Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Fonksiyonların Asimptotlarını bulma Asimptot nedir? Kaç çeşit Asimptot vardır?

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Fonksiyonların Asimptotlarını bulma Asimptot nedir? Kaç çeşit Asimptot vardır?"— Sunum transkripti:

1

2 Fonksiyonların Asimptotlarını bulma Asimptot nedir? Kaç çeşit Asimptot vardır?

3 Asimptot nedir? Bir (d) doğrusu veya bir (c) eğrisi ile bir y=f(x) fonksiyonun sonsuza giden uçları arasındaki uzaklık sıfıra yaklaşıyorsa, bu doğru veya eğriye, fonksiyonun bir ASİMPTOT ’ u denir.

4 y x 0 y=b y=f(x) Fonksiyon, +  ’ a (d) doğrusunu takip ederek uzanmaktadır. (d) 0x y y=f(x) (d) Fonksiyon, +  ’ a (d) doğrusunu takip ederek uzanmaktadır.

5 y x 0 y=f(x) Fonksiyon, +  ’ a (d) doğrusunu takip ederek uzanmaktadır. (d) 0x y y=f(x) (c) Fonksiyon, +  ’ a (c) eğrisini takip ederek uzanmaktadır.

6 x y 0 x=a a y=f(x) Şekildeki eğrinin x=a noktasına yak- laşırken gösterdiği durumu, limit kullanarak nasıl ifade edebilirsiniz? x y 0 y=f(x) a x=a Şekildeki eğrinin x=a noktasına yak- laşırken gösterdiği durumu, limit kullanarak nasıl ifade edebilirsiniz?

7 a  R olmak üzere, y=f(x) fonksiyonu için, veya oluyorsa, x=a doğrusuna, y=f(x) fonksiyo- nunun DÜŞEY ASİMPTOT’ u denir. Bir fonksiyonun düşey asimptotu, y-eksenine paralel bir doğrudur ve fonksiyon bu doğruyu kesemez. Bir fonksiyonun düşey asimptotu, y-eksenine paralel bir doğrudur ve fonksiyon bu doğruyu kesemez.

8 ÖRNEK: eğrisinin düşey asimptotunun olup olma- dığını araştıralım. x’ in hangi değeri için, olur? ve x=1 doğrusu DÜŞEY ASİMPTOT’tur.

9 Düşey asimptot için nasıl bir genelleme yapılabilir? Düşey asimptot, biçimindeki rasyonel fonksiyonlarda bulunur. Paydanın kökü ( veya kökleri) fonksiyonun düşey asimptotlarıdır.

10 ÖRNEK: eğrisinin, düşey asimptotlarını araştıralım: Paydanın kökleri: x 2 -4=0  x=-2 ve x=2 x=-2 x=2

11 ÖRNEK: eğrisinin, varsa, düşey asimptot- larını araştıralım: İfadenin paydasını sıfır yapan değerler x-x 3 = 0  x(1-x 2 )=0  x 1 =0 x 2 =-1x 3 =1 x 1 =0 x 2 =-1 x 3 =1 doğrularıdır.

12 eğrisinin, varsa, düşey asimptot- larını araştıralım: ÖRNEK: İfadenin paydasını sıfır yapan değerler (x+2) 2 = 0  x 1 =x 2 =-2 (Çift katlı kök) x=-2 doğrusu

13  Düşey asimptotu x=1 doğrusu   Fonksiyonun, x=1 noktası civarındaki grafiğinin şekli için, nasıl bir yorum yapabilirsiniz? Fonksiyonun, x=1 noktası civarındaki grafiğinin şekli için, nasıl bir yorum yapabilirsiniz?

14 0 x y 1 x=1

15 x=-2 doğrusu düşey asimptot 0 x y Fonksiyon, asimptotun her iki tarafında da, -  ’ a uzanmaktadır. Fonksiyon, asimptotun her iki tarafında da, -  ’ a uzanmaktadır.

16 x=a, paydanın tek kat kökü ise, eğri, sağ dan ve soldan, bu asimptotun farklı uçları na yaklaşır. x=a, paydanın çift kat kökü ise, eğri, sağ dan ve soldan, bu asimptotun aynı ucuna yaklaşır.

17 y x 0 y=b b y=f(x) x y 0 b y= b y=f(x) y x 0 b

18 y=f(x) fonksiyonu için, veya oluyorsa, y=b doğrusuna, y=f(x) fonksiyo- nunun YATAY ASİMPTOT’ u denir. Bir fonksiyonun yatay asimptotu, x-eksenine paralel bir doğrudur ve fonksiyon bu doğruyu kesebilir. Bir fonksiyonun yatay asimptotu, x-eksenine paralel bir doğrudur ve fonksiyon bu doğruyu kesebilir.

19 y=x doğrusu, yani x-ekseni, yatay asimptot olabilir mi? y=x doğrusu, yani x-ekseni, yatay asimptot olabilir mi? y= a x fonksiyonu x y a

20 ÖRNEK: fonksiyonunun yatay asimptotunu bulalım: y=-1 doğrusu, eğrinin yatay asimptotudur.

21 ÖRNEK: fonksiyonunun yatay asimptotunu bulalım: y=5/3 doğrusu, eğrinin yatay asimptotudur.

22 ÖRNEK: fonksiyonunun yatay asimptotunu bulalım: y=0 doğrusu, eğrinin yatay asimptotudur.

23 Payın derecesi, paydanın derecesin- den küçük veya eşit iken, yatay asimptot vardır. Payın derecesi, paydanın derecesin- den küçük veya eşit iken, yatay asimptot vardır. x-ekseninin, yatay asimptot olabilmesi için gerekli olan koşulu söyleyebilir misiniz? x-ekseninin, yatay asimptot olabilmesi için gerekli olan koşulu söyleyebilir misiniz? PAYIN DERECESİ, PAYDANIN DERECESİNDEN KÜÇÜK OLMALIDIR. PAYIN DERECESİ, PAYDANIN DERECESİNDEN KÜÇÜK OLMALIDIR.

24 ÖRNEK: y=3 X fonksiyonunun yatay asimptotunu bulalım: y=0 doğrusu, eğrinin x  için yatay asimptotudur.

25 y x 0 y=f(x) (d): y=ax+b 0x y y=f(x) (c): y=ax 2 +bx+c Bir y=f(x) eğrisi ve bir y=g(x) doğrusu için, ise, y=g(x) fonksiyonuna, EĞİK ASİMPTOT denir. Eğer, y=g(x) bir eğri ise, EĞRİ ASİMPTOT adını alır.

26 ÖRNEK: fonksiyonunun eğik asimptotunu bulalım:  Payı paydaya bölersek;

27 Bu durumda; y=x+1 doğrusu, fonksiyonun, eğik asimptotudur. y=x+1 doğrusu, fonksiyonun, eğik asimptotudur. EĞİK ASİMPTOTU BULMAK İÇİN, NASIL BİR GENELLEME YAPILABİLİR? PAY, PAYDA BÖLÜNÜR; BÖLÜM, EĞİK ASİMPTOT OLARAK ALINIR.

28 ŞİMDİ DE; fonksiyonunun eğik asimptotunu araştıralım:  Payı paydaya bölersek; y=x 2 -x-1, EĞRİ ASİMPTOT’ tur.

29 biçimindeki bir rasyonel fonksiyonda, payın derecesi, paydanın derecesinden iki veya daha fazla derece küçük ise, fonksiyonun EĞRİ ASİMPTOT’ u vardır.

30 oluyorsa, fonksiyonun, EĞİK yada EĞRİ ASİMPTOT’u vardır. y=f(x) eğrisinin, y=mx+n biçiminde bir eğik asimptotu varsa;  

31 Bir fonksiyonun,aynı anda hem eğik, hem de eğri asimptotu olabilir mi? Bir fonksiyonun,aynı anda hem eğik, hem de eğri asimptotu olabilir mi? BİR FONKSİYONUN, YA EĞİK, YADA EĞRİ ASİMPTOTU OLABİLİR. BİR FONKSİYONUN, YA EĞİK, YADA EĞRİ ASİMPTOTU OLABİLİR.

32 ÖRNEK: fonksiyonunun eğik asimptotunu bulalım:  Payı paydaya bölersek; y= x 2 +2x+5 EĞRİ ASİMPTOT’ tur. y= x 2 +2x+5 EĞRİ ASİMPTOT’ tur.

33 ÖRNEK: fonksiyonunun, varsa, eğik asimp- totunu bulalım: 00 2 x- x- için, eğik asimptot; y= -x+2

34 Şimdi de, x  +  için, eğik asimptotu arayalım: Şimdi de, x+ x+ için, eğik asimptotu arayalım: x+ x+ için, eğik asimptot; y= x-2

35 a>0 için eğik asimptot vardır. a<0 için eğik asimptot yoktur.

36 Bir fonksiyonun grafiğini çizebilmek için TANIM ARALIĞINI BİLMELİYİZ A  R ve f: A  R’ ye tanımlı y=f(x) fonksiyonunda,  x  A için, f(x)  R olacak şekilde oluşan en geniş A  R kümesine, f fonksiyonunun EN GENİŞ TANIM KÜMESİ denir ve D ile gösterilir.

37 ÖRNEKLER 1. f(x)=x 3 +2x 2 -3x+1 fonksiyonunun tanım küme- sini bulalım: Fonksiyonun, tanımsız olduğu bir değer var mı? f(x), bir POLİNOM fonksiyon olduğundan, tüm reel sayılar için tanımlıdır. Yani;  x  R için, f(x)  R’dir. D=R

38 2. f(x)= fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulalım: Fonksiyonun, tanımsız olduğu bir değer var mı? f(x), bir RASYONEL fonksiyon olduğundan, paydayı sıfır yapan x değerleri için tanımsızdır. x 2 -3x=0  x 1 =0 veya x 2 =3 D=R-{0,3}

39 3. Fonksiyonun, tanımsız olduğu bir değer var mı? f(x), bir İRRASYONEL fonksiyon ve kökün de- recesi tek sayı olduğundan, kökün içinin tanımlı olduğu yerlerde tanımlıdır. x 2 -4=0  x 1 =-2 veya x 2 =2 D=R-{-2,2} f(x)= fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulalım:

40 4. Fonksiyonun, tanımsız olduğu bir değer var mı? f(x), bir İRRASYONEL fonksiyon ve kökün de- recesi çift sayı olduğundan, kökün içinin pozitif olduğu yerlerde tanımlıdır. x 2 -x-2  0  (x 2 -x-2)’in işaretini incelemeliyiz. f(x)= fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulalım:

41 x 2 -x-2 =0  (x-2).(x+1)=0  x 1 =-1 ve x 2 =2 f(x) -   x 2 -x-2 O O +-+ D= (- ,-1]  [2, ))

42 5. Fonksiyonun, tanımlı olması için gerekli şartlar? x+1  1  x  0 x+1>0  x>-1 2-x>0  x<2 f(x)= fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulalım: “Taban”, (x+1)  1 ve (x+1)>0; “Sayı”, (2-x)>0 olmalıdır. O OO 20 (-1,0)  (0,2)

43 HATIRLATMA Polinom fonksiyonlar, şeklindeki rasyonel fonksiyonlar, tüm REEL sayılarda tanımlıdır Paydayı SIFIR yapan değerlerde TANIMSIZDIR. Bu değerlerin, Reel sayılardan çıkarılması gerekir.

44 KÖKLÜ FONKSİYONLARDA n  + olmak üzere Kökün derecesi tek iken ‘in tanım kümesi g(x)’ in tanım kümesidir. Kökün derecesi çift iken fonksiyonu g(x)  0 için tanımlıdır.

45 Bir fonksiyonun grafiği çizilirken; Periyodik olup olmadığına bakılır!!!! Eğer periyodik ise, grafik, belli bir aralıkta çizi lir, çizilen grafik, diğer periyot aralıklarında aynen tekrarlanır.

46 Hangi özelliği taşıyan fonksiyonlara periyodik fonksiyon denir? f:A  B’ ye tanımlı bir fonksiyon olsun. A’ nın her elemanı için, f(x+T)=f(x) eşitliğini sağlayan, en az bir pozitif T sayısı varsa, bu T reel sayısına, f’ in periyodu denir.

47 ÖRNEKLER 1. f(x)=2x+1 fonksiyonunun periyodik olup olma- dığını bulalım: f(x+T)=f(x) eşitliğini sağlayan en küçük pozitif T reel sayısını arayacağız: f(x)=2x+1  f(x+T)= 2(x+T)+1 2(x+T)+1=2x+1  2x+2T+1=2x+1  T=0 0  R + olduğundan, f(x) periyodik değildir.

48 2. f(x)=2cos(3x+1) fonksiyonunun periyodik olup olmadığını bulalım: f(x+T)= 2cos[3(x+T)+1] f(x+T)= 2cos[3(x+T)+1] f(x+T)=f(x) 2cos[3(x+T)+1]= 2cos(3x+1) 3(x+T)+1=(3x+1)+k.2  3x+3T+1=(3x+1)+k.2  (k  Z)  k=1 için; bulunur.

49 Bir fonksiyonun grafiği çizilirken; Tek veya çift fonksiyon olup olmadığına bakılır!!!! Bir fonksiyonun tek veya çift olduğu nasıl anlaşılır ve bu kavram bu özellikleri taşıyan fonksiyonların grafiklerini çizerken nasıl bir kolaylık sağlar?

50 A  R ve f:A  R bir fonksiyon olsun. xRxR için: * f(-x)=f(x) ise, f, çift fonksiyondur. * f(-x)=-f(x) ise, f, tek fonksiyondur.

51 f(-x)=f(x) (Çift fonksiyon olma durumu) -x ile x’ in görüntüleri aynıdır. Grafik, y-eksenine göre simetriktir. Çift fonksiyonlarda, grafik, y-ekseninin bir tarafında çizilir; y-eksenine göre simetriği alınırsa, grafiğin tamamı çizilmiş olur. Çift fonksiyonlarda, grafik, y-ekseninin bir tarafında çizilir; y-eksenine göre simetriği alınırsa, grafiğin tamamı çizilmiş olur.

52 x y O -x x f(x) y=f(x) A(x,f(x)) A’(-x,f(x)) f, çift fonksiyondur.

53 f(-x)=-f(x) (Tek fonksiyon olma durumu) x  -x iken f(x)  -f(x) x  -x iken f(x)  -f(x) Fonksiyonun bir noktası A(x,f(x)) iken, diğer noktası, A’(-x,-f(x)) olmaktadır. Grafik, orijine göre simetriktir.

54 Tek fonksiyonlarda, grafik, önce, x  R + için çizilir; daha sonra orijine göre simetriği alınırsa, grafiğin tamamı çizilmiş olur. Tek fonksiyonlarda, grafik, önce, xR+ xR+ için çizilir; daha sonra orijine göre simetriği alınırsa, grafiğin tamamı çizilmiş olur. 0 y x x f(x) -x -f(x) A(x,f(x)) A’(-x,-f(x)) y=f(x) f, tek fonksiyondur.

55 ÖRNEKLER 1. f(x)=x 2 +cosx fonksiyonunun tek veya çift fonk- siyon olup olmadığını bulalım: f(-x)= (-x) 2 + cos(-x) = x2x2 +cosx=f(x) f(-x)=f(x) olduğundan, ÇİFT fonksiyondur.


"Fonksiyonların Asimptotlarını bulma Asimptot nedir? Kaç çeşit Asimptot vardır?" indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları