Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Slayt6 Teorem: f:[a,b]  R, g:[a,b]  R fonksiyonları [a,b] aralığında integrallenebilir iki fonksiyon olsun. c  [a,b] ve k  R olmak üzere:

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Slayt6 Teorem: f:[a,b]  R, g:[a,b]  R fonksiyonları [a,b] aralığında integrallenebilir iki fonksiyon olsun. c  [a,b] ve k  R olmak üzere:"— Sunum transkripti:

1 slayt6 Teorem: f:[a,b]  R, g:[a,b]  R fonksiyonları [a,b] aralığında integrallenebilir iki fonksiyon olsun. c  [a,b] ve k  R olmak üzere:

2 slayt7 Örnek: a-) b-) c-)

3 slayt8 Çözüm: a-) b-) c-)

4 Alan Hesabı Dönel Cisimlerin Hacimleri

5 slayt1 Alan Hesabı Eğrilerle sınırlı düzlemsel bölgelerin alan hesabını yaparken, aşağıdaki teoremi kullanacağız. Teorem: f:[a,b]  R, f(x) fonksiyonu pozitif ve integrallenebilen bir fonksiyon olsun. y=f(x) eğrisi, x=a, x=b ve y=0 doğruları tarafından sınırlanan bölgenin alanı,

6 slayt2 1.Sonuç: y=f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında negatif değer alıyorsa,

7 slayt3 2.Sonuç: f:[a,b]  R,y=f(x) fonksiyonu, aralığın bir parçasında negatif değerli, bir parçasında pozitif değerli ise,

8 slayt4 Örnek1: f(x)=3x 2 +6x eğrisi ve Ox ekseni arasında kalan kapalı bölgenin alanını hesaplayalım.

9 slayt5 Çözüm1: Şekilden görülebileceği gibi, f(x)=3x 2 +6x=0 denkleminin kökleri 3x(x+2)=0  x 1 =-2 ve x 2 =0 dır. Kökler arasında f(x)<0 olduğundan; aranan alan;

10 Slayt6 Örnek2: Aşağıdaki grafik, f(x)=lnx fonksiyonuna aittir. Buna göre, taralı alanlar toplamı S ise, S değeri nedir?

11 Slayt7 Çözüm2: Fonksiyon [1/e,1] arasında negatif, [1,e 2 ] arasında pozitif değerler aldığı dikkate alınırsa, aranan alan;

12 3.Sonuç: f:[a,b]  R, g:[a,b]  R integranellenebilen iki fonksiyon olsun. Slayt8

13 Slayt9 Bu durumda, iki eğri arasında kalan taralı alan;

14 4.Sonuç: Slayt10

15 slayt11 Örnek1: f(x)=sinx ve g(x)=cosx fonksiyonları veriliyor: a. İki fonksiyonun grafikleri arasında kalan ve x=0, x=  /6 doğruları ile sınırlı bölgenin alanını bulunuz. b. İki eğri arasındaki kapalı bölgelerinden birisinin alanını hesaplayınız.

16 slayt12 Çözüm1: a. f(x)=sinx, g(x)=cos(x) fonksiyonlarının grafikleri şekildeki görülmektedir. x  [0,  /6] aralığında cosx>sinx olduğundan;

17 slayt13 b. f(x) = g(x)  sinx = cosx  cos (  /2-x) = cosx  x 1 =  /4, x 2 = 5  /4. O halde, f(x)=sinx, g(x)=cosx eğrileri arasındaki sınırlı bölgelerden birinin alanı,

18 slayt14 Teorem: g:[c,d]  R, x=g(y) fonksiyonu [c,d] aralığında pozitif ve integrallenebilen bir fonksiyon olsun. x=g(y) eğrisi, y=c, y=d ve x=0 doğruları tarafından sınırlanan bölgenin alanı,

19 Örnek: Aşağıdaki şekilde, x = y 2 +1 eğrisinin x=1 ile x=5 aralığındaki parçası çizilmiştir. Buna göre, taralı alan kaç br 2 dir? slayt15 Çözüm: Önce integralin sınırlarını bulalım. x=1 için, 1=y 2 +1  y=0 x=5 için, 5=y 2 +1  y  0 olduğundan, y=2 bulunur.

20 slayt16 5.Sonuç: x=g(y) fonksiyonu [c,d] aralığında negatif değerler alan integrallenebilen bir fonksiyon olsun. Bu durumda; x=g(y) eğrisi, y=c, y=d, ve x=0 doğruları ile sınırlı bölgenin alanı;

21 slayt17 Örnek: Aşağıdaki şekilde görülen parabolün denklemi, x=y 2 - 2y dir. Taralı bölgenin alanının kaç birim kare olduğunu bulalım. Çözüm: y 2 -2y=0  y 1 =0  y 2 =2 bulunur. Buna göre taralı alan;

22 slayt18 6.Sonuç: Eğer x=g(y) fonksiyonu [c,d] aralığında hem negatif hem de pozitif değerler alıyorsa, x=g(y) eğrisi, y=c, y=d ve x=0 doğruları ile sınırlı bölgenin alanı,

23 slayt19 Örnek: Aşağıdaki şekilde görülen eğrinin denklemi, x= -y.(y+1).(y-2) dir. Buna göre,taralı alanların toplamı kaç birim karedir? Çözüm: x= -y.(y+1).(y-2)=0  y 1 =-1, y 2 =0, y 3 =2 bulunur. Verilen bağıntı denkleminde; -1 0 olduğundan aranan alanlar toplamı;

24 slayt20 7.Sonuç: x=g(y), x=f(y) eğrileri arasında kalan y=c, y=d doğruları ile sınırlı alan;

25 slayt21 Örnek: x=y 2 parabolü ile x+y=6 doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanını bulunuz. Çözüm: y 2 =6-y  y 2 +y-6=0  y 1 =-3  y 2 =2 bulunur.

26 slayt22 Dönel Cisimlerin Hacimleri Teorem: y=f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında integrallenebilen bir fonksiyon olmak üzere, y=f(x) eğrisi etrafında, x=a, x=b ve Ox ekseni etrafında 360 o döndürülmesi ile oluşan dönel cismin hacmi;

27 slayt23 1.Sonuç: [a,b] aralığında integrallenebilen iki fonksiyon, y=f(x) ve y=g(x)olsun.  x  [a,b] için f(x)  g(x)  0 ise; y=f(x) ve y=f(x) eğrileri, x=a ve x=b doğruları arasında kalan bölgenin Ox ekseni etrafında 360 o döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi; Örnek: f(x)=x 2 eğrisi, x=0, x=2 doğruları ve Ox ekseni etrafından sınırlanan kapalı bölgenin Ox ekseni etrafında 360 o döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmini bulunuz.

28 slayt24 Çözüm:Elde edilen cisim, yukarıdaki şekilde görülmektedir.

29 slayt25 2.Sonuç: x=f(y) fonksiyonunun eğrisi, y=c, y=d doğruları ve Oy ekseni ile sınırlanan düzlemsel bölgenin Oy etrafında 360 o döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi;

30 slayt26 3.Sonuç:  y  [c,d] için f(y)  g(y)  0 ise; x=f(y) ve x=g(y) eğrileri ile y=a ve y=b doğruları arasında kalan bölgenin y ekseni etrafında 360 o döndürülmesiyle oluşan yeni cismin hacmi;

31 slayt27 Örnek1: y=x 2 parabolü, x=0, y=2 doğruları arasında kalan bölgenin Oy ekseni etrafında 360 o döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmini bulunuz. Çözüm1: y=x 2  x=  y (x  0= dır. Oluşan cismin hacmi;

32 slayt28 Örnek2: x=y 2 eğrisi ve y=x 2 eğrisi arasında kalan düzlemsel bölgenin Oy ekseni etrafında 360 o döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmini bulunuz.

33 slayt29 Çözüm2: y=x 2  y=(y 2 ) 2  y=y 4  y-y 4 =0  y=0 ve y=1 bulunur. O halde, oluşan dönel cismin hacmi; y  [0,1] da y=x 2 parabolünün oluşturduğu hacimden, x=y 2 parabolünün oluşturduğu hacim çıkartılarak bulunur.

34 slayt30 Örnek3:  x+  y=1 eğrisinin koordinat eksenleri arasında kalan bölgenin, Ox ekseni etrafında 360 o döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmini bulunuz.

35 Çözüm3: slayt31  y=1-  x  y=1-2  x+x dir. Eğri, eksenleri x=1 ve y=1 de keser.

36 Bitir


"Slayt6 Teorem: f:[a,b]  R, g:[a,b]  R fonksiyonları [a,b] aralığında integrallenebilir iki fonksiyon olsun. c  [a,b] ve k  R olmak üzere:" indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları