Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

İKİ DEĞİŞKENLİ BASİT DOĞRUSAL REGRESYON MODELİ Regresyon Y ile X (X ler) arasındaki ortalama ilişkinin matematik fonksiyonla ifadesidir. X’e bağlı olarak.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "İKİ DEĞİŞKENLİ BASİT DOĞRUSAL REGRESYON MODELİ Regresyon Y ile X (X ler) arasındaki ortalama ilişkinin matematik fonksiyonla ifadesidir. X’e bağlı olarak."— Sunum transkripti:

1

2 İKİ DEĞİŞKENLİ BASİT DOĞRUSAL REGRESYON MODELİ Regresyon Y ile X (X ler) arasındaki ortalama ilişkinin matematik fonksiyonla ifadesidir. X’e bağlı olarak Y’nin ortalamasının nasıl değiştiğini gösterir. Sabit terimEğim

3 y2y2 y1y1 x2x2 x1x1 Y X ΔXΔX ΔY= b 2 ΔX Doğrusal denklemin grafiği düz bir çizgi olup sabit ve eğim katsayılarını birbirinden ayırma özelliğine sahiptir. Sabit sayı X=0 olduğu zaman Y’nin alacağı azami değer ve eğim ise ΔY/ ΔX oranı olup X üzerindeki bir noktadan diğer bir noktaya olan hareketliliği göstermektedir. b1b1

4 b 1 ve b 2 hakkında bazı çıkarsamalar: Eğer b 2 pozitif ise çizginin veya doğrunun eğimi soldan sağa yukarıya doğru; yok eğer negatif ise tersi geçerlidir. Eğer b 2 ’in mutlak değeri büyükse doğru daha dik olmaktadır. Eğer b 2 = 0 ise doğru X eksenine b 1 noktasında paralleldir. Bir çok fonksiyonlar düz çizgi halinde değildirler

5 İfadesini minimize eden parametre tahmincilerinin değerlerini bulabilmek için eşitliğin  0 ve  1 ‘e göre türevleri alınıp 0’a eşitlenir. Her iki denklemi de 0’a eşitlersek;  0 ‘a göre türev alınırsa;  1 ‘e göre türev alınırsa;

6 Parantezleri açarsak; Bu denklemlere doğrunun NORMAL DENKLEMLERİ denir. Normal denklemler alt alta yazılıp birlikte çözüldüklerinde b 0 ve b 1 tahmincileri bulunur. şeklindeki formüller yardımıyla da tahminciler bulunabilir.

7 ÖRNEK REGRESYON DENKLEMİ Katsayıların Tahmini §Normal Denklemler ile, §Doğrudan Formüller ile, §Ortalamadan Farklar ile,

8 Tüketim Gelir

9 NORMAL DENKLEMLER  Y = n +  X  XY=  X +  X 2  Y=?,  X=?,  XY= ?,  X 2 = ?, n

10 Y XYX X2X  Y=1370  X 2 =  X=1700  YX=258220

11 NORMAL DENKLEMLER  = 10 +   =  +  -170 / -  =   =  +  = = =

12 ÖRNEK REGRESYON DENKLEMİ

13 = DOĞRUDAN FORMÜLLER

14 =

15 ÖRNEK REGRESYON DENKLEMİ

16 ORTALAMADAN FARKLAR  yx=?  x 2 =? y=? x=?

17 Ortalamalar Orijinine göre Örnek Regresyon Doğrusu (ÖRD)

18 Y X  Y=1370  x=0  X=1700  y=0 ORTALAMADAN FARKLAR

19 x2x2 yx y2y2  yx=25320  x 2 =33000  y 2 =20606

20 ORTALAMADAN FARKLAR = = =137-(0.7672).(170)

21 ÖRNEK REGRESYON DENKLEMİ

22 ELASTİKİYETLERİN HESAPLANMASI Nokta Elastikiyet Ortalama Elastikiyet

23 NOKTA ELASTİKİYET X 0 = 130

24 NOKTA ELASTİKİYET 0.94

25 ORTALAMA ELASTİKİYET = 0.95

26 Tahminin Standart Hatası ve Varyansı (n  30 ise) (n<30 ise) Tahminin standart hatası, regresyon doğrusu etrafındaki dağılımın bir ölçüsüdür.

27 Tahminin Standart Hatası ve Varyansı

28 Tüketim Gelir  Y=1370  e=0  e 2 =

29 Tahminin Standart Hatası ve Varyansı = s 2 =  Y 2 =?  Y = ?  YX=? b 1 =?b 2 =? =

30 Tahminin Standart Hatası ve Varyansı  y 2 = ?  yx = ? b 2 = ? =

31 DEĞİŞKENLİKLER Y X  YiYi  XiXi 

32  y 2 =20600  e 2 =

33 DEĞİŞKENLİKLER y2y2 = e2e = = varyanslar

34 BELİRLİLİK KATSAYISI Noktaların doğruya yakınlık derecesini göstermektedir. Y’deki değişmelerin yüzde kaçının X tarafından açıklanabildiğini ifade etmektedir. R 2 0 ile 1 arasında değişmektedir. KORELASYON KATSAYISI Y ile X arasındaki ilişkinin yönünü ve şiddetini vermektedir. -1 ile +1 arasında yer almaktadır.

35 BELİRLİLİK KATSAYISI = =

36 Belirsizlik katsayısı

37 BELİRLİLİK KATSAYISI = =

38 DAĞILMA DİYAGRAMLARI

39 STANDARTLAŞTIRILMIŞ HATA TERİMLERİ eiei e i /s XiXi

40

41 EKKY Varsayımları

42 Bağımlı Değişken Y nin Dağılımı Y bağımlı değişkeninin ortalaması Varyansı olduğu gösterilecektir.

43 1. Y nin ortalaması kendisinin beklenen değerine eşittir. Beklenen değer alındığında b 1 ve b 2 parametreler iken X i değerleri değişmez değerler kümesinden geldikleri için bulunur.

44 Y i nin varyansı ve eşitliklerini varyans tanımında yerine koyarsak u i lar sabit varyanslıdır. Yani hepsinin varyansı sabit değerlidir. Yani

45 En Küçük Karalerle Parametre Tahminlerinin Ortalama ve Varyansı in ortalaması: in varyansı:

46 in ortalaması: in varyansı:

47 EKK Tahminlerinin Standart Hataları ve Kullanılışı EKK tahminlerive örnek verilerine dayanarak hesaplanır. Bir anakütleden bir çok örnek çekilebilir, bu durumda her örnek seti için farklı tahminciler elde edilecektir. Örnek değerlerinin anakütle değerleri b 1 ve b 2 ye ne ölçüde yakın olduğu standart hatalarla hesaplanır. Standart hata, tahmincinin örnekleme dağılımının standart hatasıdır.

48 Bir tahmincinin örnekleme dağılımı anakütleden seçilebilecek aynı büyüklükteki örneklerin lerin dağılımıdır. (75 milyar) 60 hanelik anakütleden çekebileceğimiz onluk (75 milyar) örnek için hesaplanan değerlerinin örnekleme dağılımı ortalama etrafında normal dağılmaktadır. Anakütleden çekilen örnekler için hesaplanan EKK leri örneklerin farlı değerli Y(tüketim) ve X(gelir gibi) e sahip hanelerden oluşması gibi örnekleme hatalarından dolayı gerçek değerinden farklıdır.

49 Örnekleme hataları + ve – yönde aynı ihtimalle ortaya çıkan hatalardır. Ortalama ölçüsü standart hatadır. Katsayıların Standart Hataları = =

50 Aralık Tahminleri ± t  /2. s( ) =  (0.0668) <  2 < =  (11.99) <  1 <

51 Hipotez Testleri <  2 < <  1 < Güven Aralığı Yaklaşımı İle

52 Hipotez Testleri Anlamlılık Testi Yaklaşımı İle Hipotezlerin Formüle Edilmesi Tablo Değerlerinin Bulunması Test İstatistiğinin Hesaplanması Karar Verilmesi

53 Hipotez Testleri 1.Aşama H 0 :  2 = 0 H 1 :  2  0 2.Aşama  = ? = 0.05 ;S.d.=?= n-k= 10-2=8 3.Aşama t ,sd =?t 0.05,8 =?=2.306 = Aşama|t hes = | > |t tab = | H 0 hipotezi reddedilebilir

54 Regresyon ve Varyans Analizi

55

56 EKK Modelinde Önceden Tahmin İleriye Ait Tahmin Önceden Tahmin Örnekten Tahmin Edilen İlişkinin Ayni Kaldığı X Değerlerinin Aynı Eğilimde Olacağı

57 Y’nin Aralık Tahmini

58 0 Y ˆ X 0 =80 = ±  )80(    Y 0 | X 0 

59 Y’nin Ortalamasının Aralık Tahmini 0 Y ˆ ± t  /2. s 2  2 0 x )XX( n 1  

60 Y’nin Ortalamasının Aralık Tahmini 0 Y ˆ X 0 =80 = ±  )80( 10 1    E(Y 0 | X 0 ) 

61 Y’nin Güven Aralıkları X0X0 Alt SınırÜst Sınır Alt Sınır Y’ninAralık TahminleriY’nin OrtalamasınınAralık Tahminleri

62

63 En Küçük Kareler Tahminlerinin Özellikleri Genellikle bir tahminin ana kütle parametresinin gerçek değerine yakın olması ve bu gerçek parametre yakınlarında dar bir aralıkta değişmesi istenir. Ana kütle parametresine ‘yakınlık’ çeşitli ekonometri tahmin yöntemleri ile bulunmuş tahminlerin örnekteki dağılımların ortalaması ve varyansıyla ölçülür. 1. Tahmin Edicilerin Küçük Örnek Özellikleri

64 §Burada her zamanki varsayımsal yenilemeli örnekleme süreci kullanılır, yani her birinden n gözlemli çok sayıda örneğin alındığı varsayılır. Ekonometri yöntemlerinin her birini kullanarak her örnekten hesaplanıp dağılımları oluşturulur. §Küçük örnekten bulunmuş iyi bir tahmin edici için temel ölçütler:Sapmasızlık, En küçük varyans, Etkinlik, Doğrusal en iyi sapmasızlık (DES), En küçük ortalama hata karesi (OHK), Yeterlilik dir. En Küçük Kareler Tahminlerinin Özellikleri

65 a. Sapmasız Tahmin Edici §Bir tahmin edicinin sapması, beklenen değeriyle gerçek parametre arasındaki fark olarak tanımlanır. Sapma= -b §Eğer sapma sıfırsa yani = b ise, sapmasız olur. Örneklerin sayısı artıkça, sapmasız tahmin edicinin, parametrenin gerçek değerlerine yaklaştığı anlamına gelir. Sapmasız bir tahmin edici ‘ortalama olarak’ parametrenin gerçek değerini verir. §Aranan bir özellik olmasına karşın, sapmasızlık kendi başına çok önemli değildir. Ancak küçük bir varyansla birleşirse önemli olur.

66 §, b’nin sapmalı tahmin edicisidir §, b’nin sapmasız tahmin edicisidir a. Sapmasız Tahmin Edici

67 b. En Küçük Varyanslı Tahmin Edici (En İyi Tahmin Edici)… Bir tahmin, başka ekonometri yöntemleriyle bulunmuş başka herhangi bir tahminle karşılaştırıldığında en küçük varyansa sahipse en iyi tahmindir. nin en iyi olma koşulu: < Ya da; Var( )

68 §Varyansı küçük olduğu halde sapması büyük olan bir tahmin edici, gerçek b parametresinden oldukça uzak bir değer etrafında toplanabilmektedir., b nin büyük varyanslı sapmasız tahmin edicisidir., b nin küçük varyanslı sapmalı bir tahmin edicisidir. b. …En Küçük Varyanslı Tahmin Edici (En İyi Tahmin Edici)

69 c. Etkin Tahmin Edici §Bir tahmin edici; sapmasız ve başka herhangi sapmasız tahmin ediciyle karşılaştırıldığında daha düşük varyansa sahipse etkin tahmin edicidir. §Aşağıdaki iki koşul yerine getirilirse etkindir: (i) ve §Burada, gerçek b nin başka bir sapmasız tahmin edicisidir. Başka bir deyişle, etkin tahmin edici, bütün tahmin sapmasız ediciler sınıfı içinde en düşük (en iyi) varyansa sahip olan tahmin edicidir. (ii)

70 d. Doğrusal Tahmin Edici… §Bir tahmin edici, örnekteki gözlemlerin doğrusal bir fonksiyonuysa doğrusal sayılır. Örnek gözlemleri veriyken, doğrusal bir tahmin edici şu biçimi alır: Burada k i ler sabit değerlerdir. §Örneğin olduğundan örnek ortalaması doğrusal bir tahmin edicidir. Çünkü :

71 örnek ortalaması hesaplanırken her gözleme, 1/n ye eşit olan aynı k ağırlığı verilmiştir. d...Doğrusal Tahmin Edici…

72 e. Doğrusal en iyi sapmasız tahmin edici (DEST) §Bir tahmin edici, doğrusalsa sapmasızsa ve gerçek b nin öteki doğrusal sapmasız tahmin edicileriyle karşılaştırıldığında en küçük varyansa sahipse, DEST olur.

73 f. En küçük ortalama hata kareli (OHK) tahmin edici §Ortalama hata karesi ölçütü, sapmasızlık ve en küçük varyans özelliklerinin bir bileşimidir. Burada OHK, tahmin edicinin ana kütledeki gerçek parametre b ile olan farkının karesinin beklenen değeri olarak tanımlanır: §OHK nin, tahmin edicinin varyansıyla sapma karesinin toplamına eşit olduğu gösterilebilir:

74 f… En küçük ortalama hata kareli (OHK) tahmin edici… İspat:

75 Çünkü: f. En küçük ortalama hata kareli (OHK) tahmin edici

76 g. Yeterli tahmin edici §Yeterli bir tahmin edici, gerçek parametre hakkında bir örneğin içerdiği bütün bilgileri kullanıma koyan bir tahmin edicidir. Bu başka hiçbir tahmin edicinin, tahmin edilmekte olan gerçek ana kütle parametresi hakkında daha fazla bilgi sunamayacağı anlamına gelir.

77 2. Tahmin edicilerin büyük örnek özellikleri: Asimtotik özellikler §Büyük örnek özelliklerinin, bir tahminin iyiliğini belirleme ölçütü olarak kullanılması, örneğin sonsuz büyük olmasını gerektirir. İşte bu nedenle bu özelliklere asimtotik özellikler denir. Örnek büyük olduğu zaman bu özelliklerin yaklaşık olarak sağlandığı varsayılır. Özellikler ise şunlardır: asimtotik sapmazlık, tutarlılık ve asimtotik etkinlik.

78 Asimtotik dağılım: Bir dizi rassal değişken düşünüldüğünde; Bunlardan her birinin kendi dağılımı, ortalaması ve varyansı vardır. Dağılımlar gitgide artan örnek büyüklüklerinden oluşturulmuştur. n T sonsuza giderken bu dağılımlar da belli bir dağılıma doğru yaklaşıyor olabilirler. İşte bu dağılıma {X (n) } dizisinin asimtotik dağılımı denir Tahmin edicilerin büyük örnek özellikleri: Asimtotik özellikler

79 a. Asimtotik sapmasızlık… §Bir tahmincinin asimtotik sapması, asimtotik ortalaması ile gerçek parametre arasındaki farka eşittir. §Eğer edicisinin asimtotik ortalaması, ana kütlenin gerçek b parametresine eşit ise, bu tahmin edici, bu parametrenin asimtotik sapmasız tahmin edicisidir.

80 §Eğer bir tahmin edici (sonlu küçük örneklerde) sapmasızsa aynı zamanda asimtotik sapmasızdır, ama bunun tersi doğru değildir. a… Asimtotik sapmasızlık Asimtotik bir sapmasız tahmin edici, örnek büyüklüğü yeterine büyük olduğunda sapması kaybolan bir tahmin edicidir.

81 b. Tutarlılık… §Bir edicisi, aşağıdaki iki koşulla, ana kütlenin b gerçek parametresinin tutarlı bir tahmin edicisidir: 1. asimtotik sapmasız olmalıdır. 2. n sonsuza giderken'nin varyansı sıfıra yaklaşmalıdır:

82 §Eğer varyans sıfırsa, dağılım ana kütlenin gerçek parametresinin üstünde bir noktada toplanır. §Bir tahmin edicinin tutarlı olup olmadığını anlamak için, n arttıkça sapmanın ve varyansının ne olduğuna bakılmalıdır. (n) büyüdükçe hem sapma hem varyans azalmalı ve limitte ( iken) sıfır olmalıdır. Tutarlılık kavramı aşağıda çizilmiştir. Örnek büyüklüğü artıkça hem sapma hem varyans azalmaktadır. Tutarlılık…

83 c. Asimtotik etkinlik Eğer (1) tutarlıysa (2)Başka herhangi bir tutarlı tahmin ediciye göre daha küçük bir asimtotik varyansı varsa bu tahmin edici ana kütlenin gerçek b parametresinin asimtotik etkin bir tahmincisidir. Eğer; ise asimtotik etkindir. Burada, b nin başka bir tutarlı tahmin edicisidir. Tutarlı tahmin ediciler karşılaştırıldığında hangisinin varyansı daha hızla sıfıra yaklaşıyorsa o, asimtotik etkendir.

84 3. En Küçük Kareler Tahmin Edicilerinin Özellikleri §Hata terimi u'nun bazı genel varsayımları yerine getirmesi, yani ortalamasının sıfır ve varyansının sabit olması koşuluyla, en küçük kareler tahmincilerinin DES ( doğrusal, en iyi, sapmasız) özelliklerini sağlamasına Gauss-Markow en küçük kareler teoremi denmektedir.

85 a. Doğrusallık §En küçük kareler tahminleri ve gözlenen örnekteki Y i değerlerinin doğrusal fonksiyonlarıdır. Varsayım gereği X i ler hep aynı değerlerle göründüklerine göre en küçük kareler tahminlerinin yalnız Y değerlerine bağlı olduğu gösterilebilir. İspat: Varsayım gereği X değerleri sabit değerler kümesidir. Bu durumda k i lerde örnekten örneğe değişmezler.

86 Bu durumda şunu yazabiliriz: Y’lerin doğrusal bir fonksiyonudur. Bağımlı değişken değerlerinin doğrusal bir bileşimidir. ve k i Örnekten örneğe değişmez. katsayı tahmini sadece Y ye bağlıdır. …Doğrusallık

87 b. Sapmasızlık § ve nin sapmasızlık özelliği ve şeklindedir. Bu özelliğin anlamı, örneklerin sayısı artıkça tahminler de parametrelerin gerçek değerine yaklaşır. Başka bir deyişle, n sayıda Y ve X gözleminden oluşan, olanak içindeki bütün örnekleri seçildiğinde ve ile tahminleri her örnek için hesaplandığında, bu tahminlerden çok fazla sayıda elde edilir. Bunların ortalaması ise ilişkinin parametrelerine eşit olur. Tahminlerin dağılımı, orta nokta olarak parametrenin gerçek b değeri üzerinde toplanacaktır.

88

89 c. En Küçük Varyans §Gauss-Markow teoremi ispatı: Bu teoreme göre en küçük kareler tahminleri, başka ekonometri yöntemleriyle bulunmuş herhangi bir başka doğrusal sapmasız tahmin ediciler arasında en iyisidir ( varyansı en küçük olandır). EKK yönteminin tercih edilmesinin temel nedeni de bu özelliktir.


"İKİ DEĞİŞKENLİ BASİT DOĞRUSAL REGRESYON MODELİ Regresyon Y ile X (X ler) arasındaki ortalama ilişkinin matematik fonksiyonla ifadesidir. X’e bağlı olarak." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları