Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

İ.Kara,2007 END 503 Doğrusal Programlama Sınırlandırılmış Değişken Tekniği.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "İ.Kara,2007 END 503 Doğrusal Programlama Sınırlandırılmış Değişken Tekniği."— Sunum transkripti:

1 İ.Kara,2007 END 503 Doğrusal Programlama Sınırlandırılmış Değişken Tekniği

2 İ.Kara,2007 Sınırlandırılmış Değişken Tekniği Bir doğrusal karar modeli,  j = x j nin alabileceği en küçük değer,  j = x j nin alabileceği en büyük değer, : ( 1,  2, …,  n ) T alt sınırlar vektörü,  : ( 1,  2, …,  n ) T üst sınırlar vektörü olmak üzere,

3 İ.Kara,2007 ALT ve ÜST SINIRLAR AX=b ≤X≤ k.a. Enb x 0 =CX şeklinde verilsin. Bu modelin, bilinen simpleks algoritmasıyla çözülebilmesi için, X a aylak değişkenler ve X a artık değişkenler vektörü olmak üzere, modelin aşağıdaki şekle dönüştürülmesi gerekir.

4 İ.Kara,2007 STANDART BİÇİM AX=b X+X a = X-X a =  X, X a, X a ≥ 0 k.a. Enb x 0 =CX

5 İ.Kara,2007 BOYUTLAR Bu haliyle modelde m+n+n=m+2n tane kısıt, n+n+n=3n tane değişken olup, modelin boyutları çok büyümüştür. O halde, AX=b kısıtları üzerinde işlem yapılarak, ≤X≤ olduğunu da göz önüne alıp, modeli çözmek mümkün müdür?

6 İ.Kara,2007 Alt Sınır Eğer karar değişkenlerinin yalnız alt sınır değerleri söz konusu ise, yani model, AX=b X≥ k.a. Enb x 0 =CX şeklinde ise, X-=Y dönüşümü yapılıp, kısıtlarda, x j yerine x j =j+yj konularak, model, AY=b-A  Y ≥ 0 k.a. Enb x 0 =CY haline dönüşür ve mxn lik bir karar modeli olarak çözülür.

7 İ.Kara,2007 Yalnız Üst Sınır Karar değişkenlerinin yalnız üst sınır değerlerinin söz konusu olması halinde, alt sınırda olduğu gibi, AX=b üzerinde simpleks algoritmasının uygulanabileceği şekle dönüştürülemez. X≤ kısıtları, X a aylak değişkenler vektörüyle X+X a =  şekline getirilebilir ki, model (m+n) kısıt ve (n+n) değişkenli olmak zorundadır.

8 İ.Kara,2007 Genişletilmiş Temel Uygun Çözüm Karar modeli, A mxn olmak üzere, AX=b ≤X≤ k.a. Enb x 0 =CX şeklinde verilsin.

9 İ.Kara,2007 Genişletilmiş Temel Uygun Çözüm Değişkenleri sınırlandırılmış bir karar modelinde, m değişken temel değişken olmak üzere, temel dışı değişkenler alt sınır veya üst sınır değerlerini alıyorken, temel değişkenlerin değerleri verilen sınırlar içinde bulunabiliyorsa, buna “genişletilmiş temel uygun çözüm” denir.

10 İ.Kara,2007 Örnek 1 Karar modeli, x 1 + 2x 2 + x 3 ≥ 10 2x 1 + x 2 + 3x 3 ≥ 12 1 ≤ x 1 ≤ 4 x 2 ≥ 2 x 3 ≤ 3 x 3 ≥ 1 k.a. Enk x 0 = 2x 1 + 3x 2 + x 3 şeklinde verilsin.

11 İ.Kara,2007 Örnek 1 x 1 ve x 2 temel değişkenler iken, karşı gelen genişletilmiş temel uygun çözümleri araştırınız. Yukarıdaki model, x 4 ve x 5 artık değişkenler olmak üzere, x 1 + 2x 2 + x 3 – x 4 = 10 2x 1 + x 2 + 3x 3 – x 5 = 12 1 ≤ x 1 ≤ 4 2 ≤ x 2 ≤ ∞ 1 ≤ x 3 ≤ 3 0 ≤ x 4 ≤ ∞ 0 ≤ x 5 ≤ ∞ şeklinde yazılarak, genişletilmiş temel uygun çözümleri araştırılabilir.

12 İ.Kara,2007 Örnek x 1 ve x 2 temel değişkenler iken, 12-1/3 2/3 B=ve B -1 = 21 2/3 -1/3 olup,

13 İ.Kara,2007 Örnek R= olduğundan, X B =B -1 b – B -1 RX R eşitliğine bağlı olarak, x 1 -1/3 2/ /3 2/ x 3 = - x 4 x 2 2/3 -1/3 12 2/3 -1/ x 5 yazılır. Buradan,

14 İ.Kara,2007 Örnek x 1 = 14/3 - 5/3x 3 - 1/3x 4 + 2/3x 5 ve x 2 = 8/3 - 1/3x 3 - 2/3x 4 + 1/3x 5 olarak bulunur. Bu eşitlikler göz önüne alınarak, temel dışı değişkenlerin alt veya üst sınır değerlerini almalarına göre, genişletilmiş temel uygun çözümler aşağıdaki gibi bulunur.

15 İ.Kara,2007 Örnek x3x3 x4x4 x5x5 x1x1 x2x2 Sonuç 1 (alt) 0037/3 Temel değişkenler sınırlar içinde. Genişletilmiş TUÇ. 3 (üst) 00-1/311/3 x 1 alt sınırdan küçük. Genişletilmiş TUÇ değil.

16 İ.Kara,2007 En İyilik Koşulları X B temel değişkenler olmak üzere, BA iken |B|≠0 olsun. Temel dışı değişkenlerden alt sınır değerini alanlar, J 1 kümesiyle ve XR1 vektörüyle, bunlara A da karşı gelen sütunlar R 1 matrisiyle; üst sınır değerini alanlar J 2 kümesiyle ve X R2 vektörüyle, bunlara A da karşı gelen sütunlar R 2 matrisiyle gösterilsin. Böylece, AX=b sistemi:

17 İ.Kara,2007 En İyilik Koşulları X B B R 1 R 2 X R1 = b X R2 eşitliğine bağlı olarak, BX B + R 1 X R1 + R 2 X R2 =b……………(1) olarak yazılır.

18 İ.Kara,2007 En İyilik Koşulları Benzer şekilde, x 0 -CX=0 eşitliği de, x 0 – C B X B – C R1 X R1 – C R2 X R2 = 0…………(2) şekline dönüşür. (1) soldan B -1 ile çarpılıp, X B için çözülürse, X B = B -1 b – B -1 R 1 X R1 – B -1 R 2 X R2 ………….(3) bulunur.

19 İ.Kara,2007 En İyilik Koşulları Eğer X R1 ler alt sınır ve X R2 ler üst sınır değer iken, (3) nolu denklemden bulunan değerler, ilgili değişkenlerin alt ve üst sınırları arasında kalıyorsa, genişletilmiş temel uygun çözüm bulunmuştur. X B nin bu değeri (2) de yerine konursa, x 0 + (C B B -1 R 1 – C R1 )X R1 + (C B B -1 R 2 – C R2 )X R2 = C B B -1 b elde edilir.

20 İ.Kara,2007 En İyilik Koşulları Buradan, amaç fonksiyonu x 0 ın temel değişkenlerle, alt ve üstsınır değerini almış değişkenlerin fonksiyonu olarak ifadesi, …(4) şeklinde bulunur.

21 İ.Kara,2007 En İyilik Koşulları X B temel değişkenler iken, karşı gelen çözüm genişletilmiş bir temel uygun çözüm olsun. Bu durumda, (4) nolu eşitlikten, Enb x 0 araştırılıyorken, Z j -C j ≥0,  j Є J 1 ve Z j -C j ≤0,  j Є J 2 sağlanıyorsa;

22 İ.Kara,2007 En İyilik Koşulları Enk x 0 araştırılıyorken, Z j -C j ≤ 0  j Є J 1 ve Z j -C j ≥ 0  j Є J 2 sağlanıyorsa en iyi çözüme erişildiği görülür.

23 İ.Kara,2007 Temele Girecek ve Çıkacak Değişken En iyi çözüme ulaşılamadığı zaman, öncelikle temele girecek değişken bulunmalıdır. Enb x 0 araştırılıyorsa; Enb{(enb|Z j -C j |,j ЄJ 1 ) ; (enb{Z j -C j },j ЄJ 2 )} ilişkisine, Enk x 0 araştırılıyorsa; Enb{(enb{Z j -C j },j ЄJ 1 ) ; (enb|Z j -C j |,j Є J 2 )} ilişkisine karşı gelen değişken işleme girecektir.

24 İ.Kara,2007 Temele Girecek ve Çıkacak Değişken Böylece, ya alt sınır değerini almış bir değişken işleme alınarak, ona alt sınır üstünde değer verilecek, ya da üst sınır değerini almış bir değişken işleme alınarak, ona üst sınır altında değer verilecektir. O halde, temelden çıkacak değişkenin belirlenmesi için yapılacak işlemler, temele alınabilir değişkenin daha önce alt sınır değerli veya üst sınır değerli oluşuna göre belirlenmelidir.

25 İ.Kara,2007 Temele Girecek ve Çıkacak Değişken Temele alınabilecek değişkende oluşacak farklılaşma (artış veya azalış) ∆K’nın değeri araştırılırken, uygunluk koşullarının korunabilmesi için bundan etkilenecek olan değişkenlerin, i.Alt sınırın altına inmemesi, ii.Üst sınırın üstüne çıkmaması sağlanmalıdır.

26 İ.Kara,2007 Temele Girebilecek Değişken Alt Sınırında x k alt sınır değerli bir değişken iken temele alınabilecek değişken olsun. x k nın alt sınırından itibaren artmaya başlamasıyla birlikte, izleyen genişletilmiş temel uygun çözümde, x k, ya üst sınır değerini alarak yine temel dışında kalacak, ya da üst sınır değerinin altında bir değer alacaktır. Bu arada temeldeki değişkenler kendi alt ve üst sınırları arasında değer alırken, x k artarken alt sınıra veya üst sınıra gelen bir değişken, temelden çıkabilecektir.

27 İ.Kara,2007 Temele Girebilecek Değişken Alt Sınırında O halde, ∆K, x k da yapılabilir artış, x s temeldeki değişkenlerin sayısal değerleri ve y sk,x k sütununda s inci temel değişkene karşı gelen değer olmak üzere, ∆K’nın alabileceği değer için,

28 İ.Kara,2007 Temele Girebilecek Değişken Alt Sınırında x s + y sk ∆ k = x s,  s ve  s ≤x s ≤ s,  s ilişkileri göz önüne alınacaktır. Temeldeki değişkenler alt sınır değerlerinin altına inmeyeceklerinden, x s = x s - y sk ∆ k ≥  s,  s olmalıdır.

29 İ.Kara,2007 Temele Girebilecek Değişken Alt Sınırında y sk ≤0 ise, ∆ k ≥ 0 için, daima x s ≥  s olacağından, ∆ k   olabilir. Eğer y sk >0 ise, ∆ k > 0 için x s azalmaya başlar. Bu durumda, yukarıdaki eşitsizlik ∆ k için çözülürse, ∆ k ≤ (x s - α s )/(y sk ),  s y sk >0 elde edilir.

30 İ.Kara,2007 Uygunluk Koşulları O halde, temeldeki değişkenlerin alt sınır değerlerinin altına düşmemeleri için, sağlanmalıdır.

31 İ.Kara,2007 Uygunluk Koşulları Temeldeki değişkenler üst sınır değerlerini geçemeyeceklerinden, x s = x s - y sk ∆ k ≤ β s,  s olmalıdır.

32 İ.Kara,2007 Uygunluk Koşulları y sk >0 ise, ∆ k > 0 için daima x s ≤ β s olacağından, ∆ k istenildiği kadar büyütülebilir. Eğer y sk 0 için x s artmaya başlar. Bu durumda, yukarıdaki eşitsizlik ∆ k için çözülürse, ∆ k ≤ ( β s - x s )/(-y sk ),  s y sk <0 elde edilir.

33 İ.Kara,2007 Uygunluk Koşulları O halde, temeldeki değişkenlerin üst sınır değerlerini aşmamaları için, olmalıdır.

34 İ.Kara,2007 Uygunluk Koşulları x k nın alabileceği değer kendi sınırları içinde olacağından, ∆ k ≤ β k -  k sağlanmalıdır.

35 İ.Kara,2007 Uygunluk Koşulları Yukarıdaki eşitsizlikler birlikte ele alınması gerektiğinden, x k da yapılabilir artış olan ∆ k ∆ k = enk{ 1,  2, β k -  k } olarak bulunur.

36 İ.Kara,2007 Temelden Çıkacak Değişken ∆ k =  1 ise, karşı gelen değişken alt sınır değeriyle temelden çıkar, x k temele girer, izleyen çözüm bulunur. ∆ k =  2 ise, karşı gelen değişken üst sınır değeriyle temelden çıkar, x k temele girer, izleyen çözüm bulunur. ∆ k = β s -  k ise, x k üst sınır değerini alıp, yine temel dışında kalır. ∆ k   ise modelin sınırsız çözümü var demektir.

37 İ.Kara,2007 Temele Girebilecek Değişken Üst Sınırında x k, üst sınır değerinde iken temele alınabilecek bir değişken olsun. x k üst sınırından itibaren azalmaya başladığından, yeni genişletilmiş temel uygun çözüm elde edecek şekilde x k ’nın ne kadar azaltılabileceği tespit edilmelidir. O halde,

38 İ.Kara,2007 Uygunlu Koşulları x s + ∆ k x k = x s,  s ve  s ≤x s ≤ s ilişkileri göz önüne alınarak, bir önceki durumdakine benzer işlemlerle, ∆ k, x k da meydana gelecek azalma olmak üzere;

39 İ.Kara,2007 Uygunlu Koşulları ∆ k ≤ β k -  k eşitsizlikleri sağlanmalıdır ki, buradan ∆ k = enk{ 1,  2, β k -  k } bulunur.

40 İ.Kara,2007 Uygunlu Koşulları ∆ k =  1 veya  2 ise, karşı gelen değişken temelden çıkar, x k temele girer ve izleyen genişletilmiş temel uygun çözüm bulunur. ∆ k = β k -  k ise, x k alt sınır değerini alıp, yine temel dışında kalır. ∆ k   ise sınırsız çözüm olup, durulur.

41 İ.Kara,2007 Yeni Genişletilmiş Temel Uygun Çözüm x k temele girebilecek değişken iken, üst sınırına erişecek veya alt sınırına inerek yine temel dışında kalıyorsa; x 0 = x 0 – (Z k - C k ) ∆ k x s = x s – y sk ∆ k,  s eşitliklerinden, tablonun STS sütununun yeni değerleri hesaplanarak, en iyilik sınamasına geçilir.

42 İ.Kara,2007 İzleyen Çözüm x k temele girebilecek değişken iken ∆ k =  1 veya  2 değerini aldığında, karşı gelen x r temelden çıkacaktır. Bu durumda tablonun STS sütunu dışındaki kısımları anahtar elemana göre satır işlemlerine tabi tutulur. STS sütununun yeni değerleri, x 0 = x 0 – (Z k - C k ) ∆ k x s = x s – y sk ∆ k,  s işlemleriyle bulunur.

43 İ.Kara,2007 İzleyen Çözüm Temelden çıkan x r değişkeninin yeni değeri ya alt sınırı ya da üst sınırıdır. Temele giren x k ‘nın aldığı değer ise, x k =  k + ∆ k, (alt sınırla girmişse) veya x k = β k - ∆ k, (üst sınırla girmişse) olur.

44 İ.Kara,2007 Örnek 2 Karar modeli, x 1 + 2x 2 + x 3 ≤ 10 2x 1 + x 2 + 3x 3 ≤ 15 1 ≤ x 1 ≤ 3 2 ≤ x 2 0 ≤ x 3 ≤ 2 k.a. enb x 0 = 3x 1 + 2x 2 + x 3 şeklinde verilsin.

45 İ.Kara,2007 Örnek 2 x 1, x 2, x 3 alt sınır değerleriyle temel dışı değişkenler; x 4 ve x 5 (aylak değişkenler) temel değişkenler olmak üzere modelin başlangıç Simpleks tablosu aşağıdaki gibi bulunur.

46 İ.Kara,2007 Örnek 2 β,α,x0β,α,x0 31x131x1 2x22x2 20x320x3 x4 x4 x5x5 STS x0x x4x x5x

47 İ.Kara,2007 Örnek 2 Tablonun STS sütununda x 0 ın değerinin x 0 = C B B -1 b – Σ(Z j - C j )x j eşitliğine bağlı olarak, x 0 =0-(-3*1-2*2-1*0)=7 şeklinde hesaplandığına ve temel değişkenlerin değerlerinin de, x j lerin almış oldukları değerler göz önüne alınarak, x s = B -1 b – Σy sj x j eşitliğiyle hesaplandığına dikkat edilmelidir.

48 İ.Kara,2007 Örnek 2 Modelde enb x 0 istendiğinden ve temel dışı değişkenlerin tamamı alt sınır değerinde iken, tüm j’ler için Z j -C j ≥ 0 olmadığından en iyi çözüme erişilmemiştir. enk{Z j -C j }=-3 olup, x 1 temele girebilecek alt sınır değerli değişken olur.

49 İ.Kara,2007 Örnek 2 eşitliğine bağlı olarak, x 1 sütununda tüm y sk >0 olduğundan,  1 =enk{(5-1)/1,(11-1)/2}=4 olarak bulunur.

50 İ.Kara,2007 Örnek 2 eşitliğine bağlı olarak, tüm y si >0 olduğundan,  2   olur. x 1 in üst sınırı 3 olduğuna göre, x 1 deki artış, ∆ 1 =enk{ 1,  2, β 1 - α 1 } =enk{4, , 3-1}=2 olup, x 1 üst sınırı değerini alacak demektir.

51 İ.Kara,2007 Örnek 2 Tablonun STS sütunundaki x 0 ın yeni değeri, x 0 = x 0 – (Z j -C j )∆ 1 eşitliğinden x 0 = 7-(-3)*2 = 13 olur. Temeldeki değişkenlerin yeni değerleri ise, x s = x s – y sk *∆ 1,  s eşitliğinden hareketle, x 4 = 5-1*2 = 3 ve x 5 = 11-2*2 = 7 olarak bulunur.

52 İ.Kara,2007 Örnek 2 Eldeki genişletilmiş temel uygun çözüme karşı gelen tablo aşağıda verilmiştir. β,α,x0β,α,x0 31x131x1 2x22x2 0x30x3 x4x4 x5x5 STS x0x x4x x5x

53 İ.Kara,2007 Örnek 2 Tabloda üst sınır değerli tek değişken olup, buna karşı gelen Z 1 -C 1 =-3<0 olduğundan temele girmesi istenmez. x 2 ve x 3 alt sınır değerli temeldışı değişkenler olup, her ikisi de temele girebilir. O halde, enk{Z 2 -C 2, Z 3 -C 3 }=-2 olup, x 2 temele girebilecek değişkendir.

54 İ.Kara,2007 Örnek 2 Tüm y s2 >0 olduğundan,  1 =enk{(3-0)/2,(7-0)/1}=3/2 ve  2   olarak bulunur.

55 İ.Kara,2007 Örnek 2 β 2   olduğu da göz önüne alınarak, x 2 de yapılabilir artış, ∆ 2 = enk{3/2, ,  -2 } = 3/2 olur ki; x 2, alt sınır değerinden 3/2 birim artırılarak temele girecek, x 4 temelden çıkacaktır.

56 İ.Kara,2007 Örnek 2 Tablonun STS sütunundaki x 0 değeri, x 0 = x 0 – (Z 2 -C 2 )∆ 2 eşitliğine bağlı olarak, x 0 = 13 – (-2)*3/2=16 olur. Temel değişkenlerin değerleri ise, x 2 = α 2 + ∆ 2 = 2 + 3/2 = 7/2 ve x s = x s – y 22 ∆ 2 = 7 – 1*3/2 =11/2 olur.

57 İ.Kara,2007 Örnek 2 Temelden çıkan x 4 değişkeni x 4 = x 4 - 2∆ 2 eşitliğine bağlı olarak, x 4 = 3 – 2*3/2 = 0 değerini alıp, alt sınırıyla temel dışı kalır.

58 İ.Kara,2007 Örnek 2 Tabloda, STS hariç uygun satır işlemleri yapılırsa, eldeki genişletilmiş temel uygun çözüme karşı gelen simpleks tablo aşağıdaki gibi bulunur. β,αβ,α 3 x0x0 x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 STS x0x x2x2 01/21 07/2 x5x5 03/205/2-1/2111/2

59 İ.Kara,2007 Örnek 2 Bu tabloda x 1 üst sınırında iken Z 1 -C 1 =- 2<0 olup, x 1 in temele girmesi istenmez. Alt sınır değerini almış olan x 3 ve x 4 için Zj- Cj ≥ 0 olduğundan, bunların da temele girmesi söz konusu değildir. O halde en iyi çözüme erişilmiş olup durulur. Verilen modelin en iyi çözümü, x 1 =3, x 2 =7/2 olup enb x 0 =16 dır.

60 İ.Kara,2007 Yapay Değişken Verilen modele, kolaylıkla genişletilmiş bir temel uygun çözüm bulunamaz ise, değişkenlerin alt sınır değerleri göz önüne alınarak, modele yeterince yapay değişken eklentisiyle, genişletilmiş temel uygun çözüm bulunur. Daha sonra, iki evreli veya Büyük-M yöntemi uygulanarak, işlemlere devam edilir.


"İ.Kara,2007 END 503 Doğrusal Programlama Sınırlandırılmış Değişken Tekniği." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları