Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 1 5) DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİNİN SAYISAL ÇÖZÜMLERİ a 11 x 1 =b 1 x1x1 f(x 1 )= a 11 x 1 -b 1 =0.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 1 5) DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİNİN SAYISAL ÇÖZÜMLERİ a 11 x 1 =b 1 x1x1 f(x 1 )= a 11 x 1 -b 1 =0."— Sunum transkripti:

1 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm, ) DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİNİN SAYISAL ÇÖZÜMLERİ a 11 x 1 =b 1 x1x1 f(x 1 )= a 11 x 1 -b 1 =0 x 1, x 2,….x n

2 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm, Hareket Denklemleri, kimyasal denklemler, ısı yasaları, akım-gerilim yasaları, birbirine bağlı olarak değişen değişkenlerle ve bunların oluşturduğu denklemlerle ifade edilirler. Karşılaştığımız pek çok sistem;5 I 1 -25I 4 = I 3 -4I 4 = I 1 -4I 3 +29I 4 =100 Doğrudan ve iteratif çözüm yöntemleri

3 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm, DOĞRUDAN ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ Ters Matris Yöntemi a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + a 23 x 3 =b 2 a 31 x 1 +a 32 x 2 + a 33 x 3 =b 3 [A] [X]=[B][A] -1 [A] [X]= [A] -1 [B][I] [X]= [A] -1 [B] (Hatırlatma: Matrisin tersi A -1 = idi.)

4 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm, Örnek: Aşağıda verilen denklemlerde bilinmeyen olarak tanımlanan x 1, x 2 ve x 3 değerlerini ters matris yöntemini kullanarak bulunuz. 2 x 1 -3x 2 +2 x 3 =-11 x 1 + x x 3 =8 3 x 1 -2x 2 - x 3 =-1 Çözüm = +a 11 -a 12 + a 13 = a 11 (a 22 a 33 -a 23 a 32 )-a 12 (a 21 a 33 -a 31 a 23 )+a 13 (a 21 a 32 -a 31 a 22 ) =2(-1-4)+3(-1+6)+2(-2-3) = 2(-5)+3(5)+2(-5) =-5

5 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm, C(a ij ) =(-1) i+j M ij C(a 11 ) =(-1) 1+1 M 11 =(-1) 2 = (+1) ((1*-1)-(-2*-2))=-5 C(a ij ) =(-1) i+j M ij

6 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm, C[A]= Ek Matris (yani Adjoint[A])=(C[A]) T Adjoint[A])=

7 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm, [A] -1 = = x 1 =1, x 2 =3 ve x 3 =-2 x 1, x 2,….x n

8 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm, Cramer Yöntemi: xk=xk= [Ak]=

9 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm, Örnek: Aşağıda verilen denklem takımını Cramer kuralıyla çözün. 3 x x 2 -5 x 3 = x 1 -5 x x 3 = x 1 +2x x 3 = 15 Çözüm: =3(15-14)-4(6+49)-5(-4-35)= =-22

10 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm, x 1 =-5, x 2 =2 ve x 3 =8 E=

11 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm, Problemin Matlab’ta çözümü:

12 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,

13 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm, Gauss-Yoketme Yöntemi 3x + 4y + 2z= 71 x + 2y + 6z= 73 4x + 12y + 5z=180 3x + 4y + 2z= 71 x + 2y + 6z= x + 4y + 2z= 71 -3x -12y - 18z= y+16z=-148 y=(148-16z)/8 uygun katsayılarla çarpma,bölme taraf tarafa toplama, çıkarma Denklemde yerine koyma Adım adım a 33 x 3 =b 3 x 3 = b 3 /a 33 x 3,, x 2, x 1

14 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm, Genişletilmiş matris: W=[A|b] Bu durumda Gauss yoketme işlemi için;

15 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm, w ij w ij - k=1,2,…M-1 j=1,2,…N i=k+1,k+2,….,M N=M+1

16 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm, k=1, w kk =w 11 i=2 j=1 i=2 j=2 i=2 j=3 w ij w ij - i=2 j=N

17 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm, k=1, w kk =w 11 i=3 w ij w ij -

18 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm, k=1, w kk =w 11 i=M w ij w ij -

19 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm, k=2, w kk =w 22 i=3 w ij w ij -

20 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm, k=2, w kk =w 22 i=M w ij w ij -

21 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm, k=3, w kk =w 33 i=M w ij w ij -

22 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm, Geriye doğru bilinmeyenleri bulmak ve yerine koymak için Adım adım a 33 x 3 =b 3 x 3 = b 3 /a 33 x 3,, x 2, x 1 idi w MM x M =w MN xM=xM= (i=M-1, M-2, …..,1) w (M-1)(M-1) x M-1 +w (M-1)M x M =w (M-1)N x M-1 =

23 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm, Örnek: Yanda verilen 4 bilinmeyenli denklem takımını Gauss-Yoketme yöntemiyle çözünüz. Çözüm Bu denklem takımını sağa genişlemiş matris olarak yazalım ve köşegenin altını sıfırlamak üzere önce birinci satırı esas alarak a 21, a 31 ve a 41 elemanlarını adım adım sıfırlayalım. Kutuların sol tarafındaki sayılar, sıfırların çarpıldığı sayılardır.

24 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm, /1 k=1. i=2. satırlar /10 k=2. i=4. satırl ar /1 k=1. i=3. satırlar /55 k=3. i=4. satırl ar /5-52/5-491/5 5/1 k=1. i=4. satırlar /10 k=2. i=3. satırlar

25 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm, Pivot (referans eksen) Seçimi 3x + 4y + 2z= 71 x + 2y + 6z= 73 4x + 12y + 5z=180 3x + 4y + 2z= 71 4x + 12y + 5z=180 x + 2y + 6z= 73

26 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm, Gauss-Yoketme Yönteminin Matlab’ta Çözümü idi

27 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,

28 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm, Program Algoritması (Yok etme yordamı)

29 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm, Bilinmeyenlerin geriye doğru çözümü

30 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,

31 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,

32 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm, b) Problemi çözen programı yazın. Program, ilgili pivot sıfır olduğu sürece (birden fazla sefer de sıfır olabilir) pivotun bulunduğu satırı, bir alt satırla yer değiştirsin. c) Programı anlaşılır şekilde tarif eden bir akış şeması oluşturun. Örnek:Şekildeki devrede bilinmeyen i12,i52, i32, i65, i54 ve i43 akımlarını Gauss Yoketme yöntemi ile bulun İpucu: ilk 4 denklemi Kirchoff’un akım yasasından, kalan 2 denklemi de her iki kapalı çevrime gerilim yasasını uygulayarak elde edebilirsiniz.

33 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm, Genel olarak devre çözümü yapacak bir programda farklı devrelere karşı esnek olabilmek için her bir direnç arası düğüm olarak tanımlanır. Bu nedenle her düğümü hesaba katmak gerektiği unutulmamalıdır. En genel haliyle çözüm aşağıdaki gibidir. a) Kirscoff’un akım yasası işaretleri göz önüne alındığında b) Kirscoff’un gerilim yasasını 1. ve 2. çevreye uygularsak (akım yönlerini saat yönünde seçelim) 1. çevre denklemi: 5 i i (-i 52 )=0 2. çevre denklemi: 20 i i (-i 12 )=-200

34 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm, bilinmeyenimiz ve 6 denklemimiz var bu denklemleri yeniden düzenleyip matrisel forma getirirsek (karıştırmamak için sıralamayı küçükten büyüğe olacak şekilde yapabiliriz)

35 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,

36 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,

37 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,

38 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,

39 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm, Gauss-Yoketme Yönteminin Algoritması (Yok etme yordamı)

40 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm, Gauss-Yoketme Yönt. Algoritması (Bilinmeyenlerin geriye doğru çözümü)

41 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,

42 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm, YİNELEMELİ YÖNTEMLER İteratif ve yaklaşık çözümler daha önce anlatılan yerine koyma yöntemlerine bir alternatif oluştururlar.

43 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm, Gauss-Siedel Yöntemi 3’e 3’lük bir denklem sistemini örnek olarak alalım. n değişken için Gauss-Siedel formülü; Yakınsama koşulu Başlangıç koşulları: x 1 =0; x 2 =0; x 3 =0 a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + a 23 x 3 =b 2 a 31 x 1 +a 32 x 2 + a 33 x 3 =b 3

44 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm, Örnek: Gauss-Siedel yöntemini kullanarak aşağıdaki sistemin çözümünü bulun. 3 x x x 3 = x 1 +7 x x 3 = x x x 3 =71.4 Çözüm: Önce bilinmeyenleri diğerleri cinsinden bulalım. Burada x2 ve x3’ü sıfır varsayarsak

45 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,

46 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,

47 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm, Jacobi Yöntemi

48 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,

49 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,

50 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,


"Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 1 5) DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİNİN SAYISAL ÇÖZÜMLERİ a 11 x 1 =b 1 x1x1 f(x 1 )= a 11 x 1 -b 1 =0." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları