SONLU ELEMANLAR DERS 9.

... konulu sunumlar: "SONLU ELEMANLAR DERS 9."— Sunum transkripti:

1 SONLU ELEMANLAR DERS 9

2 DÜZLEM GERİLME FORMÜLASYONU
z yönünde herhangi bir yükleme yoksa, o eksende herhangi bir iç kuvvet oluşmaz. Bu durumda o yöndeki gerilme sıfır alınabilir. Düzlem gerilme diye adlandırabileceğimiz bu durumda gerilme vektörü dür.

3 Bu durumda gerinim (strain) değerleri
Buradaki Gerilme gerinim arasındaki ilişki ise

4 O halde matris formunda stress-strain ilişkisi
veya kısa gösterimle dir.

5 Böyle durumda strain enerjisi
Simetrik olduğu için transpozesi kendisine eşittir.

6 Izoparametrik Formülasyon
Dikdörtgen eleman içindeki bir A noktasının yatay yöndeki deplasmanı: Dikdörtgen eleman içindeki bir A noktasının düşey yöndeki deplasmanı: Bunları matris formunda yazarsak

7 Dikdörtgen eleman içindeki bir A noktasının yatay yöndeki koordinatı:
Dikdörtgen eleman içindeki bir A noktasının düşey yöndeki koordinatı: Elemanla alakalı direngenlik matrisini bulurken deplasman değerleri olan u ve v değerlerinin x ve y ye göre türevlerine ihtiyaç vardır. Fakat şekil fonksiyonları  ve  ya göre değişiyordu.Bu yüzden böyle bir fonksiyonu niteleyebilecek örnek bir fonksiyonunun x ve y ye göre olan türevi ile  ve  ya bağlı türevi arasında bir bağıntı kurmamız icap eder. Matematikte sıklıkla kullandığımız zincir kuralını bu noktada kullanabiliriz.

8 Bunu matris formatında yazarsak
bulunur. Buradaki J matrisi koordinat sistemleri arasındaki dönüşümü sağlayan Jakobiyen matrisidir. Ayrıca bu bağıntı olarak ta yazılabilir.

9 Şimdi Jakobiyen matrisi biraz açalım:
Hatırlatmalar: İzoparametrik elemanlarda şekil fonksiyonları Bir matrisin tersinin alınması:

10 Bu açıklamalardan sonra bir eleman için direngenlik matrisini bulmak için kullandığımız formülasyonumuza devam edelim. Bir leleman için strain energy burada te elemanın kalınlığıdır. Stress-strain arasındaki ilişkiyi tekrar yazarsak: Buradaki türev ifadelerini J matrisi ile halledebiliriz:

11 bu iki ifadeyi birleştirirsek:

12 burada

13 O dalde strain ifadesini daha kompakt bir halde yazarsak
Sonuç olarak K matrisi aşağıdaki gibi ifade edilebilir. Bu matris 8x8 boyutunda olup çözümü Gauss-Legendre ile yapılır.