Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Gram-Schmidt Yöntemi Ortonormal vektörler kolaylık sağladığına göre verilen herhangi bir vektör kümesini ortonormal vektörlere dönüştürebilir miyiz? verilmiş.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Gram-Schmidt Yöntemi Ortonormal vektörler kolaylık sağladığına göre verilen herhangi bir vektör kümesini ortonormal vektörlere dönüştürebilir miyiz? verilmiş."— Sunum transkripti:

1 Gram-Schmidt Yöntemi Ortonormal vektörler kolaylık sağladığına göre verilen herhangi bir vektör kümesini ortonormal vektörlere dönüştürebilir miyiz? verilmiş olsun, nasıl ‘ları elde ederiz özelikleri ne? Kolay olan q 1 ’i bulmak: Doğrultusu v 1 ile aynı, boyu da 1 q 2, q 1 ’ e dik olmalı: Bu neye karşı düşüyor? V 2 ’nin q 1 doğrultusunda ki bileşenine Peki, neden çıkarıyoruz Lineer bağımsız

2 Ancak ortonormal vektörler kümesine katılması için boyunun 1 olması gerek q 1,q 2 var q 3 ’ ü oluşturalım: Diklik sağlandı birim olma da sağlanmalı

3 Benzer şekilde…..

4 Hep R n ’ deydik fonksiyon uzayında neler oluyor acaba? Önce R ∞ ’a dikkat edelim: Nasıl vektörlerden oluşuyor? Sonsuz bileşenli vektörlerden özel olarak boyu sonlu olanlar ile ilgileneceğiz….

5 Özellikle de ilgilendiğimiz uzayın elemanları [a, b] aralığında tanımlı fonksiyonlar olsun…. Boyutu sonsuz olup da boyu sonlu olan vektörlerin oluşturduğu vektör uzayı ….. Bu vektörlerin boyunu belirtmek için öncelikle bir norm tanımlayalım: Bir de iç çarpım tanımlayalım…..

6 Böylece tanımladığımız norm ve iç çarpım, iç çarpım ve normdan beklediğimiz her şeyi sağlıyor Acaba sonsuz boyutlu fonksiyonlar uzayında sinx ve cos x’den yararlanarak bir baz tanımlanabilinir mi? Bu durumda fonksiyonlar aralığında tanımlı sin(kx) ’ler ve cos(kx)’ ler olsun k=0,1,2,3,….. Önce norm tanımına bakalım…..

7 Sonra da iç çarpım tanımına…… Bunlara bakarak ne önerebilirsiniz……..

8 Fourier Serisi Jean Baptiste Joseph Fourier ( ) periyotlu bir fonksiyon olsun Nasıl belirleriz?

9 Ortonormal bazın bize sağladığı bir kolaylık….. V vektör uzayının ortonormal q i vektörlerinden oluşmuş bir bazı olsun. ise şeklinde yazılır ‘leri biliyorsak Ortonormal baz işte burada kolaylık sağlayacak 0 0 Ortonormal baz!!! 1

10 ortonormal bazları biliyoruz….. b 1 ‘i bulmak için ne önerirsiniz? 0 00

11 sinüs ve cosinüs’den başka fonksiyonlar yok mu? Mesela 1,x,x 2 bu çok terimliler ile de ortonormal baz tanımlayabilir miyiz? Lineer bağımsızlar ancak ortogonal oldukları bir aralık yok Ama ortogonal kılmanın bir yolunu biliyoruz Nedir bu yol? aralık [-1,1] ve v 1 =1 olsun Gram-Schmidt Neden bu aralık?

12 Gram-Schmidt’i uygulayalım Ortonormaller mi? Legendre çokterimlilerini elde etmiş olduk

13 Spektral Teori Spectrum: lineer Sonlu Boyutlu, Normlu Uzaylarda Spektral Teori Bu durumda dönüşümü nasıl ifade ediyoruz? Bu ifade neye bağlı? Spektral Teori ters dönüşümler bunların genel özellikleri ve asıl dönüşümlerle ilişkisini inceler.

14 Sonlu Boyutlu, Normlu Uzayda Lineer Dönüşüm ile Neler Yapılabilir?

15 Lineer Operatör lineer operatördür bir vektör uzayıdır aynı cisim üzerinde tanımlanmış bir vektör uzayıdır. Teorem NU12 Değer Bölgesi ve Sıfır Uzayı lineer operatördür bir vektör uzayıdır Hatırlatma

16 Sınırlı Lineer Operatör lineer operatör sınırlı operatördür Teorem NU13 Ters Operatör lineer operatördür vardır varsa, lineer operatördür Hatırlatma

17 Özdeğer, Özvektör, Karakteristik Uzay, Spektrum, Çözücü Küme Bu eşitliği daha önce nerede görmüştünüz? Anlamı nedir? olmak üzere, (1) olmak üzere (1) eşitliğini sağlayan matrisine ilişkin özdeğerdir. olmak üzere (1) eşitliğini sağlayan ‘ya ilişkin vektörü özvektördür. özdeğerine ilişkin özvektörler ve sıfır vektörü ‘nın özdeğerine ilişkin karakteristik uzayını oluşturur. ‘nın tüm özdeğerlerinin oluşturduğu kümesi ‘nın spektrumudur. Spektrumun ‘ye göre tümleyeni olan, ‘nın çözücü kümesidir. Bir matrisin özdeğerleri ve özvektörlerini bulmak için ne yapıyorduk? x Hangi uzayın elemanı? Karakteristik çok terimlinin sıfırıdır.

18 Bu sonuçları sonlu boyutlu, normlu vektör uzayında tanımlanmış lineer operatöre nasıl uygulayacağız? Teorem ST1 lineer ‘deki farklı bazlar için ele alınan lineer operatörün tüm matris gösterimlerinin özdeğerleri aynıdır. Tanıt Herhangi iki baz

19 Nasıl bir matris? Dönüşümünün her iki baza göre ifade edildiği matrisler olsun

20 ‘deki farklı bazlar için ele alınan lineer operatörün tüm matris gösterimlerinin özdeğerleri aynıdır. Göstermemiz gereken neydi? Özdeğerleri hesaplayalım Bu teoremden yararlanarak benzer matrisler için ne diyebiliriz? ???? Teorem ST2 Lineer operatörünün en az bir özdeğeri vardır.

21 B oyut sonlu değilse lineer Kompleks bir sayı ‘de birim operator ‘nın tersi varsa Olağan değer, Çözücü Küme, Spektrum lineer ‘nin olağan değeri kompleks bir sayıdır varsınırlı ‘de yoğun olan bir kümede tanımlı ‘nın tüm olağan değerlerinin oluşturduğu kümesi ‘nin çözücü kümesidir.

22 Çözücü kümenin tümleyeni, ‘nin spektrumudur. ‘nin spektral değeridir.spektrum üç ayrık kümeye ayrılır: yok ve ayrık spektrum ‘nin öz değerleridir. var ve sürekli spektrum ‘de yoğun küme. var ancak artık spektrum ‘de yoğun küme değil. Teorem NU13 Ters Operatör lineer operatördür vardır varsa, lineer operatördür Hatırlatma varsa lineerdir

23 Teorem ST3 Lineer operatör ve ilgili cisimin kompleks sayılar olduğu bir Banach Uzayı kapalı, sınırlı tüm ‘de tanımlı ve sınırlı. Banach ve sınırlı, lineer operatör Teorem ST4 Tüm ‘de sınırlı, lineer operatör olarak vardır ve Teorem ST5 vardır ve açık kümedir vardır ve kapalı kümedir

24 Teorem ST6 ‘nin gösterimi Bu gösterim, kompleks düzlemde Çemberindeki her için yakınsaktır ve bu çember ‘nın alt kümesidir.


"Gram-Schmidt Yöntemi Ortonormal vektörler kolaylık sağladığına göre verilen herhangi bir vektör kümesini ortonormal vektörlere dönüştürebilir miyiz? verilmiş." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları