Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Z-Dönüşümü Sayısal İşaret İşleme Dersi YTÜ, EHM Müh. Böl.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Z-Dönüşümü Sayısal İşaret İşleme Dersi YTÜ, EHM Müh. Böl."— Sunum transkripti:

1 z-Dönüşümü Sayısal İşaret İşleme Dersi YTÜ, EHM Müh. Böl.

2 z-Dönüşümü Fourier Dönüşümünün genelleştirilmesidir. Çünkü Fourier Dönüşümü pek çok işaret için hesaplanamaz! Çoğu durumda z-dönüşümünü hesaplamak daha uygundur. Tanımı: DTFT tanımıyla karşılaştırırsak: z karmaşık bir değişkendir, z=r e j  Eğer z=e j  yerine konulursa, z-dönüşümü DTFT’ye dönüşür.

3 z-dönüşümü ve DTFT Re Im Birim Çember  r=1 0 22 0 22 z-dönüşümü karmaşık z değişkeninin bir fonksiyonudur. Karmaşık z-düzlemi üstünde gösterilmeye uygundur. Eğer  =0-2  aralığında z=e j  çizilirse, birim çember (unit circle) elde edilir.

4 z-Dönüşümünün Yakınsaması DTFT her zaman yakınsamaz  x[n] işareti mutlak toplanabilir değilse, DTFT sonsuz toplam üretir  Örnek: x[n] = a n u[n], |a|>1; işaretinin bir DTFT’si yoktur z-dönüşümünde karmaşık z değişkeni r e j  olarak yazılır: x[n]’in DTFT’si üstel dizi r –n ile çarpılmıştır  Dolayısıyla, bazı r değerleri için toplam sonlu olabilir  z-dönüşümü {g[n]r -n }’in DTFT’sine eşittir.

5 Yakınsaklık Bölgesi z-dönüşümünün yakınsadığı tüm z değerleri kümesi Her bir r değeri yarıçapı r olan bir çemberi temsil eder Yakınsaklık bölgesi çemberlerden oluşur Örnek: z- dönüşümü 0.5

6 Örnek: Sağ-Taraflı Üstel Dizi (Nedensel) Yakınsaklık için gerekli koşul: ROC’de tanımlı X(z): Re Im a 1 ox ROC: Yarıçapı a olan çemberin dışındaki bölge Sağ-taraflı dizilerin (right-sided sequences) ROC’leri bir çemberin dışıdır.

7 Örnek: Sol-taraflı Üstel Dizi (Anti-causal) ROC: |z|< |a|

8 İki-Taraflı Üstel Dizi Re Im o o xx

9 Sonlu Uzunluklu Dizi

10 Z-Dönüşümünde ROC’nin Özellikleri ROC (0,0) noktasının etrafında bir halka ya da disk şeklindedir DTFT ancak ve ancak ROC’nin birim çemberi kapsamasıyla hesaplanabilir ROC içinde asla bir kutup olmaz Sonlu-uzunluktaki diziler için ROC bütün z-düzlemidir  muhtemelen z=0 ve z=  hariç Sağ-taraflı bir dizinin ROC’si en dıştaki kutbun dışındaki alandır (Muhtemelen z=  dahildir) Sol-taraflı bir dizinin ROC’si en içteki kutbun içindeki alandır (Muhtemelen z=0 dahildir) İki taraflı bir dizi kutuplar tarafında sınırlanan bir halkadır ROC kapalı bir alandır ROC belirlenmeden z-dönüşümü tek şekilde (“uniquely”) bir diziyi betimlemez

11 Transfer Fonksiyonu: Kararlılık, Nedensellik ve ROC İmpuls yanıtı h[n] olan bir sistem düşünelim z-dönüşümü H(z) ve kutup-sıfır diyagramı şekildeki gibi olsun Başka bir bilgi olmadan h[n] dizisi tek şekilde belirlenemez  |z|>2 or |z|<½ or ½<|z|<2 Eğer sistem kararlıysa, ROC birim çemberi içermelidir: ½<|z|<2 Eğer sistem nedenselse, dizi sağ taraflı olmalıdır: |z|>2

12 Ters z-Dönüşümü

13 z-dönüşümünün tersi Cauchy integraliyle hesaplanır Daha kolay ve “kestirme” teknikler de var:  Gözlemleme yoluyla (Inspection method)  Kısmi kesirlere ayrıştırma yoluyla (Partial fraction expansion)  Güç serilerine genişletme yoluyla (Power series expansion) Gözlemleme yoluyla (Inspection Method)  Bilinen z-dönüşümü çiftlerini kullanarak  Örnek:

14 Kısmi Kesirlere Ayrıştırma (Partial Fraction Expansion) ile Ters z-Dönüşümü Verilen bir z-dönüşümü şu şekilde ifade ediliyorsa: Kısmi kesirlerine ayrıştırılırsa İlk terim ancak M>N ise kullanılır  B r bilinen bölmeyle hesaplanır İkinci terim tüm birinci dereceden kutupları temsil eder Üçüncü terim s dereceli kutupları simgeler  Her bir yüksek dereceli kutup için benzer bir terim bulunur Her bir terimin gözlem yoluyla tersi hesaplanır

15 Kısmi Kesirlere Ayrıştırma Katsayılar: Örnekler üzerinden daha kolay anlaşılır!

16 Örnek: 2. Dereceden z-Dönüşümü  Payın derecesi paydanın derecesinden küçük (z -1 cinsinden)  Yüksek dereceli kutup yok

17 Örnek: Devam ediyor: ROC sonsuza doğru uzuyor  Dolayısıyla sağ-taraflı bir dizi

18 Örnek 2: B o ’ı bulmak için bölme yapılmalı:

19 Örnek 2: Devam ediyor: ROC sonsuza uzuyor  Sağ-taraflı dizi

20 Güç Serilerine Genişletme Yoluyla Ters z- Dönüşümü z-dönüşümü bir güç serisi olarak tanımlanır Genişletilmiş formuyla: Bu formdaki z-dönüşümleri kolayca tersine çevrilebilir (özellikle sonlu uzunlukta işaretler için) Örnek:

21 z-Dönüşümü Özellikleri: Doğrusallık Doğrusallık  Birleşmiş dizinin ROC’si her iki ROC’den daha büyük olabilir (Eğer toplamda kutup/sıfır sadeleşmeleri olursa)  Örnek: Her iki dizi de sağ-taraflı Her iki dizinin z=a’da bir kutbu var Her iki dizinin ROC’si |z|>|a| olarak tanımlı Birleşmiş dizide z=a’daki kutup, z=a’daki sıfırla sadeleşiyor Birleşmiş ROC tüm z-düzlemini kaplıyor, z=0 hariç

22 z-Dönüşümü Özellikleri: Zamanda Kayma n o bir tamsayı  Eğer pozitifse, dizi sağa kayar  Eğer negatifse, dizi sola kayar ROC kaymaya göre değişebilir  z=0 veya z=  noktalarına kutup eklenip, çıkabilir Örnek:

23 z-Dönüşümü Özellikleri: Üstelle Çarpma ROC |z o | ile ölçeklenir Tüm kutup/sıfır yerleri ölçeklenir Eğer z o pozitif bir gerçel sayıysa: z-düzlemi küçülür ya da büyür Eğer z o birim genlikli karmaşık bir sayıysa döndürür Örnek: Bu durumda, aşağıdaki ifadenin z-dönüşümünü bulalım:

24 z-Dönüşümü Özellikleri: Türev Alma Örnek: z-dönüşümü özelliklerini ve ROC’yi kullanarak

25 z-Dönüşümü Özellikleri: Eşleniklik Örnek

26 z-Dönüşümü Özellikleri: Zamanda Ters Çevirme Örnek: Zamanda ters çevrilirse:

27 z-Dönüşümü Özellikleri: Konvolüsyon Zamanda konvolüsyon z-bölgesinde çarpmaya karşılık gelir Örnek: Dizilerin konvolüsyonunu hesaplayalım: z-dönüşümlerinin çarpımı ROC: Eğer |a| 1; eğer |a|>1 ise, ROC: |z|>|a| Kısmi kesirlere ayrıştırma ile Y(z) belirlenir:


"Z-Dönüşümü Sayısal İşaret İşleme Dersi YTÜ, EHM Müh. Böl." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları