşımı ◦ Her noktadaki üretim miktarını hesapla ◦ Amaca olan katkıyı hesapla ◦ Amaca en fazla katkı sa ğ layan nokta optimum noktadır.

31 Örnek_1: GÇ Deneme-Yanılma Uç noktaların amaç fonksiyonuna katkıları belirlenmeli ◦ A noktası için: X1=0 ve X2=6.33  Z max =500X1+700X2 => Zmax= 4431 TL ◦ B noktası için: X1=5 ve X2= 3  Z max =500X1+700X2 => Zmax= 4600 TL ◦ C noktası için: X1=6 ve X2= 2  Z max =500X1+700X2 => Zmax= 4400 TL ◦ D noktası için: X1=6 ve X2= 0  Z max =500X1+700X2 => Zmax= 3000 TL

32 Örnek_1: GÇ Deneme-Yanılma Görüldü ğ ü gibi B noktasındaki 4600 liralık kar en büyük oldu ğ u için optimal çözüm noktası B noktasıdır. Siteler mobilyacısı mevcut kısıtlılıklar içinde, en fazla kar elde edebilmek için 5 yatak odası takımı ve 3 salon takımı üretmelidir. ◦ Z max =500X1+700X2 => Z max = 4600 TL ◦ X1 = 5 (Yatak Odası Takımı) ◦ X2 = 3 (Salon Takımı)

33 Örnek_1: Grafiksel Çözüm (GÇ)  Kayıtsızlık E ğ rileri Yaklaşımı ◦ Amaç fonksiyonuna rastgele bir de ğ er verilir ◦ Amaç do ğ rusu belirlenir ve çizilir ◦ Amaç do ğ rusu çözüm alanı içinde kaydırılarak optimum çözüm noktası bulunur.

34 Örnek_1: GÇ Kayıtsızlık E ğ rileri 1. Amaç fonksiyonuna bir de ğ er verelim. ◦ Z max =500X1+700X2 ◦ Z max = 3500 olsun. ◦ X1=0 için ◦ X2=3500/700 => X2 = 5 olur. ◦ X2=0 için ◦ X1=3500/500 => X1 = 7 olur. 2. Amaç do ğ rusunu çizelim 3. Amaç do ğ rusunu kaydıralım

35 Örnek_1: GÇ Kayıtsızlık E ğ rileri

36

37

38 Örnek_2: Minimizasyon problemi Ankara Boyacısı Siyah ve Renkli boya üretmektedir. Her ay en az 30 ton Siyah ve 20 ton renkli boya üretmesi gerekmektedir. Aylık en az 60 ton boya üretilmelidir. Siyah boyanın aylık üretim maliyeti 2500TL ve Renkli boyanın aylık maliyeti ise 3000TL dir. Üretim maliyetini minimize etmek için boyalardan ne kadar üretilmelidir?

39 Örnek_2: Öz Ankara Boyacısı Karar De ğ işkenleri ◦ X 1 = Üretilecek Siyah Boya miktarı ◦ X 2 = Üretilecek Renkli Boya miktarı Amaç fonksiyonu ◦ Minimizasyon Z min = 2500X X 2 Kısıtlar ◦ X 1  30 (Siyah Boya Kısıtı) ◦ X 2  20 (Renkli Boya Kısıtı) ◦ X 1 + X 2  60 (Toplam Aylık Üretim Kısıtı) ◦ X 1  0; X 2  0 (Negatif Olmama Kısıtı)

40 Örnek_2: Öz Ankara Boyacısı Renkli Boya Miktarı (X 2 ) Siyah Boya Miktarı (X1) X 1  30 X 2  20 X 1 + X 2  60 X1X Renkli Boya Miktarı (X 2 ) Siyah Boya Miktarı (X1) X 1  30 X 2  20 X 1 + X 2  60 X1X1 X2X2

41 Örnek_2: Öz Ankara Boyacısı Renkli Boya Miktarı (X 2 ) Siyah Boya Miktarı (X1) X 1  30 X 2  20 X 1 + X 2  60 X1X1 Çözüm Bölgesi (Üretim Alanı) A B

42 Örnek_2: Deneme-Yanılma Uç noktaların amaç fonksiyonuna katkıları belirlenmeli ◦ A noktası X 1 + X 2  60 ve X 2  20 do ğ rularının kesişim noktası oldu ğ undan  X 2 = 20 =>  X 1 + X 2  60 => X 1 = => X 1 = 40 olur. ◦ B noktası X 1 + X 2  60 ve X 1  30 do ğ rularının kesişim noktası oldu ğ undan  X 1 = 30 =>  X 1 + X 2  60 => X 1 = => X 2 = 30 olur.

43 Örnek_2: Öz Ankara Boyacısı Renkli Boya Miktarı (X 2 ) Siyah Boya Miktarı (X1) X 1  30 X 2  20 X 1 + X 2  60 X1X1 X2X2 Çözüm Bölgesi (Üretim Alanı) A(40,20) B(30,30)

44 Örnek_2: GÇ Deneme-Yanılma Uç noktaların amaç fonksiyonuna katkıları belirlenmeli ◦ A noktası için: X 1 = 40 ve X 2 = 20  Z min = 2500X X 2 => Z min = TL ◦ B noktası için: X 1 = 30 ve X 2 = 30  Z min = 2500X X 2 => Z min = TL

45 Örnek_2: GÇ Deneme-Yanılma Uç noktaların amaç fonksiyonuna katkıları belirlendi ğ inde A noktasındaki üretim maliyeti mevcut kısıtlar çerçevesinde en düşük oldu ğ undan optimum çözüm noktası A noktasıdır. ◦ X 1 = 40 ton Siyah Boya üretilmeli ◦ X 2 = 20 ton Renkli Boya üretilmeli ◦ 2500X X 2 = TL (maliyet)

46 Grafik Çözümde Karşılaşılan Özel Durumlar Eşitsizliklerin Tutarsız Olması Sınırsız Çözüm Uygun Çözüm Bölgesinin Bir nokta Olması Alternatif En iyi Çözümün Bulunması

47 Eşitsizliklerin Tutarsız Olması Mevcut kısıtların tutarsız olması durumudur. Ör: Amaç fonksiyonu: Zmax = X1 + 2X2 olan ve Kısıtlar: X1 + X2 <= 20 2X1 + X2 <= 30 X1 <= 25 X1, X2 >= 0 Olarak verilen problemi grafiksel olarak çözersek.

48 Eşitsizliklerin Tutarsız Olması

49 Sınırsız Çözüm Sınırsız bir çözüm kümesine sahip olan do ğ rusal pro ğ ramlama; Ör: Zmax = 3X1 + 5X2 Kısıtlar: X1 >= 5 X2 <= 10 X1 + 2X2 >= 10 X1, X2 >= 0

50 Sınırsız Çözüm Çözüm Bölgesi X 1 > 5 X 2 < 10 X 1 + 2X 2 > 10

51 Uygun Çözüm Bölgesinin Bir Nokta Olması Aşa ğ ıdaki do ğ rusal programlama problemini grafik yöntemiyle çözelim. Z max = 6x 1 + 3x 2 x 1 + x 2  6 3x 1 + 5x 2  24 x 2 = 3 x 1, x 2  0

52 Uygun Çözüm Bölgesinin Bir Nokta Olması

53 Alternatif Eniyi Çözümün Bulunması Aşa ğ ıdaki do ğ rusal programlama problemini grafik yöntemiyle çözelim. Z max = 8x 1 + 8x 2 2x 1 + 3x 2  12 3x 1 + 2x 2  12 x 1 + x 2  6 x 1, x 2  0

54 Alternatif Eniyi Çözümün Bulunması

55 Uç noktaların amaç fonksiyonuna katkılarını deneme yanılma yöntemiyle belirleyelim. ◦ A noktası için: X 1 = 0 ve X 2 = 6  Z max = 8x 1 + 8x 2 ise Zmax = 48 ◦ B noktası için: X 1 = 6 ve X 2 = 0  Z max = 8x 1 + 8x 2 ise Zmax = 48 ◦ C noktası için:  2X1 + 3X2  12 ve 3X1 + 2X2  12 do ğ rularının kesim noktası X 1 = 2.4 ve X 2 = 2.4  Z max = 8x 1 + 8x 2 ise Zmax = 38.4  Görüldü ğ ü gibi A ve B noktaları en iyi çözüm noktalarıdır.

56 Örnek DP Modeli-1 İ nci kimya firması X ve Y gibi iki tip kimyasal madde üretmektedir. 1 litre X ürününün maliyeti 160 TL., 1 litre Y ürününün maliyeti ise 240 TL. dir. Müşteri talebine göre, firma, gelecek hafta için en az 6 litre X ve en az 2 litre Y ürünü üretmelidir. X ve Y kimyasal ürünlerinde kullanılan hammaddelerden birisinin sunumu azdır ve sadece 30 gr. sa ğ lanabilmektedir. X ürününün bir litresinde bu hammaddeden 3 gr. ve Y nin litresinde de 5 gr. gerekli olmaktadır. İ nci firması, toplam maliyetini minimize etmek için X ve Y ürünlerinden kaçar litre üretmesi gerekti ğ i konusunda çok büyük bir kararsızlık içerisine girmiştir. Bu soruyu yanıtlayacak modeli kurunuz.

57 Örnek DP Modeli-1 Problemde karar de ğ işkenleri, x 1 = Üretilecek X ürününün miktarı ( litre ) x 2 = Üretilecek Y ürününün miktarı ( litre ) Minimize edilmek istenen toplam maliyet 160x x 2 dir. İ stenen gerekli minimum miktar ise x 1  6ve x 2  2 dir. Hammadde kısıtlayıcısı ise 3x 1 + 5x 2  30 dur. Böylece minimizasyon modeli şöyle olacaktır: Min z = 160x x 2 x 1  6 x 2  2 3x 1 +5x 2  30 x 1, x 2  0

58 Örnek DP Modeli-2 Mügesüt şirketi kapasite sorunu yüzünden günde kg. dan daha çok süt işleyememektedir. Yönetim, ya ğ veya işlenmiş süt için kullanılan sütün dengelenmesi için peynir fabrikasında en az kg. lık günlük süt kullanmak istemektedir. Bir kg. sütün ya ğ üretimi için kullanıldı ğ ında, kara katkısı, 4 TL., şişe sütü olarak kullanıldı ğ ında katkısı 8 TL. ve peynir üretimi için kullanıldı ğ ında ise katkısı 6 TL. dir. Ya ğ bölümü günde kg., süt şişeleme donanımı günde kg., peynir donanımı ise günde kg. süt işleyebilir. Şirket karını maksimize etmek istedi ğ ine göre problemi do ğ rusal programlama modeli olarak ifade ediniz.

59 Örnek DP Modeli-2 Çözüm: Karar De ğ işkenleri x1 = Ya ğ yapımında kullanılan süt miktarı ( kg ) x2 = Şişelemede kullanılan süt miktarı ( kg ) x3 = Peynir yapımında kullanılan süt miktarı ( kg ) İ şletmenin karını maksimize edecek amaç fonksiyonu; Maksimum z = 4x1 + 8x2 + 6x3 Kısıtlar ise; x3  x1  x2  x3  x1 + x2 + x3  Negatif Olmama koşulu; x1, x2, x3  0

60 Örnek DP Modeli-3 Giapetto tahtadan oyuncak asker ve tren yapmaktadır. Satış fiyatları, bir oyuncak asker için $27, bir oyuncak tren için $21'dır. Bir asker için $10'lık hammadde ve $14'lık işçilik kullanılmaktadır. Bir tren için ise söz konusu rakamlar sırasıyla $9 ve $10'dır. Her bir asker için 2 saat montaj ve 1 saat marangozluk gerekirken, her bir tren için 1 saat montaj ve 1 saat marangozluk gerekmektedir. Eldeki hammadde miktarı sınırsızdır, fakat haftada en çok 100 saat montaj ve 80 saat marangozluk kullanabilen Giapetto'nun haftada en fazla 40 oyuncak asker satabilece ğ ini göz önünde bulundurarak karını enbüyüklemek için hangi oyuncaktan haftada kaç adet üretmesi gerekti ğ ini bulunuz?

61 Örnek DP Modeli-3 Karar De ğ işkenleri x1 = bir haftada üretilen asker sayısı x2 = bir haftada üretilen tren sayısı İ şletmenin karını maksimize edecek amaç fonksiyonu; Maximum z = 3x1 + 2x2 Kısıtlar ise; s.t. 2x1 + x2 ≤ 100 (Montaj kısıdı) x1 + x2 ≤ 80 (Marangozluk kısıdı) x1 ≤ 40 (Talep kısıdı) Negatif Olmama koşulu; x1, x2 ≥ 0

62 Örnek DP Modeli-3 Grafiksel Çözüm Aşa ğ ıdaki kısıtları sa ğ layan noktalar kümesi olurlu bölgedir. DP’yi sa ğ layan noktalar kümesi DGFEH beşgeni ile sınırlandırılmıştır. Bu beşgen (boyalı bölge) üzerindeki veya içindeki herhangi bir nokta olurlu bölgededir.

63 Örnek DP Modeli-3 E ğ er (x1,x2)’nin bir de ğ eri (bir çözüm) tüm bu kısıtları ve işaret sınırlamalarını sa ğ larsa, söz konusu çözüm olurlu bölgededir (feasible region). Grafik olarak ya da hesaplayarak sorun çözüldü ğ ünde olurlu bölgedeki çözümlerden amaç fonksiyon de ğ eri en yüksek olan çözümün (x1,x2) = (20,60) oldu ğ unu ve z=180 de ğ erini verdi ğ ini buluruz. Bu çözüm en iyi çözümdür (optimal solution). Rapor Haftada 20 asker ve 60 tren üretilmesi durumunda kar $180 olacaktır. Kar miktarları, eldeki işçilik ve talebe göre elde edilebilecek en büyük kar budur. Daha fazla işçilik bulunursa kar ço ğ alabilir.

64 Örnek DP Modeli-4 Dorian şirketi, yüksek gelirli müşterileri için otomobil ve jeep üretmektedir. Televizyondaki tiyatro oyunlarına ve futbol maçlarına bir dakikalık spot reklamlar vererek satışlarını arttırmayı hedeflemektedir. Tiyatro oyununa verilen reklamın maliyeti $50bin'dir ve hedef kitledeki 7 milyon kadın ve 2 milyon erkek tarafından seyredilebilir. Futbol maçına verilen reklamın maliyeti ise $100bin'dir ve hedef kitledeki 2 milyon kadın ve 12 milyon erkek tarafından seyredilebilir. Dorian yüksek gelirli 28 milyon kadın ve 24 milyon erke ğ e en az maliyetle nasıl ulaşır?

65 Örnek DP Modeli-4 Karar de ğ işkenleri aşa ğ ıdaki gibi belirlenebilir: x 1 = tiyatro oyununa verilen reklam sayısı x 2 = futbol maçına verilen reklam sayısı Sorunun modeli: min z = 50x x2 öyle ki 7x 1 + 2x 2 ≥ 28 2x x 2 ≥ 24 x 1, x 2 ≥0

66 Örnek DP Modeli-4 Grafiksel Çözüm Dorian toplam reklam maliyetini enküçüklemek istedi ğ i için sorunun en iyi çözümü olurlu bölgede en az z de ğ erini veren noktadır. En az z de ğ erli eş maliyet do ğ rusu E noktasından geçmektedir; bu yüzden en iyi çözüm x1 = 3.6, x2 = 1.4 ve z = 320 şeklindedir. Hem yüksek gelirli kadın hem de yüksek gelirli erkek kısıtları sa ğ landı ğ ı için her ikisi de aktif kısıtlardır.

67 Örnek DP Modeli-4 Grafik çözüm yapılırsa (x 1,x 2 ) = (3.6,1.4) de ğ erleri için amaç fonksiyonunun en iyi de ğ eri z = 320 olarak bulunur. Grafi ğ e bakılarak en iyi tamsayılı çözüm (x 1,x 2 ) = (4, 2) olarak bulunabilir. Rapor Hedeflenen kitleye ulaşmak için en az maliyetli çözüm 4 adet reklamı tiyatro oyununda ve 2 adet reklamı futbol maçında kullanmak gerekir. Bu durumda Dorian $400bin reklam masrafı yapacaktır.

68 Örnek DP Modeli-5 Two Mines Şirketi özel bir cevher çıkardı ğ ı iki adet maden oca ğ ına sahiptir. Ocaklarda üretilen cevher üç sınıfa ayrılır: yüksek, orta, düşük kaliteli. Şirket bir fabrikaya haftalık olarak 12 ton yüksek, 8 ton orta ve 24 ton düşük kaliteli cevher sa ğ lamak üzere anlaşmıştır. Söz konusu iki maden oca ğ ı (X ve Y) ayrıntıları aşa ğ ıda verilen farklı işletim özelliklerine sahiptir. Anlaşmayı gerçekleştirmek için haftasonu üretim yapılmayan maden ocakları haftada kaç gün işletilmelidir? Maden Maliyet (£'000 / gün) Üretim (ton/gün) YüksekOrtaDüşük X Y160116

69 Örnek DP Modeli-5 Sorunun Modeli enküçükle (minimize) 180x + 160y öyle ki (subject to) 6x + y >= 12 3x + y >= 8 4x + 6y >= 24 x <= 5 y <= 5 x,y >= 0

70 Örnek DP Modeli-5 Grafik Çözümü En iyi çözüm için maliyet ’dir gün X madeni ve 2.86 gün Y madeni çalıştırılmalıdır.

71 Örnek DP Modeli-6 Bayan Fidan dört "temel gıda grubu" ile beslenmektedir: kek, çikolatalı dondurma, kola, ananaslı pasta. Bir adet kek $0.5'a, bir kaşık dondurma $0.2'a, bir şişe kola $0.3'a ve bir dilim pasta $0.8'a satılmaktadır. Her gün en az 500 kalori, 6 oz. çikolata, 10 oz. şeker ve 8 oz. ya ğ alması gereken Bayan Fidan en az maliyetle bu gereksinimlerini nasıl karşılar? Aşa ğ ıdaki tabloyu kullanarak bir DP modeli kurup sorunu çözünüz. KaloriÇikolata (ounce) Şeker (ounce) Yağ (ounc e) Kek (1 adet) Çikolatalı dondurma (1 kaşık) Kola (1 şişe) Ananaslı pasta (1 dilim)500045

72 Örnek DP Modeli-6 Karar de ğ işkenleri: x1: günlük yenilecek kek sayısı x2: günlük yenilecek kaşık dondurma sayısı x3: günlük içilecek şişe kola sayısı x4: günlük yenilecek dilim pasta sayısı şeklinde belirlenebilir. Bu durumda amaç fonksiyonu (cent cinsinden toplam günlük maliyet): min w = 50 x x x x4 Kısıtlar: 400 x x x x4 > 500 (günlük kalori) 3 x1 + 2 x2 > 6 (günlük çikolata) 2 x1 + 2 x2 + 4 x3 + 4 x4 > 10 (günlük şeker) 2 x1 + 4 x2 + x3 + 5 x4 > 8 (günlük ya ğ ) xi > 0, i = 1, 2, 3, 4 (işaret sınırlamaları!)

73 Örnek DP Modeli-6 Rapor Bayan Fidan günde 3 kaşık dondurma yiyip 1 şişe kola içerek tüm besin gereksinimlerini karşılayabilir ve sadece 90 cent harcar (w=90, x2=3, x3=1).

74 Örnek DP Modeli-7 Bir postanede haftanın her günü farklı sayıda elemana gereksinim duymaktadır. Sendika kurallarına göre bir eleman 5 gün peş peşe çalışmakta di ğ er iki gün izin yapmaktadır. Çalıştırılması gereken toplam en az eleman sayısını aşa ğ ıdaki iş yüküne göre hesaplayınız. PztSalÇarPerCumCmtPaz Gerekli eleman

75 Örnek DP Modeli-7 Karar de ğ işkenleri xi (i. gün çalışmaya başlayan eleman sayısı) olsun Matematiksel olarak DP modeli aşa ğ ıdaki gibi oluşturulabilir: min z = x1 +x2 +x3 +x4 +x5 +x6 +x7 x1 +x4 +x5 +x6 +x7 ≥ 17 x1 +x2 +x5 +x6 +x7 ≥ 13 x1 +x2 +x3 +x6 +x7 ≥ 15 x1 +x2 +x3 +x4 +x7 ≥ 19 x1 +x2 +x3 +x4 +x5 ≥ 14 +x2 +x3 +x4 +x5 +x6 ≥ 16 +x3 +x4 +x5 +x6 +x7 ≥ 11 x t ≥0,

76 Örnek DP Modeli-7 Rapor (xt) = (4/3,10/3,2,22/3,0,10/3,5), z = 67/3 şeklindedir. Karar de ğ işkeni de ğ erleri yakın tamsayılara yuvarlanırsa (xt) = (2,4,2,8,0,4,5), z=25 çözümü bulunur (yanlış olabilir!). Elde edilen Tamsayılı Lindo çözümüne göre ise amaç fonksiyonun en iyi de ğ eri z=23'dür ve (xt) = (4,4,2,6,0,4,3) şeklindedir.

77 Örnek DP Modeli-8 Sailco şirketi gelecek dört mevsimde kaç adet yelkenli üretece ğ ine karar verecektir. Talep sırasıyla 40, 60, 75 ve 25 yelkenlidir. Sailco tüm talepleri zamanında karşılamalıdır. Başlangıçta Sailco'nun envanterinde 10 yelkenli vardır. Normal mesai ile bir mevsimde 40 yelkenli üretebilen şirket yelkenli başına $400 işçilik maliyetine maruz kalmaktadır. Fazla mesai ile yapılan her ek yelkenli için ise işçilik maliyeti $450'dır. Herhangi bir mevsimde yapılan yelkenli ya talebi karşılamak için kullanılıp satılır ya da envantere konulur. Bir yelkenlinin bir mevsim envanterde tutulması durumunda ise $20 envanter taşıma maliyeti oluşmaktadır.

78 Örnek DP Modeli-8 t = 1,2,3,4 için karar de ğ işkenleri x t = t. mevsimde normal mesai ile üretilen yelkenli sayısı y t = t. mevsimde fazla mesai ile üretilen yelkenli sayısı Envanter hesaplarının yapılabilmesi için kullanılacak de ğ işkenler: i t = t. mevsimin sonunda envanterdeki yelkenli sayısı d t = t. dönem için yelkenli talebi Veri x t ≤ 40, ∀ t Mantıksal olarak i t = i t -1+ x t + y t - d t, ∀ t. Talep karşılanmalı i t ≥ 0, ∀ t ( İ şaret sınırlamaları x t,y t ≥0, ∀ t) Bu kısıt kümelerini kullanarak toplam maliyet z’yi enküçüklemeliyiz: z = 400(x1+x2+x3+x4) + 450(y1+y2+y3+y4) + 20(i1+i2+i3+i4)

79 Örnek DP Modeli-8 Lindo en iyi çözümü (x1, x2, x3, x4) = (40, 40, 40, 25), (y1, y2, y3, y4) = (0, 10, 35, 0) ve toplam maliyet = $ olarak verir. Üretim çizelgesi: M1M2M3M4 Normal mesai (xt)40 25 Fazla mesai (yt) Envanter(it) Talep (dt)

80 Örnek DP Modeli-9 Bir bilgisayar şirketinde müşteri hizmetleri için deneyimli uzmana olan talep (adamsaat/ay) aşa ğ ıdaki gibidir: tOcakŞubMartNisMay dt Ocak ayı başında şirkette 50 deneyimli uzman vardır. Her uzman ayda 160 saat çalışabilir. Yeni bir uzmanı yetiştirmek için deneyimli uzmanlar 50 saat ayırmaktadır ve söz konusu uzmanın eğitimi bir ayda tamamlanmaktadır. Her deneyimli uzmana ayda $2000, her yeni uzmana ise ayda $1000 ödenmektedir. Her ay deneyimli uzmanların %5'i işten ayrılmaktadır. Şirket hem hizmet talebini karşılamak istemekte hem de maliyetleri enazlamak istemektedir. Sorunu çözmek için DP modeli kurunuz.

81 Örnek DP Modeli-9 Karar de ğ işkenleri: xt = t ayında e ğ itilecek uzman sayısı İ şlem yapabilmek için kullanılan di ğ er de ğ işkenler ise yt = t. ayın başında şirketteki deneyimli uzman sayısı dt = t. ayın hizmet talebi Bu durumda min z = 2000(y1+...+y5)+1000(x1+...+x5) öyle ki 160yt-50xt ≥ dt for t = 1,...5 y1 = 50 yt =.95yt-1+xt-1 for t = 2,3,4,5 xt,yt≥0

82 Örnek 10. Hesmak adında bir firma, A ve B markalarında iki tip hesap makinesi üretmektedir. Her bir A marka hesap makinesinin üretimi için 4 entegre ve iki dijital ekran ve B marka hesap makinesi için de 2 entegre ve 4 dijital ekran kullanılmaktadır. Kullanılabilir entegre miktarı600 ve dijital ekran ise 480’dir. Üretilecek olan her bir A hesap makinesinin net karı8 TL ve her bir B hesap makinesinin net karı6 TL’dir. a)Firmanın karını maksimize edecek şekilde doğrusal programlama modelini kurunuz. b)Modeli grafik yöntemle çözünüz.

83 a) x= üretilecek A marka hesap makinesi adedi y= üretilecek B marka hesap makinesi adedi Z max= 8x + 6y 4x + 2y ≤ 600 2x + 4y ≤ 480 x ≥ 0 y ≥ 0 b) Modelin grafik yöntemle çözümü 4x + 2y ≤ 600 4x + 2y = 600 2x + 4y ≤ 480 2x + 4y = 480

84

85 4x + 2y = 600 2x + 4y = 480 Denklemleri çözümlenerek yukarıdaki tabloda görülen çözüm değerine ulaşılmaktadır. Böylece A hesap makinesinden 120 ve B hesap makinesinden 60 adet üretildiğinde kar maksimum olmaktadır ( kar 1320 TL )

86 Örnek 2. GÜBRECİ adında bir firma, nitrat ve fosfat maddelerinden oluşan karışık bir ürün üretmek istemektedir. Elde edilecek karışık ürün 50 kg ’lik paketler halinde satılacaktır. Araştırmalara göre, bir pakette en az 20 kg nitrat ve en fazla 40 kg fosfat olması gerekmektedir. Bir kg nitratın maliyeti 10 TL ve 1 kg fosfatın maliyeti ise 25 TL’dir. Firmanın amacı maliyeti en düşük olacak şekilde bir karışım ürün üretmektir. a)Firmanın maliyetini minimum yapacak şekilde doğrusal programlama modelini kurunuz. b)Modeli grafik yöntemle çözünüz.

87 a) x= karışımda kullanılacak nitrat miktarı y= karışımda kullanılacak fosfat miktarı Z min= 10x + 25y x + y = 50 x ≥20 y ≤ 40 ve x ≥0 y ≥ 0 ‘dır.

88 b)

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116 TESEKKUR EDERIM YAVUZ DEMIRDOGEN


"DO Ğ RUSAL PRO Ğ RAMLAMA Yavuz DEMIRDOGEN. İ çindekiler  Do ğ rusal Pro ğ ramlama (DP)  DP Modeli  Grafiksel çözüm Yöntemi  Simpleks Çözüm Yöntemi." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları