Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Mukavemet II Strength of Materials II Teaching Slides Chapter 5: Mukaveme t II Strength of Materials II 3-D Gerilme Analizi 3-D Stress Analysis.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Mukavemet II Strength of Materials II Teaching Slides Chapter 5: Mukaveme t II Strength of Materials II 3-D Gerilme Analizi 3-D Stress Analysis."— Sunum transkripti:

1 Mukavemet II Strength of Materials II Teaching Slides Chapter 5: Mukaveme t II Strength of Materials II 3-D Gerilme Analizi 3-D Stress Analysis

2 3D Gerilme Analizi 2 Chapter Outline  Internal forces  Stress concept  The stress state at a point  Stress tansor  Equations of stress transformations  Principle stresses and directions  Maximum/minimum shear stresses

3 3D Gerilme Analizi 3 Üç Boyutlu Gerilme Analizi İç Kuvvetler: Dış kuvvetler etkisindeki katı bir cismin içerisinde iç kuvvetler meydana gelir. Bu iç kuvvetler ayırma prensibi uygulanarak hesaplanırlar (Şekil-1).

4 • Cisim bütün iken statik dengede olduğu için, ayırma prensibine göre (hayali olarak)ayrılan I ve II parçaları da dengede olmak zorundadır. B kesitindeki herhangi bir ∆A alanına düşen iç kuvvet miktarı ∆F‘tir. ∆F iç kuvvetinin ∆A kesit alanına oranı gerilmedir. Bu gerilme aşağıdaki gibi ifade edilir: • Bu bileşke gerilmenin, kesite normal ve teğetsel yönlerde iki bileşeni bulunmaktadır: Burada σ N normal gerilmedir, σ T ise kayma gerilmesi olup τ ile gösterilir. 4 Gerilme kavramı

5 3D Gerilme Analizi 5 Bir Noktadaki Gerilme Bileşenleri Bir noktadaki gerime bileşenleri: B düzleminden sonsuz küçük kübik bir eleman çıkartarak bu elemanın SCD’ını çizelim (Şekil-2). Bu elemanın boyutları sonsuz küçük olduğundan yüksek dereceden gerilme terimleri ihmal edilebilmektedir.

6 6 Gerilme tansörü • Normal gerilmeler, yüzeylerin normalleri ile çakışmakta olup, eğer normal yönünde ise pozitif, normale zıt yönde is negatiftirler. • Kayma gerilmeleri ise, yüzeylere paralel olup, karşılıklı yüzeylerde kuvvet çifti gibi düşünüldüklerinde, saatin tersi yönünde döndürme etkisi olanlar pozitif, aksi halde negatiftirler. Bu gerilme bileşenleri, bir matris içerisine aşağıdaki gibi yerleştirilirler ki bu matrise gerilme tansörü denir.

7 3D Gerilme Analizi 7

8 8 Birbirine dik kesitlerdeki kayma gerilmeleri Birbirine dik kesitlerdeki kayma gerilmeleri arasındaki ilişkiyi kurmak için Şekil-3’te görülen düzlem gerilme durumunu ele almak daha kolaydır. t kalınlıklı ve a kenar uzunluklu bu eleman dengede olduğu için düzlem denge şartları aşağıdaki gibi yazılır: Bu denge denklemlerinden ΣM O =0 şartı kullanılırsa kayma gerilmeleri arasında aşağıda olduğu gibi bir bağıntı kurulabilir:

9 9 Birbirine dik kesitlerdeki kayma gerilmeleri Şekil-3 τ xy τ yx Birbirine dik kesitlerdeki kayma gerilmeleri arasındaki ilişkiyi kurmak için Şekil-3’te görülen düzlem gerilme durumunu ele almak daha kolaydır. Bu eleman dengede olduğu için düzlem denge şartları aşağıdaki gibi yazılır: ∆x∆x Bu denge denklemlerinden ΣM Z =0 şartı kullanılırsa kayma gerilmeleri arasında aşağıda olduğu gibi bir bağıntı kurulabilir: ∆y∆y t Z

10 3D Gerilme Analizi 10 Simetrik Gerilme Tansörü Burada OA=AB=BC=OC=a olduğundan bu denge denklemi şeklinde olur.3-D genel durum için ΣM y =0 denkleminden τ zx =τ xz ve ΣM z =0 denkleminden de τ xy =τ yx eşitlikleri bulunur. Bu eşitlikler gerilme matrisinin simetrik olduğunu gösterir. Böylece gerilme bileşenleri 9’dan 6’ya indirgenmiş olur. Buna göre gerilme tansörü aşağıdaki gibi olur:

11 11 Dördüncü Düzlemdeki Gerilmeler Bir noktadaki gerilmeleri temsil eden Şekil-2’deki küp eleman herhangi bir dördüncü düzlemle kesilir ve elde edilen dört yüzlü katı cismin SCD’ı aşağıdaki gibi çizilir:

12 3D Gerilme Analizi 12 Dördüncü düzlemdeki birim vektör ve gerilme bileşenleri ABOC dört yüzlüsünün statikçe dengede olabilmesi için ABC yüzeyinde bir dengeleyici S gerilmesinin olması gerekir. Bu gerilmenin x-y-z yönlerindeki bileşenleri S x, S y ve S z şeklindedir. ABC düzleminin normalinin doğrultman cosinüsleri l, m ve n olup, normal doğrultunun x, y ve z eksenleri ile pozitif yönde yaptığı açıların kosinüsleridir.

13 3D Gerilme Analizi 13 Dördüncü düzlemdeki gerilme bileşenleri Şekil 4-b’deki dört yüzlünün x yönündeki statik dengesinden elde edilir. Bu denklem ABC alanı ile bölünürse şeklinde olur. Doğrultman kosinüsleri

14 3D Gerilme Analizi 14 • Benzer şekilde diğer bileşenler ΣF y =0 ve ΣF z =0 şartlarından bulunur: • Bu denklemler aşağıdaki gibi matris formunda yazılabilir:

15 3D Gerilme Analizi 15 Dördüncü düzlemin normali yönündeki gerilme • Elde edilen S gerilmesi bileşenleri vektör formunda aşağıdaki gibi yazılır: • ABC düzleminin normal doğrultusundaki birim vektör e olup bu iki vektörün skaler çarpımından ABC düzlemindeki normal gerilme aşağıdaki gibi bulunur:

16 3D Gerilme Analizi 16 Dördüncü düzlemin normali yönündeki gerilme • Bu bileşenler σ N denkleminde yerine yazılarak aşağıdaki denklem elde edilir:

17 3D Gerilme Analizi 17 Gerilme dönüşümleri x-y-z eksen takımının orijini üzerinde yeni bir X-Y-Z eksen takımı tanımlayalım. Burada Y ekseni ile N yüzey normali ile çakıştırılırsa, eksen takımları arasındaki açıların kosinüsleri (doğrultman kosinüsleri) aşağıdaki gibidir: X-Y-Z yönlerindeki birim vektörler: X-Y-Z ve x-y-z arasındaki dönüşüm denklemi:

18 3D Gerilme Analizi 18 • X-Y-Z yönlerindeki gerilme bileşenleri, daha önce bulunmuş olan N yönündeki σ N gerilmesi gibi hesaplanır:

19 19 X-Y-Z yönlerindeki kayma gerilmeleri • Kayma gerilmeleri S vektörünün X, Y ve Z eksenleri üzerindeki izdüşümleri ile bulunur. X, Y ve Z yönlerindeki birim vektörler sırası ile e 1, e 2 ve e 3 olmak üzere S 1, S 2 ve S 3 gerilme bileşenleri ile, aşağıdaki gibi skaler çarpılarak bulunur:

20 3D Gerilme Analizi 20 Örnek: Üç boyutlu gerilme haline ait gerilme tansörü σ ij aşağıdaki gibi verildiğine göre: a)Normalin doğrultman kosinüsleri olan düzlemdeki gerilme bileşenlerini, bileşke gerilmeyi, normal ve kayma gerilmelerini hesaplayınız. b)x-y-z eksenlerini sırasıyla 5, 10, 15 noktalarında kesen düzlemdeki gerilmeleri hesaplayınız.

21 3D Gerilme Analizi 21 Çözüm

22 3D Gerilme Analizi 22 ve

23 23

24 3D Gerilme Analizi 24

25 3D Gerilme Analizi 25

26 3D Gerilme Analizi 26 Asal gerilmeleri

27 3D Gerilme Analizi 27

28 3D Gerilme Analizi 28

29 3D Gerilme Analizi 29 veya

30

31 3D Gerilme Analizi 31

32 32

33 3D Gerilme Analizi 33 Asal gerilmelerin x, y, z eksenleriyle yaptığı açılar

34 3D Gerilme Analizi 34

35 3D Gerilme Analizi 35

36 36

37 3D Gerilme Analizi 37

38 Çözüm:

39 3D Gerilme Analizi 39

40 3D Gerilme Analizi 40

41 3D Gerilme Analizi 41

42 x y z O P Q L=0.2 m h=60 mm b=40 mm y z P Q b h 8 4 A Örnek: Şekilde görülen konsol kiriş P=8 kN ve Q=6 kN luk kuvvetlere maruz kaldığına göre: a)A noktasında oluşan gerilme bileşenlerini hesaplayınız. b)Gerilme tansörünü oluşturunuz. c)Gerilme invariantlarını hesaplayınız. d)Asal gerilmeleri ve doğrultularını belirleyiniz.

43 3D Gerilme Analizi 43 V y =-P=-8 kN V z =Q=6 kN

44 44 V y =-P=-8 kN V z =Q=6 kN

45 45

46 46 Asal gerilmeler:

47 47 σ 1 için doğrultman cos’lerini bulalım (i=1):

48 48

49 49

50 3D Gerilme Analizi 50

51 51

52 3D Gerilme Analizi 52

53 3D Gerilme Analizi 53

54 3D Gerilme Analizi 54 Örnek: Bir noktadaki gerilme durumu aşağıdaki verilmektedir. Buna göre; a)Asal gerilmeleri ve doğrultularını bulunuz. b)Mohr çemberlerini çizerek kayma gerilmelerini belirleyiniz.

55 3D Gerilme Analizi 55

56 56

57 3D Gerilme Analizi 57

58 3D Gerilme Analizi 58

59 3D Gerilme Analizi 59

60 3D Gerilme Analizi 60

61 3D Gerilme Analizi 61

62 3D Gerilme Analizi 62

63 3D Gerilme Analizi 63

64 3D Gerilme Analizi 64


"Mukavemet II Strength of Materials II Teaching Slides Chapter 5: Mukaveme t II Strength of Materials II 3-D Gerilme Analizi 3-D Stress Analysis." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları