Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

HER GENÇ MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR www.muratguner.net MURAT GÜNER KELKİT- 2011.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "HER GENÇ MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR www.muratguner.net MURAT GÜNER KELKİT- 2011."— Sunum transkripti:

1 HER GENÇ MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR MURAT GÜNER KELKİT- 2011

2 ÖRNEK Türkiye A Milli Futbol Takımında oynayan Nihat, Emre ve Sabri 9, 10, 11 numaralı formaları giyebilirler.Bu oyuncuların giyebilecekleri formaları gösteren sıralı ikilileri yazınız. ÇÖZÜM FutbolcularF = { Nihat, Emre, Sabri } Forma NumaralarıN = { 9, 10, 11 } ( Emre, 9 ), ( Emre, 10 ), ( Emre, 11 ) ( Sabri, 9 ), ( Sabri, 10 ), ( Sabri, 11) } Oluşacak ikililer; {( Nihat, 9 ), ( Nihat, 10 ), ( Nihat, 11 )

3 TANIM AXB = { (x,y) l x  A Λ y  B } dir. A ve B boş olmayan iki küme olmak şartıyla birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alınarak elde edilen bütün sıralı ikililerin kümesine A ile B’nin kartezyen çarpımı denir ve AXB biçiminde gösterilir. Futbolcular ile forma numaralarının oluşturduğu bu ikililer kümesi F ile N kümelerinin kartezyen çarpımıdır.

4 ÖRNEK A = { a, b } ve B = { 1, 2, 3 } kümeleri için AXB ve BXA kümelerini yazınız. ÇÖZÜM: AXB = { ( a, 1 ), ( a, 2 ), ( a, 3 ), ( b, 1 ), ( b, 2 ), ( b, 3 ) } BXA = { ( 1, a ), ( 1, b ), ( 2, a ), ( 2, b ), ( 3, a ), ( 3, b ) } A = { a, b } B = { 1, 2, 3 } Benzer düşünceyle BXA kümesi aşağıdaki gibi yazılır.

5 A = { x : 2 ≤ x < 5, x  N } ve B = { y : – 2 ≤ x ≤ 1, y  Z } kümeleri veriliyor. Buna göre AXB ’yi yazınız. ÖRNEK ÇÖZÜM A= { 2, 3, 4 } AXB = { ( 2, –2 ), ( 2, –1 ), ( 2, 0 ), ( 2, 1 ), ( 3, – 2 ), ( 3, –1 ), ( 3, 0 ), ( 3, 1 ), ( 4, – 2 ), ( 4, – 1 ), ( 4, 0 ), ( 4, 1 ) } B= { – 2, – 1, 0, 1 }

6 ÖRNEK Kartezyen çarpım kümesinin elemanı olan sıralı ikililerin birinci bileşenleri A kümesinden, ikinci bileşenleri B kümesinden alınacağından; ÇÖZÜM A∩B = { 0, 1 }Buna göre; AXB = { ( 0, 0 ), ( 0, 1 ), ( 1, 0), ( 1, 1), ( 2, 0), ( 2, 1) } ise A∩B kümesini bulunuz. A = { 0,1, 2 } B = { 0, 1 }

7 ÖRNEK AXB = { ( a, 1 ), ( a, 2 ), ( a, 3), ( b, 1), ( b, 2), ( b, 3) } BXC = { ( 1, x ), ( 1, y ), ( 2, x), ( 2, y), ( 3, x), ( 3, y) } olduğuna göre AXC kümesini yazınız. ÇÖZÜM Kartezyen çarpım kümesinin elemanı olan sıralı ikililerin birinci bileşenleri A kümesinden, ikinci bileşenleri B kümesinden alınacağından; A = { a, b } B = { 1, 2, 3 } Kartezyen çarpım kümesinin elemanı olan sıralı ikililerin birinci bileşenleri B kümesinden, ikinci bileşenleri C kümesinden alınacağından; C = { x, y } AXC = { ( a, x ), ( a, y ), ( b, x ), ( b, y) }

8 UYARI AXA = { (x,y) : x  A Λ y  A } dır. ÖRNEK A X A = { ( 2, 2 ), ( 2, 3 ), ( 3, 2 ), ( 3, 3 ) } şeklinde yazılır. A={ 2, 3 } ise AXA kümesini liste şeklinde yazınız. ÇÖZÜM Kartezyen çarpımının kolayca yapılabilmesi için, A kümesi yan yana iki kez yazılır. A X A = { 2, 3 } X { 2, 3 } tür.

9 KARTEZYEN KOORDİNAT SİSTEMİ AXB grafikle gösterilirken A kümesinin elemanları x ekseninde B kümesinin elemanları da y ekseninde alınır ve bu noktalardan eksenlere dikmeler çizilir. Bu dikmelerin düzlemdeki kesişim noktalarının kümesi AXB ’nin grafiğini verir.

10 A = { a, b, c } ve B = { 1, 2 } kümeleri veriliyor. AXB ’nin ve BXA’nın grafiğini çiziniz. ÖRNEK ÇÖZÜM AXB = { ( a,1 ), (a, 2 ), ( b, 1 ), ( b, 2 ), ( c, 1 ), ( c, 2 ) } ( AXB ’nın grafiği ) BXA = { ( 1, a ), (1, b ), ( 1, c ), ( 2, a ), ( 2, b ), ( 2, c ) } x y B a c b 1 2 A x y 1 2 B a b c A ( BXA ’nın grafiği )

11 ÖRNEK A = { x : 1  x  3, x bir doğal sayı } B = { x : 1  x  3, x bir gerçek sayı } kümeleri veriliyor.AXB kümesini analitik düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM x y B A 3 A = { 1, 2, 3 } ( Sonlu bir küme ) B = [ 1,3 ] ( Sonsuz elemanlı bir küme ) Biri sonlu diğeri sonsuz elemanlı iki kümenin kartezyen çarpımı sonucu oluşan grafik yatay veya dikey çubuklardan oluşur. AXB = { ( 1,1.1 ), (1, 1.2 ), (1, 1.3 ), ( 1, 1.4 ), ….. ( 1, 3 ), ( 2, 1.1 ), (2, 1.2 ), (2, 1.3 ),... ( 2, 3 ), ( 3, 1.1 ),…..( 3,3 } }

12 ÖRNEK A = { x : 2  x  4, x bir gerçek sayı } B = { x : 1  x  3, x bir doğal sayı } kümeleri veriliyor.AXB kümesini analitik düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM x y B A 3 A = [ 2, 4 ] ( Sonsuz elemanlı bir küme ) B = { 1, 2, 3 } ( Sonlu bir küme ) AXB = { (2, 1 ), ( 2.1, 1 ), (2.2, 1 ), ( 2.3, 1 ), ….. ( 3, 1 ), ( 3.1, 1 ), (3.2, 1 ), (3.3, 1 ),... ( 3.9, 1 ), ( 4, 1 )………… } 2 Biri sonlu diğeri sonsuz elemanlı iki kümenin kartezyen çarpımı sonucu oluşan grafik yatay veya dikey çubuklardan oluşur.

13 ÖRNEK A = { x : 2  x < 4, x  R } B = { x : 1  x < 3, x  R } kümeleri veriliyor.AXB kümesini analitik düzlemde gösteriniz. A = [ 2, 4 ) ( Sonsuz elemanlı bir küme ) B = [ 1,3 ) ( Sonsuz elemanlı bir küme ) ÇÖZÜM x y B A 3 Sonsuz elemanlı iki kümenin kartezyen çarpımı sonucu oluşan grafik bir alan belirtir.

14 ÖRNEK A = { x : 2  x < 4, x  R } B = { x : 1  x < 3, x  R } kümeleri veriliyor.AXB kümesini analitik düzlemde gösteriniz. A = [ 2, 4 ) ( Sonsuz elemanlı bir küme ) B = [ 1,3 ) ( Sonsuz elemanlı bir küme ) ÇÖZÜM x y B A 3 2 dahil olduğu için düz çizgi 4 dahil olmadığı için kesikli çizgi 1 dahil olduğu için düz çizgi 3 dahil olmadığı için kesikli çizgi Sonsuz elemanlı iki kümenin kartezyen çarpımı sonucu oluşan grafik bir alan belirtir. Sonsuz elamanlı A kümesi ile sonsuz elamanlı B kümesinin grafiği çizilirken önce A kümesinin alt ve üst değerlerini gösteren dikey çizgiler çizilir. Sonra B kümesinin alt ve üst değerlerini gösteren yatay çizgiler çizilir.Yatay ve dikey çizgilerin arasında kalan bölge istenen grafiğe ait bölgedir.Uç noktaların dahil olup olmadığı anlamak için çizgilere bakılır. iki düz çizginin kesim noktası çözüme dahildir diğer haller çözüme dahil değildir.

15 ÖRNEK A = [ 3,4), B = ( 2, 5 ] ise AXB kümesini analitik düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM Sonsuz elamanlı A kümesi ile sonsuz elamanlı B kümesinin grafiği çizilirken önce A kümesinin alt ve üst değerlerini gösteren dikey çizgiler çizilir. Sonra B kümesinin alt ve üst değerlerini gösteren yatay çizgiler çizilir.Yatay ve dikey çizgilerin arasında kalan bölge istenen grafiğe ait bölgedir.Uç noktaların dahil olup olmadığı anlamak için çizgilere bakılır. iki düz çizginin kesim noktası çözüme dahildir diğer haller çözüme dahil değildir. x y B A 5 3 dahil olduğu için düz çizgi 4 dahil olmadığı için kesikli çizgi 2 dahil olmadığı için kesikli çizgi 5 dahil oduğuı için düz çizgi Sonsuz elemanlı iki kümenin kartezyen çarpımı sonucu oluşan grafik bir alan belirtir.

16 A = ( – 1, 3 ), B = ( –2, 3 ) olduğuna göre AXB kümesinin elemanlarını analitik düzlemde gösteriniz. ÖRNEK ÇÖZÜM x y – – 2 – 1 dahil olmadığı için kesikli çizgi 3 dahil olmadığı için kesikli çizgi – 2 dahil olmadığı için kesikli çizgi 3 dahil olmadığı için kesikli çizgi Sonsuz elemanlı iki kümenin kartezyen çarpımı sonucu oluşan grafik bir alan belirtir.

17 A=(–2,1 ), B=[1, 3 ] olduğuna göre AXB’nın grafiğini çiziniz. ÖRNEK ÇÖZÜM x y – – 2 dahil olmadığı için kesikli çizgi 1 dahil olmadığı için kesikli çizgi – 2 dahil olduğu için düz çizgi 3 dahil olduğu için düz çizgi Sonsuz elemanlı iki kümenin kartezyen çarpımı sonucu oluşan grafik bir alan belirtir.

18 ÖRNEK x y Şekilde AXB nin grafiği verilmiştir.Buna göre A ve B kümeleri aşağıdakilerden hangisidir? A= [ – 1,5 )A= [1,5 ) A= [1, 2 ) B= [ 2, 5 ) B= [2,6 ) B= [ 5, 6 ] A= ( 1,5 ) A= (1, 5 ] B= ( 2,6 ) B= [ 2, 6 ) A) B) C) D)E)

19 1988 ÖRNEK A = { – 2, – 1, 0 }, B = { 1, 2, 3 } kümelerinin AXB ( kartezyen çarpımı ) kümesinin noktalarını dışarıda bırakmayan en küçük çemberin yarıçapı kaç birimdir? ÇÖZÜM AXB = { ( – 2, 1 ), ( – 2, 2 ), ( – 2, 3 ), ( –1, 1 ), ( – 1, 2 ), ( – 1, 3 ), ( 0, 1), ( 0, 2 ), ( 0, 3 ) } = ( 2r ) 2 8 = 4r 2 2 = r – 1–2 2 r = ( Pisagor Teoremi ) r r

20 KARTEZYEN ÇARPIMIN ELEMAN SAYISI Kartezyen çarpımın eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir; yani, s( AXB ) = s( A ).s( B ) s(A X B ) = 56 ve s( A ) = 7 ise s( B X B ) = ? ÖRNEK ÇÖZÜM s( A X B ) s( B ) = = s( B ) s( B ) = 8 s( B X B ) = s( B ). s( B ) = 8. 8 = 64 = s ( A ).s( B ) 

21 ÖRNEK A = { a, b, c } BXC = { ( x, 1 ), ( x, 2 ), ( y, 1 ), ( y, 2 ), ( z, 1 ), ( z, 2 ) } olduğuna göre s( AXC ) kaçtır? ÇÖZÜM A = { a, b, c } C = { 1, 2 }  s( A ) = 3  s( C ) = 2 s( AXC ) = s( A ).s( C ) = 3.2 = 6 Kartezyen çarpım kümesinde, birinci bileşenleri A kümesinden ikinci bileşenleri C kümesinden alınacağından;

22 Kartezyen çarpım kümesinde, birinci bileşenleri A kümesinden ikinci bileşenleri B kümesinden alınacağından; AXB = { ( a, b ), ( b, b ), ( a, c ), ( b, c ) } ve s[ (A U B ) X C ] = 18 ise s( C ) = ? ÖRNEK ÇÖZÜM s[ (A U B ) X C ] = s(AUB). s(C) 18 = 3. s( C ) A={ a, b } B={ b, c } Buradan AUB = { a,b,c } elde edilir. O halde s(A U B ) = 3 tür.  s( C ) = 6

23 KARTEZYEN ÇARPIMIN ÖZELLİKLERİ A X A = A 2 A X A X A = A 3 A X B ≠ B X A s (A X B ) = s( B X A ) = s ( A ). S ( B ) A X B X C = ( A X B ) X C = A X ( B X C ) (Birleşme özelliği vardır) ( Değişme özelliği yoktur.)

24 ÖRNEK A = { 1, 2 }, B = { a, b }, C = { ,  } ise AXBXC’yi yazınız. ÇÖZÜM: AXBXC = { ( 1, a,  ), ( 1, a,  ), ( 1, b,  ), ( 1, b,  ), ( 2, a,  ), ( 2, a,  ), ( 2, b,  ), ( 2, b,  ) } A X (B U C ) = ( A X B ) U ( A X C ) A X (B ∩ C ) = ( A X B ) ∩ ( A X C ) (Kartezyen çarpımın U üzerine dağılma özelliği vardır) (Kartezyen çarpımın ∩ üzerine dağılma özelliği vardır)

25 ÖRNEK s(A) = 5, s( BUC ) = 7olduğuna göre s[ ( BXA ) U ( CXA ) ] kaçtır? ÇÖZÜM s[ ( B X A ) U ( C X A ) ] = s[ ( B U C ) X A] = s( B U C ).s( A ) = 7.5 = 35 A X  =  X A =  A X B =  ise A =  veya B = 

26 ANALİTİK DÜZLEM Sıfır sayısının karşılık geldiği O noktasından,birbirine dik olan biri yatay diğeri dikey iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme dik koordinat sistemi, bu sayı doğrularının belirttiği düzleme de analitik düzlem denir. Dik koordinat sistemini oluşturan sayı eksenlerinden ; Yatay olanına apsisler ekseni, Düşey olanına ordinatlar ekseni, Eksenlerin kesiştiği noktaya orijin ( başlangıç noktası) denir. y x Apsisler ekseni Ordinatlar ekseni Orjin

27 ( a, b ) sıralı ikilisine karşılık gelen noktayı A ile gösterirsek, A noktasını A(a, b ) biçiminde yazarız. a’ya A noktasının apsisi, b ’ye A noktasının ordinatı, ( a,b ) ikilisine de A noktasının koordinatları denir. A( a, b ) A(a, b ) noktasını koordinat ekseninde gösterirken; x ekseninden a kadar alıp buradan y eksenine paralel çizeriz. y ekseninden b kadar alıp buradan x eksenine bir paralel çizeriz.Bu paralellerin kesim noktası A(a, b ) noktasını verir. y x a b

28 ÖRNEK Yandaki koordinat sisteminde verilen A, B, C ve D noktalarının koordinatlarını bulunuz. x y 1 2 – 1– 1 – 2– 2 –1 – 2– – 3– 3 A (, ) C (, ) D (, ) –3 B (, ) 3 1 – 3 – 2 1 – 3 – 2 3

29 Koordinat eksenleri analitik düzlemi 4 bölgeye ayırır. a, b  R + olmak üzere A( a, b ) noktasının bu bölgelerdeki konumları aşağıdaki şekilde belirtilmiştir. x y b A ( a, b ) –a a B ( – a, b ) C ( – a, – b ) –b D ( a, – b ) 1.Bölge 2.Bölge 3.Bölge 4.Bölge

30 ÖRNEK a ve b reel sayıları için A( – a, b/a ) noktası analitik düzlemin 3.bölgesinde olacak biçimde seçilmiştir.Buna göre B( – ab, –b ) noktası analitik düzlemin hangi bölgesinde olur? x y –a 3.Bölge ÇÖZÜM – a 0 b a < 0  b < 0 Buna göre – ab > 0 ve –b > 0 olacağından, B( – ab, –b ) noktası analitik düzlemin 1.bölgesindedir.

31 UYARI Koordinat sisteminde x ekseni üzerindeki noktaların ordinatları sıfırdır. x y A ( 3, 0 ) B ( – 2, 0 ) – 2 3

32 Koordinat sisteminde y ekseni üzerindeki noktaların apsisleri sıfırdır. UYARI x y C ( 0, – 3 ) D ( 0, 4 ) – 3 4


"HER GENÇ MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR www.muratguner.net MURAT GÜNER KELKİT- 2011." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları