Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 1 5) DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİNİN SAYISAL ÇÖZÜMLERİ a 11 x 1 =b 1 x1x1 f(x 1 )= a 11 x 1 -b 1 =0.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 1 5) DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİNİN SAYISAL ÇÖZÜMLERİ a 11 x 1 =b 1 x1x1 f(x 1 )= a 11 x 1 -b 1 =0."— Sunum transkripti:

1 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 1 5) DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİNİN SAYISAL ÇÖZÜMLERİ a 11 x 1 =b 1 x1x1 f(x 1 )= a 11 x 1 -b 1 =0 x 1, x 2,….x n

2 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 2 Hareket Denklemleri, kimyasal denklemler, ısı yasaları, akım-gerilim yasaları, birbirine bağlı olarak değişen değişkenlerle ve bunların oluşturduğu denklemlerle ifade edilirler. Karşılaştığımız pek çok sistem;5 I 1 -25I 4 =-200 -37I 3 -4I 4 = -250 -25I 1 -4I 3 +29I 4 =100 Doğrudan ve iteratif çözüm yöntemleri

3 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 3 5.1. DOĞRUDAN ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ 5.1.1. Ters Matris Yöntemi a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + a 23 x 3 =b 2 a 31 x 1 +a 32 x 2 + a 33 x 3 =b 3 [A] [X]=[B][A] -1 [A] [X]= [A] -1 [B][I] [X]= [A] -1 [B] (Hatırlatma: Matrisin tersi A -1 = idi.)

4 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 4 Örnek: Aşağıda verilen denklemlerde bilinmeyen olarak tanımlanan x 1, x 2 ve x 3 değerlerini ters matris yöntemini kullanarak bulunuz. 2 x 1 -3x 2 +2 x 3 =-11 x 1 + x 2 + -2 x 3 =8 3 x 1 -2x 2 - x 3 =-1 Çözüm = +a 11 -a 12 + a 13 = a 11 (a 22 a 33 -a 23 a 32 )-a 12 (a 21 a 33 -a 31 a 23 )+a 13 (a 21 a 32 -a 31 a 22 ) =2(-1-4)+3(-1+6)+2(-2-3) = 2(-5)+3(5)+2(-5) =-5

5 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 5 C(a ij ) =(-1) i+j M ij C(a 11 ) =(-1) 1+1 M 11 =(-1) 2 = (+1) ((1*-1)-(-2*-2))=-5 C(a ij ) =(-1) i+j M ij

6 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 6 C[A]= Ek Matris (yani Adjoint[A])=(C[A]) T Adjoint[A])=

7 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 7 [A] -1 = = x 1 =1, x 2 =3 ve x 3 =-2 x 1, x 2,….x n

8 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 8 5.1.2. Cramer Yöntemi: xk=xk= [Ak]=

9 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 9 Örnek: Aşağıda verilen denklem takımını Cramer kuralıyla çözün. 3 x 1 + 4 x 2 -5 x 3 = -47 -2 x 1 -5 x 2 + 7 x 3 = 56 -7 x 1 +2x 2 - 3 x 3 = 15 Çözüm: =3(15-14)-4(6+49)-5(-4-35)=3-220+195=-22

10 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 10 x 1 =-5, x 2 =2 ve x 3 =8 E=

11 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 11 Problemin Matlab’ta çözümü:

12 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 12

13 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 13 5.1.3. Gauss-Yoketme Yöntemi 3x + 4y + 2z= 71 x + 2y + 6z= 73 4x + 12y + 5z=180 3x + 4y + 2z= 71 x + 2y + 6z= 73 -3 + 3x + 4y + 2z= 71 -3x -12y - 18z=-219 -8y+16z=-148 y=(148-16z)/8 uygun katsayılarla çarpma,bölme taraf tarafa toplama, çıkarma Denklemde yerine koyma Adım adım a 33 x 3 =b 3 x 3 = b 3 /a 33 x 3,, x 2, x 1

14 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 14 Genişletilmiş matris: W=[A|b] Bu durumda Gauss yoketme işlemi için;

15 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 15 w ij w ij - k=1,2,…M-1 j=1,2,…N i=k+1,k+2,….,M N=M+1

16 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 16 k=1, w kk =w 11 i=2 j=1 i=2 j=2 i=2 j=3 w ij w ij - i=2 j=N

17 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 17 k=1, w kk =w 11 i=3 w ij w ij -

18 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 18 k=1, w kk =w 11 i=M w ij w ij -

19 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 19 k=2, w kk =w 22 i=3 w ij w ij -

20 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 20 k=2, w kk =w 22 i=M w ij w ij -

21 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 21 k=3, w kk =w 33 i=M w ij w ij -

22 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 22 Geriye doğru bilinmeyenleri bulmak ve yerine koymak için Adım adım a 33 x 3 =b 3 x 3 = b 3 /a 33 x 3,, x 2, x 1 idi w MM x M =w MN xM=xM= (i=M-1, M-2, …..,1) w (M-1)(M-1) x M-1 +w (M-1)M x M =w (M-1)N x M-1 =

23 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 23 Örnek: Yanda verilen 4 bilinmeyenli denklem takımını Gauss-Yoketme yöntemiyle çözünüz. Çözüm Bu denklem takımını sağa genişlemiş matris olarak yazalım ve köşegenin altını sıfırlamak üzere önce birinci satırı esas alarak a 21, a 31 ve a 41 elemanlarını adım adım sıfırlayalım. Kutuların sol tarafındaki sayılar, sıfırların çarpıldığı sayılardır.

24 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 24 2/1 k=1. i=2. satırlar 1-34-5-1118/10 k=2. i=4. satırl ar 1-34-5-11 246842010-21864 4321-1100 -6-63 531-3-38018-192217 4/1 k=1. i=3. satırlar 1-34-5-1177/55 k=3. i=4. satırl ar 1-34-5-11 010-21864010-218-64 4321-1100 -6-63 531-3-3800-77/5-52/5-491/5 5/1 k=1. i=4. satırlar 1-34-5-111-34-5-11 0102-18-64010-21864 0-1514-21-3300-11-6-63 531-3-38000-2-10 15/10 k=2. i=3. satırlar 1-34-5-11 010-21864 015-142133 018-192217 -

25 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 25 Pivot (referans eksen) Seçimi 3x + 4y + 2z= 71 x + 2y + 6z= 73 4x + 12y + 5z=180 3x + 4y + 2z= 71 4x + 12y + 5z=180 x + 2y + 6z= 73

26 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 26 Gauss-Yoketme Yönteminin Matlab’ta Çözümü idi

27 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 27

28 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 28 Program Algoritması (Yok etme yordamı)

29 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 29 Bilinmeyenlerin geriye doğru çözümü

30 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 30

31 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 31

32 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 32 b) Problemi çözen programı yazın. Program, ilgili pivot sıfır olduğu sürece (birden fazla sefer de sıfır olabilir) pivotun bulunduğu satırı, bir alt satırla yer değiştirsin. c) Programı anlaşılır şekilde tarif eden bir akış şeması oluşturun. Örnek:Şekildeki devrede bilinmeyen i12,i52, i32, i65, i54 ve i43 akımlarını Gauss Yoketme yöntemi ile bulun İpucu: ilk 4 denklemi Kirchoff’un akım yasasından, kalan 2 denklemi de her iki kapalı çevrime gerilim yasasını uygulayarak elde edebilirsiniz.

33 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 33 Genel olarak devre çözümü yapacak bir programda farklı devrelere karşı esnek olabilmek için her bir direnç arası düğüm olarak tanımlanır. Bu nedenle her düğümü hesaba katmak gerektiği unutulmamalıdır. En genel haliyle çözüm aşağıdaki gibidir. a) Kirscoff’un akım yasası işaretleri göz önüne alındığında b) Kirscoff’un gerilim yasasını 1. ve 2. çevreye uygularsak (akım yönlerini saat yönünde seçelim) 1. çevre denklemi: 5 i 43 + 10 i 32 + 5 (-i 52 )=0 2. çevre denklemi: 20 i 65 + 5 i 52 + 5 (-i 12 )=-200

34 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 34 6 bilinmeyenimiz ve 6 denklemimiz var bu denklemleri yeniden düzenleyip matrisel forma getirirsek (karıştırmamak için sıralamayı küçükten büyüğe olacak şekilde yapabiliriz)

35 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 35

36 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 36

37 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 37

38 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 38

39 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 39 Gauss-Yoketme Yönteminin Algoritması (Yok etme yordamı)

40 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 40 Gauss-Yoketme Yönt. Algoritması (Bilinmeyenlerin geriye doğru çözümü)

41 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 41

42 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 42 5.2. YİNELEMELİ YÖNTEMLER İteratif ve yaklaşık çözümler daha önce anlatılan yerine koyma yöntemlerine bir alternatif oluştururlar.

43 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 43 5.2.1. Gauss-Siedel Yöntemi 3’e 3’lük bir denklem sistemini örnek olarak alalım. n değişken için Gauss-Siedel formülü; Yakınsama koşulu 0 0 0 Başlangıç koşulları: x 1 =0; x 2 =0; x 3 =0 a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + a 23 x 3 =b 2 a 31 x 1 +a 32 x 2 + a 33 x 3 =b 3

44 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 44 Örnek: Gauss-Siedel yöntemini kullanarak aşağıdaki sistemin çözümünü bulun. 3 x 1 -0.1 x 2 -0.2 x 3 =7.85 0.1 x 1 +7 x 2 - 0.3 x 3 =-19.3 0.3 x 1 +0.2x 2 +10 x 3 =71.4 Çözüm: Önce bilinmeyenleri diğerleri cinsinden bulalım. Burada x2 ve x3’ü sıfır varsayarsak

45 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 45

46 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 46

47 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 47 5.2.2. Jacobi Yöntemi

48 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 48

49 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 49

50 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 50


"Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 1 5) DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİNİN SAYISAL ÇÖZÜMLERİ a 11 x 1 =b 1 x1x1 f(x 1 )= a 11 x 1 -b 1 =0." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları