Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
DERS 7 DOĞRU ve DÜZLEM DENKLEMLERİ Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

R3 de verilen bir M noktasından geçen ve verilen bir vektöre paralel olan doğrunun denklemi. M(xo ,yo ,zo ), noktasından geçen ve v=(a,b,c) vektörüne paralel olan doğru d doğrusu olsun. d d doğrusu üzerinde değişken bir nokta X(x,y,z,) olsun. d doğrusunun denklemini yazmak demek X noktasının x,y,z, koordinatları arasında X noktasının d doğrusu üzerinde bulunmasını sağlayan bir bağıntı bulmak demektir. Bu bağıntı, olarak alınabilir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

d doğrusunun vektörel denklemi olur d Diğer taraftan M(x0 ,y0 ,z0 ) noktası sabit olduğundan sabit bir vektördür. ve vektörü olarak yazılabilir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

denklemine de d doğrusunun vektörel denklemi denir. Buradan d doğrusunun parametrik denklemi Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

d doğrusunun kartezyen denklemi v vektörüne doğrultman vektörü, a,b,c sayılarına da doğrultman parametreleri denir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

İki Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi: olsun. AB doğrusunu d ile gösterelim. d d doğrusunun parametrik denklemi d doğrusunun kartezyen denklemi Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

olsun. AB doğrusunu d ile gösterelim. d doğrusunun parametrik denklemi d doğrusunun kartezyen denklemi Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Doğrultman parametrelerinden birisi sıfır ise, doğru bu parametreye karşılık gelen koordinat eksenine diktir. Örneğin b = 0 (y1 - yo = 0 ise) ise doğru y eksenine dik olup denklemi olur. Örneğin a = 0 (x1 – xo = 0 ise) ise doğru x eksenine dik olup denklemi olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Örnek: AB doğrusunun veriliyor. denklemini yazınız. Çözüm: Doğru üzerinde değişken bir nokta .X(x,y,z) olsun. vektörü doğrultusunda olup P(-1,2,3) noktasından geçen doğrunun denklemini yazınız. Örnek: Çözüm: Doğru üzerinde değişken bir nokta olsun. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Örnek: noktasından geçen ve vektörüne paralel olan doğrunun denklemini yazınız. Çözüm: kartezyen denklem parametrik denklem vektörünün taşıyıcı doğrusunun denklemini yazınız.. Örnek: Çözüm: vektörü, taşıyıcı doğrusunun doğrultman vektörüdür. Doğru başlangıç noktasından geçer. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Örnek: Noktasından geçen ve vektörüne paralel olan doğrunun denklemini yazınız. Çözüm: olur. Örnek: noktalarından geçen doğrunun doğrusuna dik olması için a ne olmalıdır? Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Bir Vektörün bir d doğrusu üzerindeki dik izdüşümü: d doğrusunun doğrultman vektörü v olsun Diğer taraftan;. H h d olur. t O l Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Bir Vektörün bir d doğrusu üzerindeki izdüşüm vektörü: d doğrusunun doğrultman vektörü v ise bir u vektörünün d doğrusu üzerindeki izdüşüm vektörü, uzunluğu u vektörünün d doğrusu üzerindeki izdüşümünün uzunluğu doğrultu ve yönü v vektörünün doğrultu ve yönü olan bir vektördür. Bu vektörü w ile gösterirsek H O t l d olur. dır. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Örnek: A(1,-2,1) ve B(2,0,3) noktaları veriliyor. vektörünün AB doğrusu üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğunu bulunuz. Çözüm: AB doğrusunun doğrultman vektörü dır. l Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

vektörleri veriliyor. u vektörünü biri v ye paralel diğeri v ye dik iki vektörün toplamı olarak yazınız. Örnek: Çözüm: u vektörünün v vektörü üzerindeki izdüşüm vektörü Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Örnek: vektörünün x + y =1 doğrusu üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğunu bulunuz. Çözüm: x + y =1 doğrusunun doğrultman vektörünü bulalım. Bunun için x + y =1 doğrusu üzerinde herhangi iki nokta alalım. A(1,0), B(0,1) olsun. AB doğrusunun doğrultman vektörü dir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

doğrusuna dik olan vektörlerin Örnek: kümesini bulunuz. Çözüm: Verilen doğrunun doğrultman vektörü dir. Verilen doğruya dik bir vektör olsun. Örneğin, olur ve dır. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

R3 te Bir Noktanın Doğruya Olan Uzaklığı: l t Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Örnek: noktasının doğrusuna olan uzaklığını bulunuz. Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Paralel ve Dik Doğrular:
olsun. Paralel doğruların doğrultman vektörleri de paralel olacağından; Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Örnek: doğruları verilsin. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

R3 te Aykırı İki Doğru Arasındaki Uzaklık: Diğer taraftan h eşitliğinden bulunur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

R3 te Aykırı İki Doğru Arasındaki Uzaklık: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Örnek: doğruları arasındaki uzaklığı bulunuz. Çözüm: dır. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

R3 te İki Doğrunun Kesim Noktası: olsun. Buradan yazılır. Doğruların kesişmesi için, denklem sisteminin bir tek çözümünün olması gerekir Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Bunun için herhangi iki denklemden bulunan değerleri diğer denklemde yerine yazılır. Bu denklem sağlanıyorsa bir tek çözüm vardır ve bu çözüm bulunan değerlerinden biri doğru denkleminde yerine yazılarak bulunur. Üçüncü denklem sağlanmıyorsa doğrular kesişmiyor demektir. Bu durumda doğrular ya paraleldirler ya da aykırıdırlar. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Örnek: doğrularının kesim noktasını araştırınız. Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Bir Noktası Bilinen ve Bir Doğrultusuna Dik Olan Düzlemin Denklemi:
Bir vektörün bir düzleme dik olması demek vektörün düzlemdeki her doğruya dik olması demektir. vektörüne düzlemin normali denir. düzlemin vektörel denklemi ve Düzlemin kartezyen denklemi Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Örnek: vektörüne dik olan ve noktasından geçen düzlemin denklemini yazınız. Çözüm: E … 2(x-1)-3(y-2)+5(z+3)=0 E … 2x-3y+5z+19=0 Örnek: vektörüne dik olan ve noktasından geçen düzlemin denklemini yazınız. Çözüm: E … 3(x-0)+0(y-2)+2(z-1)=0 E … 3x+2z-2=0 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

R3 te Bir Noktanın Bir Doğruya Olan Uzaklığı: h t Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

R3 te Bir Noktanın Doğruya Olan Uzaklığı: A noktasında geçen ve d doğrusuna dik olan E düzlemini göz önüne alalım. h Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Buradan bulunan t değeri doğru denkleminde yerine yazılırsa noktası bulunur. Buradan Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Doğru İle Düzlem Arasındaki Açı:
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Doğru İle Düzlemin Birbirlerine Göre Durumları:
Doğrunun düzleme dik olma koşulu: Doğrunun düzleme paralel olma koşulu: İki düzlemin paralel olma koşulu: İki düzlemin dik olma koşulu: Doğru İle Düzlemin Birbirlerine Göre Durumları: verilsin. x,y,z nin bu değerleri düzlem denkleminde yerine yazılırsa Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

nın bu değeri doğrunun parametrik denkleminde yerine yazılarak doğru ile düzlemin ortak noktası bulunur. Özel Durumlar: 1. Pay sıfır, payda sıfırdan farklı ise M(xo,yo,zo) ortak noktadır. 2. Pay sıfırdan farklı, payda sıfır ise ortak nokta yoktur. Doğru düzleme paraleldir. 3. Pay ve payda sıfır ise doğru düzlemin içindedir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Bir Noktanın Bir Düzleme Olan Uzaklığı: M l E olsun. ile arasındaki açı sıfırdır. olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

düzlemin denklemini sağlar. noktası düzlemin üzerinde olduğundan M noktasının E düzlemine olan uzaklığı olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Örnek: M(7,3,4) noktasının 6x-3y+2z-20=0 düzlemine olan uzaklığını hesaplayınız. Veya M(7,3,4) noktasından geçen ve düzleme dik olan doğrunun düzlemi deldiği nokta P ise olur. doğrunun düzlemi deldiği nokta Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Paralel İki Düzlem Arasındaki Uzaklık: l1 l2 l2-l1 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Örnek: M(7,3,4) noktasının 6x-3y+2z-20=0 ve 6x-3y+2z-6 düzlemlerine olan uzaklığını hesaplayınız. Çözüm: Bu paralel düzlemler arasındaki uzaklık Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Aykırı iki doğru arasındaki uzaklık Doğrulardan biri üzerindeki bir noktanın diğer doğruyu içine alan ve doğrusuna paralel olan düzleme uzaklığına eşittir. olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Örnek: doğruları arasındaki uzaklığı bulunuz. Çözüm: doğrusunu içine alan ve e paralel olan düzlem Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Veya doğrusunu içine alan ve ye paralel olan düzlem Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

İki Düzlem Arasındaki Açı : İki düzlem arasındaki açı bu düzlemlerin normalleri arasındaki açı olarak tanılanır. Örnek: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

ÜÇLÜ SKALER ÇARPIM (KARMA ÇARPIM): vektörleri verilsin. h t olarak tanımlanır. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

h Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

olsun. Buradan, bulunur. ise vektörleri lineer bağımlıdır. Yani vektörleri bir paralel yüz (bir hacim). oluşturmazlar. Bu durumda bu üç vektör düzlemseldir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Üç Vektörün Lineer Bağımsız Olmaları Şartı
(Bir Baz Oluşturmaları Şartı) vektörleri verilsin. ise vektörleri lineer bağımsızdırlar ve bir baz oluştururlar. ise vektörleri lineer bağımsızdırlar ve bir baz oluştururlar. Örnek: vektörleri R ³ ün bir bazını oluşturduklarını gösteriniz. Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Üç Noktası Bilinen Düzlemin Denklemi: X noktasının A,B,C noktalarının belirlediği düzlemde olabilmesi için vektörlerinin (lineer bağımlı olmaları) üçlü çarpımlarının sıfır olması gerekir ve yeter. A,B,C noktalarından geçen düzlemin denklemi olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Örnek: noktalarından geçen düzlemin denklemini yazınız. A,B,C noktalarından geçen düzlemin herhangi bir noktası olsun Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Örnek: denklemini bulunuz vektörlerinin gerdiği alt uzayın Bu iki vektörün gerdiği uzaya ait her hangi bir vektör yazılabilir. olsun.O zaman Çözüm: u ve v vektörlerinin gerdiği alt uzayın denklemi olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Veya; bulunur. Veya; u ve v vektörlerinin belirttiği düzlem Düzlem u ve v vektörlerinin başlangıç ve bitim noktalarını içerdiğinden Veya; Veya; Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Örnek: noktasının olan uzaklığını bulunuz. doğrusuna Çözüm: Doğru üzerindeki nokta A(2,1,2) noktasıdır. h Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Örnek: düzlemlerinin arakesit doğrusunun denklemini yazınız Çözüm: bulunur. Parametrik denklemi olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Örnek: düzlemlerine paralel olan ve P(-2,-1,5) noktasından geçen doğrunun denklemini yazınız. Çözüm: Aranan doğru her iki düzleme paralel olduğundan bu düzlemlerin normallerine diktir. olur d’ nin parametrik denklemi olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Örnek: düzlemlerinin Arakesit doğrusundan ve P(-1,1,2) noktasından geçen düzlemin denklemini yazınız. Çözüm: bulunur. Not: düzlemlerinin ikisini de sağlayan noktalar denklemini de sağlar. düzlemlerinin arakesit doğrusundan geçen düzlemin denklemi dır Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Veya düzlemlerini ortak çözerek ortak iki nokta bulalım. Sonra da bu iki noktadan ve verilen P noktasından geçen düzlemin denklemini yazalım. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Örnek: doğruları veriliyor a) Varsa kesiştikleri noktayı bulunuz b)Aralarındaki açıyı bulunuz. Çözüm: bulunur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Örnek: doğruları veriliyor a) Paralel veya dik olup olmadıklarını araştırınız b)Varsa kesim noktasını bulunuz c) Aralarındaki uzaklığı bulunuz. Çözüm: Bu iki doğru paralel değildir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Farklı t değerleri bulunduğundan bu iki doğrunun ortak bir noktası yoktur. Doğrular kesişmezler. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Örnek: doğruları veriliyor a) Varsa kesiştikleri noktayı bulunuz b)Aralarındaki uzaklığı bulunuz. Çözüm: Farklı t değerleri bulunduğundan doğrular kesişmezler. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Doğrular arasındaki uzaklık Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Örnek: Aşağıdaki doğruların standart denklemlerini yazınız.. Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

c) Verilen doğru düzlemlerin arakesitidir. doğru A noktasından geçer ve düzlemlerin normallerine diktir. Dolaysıyla Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Örnek: olan ve Doğrultuları noktasında kesişen doğruların belirttiği düzlemin denklemini yazınız. Çözüm: Aranan düzlemi A noktasından geçen ve normali olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Örnek: doğrularına paralel olan ve A(-2,1,2) noktasından geçen düzlemin denklemini yazınız. Çözüm: bulunur. veya Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Örnek: vektörlerinin lineer bağımlı (düzlemsel) olduğunu gösteriniz. Çözüm: düzlemseldir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Ödev: vektörlerinin düzlemsel olduklarını gösteriniz. vektörleri üzerine kurulan paralelyüzün hacmini bulunuz. düzlemsel olmaları için x ne olmalıdır? vektörlerinin aynı düzlemde olduklarını gösteriniz. noktalarının doğrusuna paralel olan doğrunun denklemini yazınız. noktasından geçen ve 6. Orijinden geçen ve koordinat eksenleri ile sırasıyla. açılar yapan doğrunun parametrik ve kartezyen denklemlerini yazınız. doğrusuna olan uzaklığını bulunuz. noktasının Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

noktasından geçen ve doğrusuna dik olan düzlemin denklemini yazınız. noktasından geçen ve doğrularına paralel olan düzlemin denklemini yazınız. 10. Aşağıda verilen vektörlerin düzlemsel olup olmadıklarını araştırınız. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

noktalarının düzlemsel olduğunu gösteriniz. vektörleri üzerine kurulan paralelyüzün hacmini hesaplayınız. noktasından geçen ve doğrularına paralel olan düzlemin denklemini yazınız. noktalarının belirttiği düzlemin denklemini yazınız. vektörlerinin gerdiği uzayın denklemini yazınız. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

doğrularının kesim noktasını araştırınız ve bu doğruların belirttiği düzlemin denklemini yazınız veriliyor. kurulan paralelkenarın alanını hesaplayınız. vektörleri R3 te bir baz oluşturur mu? vektörlerinin lineer birleşimi olarak yazınız.. vektörleri üzerine vektörünü Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Veya düzlemin herhangi bir noktası ise Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

noktasından geçen ve doğrularına paralel olan düzlemin denklemini yazınız. düzlemin herhangi bir noktası ise Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

vektörleri düzlemsel ise üçlü skaler çarpımları sıfırdır. u,v,w vektörleri düzlemsel değildir. u,v,w vektörleri düzlemsel değildir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

u,v,w vektörleri düzlemseldir. noktalarının düzlemsel olduğunu gösteriniz. Çözüm: A,B,C,D noktaları düzlemseldir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

2. Üç nokta bir düzlem belirtir. Dördüncü nokta bu düzlem denklemini sağlamalıdır. A,B,C noktalarının belirttiği düzlemin denklemi olur. D noktasının da bu düzlemde olması için D noktasının koordinatları bu denklemi sağlamalıdır. 3. A,B,C noktalarının belirttiği düzlem ile A,B,D noktalarının belirttiği düzlem aynı olmalıdır. düzlemseldir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

üzerine kurulan paralelyüzün hacmini hesaplayınız. vektörleri Çözüm: noktasından geçen ve doğrularına paralel olan düzlemin denklemini yazınız. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Çözüm: 1. Düzlemin herhangi bir noktası ise Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

düzlemin denklemini yazınız. noktalarının belirttiği Çözüm: Düzlemin herhangi bir noktası ise Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

denklemini yazınız. vektörlerinin gerdiği uzayın Çözüm: düzlem u ve v vektörlerinin başlangıç noktası olan orijinden geçeceğinden 1. Düzlemin herhangi bir noktası ise Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

2. Bu iki vektörün gerdiği uzayın herhangi bir vektörü bu iki vektörün bir lineer birleşimi olarak yazılabilmelidir. Bu uzayın bir vektörü ise Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

doğrularının kesim noktasını araştırınız ve bu doğruların belirttiği düzlemin denklemini yazınız Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Benzer bir sunumlar

... konulu sunumlar: "Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol"— Sunum transkripti:

Benzer bir sunumlar

Proje hakkında

Geri bildirim

Giriş

Sosyal ağ üzerinden giriş yapmak:

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Benzer bir sunumlar

... konulu sunumlar: "Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol"— Sunum transkripti:

Benzer bir sunumlar

Proje hakkında

Geri bildirim