Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

İŞLEM ve MODÜLER ARİTMETİK 5 + 3 = 8 olduğunu biliyoruz. Eşitliğin solunda iki sayı olduğu halde,eşitliğin sağında bir sayı vardır. Eşitliğin solundaki.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "İŞLEM ve MODÜLER ARİTMETİK 5 + 3 = 8 olduğunu biliyoruz. Eşitliğin solunda iki sayı olduğu halde,eşitliğin sağında bir sayı vardır. Eşitliğin solundaki."— Sunum transkripti:

1

2

3 İŞLEM ve MODÜLER ARİTMETİK = 8 olduğunu biliyoruz. Eşitliğin solunda iki sayı olduğu halde,eşitliğin sağında bir sayı vardır. Eşitliğin solundaki iki sayıyı (5,3) ikilisi biçiminde yazalım. Şimdi bu ikiliyi 8’e eşleyen bir f fonksiyonu düşünebilirsiniz. f(5,3) = 5+3 olur. Reel sayılar kümesinde yaptığımız, toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri reel sayılar kümesinin kartezyen çarpımının bir alt kümesinden reel sayılar kümesine birer fonksiyondur. Tanım : Boş olmayan A,B,C kümeleri verilmiş olsun AxB nin bir alt kümesinden C ye tanımlı her fonksiyona işlem denir. AxA nın bir alt kümesinden A’ya tanımlı her fonksiyona A kümesinde bir işlem denir. İşlemi göstermek için *, +, -, , , , ... gibi işaretler kullanılır. İŞLEM :

4 Örnek : A={ -1,0, 1} AxA={ (-1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,-1), (0,0), (0,1), (1,-1), (1,1) } f:AxA A fonksiyonu; f(x,y)= x.y olsun. Bu fonksiyon A kümesinde tanımlı bir işlemdir. Bu işlemi  ile gösterirsek, x  y =x.y dir. Tablodan -1  -1 = 1, 0  1= 0, 0  0=0 olduğunu bulunuz.

5 Örnek : Reel sayılar kümesinde, x #y =2x-2y+xy olmak üzere, # işlemi tanımlanıyor. a. (2 #3) #4 işleminin sonucu nedir? b. (2 #x) #2=16 eşitliğini sağlayan x değeri nedir? Çözüm : a. 2#3= =1 olduğundan; ( 2 #3 ) #4= = -6 b. 2 #x=4-3x+2x=4-x olduğundan; (2 #x) #2= (4-x) #2 =2(4-x)-6+( 4-x) #2 =8-2x-6+8-2x =-4x+10 -4x+10=16 -4x=6 x=-6/4 bulunur.

6 İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ : A boş olmayan bir küme ve , A’ da tanımlı bir işlem olsun;  x, y  A için x  y  A ise A kümesi  işlemine göre kapalıdır.  x,y  A için x  y= y  x ise işlemin değişme özelliği vardır.  x,y,z  A için (x  y)  z=x  (y  z) ise işlemin birleşme özelliği vardır.  x  A için x  e= e  x=x olacak şekilde bir e  A varsa e’ ye etkisiz eleman denir. A kümesinin  işlemine göre etkisiz elemanı e olsun.  x  A için x  x -1 = x -1  x=e olacak şekilde bir x -1  A varsa x -1 ‘e x’in  işlemine göre tersi denir. * A da tanımlı bir işlem olsun.  x,y,z  A için, x  (y*z)= (x  y)*(z  x) eşitlikleri sağlanıyorsa  işlemini * işlemi üzerine dağılma özelliği vardır denir.

7 Örnek : Z ‘ de  işlemi  x,y,z  A için ; x  y=(x+y) / 2 şeklinde tanımlanıyor.  işlemine göre Z kümesi kapalımıdır. Çözüm :  x,y,z  A için, x  x,y,z  A için y y Z dir. Çünkü toplamı çift olan sayıların ikiye bölümü tam sayıya karşılık gelirken, toplamı tek olan sayıların ikiye bölümü tam sayı değildir. Mesela; 2,7  z için 2  7= (2+7) /2= 9 / 2  Z dir.

8 Örnek :  a b c d e a d e a b c b e a b c d c a b c d e d b c d e a e c d e a b KÖŞEGEN A= { a,b,c,d,e} kümesinde  işlemi yukarıdaki tablo ile tanımlanıyor.  A kümesi  işlemine göre kapalı mıdır?   işlemi değişme özelliğine sahip midir?   işlemine göre etkisiz eleman nedir?  b’ nin tersi nedir?

9 Çözüm :   işlemine göre A kümesinin herhangi iki elemanının sonucu yine A kümesinin bir elemanı olduğu için A kümesi kapalıdır.   x,y  A için x  y=y  x olduğundan  işlemi değişmelidir.   x  A için x  c=c  x=x olduğu için c etkisiz elemandır. Gerçekten a  c=a, b  c=b, c  c=c, d  c=d, e  c=e dir.  b’nin tersi olsun. b  x=c olmalıdır. x=d olduğu tabloda görülür.

10 Örnek:  x,y  R için x  y=x+y+2xy işlemi tanımlanıyor. 1.  işlemi değişmeli midir? 2.  işlemine göre etkisiz eleman nedir? 3.  işlemine göre a  R olmak şartıyla a’nın tersi nedir? Çözüm: x  y= x + y+ 2xy = y + x + 2yx = y xx O halde  değişmelidir. Etkisiz eleman e olsun. x  e = x olmalıdır. x+e+2xe = x e+2xe =0 e(1+2x) =0 1+2x  0 ise e=0 dır. Bu durumda etkisiz eleman 0’dır.

11 a’nın tersi a -1 olsun. a  a -1 =0 olmalıdır. a+a a.a -1 =0 a -1 (1+2a)=-a a -1 =-a/(1+2a) bulunur. Örnek : işlemi R + da tanımlı bir işlem olmak üzere, 1/m n2 n2 = m.n ise 4 9 neye eşittir? Çözüm : 4 9= 1/ (1/4) =1/4. 3 = 3/4‘ tür.

12 Örnek : R2 R2 de tanımlanan (a,b)  (c,d) =( a+c,b+d) işleminin etkisiz elemanı nedir? Çözüm : Etkisiz eleman (x. Y) olsun. İşlem değişme özelliğine sahip olduğu için; (a,b)  (x,y)=(a,b) olmalıdır. (a+x,b+y)= (a,b) ise a+x=a ve b+x= b x=0, y=0 bulunur. Demek ki etkisiz eleman (0,0) ‘dır.

13 MODÜLER ARİTMETİK : Z ‘ de  ={ x,y} : m  (x-y)}, m  1 ve m  Z + bağıntısı denklik bağıntısıdır. O halde  (x,y)   için x  y (mod m) Örnek : Z de  ={ x,y : 5  (x-y)} denklik bağıntısını inceleyelim. Çözüm : , farklı 5’e bölünen tamsayı ikililerinden oluşmaktadır. Yani (1,6), (74, 69)...  denklik bağıntısı olduğu için  x(x,y)   için x  y (mod 5) Mesela; (1,6)   olduğu için 1  6 (mod 5) (74, 69)   olduğu için 74  69 (mod 5).....

14 Z’ de m=5 modülüne göre  ‘nın denklik sınıflarını ( kalan sınıfları) oluşturalım. 0={....., -10, -5, 0, 5,10,.....} 1={....., -9, -4, 1, 6, 11,.....} 2={....., -8, -3, 2, 7, } 3={....., -7, -2, 3, 8, 13,......} 4={....., -6, -1, 4, 9, 14,......} 5 modülüne göre kalan sınıflarıdır. Z/m={ 0,1,2, (m-1)} dir. ÖZELLİKLER : x  y ( mod m) ve u= v olsun.  x ve y nin ( u ve y in ) m’ ye bölümünden kalan eşittir.  x-y, (u-v) m2 ye tam olarak bölünür.

15  x+ u  y+v (mod m)  x-u  y-v (mod m)  x.u  y. v ( mod m)  c.x  c.y (mod m), c ZZ  x n  y -n ( mod m ), n Z+Z+ Z/m ‘ de Toplama ve Çıkarma :  x,y  Z/m için 1.x +y = x+y 2.x. y = x.y

16 Örnek : Z/5 de 4. ( 2+ 4) +3 işleminin sonucu nedir? Çözüm : 4.( 2+ 4) +3 =4. ( 2+ 4)+ 3 = = =4+3 =7 = 2

17 Örnek :  x ( mod 11) ise x nedir? Çözüm : 7 10 = 1 dir. Buna göre,  (7 10 )   5 (mod 11) MATEMATİK SİSTEMLER : Tanım: A boş olmayan bir küme olmak şartıyla  A ‘ da tanımlı bir işlem olsun. ( A,  ) ikilisine bir matematik sistem denir. * ‘ da A ‘ tanımlı bir işlem ise ( A, ,*) üçlüsüne de bir matematik sistem denir.

18 Tanım : G, boş olmayan bir küme olmak şartıyla  A da tanımlı bir işlem olsun. (G,  ) sistemi aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa grup adını alır. Kapalılık özelliği; Birleşme özelliği; Etkisiz eleman özelliği ; Ters eleman özelliği ; Tanım : (G,  ) grubu değişme özelliği sağlıyorsa değişmeli grup adını alır. Örneğin (Z, +), (R,.), (Z/5, +) sistemleri birer değişmeli gruptur fakat ( N, +), (Z,.) (Z/4,.) sistemleri birer değişmeli grup değildir.

19 Tanım : (H, , &) matematik sistemi aşağıdaki şartları sağlıyorsa halka adını alır. 1.(H,  ) değişmeli gruptur. 2.H kümesi & işlemine göre kapalıdır. 3.& işlemine göre birleşme özelliği vardır. 4.& işleminin  işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. Tanım : (H, ,&) halka olmak şartıyla; 1.& işlemi değişme özelliğine sahipse, (H, ,&) değişmeli halka adını alır. 2.& işleminde etkisiz eleman özelliği varsa (H, ,&) birimli halka adını alır.

20 Örnek : (Z, +,.) değişmeli ve birimli halkadır. Tanım : (C, ,&) matematik sistemi aşağıdaki şartları sağlıyorsa, bir cisim adını alır. 1.(C,  ) sistemi değişmeli grup ve birim elemanı e’ dir. 2. (C-{e}, &) sistemi değişmeli gruptur. 3. & işleminin  işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. Tanım : ( C, ,&) bir cisim olsun. & işleminin değişme özelliği varsa ( C, ,&) Sistemi değişmeli cisim adını alır.

21


"İŞLEM ve MODÜLER ARİTMETİK 5 + 3 = 8 olduğunu biliyoruz. Eşitliğin solunda iki sayı olduğu halde,eşitliğin sağında bir sayı vardır. Eşitliğin solundaki." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları