ANA SAYFA BELİRSİZ İNTEGRAL TANIM: f:[a,b]  R tanımlı iki fonksiyon olsun.Eğer F(x) in türevi F(x) veya diferansiyeli f(x).d(x) olan F(x) fonksiyonuna,

... konulu sunumlar: "ANA SAYFA BELİRSİZ İNTEGRAL TANIM: f:[a,b]  R tanımlı iki fonksiyon olsun.Eğer F(x) in türevi F(x) veya diferansiyeli f(x).d(x) olan F(x) fonksiyonuna,"— Sunum transkripti:

1

2

3 ANA SAYFA

4 BELİRSİZ İNTEGRAL TANIM: f:[a,b]  R tanımlı iki fonksiyon olsun.Eğer F(x) in türevi F(x) veya diferansiyeli f(x).d(x) olan F(x) fonksiyonuna, f(x) fonksiyonunun belirsiz integrali denir ve  f(x).d(x)=F(x)+c biçiminde gösterilir. BELİRSİZ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ 1) Bir belirsiz integralin türevi, integrali alınan fonksiyona eşittir. Yani, = = f(x) tir. 2) Bir belirsiz integralin diferansiyeli, integral işaretinin altındaki ifadeye eşittir. Yani, d(  f(x).dx) = f(x).dx ANA SAYFA

5 3) Bir fonksiyonun diferansiyelinin belirsiz integrali, bu fonksiyon ile bir C sabitinin toplamına eşittir. Yani,  d(f(x)) = f(x) + c dir. iNTEGRAL ALMA KURALLARI 1)  dx = (1/n+1) +c (n  -1) 2)  (1/x)dx = ln |x| +c 3)  dx = +c 4)  dx = (1/lna). +c 5)  sinxdx = -cosx+c 6)  cosx =sinx+c 7)  tanx.secx.dx = secx+c ANA SAYFA

6 8)  cotx.cosecx.dx = -cosecx+c 9) .dx =  (1/.dx) = (1+ )dx = tanx+c 10) .dx =  (1/ ).dx =  (1+ ).dx=-cotx+c 11)  (1/1+ ).dx =arctanx+ =-arccotx+ 12)  dx=arcsinx+ =-arccosx+ Örnek:  (2x+1)dx belirsiz integralini bulalım. Çözüm :  (2x+1).dx= 2  x.dx+  1.dx=2.( /2)+1.x+c= +x+c bulunur. Örnek:  -[(2x-3x) / x].dx belirsiz integralini bulalım. Çözüm:  [(2x-3x) / x].dx =  [(2x/x) -(3x/x)].dx=  2x.dx-  3/x.dx =2  x.dx-3  (1/x)dx=x-3 ln |x|+c ANA SAYFA

7 İNTEGRAL ALMA METOTLARI DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME METODU İntegral hesaplarında, uygun bir değişken değiştirmesi yapılarak integrali hesaplanacak ifade ilkeli kolaylıkla bulunabilecek bir ifadeye dönüştürülür. 1)  f(x)..dx=  f(x).d(f(x)) integralinde fonksiyon ve türevi çarpım şeklinde ise, değişken değiştirme metodu kullanılır. Değişken değiştirme yapılırken hem fonksiyonun hem de diferansiyelin değişimi yapılmalıdır. F(x)=u dönüşümü yapılırsa; d(f(x))=d(u) =>.dx= du olur. Bulunan bu değerleri yerlerine yazalım:  f(x). dx=  u.du=( /2)+c=1/2 (x)+c şeklinde çarpım fonksiyonunun integrali alınmış olur. ANA SAYFA

8 2)  dx =  d(f(x)) integralinde genellikle üssü görmeden f(x)=u dönüşümü yapılır. Fakat türev oluşmazsa = u denilmelidir. Burada f(x) = u dönüşümü yapılırsa; f(x) = u =>d(f(x))=(du) =>.dx=du olur. Bulunan bu değerleri yerine yazalım: ANA SAYFA

9 3) integralinde, f(x) dönüşümü yapılırsa ; her iki tarafın diferansiyelini alalım: d(f(x))=d(u) => dx=du olur. Bulunan bu değerleri yerlerine yazalım: bulunur. ANA SAYFA

10 4) integralinde; f(x) = u dönüşümü yapılırsa ;d(f(x))=d(u) =>.dx = du olur. Bulunanları yerlerine yazalım: bulunur. 5) integralinde, g(x) = u dönüşümü yapılırsa ; g(x)=u => d(g(x))= d(u)=> g’(x).dx=du olur. ANA SAYFA

11 Bulunanları yerlerine yazalım: gibi basit fonksiyon integrali elde edilir. İNTEGRALDE TRİGONOMETRİK DÖNÜŞÜMLER İntegrandında bulunan integraller, trigonometrik dönüşümler yardımıyla hesaplanır. Amaç, yapılacak trigonometrik dönüşümlerle irrasyonel fonksiyon integralini, rasyonel fonksiyon integraline dönüştürmektedir. 1)İntegrandında Varsa(a>0) olur. ANA SAYFA

12 olur. 2)İntegrandında varsa; olur. 3)İntegrandında varsa; (a>0) x = a.tant dönüşümü yapılır. Buna göre, ANA SAYFA

13 2)KISMİ İNTEGRASYON METODU YARDIM: 1)dv’nin integrali kolay olmalı. 2) integrali ilk integral 3) u’yu seçerken genelde aşağıdaki sıra ile seçmek avantajlıdır. ANA SAYFA

14 ÖRNEK: x.cos.dx u= x ; dv=cosx.dx du=dx ; v=sinx =>x.sinx- sinx.dx =xsinx+cosx+c ÖRNEK2: lnx/x 2 u=lnx dv=1/x 2.dx du=(1/x).dx v=-1/x =>u.v- v.du lnx(-1/x)- (1/x).(1/x).dx ANA SAYFA

15 .dx = = = (-lnx/x)-(1/x)+c = (-lnx-1/x)+c 3) BASİT KESİRLERE AYIRMA METODU ÖRNEK: =x 2 +x kalan:2 ANA SAYFA

16 B=3 ; C=1 ;A=-3 Örnek: =-3ln|x|+3ln|x-1|+ln|x+1|+c ANA SAYFA

17 4) TRİGONOMETRİK DÖNÜŞÜMLER YARDIMI İLE (sina.sinb)= -1/2(cos(a+b)-cos(a-b)) (cosa.cosb)= 1/2(cos(a+b)-cos(a-b)) (sina.cosb)= 1/2(sin(a+b)-sin(a-b)) ANA SAYFA

18 ÖRNEKLER: 1) 2) 3) 4) sinx 2.dx=??? 5) ANA SAYFA

19

20

21 => u=sinx du=cosx.dx ANA SAYFA

22 => u=secx du=secx.tanx.dx ANA SAYFA

23 u=tanx du=sec 2 x.dx ANA SAYFA

24 5)ÖZEL DÖNÜŞÜMLER Sadece köklü ifade varsa!!! ANA SAYFA

25 ÖRNEK1: ÖRNEK3: ÖRNEK2: ANA SAYFA

26

27 =(2x+1) 2 +4 2 DEVAMI ANA SAYFA

28 tanu=2x+1/4 Secu=1/2 ln| | ANA SAYFA

29

30 c yok ; c-c=0 ANA SAYFA

31 x dx 1 2 3 2 1 2   ANA SAYFA

32 x  Arcsin x dx 1 2 3 2 1 2   ANA SAYFA

33

34 BELİRLİ İNTEGRALİN TÜREVİ ÖRNEK: ANA SAYFA

35

36 ÖZEL FONKSİYONUN İNTEGRALİ ANA SAYFA

37

38

39

40 İNTEGRALDE ALAN HESABI 1) A)BİR EĞRİNİN ALTINDA KALAN ALAN y=f(x), x=a, x=b ve x ekseni ANA SAYFA

41 B ) x=g(y), y=c, y=d ve y ekseni ANA SAYFA

42 2) İKİ EĞRİ ARASINDA KALAN ALAN y=f(x), y=g(x), x=a, x=b ANA SAYFA

43 y=x 2 -x-2 x ekseni ve x=-2, x=2 doğrusu y=2-x 2, y=-x arasındaki alan ANA SAYFA

44

45 2-x 2 =-x x 2 -x-2=0 x=2, x=-1 ANA SAYFA

46 DÖNEL CİSİMLERİN HACİMLERİ İki eğri arasında x ekseni etrafında; X ekseni etrafında; Y ekseni etrafında; ANA SAYFA

47 x=a, x=b y=f(x) y ekseni etrafında; f(x) ve x=c, x=a,x=b arası bölge c etrafında ANA SAYFA

48 Yarıçapı r olan kürenin hacminin olduğunu gösteriniz. x ekseni arsında kalan bölgenin x ekseni etrafındaki hacmi nedir? ANA SAYFA

49

50

51

52

53

54

55

56 

57 