İNTEGRAL.

... konulu sunumlar: "İNTEGRAL."— Sunum transkripti:

1 İNTEGRAL

2 İntegral Belirsiz İntegral İntegral Alma Kuralları
İntegral Alma Metotları İntegralde Trigonometrik Dönüşümler Belirli İntegral Belirli İntegralin Uygulamaları

3 BELİRSİZ İNTEGRAL Belirsiz İntegral Belirsiz İntegralin Özellikleri
İntegral Alma Kuralları

4 slayt1 Belirsiz İntegral Belirsiz İntegral Tanım: f:[a,b]  R , F:[a,b]  R tanımlı iki fonksiyon olsun. Eğer F(x)’in türevi f(x) veya diferansiyeli f(x).dx olan F(x) fonksiyonuna, f(x) fonksiyonunun belirsiz integrali denir ve f(x).dx=F(x)+C biçiminde gösterilir. Örnek: F(x) = x2  F’(x) = 2x  F’(x).dx=2x.dx F’(x).dx = 2x.dx  F(x)=x2 + C  2x.dx = x2 + C dır.

5 Belirsiz İntegralin Özellikleri
slayt2 Belirsiz İntegral Belirsiz İntegralin Özellikleri 1-) Bir belirsiz integralin türevi, integrali alınan fonksiyona eşittir. 2-) Bir belirsiz integralin diferansiyeli, integral işaretinin altındaki ifadeye eşittir. 3-) Bir fonksiyonunun diferansiyelinin belirsiz integrali, bu fonksiyon ile bir C sabitinin toplamına eşittir.

6 İntegral Alma Kuralları
slayt3 Belirsiz İntegral İntegral Alma Kuralları

7 Belirsiz İntegral Örnek1:  (2x+1).dx belirsiz integralini bulalım.
slayt4 Belirsiz İntegral Örnek1:  (2x+1).dx belirsiz integralini bulalım. Örnek2: [(2x3-3x)/(x2)].dx belirsiz integralini bulalım. Çözüm1: Çözüm2:

8 İNTEGRAL ALMA METOTLARI
Yerine Koyma Metodu

9 İNTEGRAL ALMA METOTLARI
slayt1 İNTEGRAL ALMA METOTLARI İntegral hesaplarında, uygun bir değişken değiştirmesi yapılarak integrali hesaplanacak ifade ilkeli kolaylıkla bulunabilecek bir ifadeye dönüştürülür. 1-) Örnek:  cos2x.sinx.dx integralini hesaplayalım. Çözüm: u=cosx diyelim. Her iki tarafın diferansiyelini alalım. du=-sinx.dx  sinx.dx=-du olur. Bu ifadeler integral de yerine konursa,

10 İNTEGRAL ALMA METOTLARI
slayt2 İNTEGRAL ALMA METOTLARI 2-) Örnek:  (3x-1)7 integralini hesaplayalım. Çözüm: (3x-1)=u diyelim. d(3x-1)=d(u)  3.dx=du olur. Bu ifadeler integral de yerine konursa,

11 İNTEGRAL ALMA METOTLARI
slayt3 İNTEGRAL ALMA METOTLARI 3-) Örnek:  tanx.dx integralini hesaplayalım. Çözüm: tanx.dx=  (sinx/cosx).dx yazalım: cosx=u diyelim. İki tarafın diferansiyelini alalım. d(cosx)=d(u)  -sinx.dx=du olur. Bunları yerlerine yazalım:

12 İNTEGRAL ALMA METOTLARI
slayt4 İNTEGRAL ALMA METOTLARI Örnek: Çözüm:

13 İNTEGRAL ALMA METOTLARI
slayt5 İNTEGRAL ALMA METOTLARI 4-) Örnek:  (2tan3x +1).sec2 x .dx integralini hesaplayalım. Çözüm: tanx=u dersek, 3.sec23x.dx=u olur. Bulunan değerleri yerlerine yazalım:

14 İNTEGRAL ALMA METOTLARI
slayt6 İNTEGRAL ALMA METOTLARI

15 İNTEGRALDE TRİGONOMETRİK DÖNÜŞÜMLER İntegrandında Varsa (a>0)
İntegrandında Varsa (|x/a|>0) İntegrandında Varsa (a>0)

16 İNTEGRALDE TRİGONOMETRİK DÖNÜŞÜMLER Örnek: integralini hesaplayınız.
slayt1 İNTEGRALDE TRİGONOMETRİK DÖNÜŞÜMLER İntegrandında Varsa (a>0) Örnek: integralini hesaplayınız. Çözüm: x=3sint dönüşümü yapılırsa; x=3sint  dx=3cost.dt olur. Bulunan değerleri yerine yazalım:

17 İNTEGRALDE TRİGONOMETRİK DÖNÜŞÜMLER Örnek:
slayt2 İNTEGRALDE TRİGONOMETRİK DÖNÜŞÜMLER İntegrandında Varsa (|x/a|>0) Örnek: integralini x>4 için hesaplayınız. Çözüm: x=4sect dönüşümü yapılırsa; dx=3sect.tant.dt olur. Bulunan değerleri yerine yazalım:

18 İNTEGRALDE TRİGONOMETRİK DÖNÜŞÜMLER Örnek: integralini hesaplayınız.
slayt3 İNTEGRALDE TRİGONOMETRİK DÖNÜŞÜMLER İntegrandında Varsa (a>0) Örnek: integralini hesaplayınız. Çözüm: x=2tant dönüşümü yapılırsa; x=2tant  dx=2.sec2t.dt olur. Bulunan değerler integral de yerine yazılırsa;

19 KISMI İNTEGRASYON METODU

20 KISMI İNTEGRASYON METODU
slayt1 KISMI İNTEGRASYON METODU Örnek1: x.cosx.dx integralini hesaplayalım Çözüm1: Verilen integralde u=x, dv=cosx.dx seçelim. Bu durumda, du=dx ve v=sinx olur.

21 KISMI İNTEGRASYON METODU
slayt2 KISMI İNTEGRASYON METODU Örnek2: x2.lnx.dx integralini hesaplayalım. Çözüm2:

22 KISMI İNTEGRASYON METODU
slayt3 KISMI İNTEGRASYON METODU Örnek3: arctanx.dx integralini hesaplayalım. Çözüm3:

23 BASİT KESİRLERE AYIRMA METODU İLE İNTEGRAL ALMA

24 BASİT KESİRLERE AYIRMA METODU İLE İNTEGRAL ALMA
slayt1 BASİT KESİRLERE AYIRMA METODU İLE İNTEGRAL ALMA Tanım: Payın derecesi, paydasının derecesinden küçük olan ve paydası çarpanlarına ayrılabilen bir kesrin, önceden hangi kesirlerin toplamı olduğunun bulunması işlemine, basit kesirlere ayırma işlemi denir. Örnek: integralini hesaplayalım Çözüm:

25 BASİT KESİRLERE AYIRMA METODU İLE İNTEGRAL ALMA
slayt2 BASİT KESİRLERE AYIRMA METODU İLE İNTEGRAL ALMA Paydada <0 olan x2+px+q biçiminde bir ifade varsa; integral, (du/1+u2) şekline dönüştürülerek hesaplanır. Payın Derecesi, Paydanın Derecesinden Büyük veya Eşit İse (P(x)/Q(x)).dx integralinde, P(x)’in derecesi Q(x)’in derecesinden büyük veya eşit ise; P(x)’in Q(x)’e bölünmesinden elde edilen bölüm B(x) ve kalan K(x) olmak üzere,

26 BASİT KESİRLERE AYIRMA METODU İLE İNTEGRAL ALMA
slayt3 BASİT KESİRLERE AYIRMA METODU İLE İNTEGRAL ALMA Örnek: integralini hesaplayalım Çözüm:

27 BASİT KESİRLERE AYIRMA METODU İLE İNTEGRAL ALMA
slayt4 BASİT KESİRLERE AYIRMA METODU İLE İNTEGRAL ALMA a ve b sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere; Örnek: integralini hesaplayalım Çözüm:

28 TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLERDEN FAYDALANARAK İNTEGRAL ALMA
sinmx.cosnx.dx (m,n  N) Şeklindeki İntegraller sinax.cosbx.dx, sinax.sinbx.dx ve cosax.cosbx.dx (a,b  N) Şeklindeki İntegraller İntegrandında sinx ve cosx‘in Rasyonel İfadeleri Bulunan İntegraller

29 TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLERDEN FAYDALANARAK İNTEGRAL ALMA
slayt1 TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLERDEN FAYDALANARAK İNTEGRAL ALMA sinmx.cosnx.dx (m,n  N) Şeklindeki İntegraller A-) m veya n’den biri tek, biri çift ise; Örnek: integralini hesaplayalım Çözüm: sin2x.cos3x.dx= sin2x.cos2x.cosx.dx şeklinde yazılır. cos2x=1-sin2x olduğundan, sin2x.(1-sin2x).cosx.dx olur. sinx = u  cosx.dx = du dur.

30 TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLERDEN FAYDALANARAK İNTEGRAL ALMA
slayt2 TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLERDEN FAYDALANARAK İNTEGRAL ALMA B-) m ve n ‘nin ikiside tek kuvvet ise; Örnek: integralini hesaplayalım Çözüm: sin3x.cos5x.dx=cos5x.sin2x.sinx.dx=cos5x.(1-cos2x).sinx.dx olur. cosx = u  sinx.dx = -du dur.

31 TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLERDEN FAYDALANARAK İNTEGRAL ALMA
slayt3 TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLERDEN FAYDALANARAK İNTEGRAL ALMA C-) m ve n ‘nin ikiside çift kuvvet ise; Örnek: integralini hesaplayalım Çözüm:

32 TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLERDEN FAYDALANARAK İNTEGRAL ALMA
slayt4 TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLERDEN FAYDALANARAK İNTEGRAL ALMA sinax.cosbx.dx, sinax.sinbx.dx ve cosax.cosbx.dx (a,b  N) Şeklindeki İntegraller Bu tip integraller hesaplanırken ters dönüşüm formülleri kullanılır. Örnek: integralini hesaplayalım Çözüm:

33 TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLERDEN FAYDALANARAK İNTEGRAL ALMA
slayt5 TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLERDEN FAYDALANARAK İNTEGRAL ALMA İntegrandında sinx ve cosx‘in Rasyonel İfadeleri Bulunan İntegraller 1+u2 u 1 x 2 Bu tip integrallerde, tan(x/2) = u dönüşümü yapılır. Yandaki dik üçgen yardımıyla, Örnek: Çözüm:

34 BELİRLİ İNTEGRAL

35 slayt1 Belirli İntegral Tanım: f:[a,b]  R , F:[a,b]  R ve sürekli yada süreksiz olduğu nokta sayısı sonlu tane olan bir fonksiyon ve [a,b] ‘nin bir bölüntüsü P olmak üzere: lim||P||0A(f,P)=lim||P||0Ü(f,P)=S ise, f fonksiyonu, [a,b] aralığında integrallenebilir bir fonksiyondur, denir. S reel sayısına da f nin [a,b] aralığındaki belirli integrali denir ve bu, Belirli İntegral

36 slayt2 Belirli İntegral Teorem1: f:[a,b]  R fonksiyonu, [a,b] aralığında sürekli ve F:[a,b]  R fonksiyonu, ile tanımlanmış olsun. Bu durumda, F(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevlenebilir ve (a,b) için F’(x)=f(x) tir. Örnek1: Çözüm1:

37 Belirli İntegral Örnek2:
slayt3 Belirli İntegral Örnek2: Fonksiyonu veriliyor. f(x) ‘in grafiğini x=1 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır? Çözüm2:

38 slayt4 Belirli İntegral Teorem2: f:[a,b]  R integrallenebilen bir fonksiyon olsun. Eğer f(x).dx=F(x)+C , C  R olacak biçimde f:[a,b]  R ye F(x) fonksiyonu varsa, dır. Örnek: Çözüm:

39 Belirli İntegralin Özellikleri
slayt5 Belirli İntegral Tanım: f:[a,b]  R fonksiyonu, [a,b] aralığında integrallenebilirse, Belirli İntegralin Özellikleri 1-) 2-) biçiminde tanımlanır.