Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 1. 2 R 3 de verilen bir M noktasından geçen ve verilen bir vektöre paralel olan doğrunun denklemi. M(x o,y o,z o ), noktasından.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 1. 2 R 3 de verilen bir M noktasından geçen ve verilen bir vektöre paralel olan doğrunun denklemi. M(x o,y o,z o ), noktasından."— Sunum transkripti:

1 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 1

2 2 R 3 de verilen bir M noktasından geçen ve verilen bir vektöre paralel olan doğrunun denklemi. M(x o,y o,z o ), noktasından geçen ve v=(a,b,c) vektörüne paralel olan doğru d doğrusu olsun. d doğrusu üzerinde değişken bir nokta X(x,y,z,) olsun. d doğrusunun denklemini yazmak demek X noktasının x,y,z, koordinatları arasında X noktasının d doğrusu üzerinde bulunmasını sağlayan bir bağıntı bulmak demektir. Bu bağıntı, d olarak alınabilir.

3 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 3 Diğer taraftan M(x 0,y 0,z 0 ) noktası sabit olduğundan sabit bir vektördür. d doğrusunun vektörel denklemi olur d ve vektörü olarak yazılabilir.

4 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 4 denklemine de d doğrusunun vektörel denklemi denir. d doğrusunun parametrik denklemi Buradan

5 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 5 d doğrusunun kartezyen denklemi v vektörüne doğrultman vektörü, a,b,c sayılarına da doğrultman parametreleri denir.

6 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 6 İki Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi: olsun. AB doğrusunu d ile gösterelim. d d doğrusunun parametrik denklemi d doğrusunun kartezyen denklemi

7 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 7 olsun. AB doğrusunu d ile gösterelim. d doğrusunun parametrik denklemi d doğrusunun kartezyen denklemi

8 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 8 Doğrultman parametrelerinden birisi sıfır ise, doğru bu parametreye karşılık gelen koordinat eksenine diktir. olur. Örneğin b = 0 (y 1 - y o = 0 ise) ise doğru y eksenine dik olup denklemi Örneğin a = 0 (x 1 – x o = 0 ise) ise doğru x eksenine dik olup denklemi

9 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 9 Örnek: vektörü doğrultusunda olup P(-1,2,3) noktasından geçen doğrunun denklemini yazınız. Çözüm: Doğru üzerinde değişken bir noktaolsun. Örnek: AB doğrusununveriliyor. denklemini yazınız. Çözüm: Doğru üzerinde değişken bir nokta.X(x,y,z) olsun.

10 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 10

11 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 11 Örnek: noktasından geçen ve vektörüne paralel olan doğrunun denklemini yazınız. Çözüm: parametrik denklem kartezyen denklem Örnek: vektörünün taşıyıcı doğrusunun denklemini yazınız.. vektörü, taşıyıcı doğrusunun doğrultman vektörüdür. Doğru başlangıç noktasından geçer. Çözüm:

12 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 12 Örnek: Çözüm: Noktasından geçen ve vektörüne paralel olan doğrunun denklemini yazınız. olur. Örnek: Çözüm: noktalarından geçen doğrunun doğrusuna dik olması için a ne olmalıdır?

13 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 13 Bir Vektörün bir d doğrusu üzerindeki dik izdüşümü: t H h Diğer taraftan;. olur. O d doğrusunun doğrultman vektörü v olsun d l

14 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 14 Bir Vektörün bir d doğrusu üzerindeki izdüşüm vektörü: olur. d doğrusunun doğrultman vektörü v ise bir u vektörünün d doğrusu üzerindeki izdüşüm vektörü, uzunluğu u vektörünün d doğrusu üzerindeki izdüşümünün uzunluğu doğrultu ve yönü v vektörünün doğrultu ve yönü olan bir vektördür. Bu vektörü w ile gösterirsek dır. H O t l d

15 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 15 Örnek:A(1,-2,1) ve B(2,0,3) noktaları veriliyor. vektörünün AB doğrusu üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğunu bulunuz. Çözüm: l AB doğrusunun doğrultman vektörü dır.

16 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 16 Örnek: vektörleri veriliyor. u vektörünü biri v ye paralel diğeri v ye dik iki vektörün toplamı olarak yazınız. Çözüm: u vektörünün v vektörü üzerindeki izdüşüm vektörü

17 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 17 Örnek: vektörünün x + y =1 doğrusu üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğunu bulunuz. Çözüm: Bunun için x + y =1 doğrusu üzerinde herhangi iki nokta alalım. A(1,0), B(0,1) olsun. AB doğrusunun doğrultman vektörü dir. x + y =1 doğrusunun doğrultman vektörünü bulalım.

18 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 18 Örnek: Çözüm: doğrusuna dik olan vektörlerin Verilen doğrunun doğrultman vektörü dir. Verilen doğruya dik bir vektör olsun. kümesini bulunuz. Örneğin, olur ve dır.

19 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 19 R 3 te Bir Noktanın Doğruya Olan Uzaklığı: l t

20 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 20

21 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 21 Örnek: noktasının doğrusuna olan uzaklığını bulunuz. Çözüm:

22 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 22 Paralel ve Dik Doğrular: olsun. Paralel doğruların doğrultman vektörleri de paralel olacağından;

23 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 23 Örnek: doğruları verilsin.

24 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 24 Diğer taraftan R 3 te Aykırı İki Doğru Arasındaki Uzaklık: h eşitliğinden bulunur.

25 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 25 R 3 te Aykırı İki Doğru Arasındaki Uzaklık:

26 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 26 doğruları arasındaki uzaklığı bulunuz. Örnek: Çözüm: dır.

27 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 27 R 3 te İki Doğrunun Kesim Noktası: olsun. Buradan yazılır. Doğruların kesişmesi için, denklem sisteminin bir tek çözümünün olması gerekir

28 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 28 Üçüncü denklem sağlanmıyorsa doğrular kesişmiyor demektir. Bu durumda doğrular ya paraleldirler ya da aykırıdırlar. Bunun için herhangi iki denklemden bulunan değerleri diğer denklemde yerine yazılır. Bu denklem sağlanıyorsa bir tek çözüm vardır ve bu çözüm bulunan değerlerinden biri doğru denkleminde yerine yazılarak bulunur.

29 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 29 doğrularının kesim noktasını araştırınız. Örnek: Çözüm:

30 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 30 Bir Noktası Bilinen ve Bir Doğrultusuna Dik Olan Düzlemin Denklemi: düzlemin vektörel denklemi ve Bir vektörün bir düzleme dik olması demek vektörün düzlemdeki her doğruya dik olması demektir. Düzlemin kartezyen denklemi vektörüne düzlemin normali denir.

31 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 31 Örnek: Çözüm: E … 2(x-1)-3(y-2)+5(z+3)=0 vektörüne dik olan ve noktasından geçen düzlemin denklemini yazınız. E … 2x-3y+5z+19=0 Örnek: Çözüm: E … 3(x-0)+0(y-2)+2(z-1)=0 vektörüne dik olan ve noktasından geçen düzlemin denklemini yazınız. E … 3x+2z-2=0

32 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 32 R 3 te Bir Noktanın Bir Doğruya Olan Uzaklığı: h t

33 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 33 Örnek: noktasının doğrusuna olan uzaklığını bulunuz. Çözüm:

34 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 34 R 3 te Bir Noktanın Doğruya Olan Uzaklığı: h A noktasında geçen ve d doğrusuna dik olan E düzlemini göz önüne alalım.

35 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 35 Buradan bulunan t değeri doğru denkleminde yerine yazılırsa noktası bulunur. Buradan

36 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 36 Örnek: noktasının doğrusuna olan uzaklığını bulunuz. Çözüm:

37 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 37 Doğru İle Düzlem Arasındaki Açı:

38 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 38 Doğrunun düzleme dik olma koşulu: Doğrunun düzleme paralel olma koşulu: İki düzlemin paralel olma koşulu: İki düzlemin dik olma koşulu: Doğru İle Düzlemin Birbirlerine Göre Durumları: verilsin. x,y,z nin bu değerleri düzlem denkleminde yerine yazılırsa

39 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 39 nın bu değeri doğrunun parametrik denkleminde yerine yazılarak doğru ile düzlemin ortak noktası bulunur. Özel Durumlar: 1. Pay sıfır, payda sıfırdan farklı ise M(x o,y o,z o ) ortak noktadır. 2. Pay sıfırdan farklı, payda sıfır ise ortak nokta yoktur. Doğru düzleme paraleldir. 3. Pay ve payda sıfır ise doğru düzlemin içindedir.

40 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 40 Bir Noktanın Bir Düzleme Olan Uzaklığı: l M E olsun. ile arasındaki açı sıfırdır. olur.

41 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 41 düzlemin denklemini sağlar. noktası düzlemin üzerinde olduğundan olur. M noktasının E düzlemine olan uzaklığı

42 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 42 Örnek: M(7,3,4) noktasının 6x-3y+2z-20=0 düzlemine olan uzaklığını hesaplayınız. Veya M(7,3,4) noktasından geçen ve düzleme dik olan doğrunun düzlemi deldiği nokta P ise olur. doğrunun düzlemi deldiği nokta

43 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 43

44 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 44 Paralel İki Düzlem Arasındaki Uzaklık: l1l1 l2l2 l 2 -l 1

45 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 45 Örnek: M(7,3,4) noktasının 6x-3y+2z-20=0 ve 6x-3y+2z-6 düzlemlerine olan uzaklığını hesaplayınız. Çözüm: Bu paralel düzlemler arasındaki uzaklık

46 Aykırı iki doğru arasındaki uzaklık Doğrulardan biri üzerindeki bir noktanın diğer doğruyu içine alan ve doğrusuna paralel olan düzleme uzaklığına eşittir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 46 olur.

47 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 47 Çözüm: Örnek: doğruları arasındaki uzaklığı bulunuz. doğrusunu içine alan ve e paralel olan düzlem

48 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 48 Veya doğrusunu içine alan ve ye paralel olan düzlem

49 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 49 İki Düzlem Arasındaki Açı : İki düzlem arasındaki açı bu düzlemlerin normalleri arasındaki açı olarak tanılanır. Örnek:

50 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 50 ÜÇLÜ SKALER ÇARPIM (KARMA ÇARPIM): vektörleri verilsin. t h olarak tanımlanır.

51 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 51 t h

52 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 52 olsun. Buradan, bulunur. isevektörleri lineer bağımlıdır. oluşturmazlar. Bu durumda bu üç vektör düzlemseldir. Yanivektörleri bir paralel yüz (bir hacim).

53 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 53 Üç Vektörün Lineer Bağımsız Olmaları Şartı (Bir Baz Oluşturmaları Şartı) vektörleri verilsin. ise vektörleri lineer bağımsızdırlar ve bir baz oluştururlar. Örnek: vektörleri R ³ ün bir bazını oluşturduklarını gösteriniz. Çözüm:

54 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 54

55 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 55 Üç Noktası Bilinen Düzlemin Denklemi: X noktasının A,B,C noktalarının belirlediği düzlemde olabilmesi için vektörlerinin (lineer bağımlı olmaları) üçlü çarpımlarının sıfır olması gerekir ve yeter. A,B,C noktalarından geçen düzlemin denklemi olur.

56 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 56 Örnek: Çözüm: noktalarından geçen düzlemin denklemini yazınız. A,B,C noktalarından geçen düzlemin herhangi bir noktası olsun

57 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 57 Örnek: Çözüm: denklemini bulunuz vektörlerinin gerdiği alt uzayın Bu iki vektörün gerdiği uzaya ait her hangi bir vektör yazılabilir. olsun.O zaman u ve v vektörlerinin gerdiği alt uzayın denklemi olur.

58 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 58 Veya; bulunur. Veya;u ve v vektörlerinin belirttiği düzlem Veya; Düzlem u ve v vektörlerinin başlangıç ve bitim noktalarını içerdiğinden Veya;

59 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 59 Örnek: Çözüm: noktasının olan uzaklığını bulunuz. doğrusuna Doğru üzerindeki nokta A(2,1,2) noktasıdır. h

60 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 60 Örnek: Çözüm: bulunur. düzlemlerinin arakesit doğrusunun denklemini yazınız Parametrik denklemi olur.

61 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 61 Örnek: Çözüm: düzlemlerine paralel olan ve P(-2,-1,5) noktasından geçen doğrunun denklemini yazınız. Aranan doğru her iki düzleme paralel olduğundan bu düzlemlerin normallerine diktir. olur d’ nin parametrik denklemi olur.

62 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 62 Örnek: Çözüm: düzlemlerinin Arakesit doğrusundan ve P(-1,1,2) noktasından geçen düzlemin denklemini yazınız. bulunur. Not: düzlemlerinin ikisini de sağlayan noktalar denklemini de sağlar. düzlemlerinin arakesit doğrusundan geçen düzlemin denklemi dır

63 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 63 Veya düzlemlerini ortak çözerek ortak iki nokta bulalım. Sonra da bu iki noktadan ve verilen P noktasından geçen düzlemin denklemini yazalım.

64 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 64 Örnek: Çözüm: doğruları veriliyor. a) Varsa kesiştikleri noktayı bulunuz. b)Aralarındaki açıyı bulunuz. bulunur.

65 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 65 Örnek: Çözüm: doğruları veriliyor. a) Paralel veya dik olup olmadıklarını araştırınız. b)Varsa kesim noktasını bulunuz. c) Aralarındaki uzaklığı bulunuz. Bu iki doğru paralel değildir.

66 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 66 Farklı t değerleri bulunduğundan bu iki doğrunun ortak bir noktası yoktur. Doğrular kesişmezler.

67 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 67

68 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 68 Örnek: Çözüm: doğruları veriliyor. a) Varsa kesiştikleri noktayı bulunuz. b)Aralarındaki uzaklığı bulunuz. Farklı t değerleri bulunduğundan doğrular kesişmezler.

69 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 69 Doğrular arasındaki uzaklık

70 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 70 Örnek: Çözüm: Aşağıdaki doğruların standart denklemlerini yazınız..

71 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 71 doğru A noktasından geçer ve düzlemlerin normallerine diktir. Dolaysıyla c) Verilen doğru düzlemlerin arakesitidir.

72 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 72 Örnek: Çözüm: olan veDoğrultuları noktasında kesişen doğruların belirttiği düzlemin denklemini yazınız. Aranan düzlemi A noktasından geçen ve normali olur.

73 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 73 Örnek: Çözüm: doğrularına paralel olan ve A(-2,1,2) noktasından geçen düzlemin denklemini yazınız. bulunur. veya

74 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 74 Örnek: vektörlerinin lineer bağımlı (düzlemsel) olduğunu gösteriniz. Çözüm: düzlemseldir.

75 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 75 Ödev: vektörlerinin düzlemsel olduklarını gösteriniz.vektörleri üzerine kurulan paralelyüzün hacmini bulunuz. düzlemsel olmaları için x ne olmalıdır? vektörlerinin aynı düzlemde olduklarını gösteriniz. noktalarının doğrusuna paralel olan doğrunun denklemini yazınız. noktasından geçen ve 6. Orijinden geçen ve koordinat eksenleri ile sırasıyla. açılar yapan doğrunun parametrik ve kartezyen denklemlerini yazınız. doğrusuna olan uzaklığını bulunuz. noktasının

76 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 76 noktasından geçen ve doğrusuna dik olan düzlemin denklemini yazınız. noktasından geçen ve doğrularına paralel olan düzlemin denklemini yazınız. 10. Aşağıda verilen vektörlerin düzlemsel olup olmadıklarını araştırınız.

77 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 77 noktalarının düzlemsel olduğunu gösteriniz. üzerine kurulan paralelyüzün hacmini hesaplayınız. vektörleri noktasından geçen ve doğrularına paralel olan düzlemin denklemini yazınız. düzlemin denklemini yazınız. noktalarının belirttiği denklemini yazınız. vektörlerinin gerdiği uzayın

78 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 78 doğrularının kesim noktasını araştırınız ve bu doğruların belirttiği düzlemin denklemini yazınız veriliyor. kurulan paralelkenarın alanını hesaplayınız. vektörleri R 3 te bir baz oluşturur mu? vektörlerinin lineer birleşimi olarak yazınız.. vektörleri üzerine vektörünü

79 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 79 Çözüm:

80 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 80

81 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 81 Veya düzlemin herhangi bir noktası ise

82 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 82 Veya düzlemin herhangi bir noktası ise

83 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 83 noktasından geçen ve doğrularına paralel olan düzlemin denklemini yazınız. düzlemin herhangi bir noktası ise

84 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 84 vektörleri düzlemsel ise üçlü skaler çarpımları sıfırdır. u,v,w vektörleri düzlemsel değildir.

85 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 85 u,v,w vektörleri düzlemseldir. noktalarının düzlemsel olduğunu gösteriniz. A,B,C,D noktaları düzlemseldir. Çözüm:

86 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 86 A,B,C noktalarının belirttiği düzlemin denklemi olur. D noktasının da bu düzlemde olması için D noktasının koordinatları bu denklemi sağlamalıdır. 3. A,B,C noktalarının belirttiği düzlem ile A,B,D noktalarının belirttiği düzlem aynı olmalıdır. düzlemseldir. 2. Üç nokta bir düzlem belirtir. Dördüncü nokta bu düzlem denklemini sağlamalıdır.

87 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 87 Çözüm: üzerine kurulan paralelyüzün hacmini hesaplayınız. vektörleri noktasından geçen ve doğrularına paralel olan düzlemin denklemini yazınız.

88 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Düzlemin herhangi bir noktası ise Çözüm:

89 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 89

90 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 90 düzlemin denklemini yazınız. noktalarının belirttiği Çözüm: Düzlemin herhangi bir noktası ise

91 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 91 denklemini yazınız. vektörlerinin gerdiği uzayın Çözüm: düzlem u ve v vektörlerinin başlangıç noktası olan orijinden geçeceğinden 1. Düzlemin herhangi bir noktası ise

92 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Bu iki vektörün gerdiği uzayın herhangi bir vektörü bu iki vektörün bir lineer birleşimi olarak yazılabilmelidir. Bu uzayın bir vektörü ise

93 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 93 doğrularının kesim noktasını araştırınız ve bu doğruların belirttiği düzlemin denklemini yazınız Çözüm:


"Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 1. 2 R 3 de verilen bir M noktasından geçen ve verilen bir vektöre paralel olan doğrunun denklemi. M(x o,y o,z o ), noktasından." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları