Esra Esnemez Gizem Bayram Hümeyra Güneş PROBLEM ÇÖZME STRATEJiLERi.

... konulu sunumlar: "Esra Esnemez Gizem Bayram Hümeyra Güneş PROBLEM ÇÖZME STRATEJiLERi."— Sunum transkripti:

1 Esra Esnemez Gizem Bayram Hümeyra Güneş PROBLEM ÇÖZME STRATEJiLERi

2 Farklı Bakış Açısı Uygulama Stratejisi Geriye Doğru İşlem Yapma Stratejisi

3 Farklı Bakış Açısı Uygulama Stratejisi Olaylara tersinden bakmak veya istenen üzerinden değil de istenmeyen üzerinden giderek çözüme ulaşmaktır. Problem çözümlerin de bazen istenen durum üzerinden gitmek işlemleri fazlalaştırıp çözümü güçleştirebilirken, istenmeyen durum üzerinden gitmek çok daha sadece işlemlerle karmaşadan uzak şekilde çözümlere ulaşmalarını sağlar.

4 !!!Problem - 1 25 kişinin katıldığı bir tenis turnuvasında şampiyonu belirlemek için kaç maç yapılmalıdır?

5 Problemi Anlama Plan Hazırlama Planı Uygulama Geriye Doğru Bakma İleri Düzey Problem Kurma

6 Problemi Anlama Verilenler: 25 tenisçi var. Her bir maç iki tenisçiyle yapılıyor. İstenenler: Turnuvadaki toplam maç sayısı nedir? basamaklar

7 Plan Hazırlama Farklı bakış açısı uygulama stratejisi kullanılsın. Diğer problem çözme stratejilerle de kullanılabilir. basamaklar

8 Planı Uygulama Normal şartlarda problemin çözümünü bulabilmek için, maçları kazananlara göre bir yöntem izlenir. Ancak farklı bakış açısı stratejisi kullanıldığında kazanana değil kaybedene göre bir yöntem kullanılır. Toplam: 25 tenisçi Kaybeden: 24 tenisçi her maçta 1 tenisçi kaybedecek kaybedenler turnuvadan elenecek 24 kaybeden olacak Öyleyse; turnuvada toplamda 24 maç yapılmalıdır. basamaklar

9 Geriye Doğru Bakma Başka bir stratejiyle sağlama yapalım… Toplam: 25 tenisçi Kazanan: 1 tenisçi her maçta 1 tenisçi kazanacak kazanan diğer maça hak kazanacak sonda 1 tenisçi kazanacak 24 + 1 = 25 kişi 12 + 1 = 13 kişi 6 + 1 = 7 kişi 3 + 1 = 4 kişi 2 kişi 24 : 2 = 12 maç, 12 kazanan 12 : 2 = 6 maç, 6 kazanan 6 : 2 = 3 maç, 3 kazanan 4 : 2 = 2 maç, 2 kazanan 2 : 2 = 1 maç, 1 kazanan Yapılan toplam ma12 : 2 = 6 maç, 6 kazanan ç sayısı 24’tür. basamaklar

10 İleri Düzey Problem Kurma 25 kişilik bir tenis turnuvasında yapılan her maçta kaybeden tenisçiler kaybeden rakipleriyle tekrar maç yapacak ve kazanırlarsa turnuvada tekrar maça çıkacaklardır. Buna göre kazananın belirlenmesi için en az kaç maç yapılmalıdır ? basamaklar

11 Yapılan istatiksel araştırmalarda; Çankırı kentinin nüfusunun her yıl 80 kişi azaldığını, Çorum kentinin nüfusunun ise her yıl 120 kişi arttığını göstermektedir… !!!Problem - 2 Çankırı Kenti 6800, Çorum Kenti ise 4200 kişilik nüfusa sahiptir. Kaç yıl sonra iki kentin nüfusları eşit olur?

12 Problemi Anlama Plan Hazırlama Planı Uygulama Geriye Doğru Bakma İleri Düzey Problem Kurma

13 Problemi Anlama Verilenler: Çankırı’nın nüfusu 6800 kişi Çorum’un nüfusu 4200 kişi Çankırı’da her yıl 80 kişi azalma Çorum’da her yıl 120 kişi artma İstenenler: Kentlerdeki nüfuslar kaç yıl sonra eşitlenir? basamaklar

14 Plan Hazırlama Farklı bakış açısı uygulama stratejisi kullanılsın. Diğer problem çözme stratejilerle de kullanılabilir. basamaklar

15 Planı Uygulama Nüfustaki kayıp: Çankırı’da 80 kişi Nüfustaki artış: Çorum’da 120 kişi Nüfuslardaki toplam değişme: 120 + 80 = 200 kişi Popülasyonların net farkı: 6800 - 4200 = 2600 kişi Her yıl 200 kişilik değişimle nüfuslar arasındaki fark giderilecek. Popülasyon farkını, toplam değişime bölersek eşitliğin sağlanması için kaç yıl geçmesi gerektiği bulunur. Sonuç 2600 : 200 = 13 basamaklar

16 Geriye Doğru Bakma Başka bir stratejiyle sağlama yapalım… Nüfusların eşitlenmesi için gereken yıl sayısı: x x yıl sonra; Çankırı Kenti’nin nüfusu Çorum Kenti’nin nüfusu 6800 – 120x 4200 + 80x x yıl sonra nüfuslar eşitlendiğinden; 6800 – 120x = 4200 + 80x 2600 = 200x 13 = x Başka bir strateji ile de sağlama yapalım… Geçebilecek her yıl için hesaplama yaparak nüfuslarda eşitleme yapmaya çalışalım. Yıl Çankırı Çorum 1 6680 4280 2 6560 4360 3 6440 4440 4 6320 4520 5 6200 4600 6 6080 4680 7 5960 4760 8 5840 4840 9 5720 4920 10 5600 5000 11 5480 5080 12 5360 5160 13 5240 5240 Bir diğer çözüm ise… Nüfus eşitliği için geçen yıl: x x yıl sonraki nüfus miktarı: y x yıl sonra; Çankırı’nın nüfusu Çorum’un nüfusu y = 6800 - 120x y = 4200 + 80x Oluşan doğrular koordinat sistemine yerleştirilir. Doğruların kesişim noktaları bulunur. X = 13 y = 5240 basamaklar

17 İleri Düzey Problem Kurma Eskişehir Kenti 4500, Afyon Kenti ise 2300 kişilik nüfusa sahiptir. Yapılan istatiksel araştırmalarda; Eskişehir Kenti’nin nüfusunun her yıl 30 kişi azaldığını, Afyon Kenti’nin nüfusunun ise her yıl 90 kişi arttığını göstermektedir. Buna göre Afyon Kenti Eskişehir Kenti’nin 2 katı olur ? basamaklar

18 !!!Problem - 3 Şuan da saat 10:45’i göstermektedir. 143 999 999 995 dakika sonra saat kaçı gösterir?

19 Problemi Anlama Plan Hazırlama Planı Uygulama Geriye Doğru Bakma İleri Düzey Problem Kurma

20 Problemi Anlama basamaklar Verilenler: Şuan ki zaman, 10:45 İstenenler: Şuandan 143 999 999 9995 dakika sonraki saat.

21 Plan Hazırlama Farklı bakış açısı uygulama stratejisi kullanılsın. Diğer problem çözme stratejilerle de kullanılabilir. basamaklar

22 Planı Uygulama 143 999 999 995, 144 000 000 000’ den 5 eksiktir. 60 dakika 1 saat olduğundan 144 000 000 000 dakika; 144 000 000 000 : 60 = 2 400 000 000 saat yapar. 24 saat 1 gün olduğundan 2 400 000 000 saat; 2 400 000 000 : 24 = 100 000 000 gün yapar. Saat 10:45’den 100 000 000 gün sonra saat yine 10:45’tir. Ancak biz bulunmak istenen zamandan 5 dakika sonrasını bulduk. Öyleyse; istenilen zaman 10:45 - 00:05 = 10:40’tır. basamaklar

23 Geriye Doğru Bakma 143 999 999 995 dakika; saate çevrilir; saat güne çevrilir; istenilen saat doğrudan bulunur… basamaklar

24 İleri Düzey Problem Kurma Şuan 2013 yılının Mart ayının 14’üdür ve saat 10:45’i göstermektedir. 4’e tam bölünebilen her yılda Şubat ayının 29 gün olduğu dikkate alınıyor. Şuandan 143 999 999 995 dakika önceki tarih ve saati bulunuz. basamaklar

25 !!!Problem – 4 Aynı odada bulunan beş kişiden en az ikisinin aynı gün doğmuş olma olasılığı nedir? (Şubat ayı 29 çekmemektedir.)

26 Problemi Anlama Plan Hazırlama Planı Uygulama Geriye Doğru Bakma İleri Düzey Problem Kurma

27 Problemi Anlama Verilenler: 5 kişi Şubat ayının 29 çekmediği. İstenenler: En az iki kişinin aynı gün doğma olasılığı. basamaklar

28 Plan Hazırlama Farklı bakış açısı uygulama stratejisi kullanılsın. Diğer problem çözme stratejilerle de kullanılabilir. basamaklar

29 Planı Uygulama Beş kişinin de aynı günde doğmama olasılığını hesaplayalım ve tüm durumdan çıkaralım. Birinci kişinin herhangi bir günde doğma olasılığı: 365:365 İkinci kişinin farklı bir günde doğma olasılığı: 364:365 Üçüncü kişinin farklı bir günde doğma olasılığı: 363:365 Dördüncü kişinin farklı bir günde doğma olasılığı: 362:365 Beşinci kişinin farklı bir günde doğma olasılığı: 361:365 Hepsinin farklı günde doğma olasılığı: 365. 364. 363. 362. 361 = 17267274024 = 0,9728644263002 365 365 365 365 365 17748900625 Hepsinin herhangi bir günde doğma olasılığı: 1’dir. Öyleyse en az ikisinin aynı gün doğma olasılığı; 1- 0,9728644263002 = 0,271355736998 basamaklar

30 Geriye Doğru Bakma Tüm Durumları Göz Önüne Alma Stratejisi Mantıksal Çıkarım Yapma Stratejisi basamaklar

31 Geriye Doğru Bakma 5 kişi için: 2 kişinin aynı günde doğma olasılığı, 3 kişinin aynı günde doğma olasılığı, 4 kişinin aynı günde doğma olasılığı, 5 kişinin aynı günde doğma olasılığı, … sırasıyla hesaplanır ve toplanır. basamaklar

32 İleri Düzey Problem Kurma Ayşe'nin iki adet torbası vardır. Birinci torbanın içinde 15 tane kırmızı, 10 tanede beyaz top vardır. İkinci torbanın içinde ise 17 kırmızı, 8 mavi top vardır. Ayşe ilk torbadan teker teker 3 top alıyor ve her aldığını diğer torbaya atıyor. En sonunda Ayşe’nin ikinci torbadan kırmızı çekme olasılığı nedir? basamaklar

33 !!!Problem - 5 Bir dik üçgende hipotenüse indirilen kenarortay uzunluğunun hipotenüs uzunluğunun yarısı kadar olduğunu ispatlayınız.

34 Problemi Anlama Plan Hazırlama Planı Uygulama Geriye Doğru Bakma İleri Düzey Problem Kurma

35 Problemi Anlama Verilenler: Bir dik üçgen İstenenler: Hipotenüse indirilen kenarortayın uzunluğunun, hipotenüsünkinin yarısı olduğunun gösterilmesi. basamaklar

36 Plan Hazırlama Farklı bakış açısı uygulama stratejisi kullanılsın. Diğer problem çözme stratejilerle de kullanılabilir. basamaklar

37 ABC üçgeninin çevrel çemberini kullanalım. Bu şekilde BC uzunluğu çap olur. M çemberin merkezi yani BC çapının orta noktasıdır. Bu nedenle ABC üçgeninin kenar ortayı AM uzunluğu aynı zamanda çevrel çemberin yarı çapıdır ayrıca hipotenüsün yarısı uzunluğundadır. Planı Uygulama C B A M basamaklar

38 Geriye Doğru Bakma Bu önermeyi ispatlamanın en bilinen yolu AM kenar ortayını P noktasına kadar uzatıp, PB ve PC uzunluklarını çizmektir. Elde edilen ABCP dörtgeni bir dikdörtgendir. Bir dikdörtgenin köşegenlerinin uzunlukları aynıdır. Bu yüzden AM uzunluğu BC uzunluğunun yarısı kadar olur. A B C P M basamaklar

39 İleri Düzey Problem Kurma Bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamının hipotenüsün uzunluğunun karesine eşit olduğunu gösteriniz. basamaklar

40 !!!Problem - 6 999 973 sayısını asal çarpanlarına ayırınız.

41 Problemi Anlama Plan Hazırlama Planı Uygulama Geriye Doğru Bakma İleri Düzey Problem Kurma

42 Problemi Anlama Verilenler: 999 973 İstenenler: Sayının asal çarpanları basamaklar

43 Plan Hazırlama Farklı bakış açısı uygulama stratejisi kullanılsın. Diğer problem çözme stratejilerle de kullanılabilir. basamaklar

44 Planı Uygulama 1 000 000 – 999 973 = 27 1 000 000 – 27 = 999 973 (100) 3 – 3 3 = 999 973 a 3 – b 3 = (a – b).(a 2 + a.b + b 2 ) olduğundan; (100) 3 – 3 3 = (100 – 3).(10 2 + 10.3 + 3 2 ) = 97. 10309 = 97. 13. 13. 61 basamaklar

45 Geriye Doğru Bakma Hesap makinesi kullanılarak asal çarpanları bulunabilir. basamaklar

46 İleri Düzey Problem Kurma 444 444 444 444 256 + 444 444 253 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. basamaklar

47 !!!Problem - 7 Bir kedi 160 m önünde olan bir kediyi kovalamaktadır. Farenin her 7 m’lik ilerleyişinde kedi 9 m ilerlediğine göre, kedi fareyi yakalamak için kaç metre koşmalıdır?

48 Problemi Anlama Plan Hazırlama Planı Uygulama Geriye Doğru Bakma İleri Düzey Problem Kurma

49 Problemi Anlama Verilenler: Kedi ve fare arası 160 metre Kedi 9 metre ilerliyor Fare 7 metre ilerliyor İstenen: Kedi fareyi yakaladığında toplam gittiği yol nedir? basamaklar

50 Plan Hazırlama Farklı bakış açısı uygulama stratejisi kullanılsın. Diğer problem çözme stratejilerle de kullanılabilir. basamaklar

51 Planı Uygulama Kedi ile farenin aldıkları yok(hız) farkı: 2 metre Kedi ile fare arasındaki mesafe: 160 metre Arkadaki kedi daha hızlı olduğundan mesafe belli süre sonra kapanacaktır. Aradaki mesafenin kapanması için geçen süre: 160 : 2 = 80 Kedinin toplamda kat ettiği yol: 9 x 80 = 720 metre basamaklar

52 Geriye Doğru Bakma Başka bir yöntemi kullanarak sağlama yapalım… Fare başladığı noktadan itibaren d metre uzaklıkta yakalansın. Farenin Hızı: 7x olsun. Kedinin Hızı: 9x olsun. Yakalama sürecinde kedi ve farenin harcadığı zamanlar aynıdır. Zaman= Yol : Hız Farenin Zamanı = Kedinin Zamanı d : 7x = (160 + d) : 9x d = 560 Kedinin kat ettiği toplam yol: 560 + 160 = 720 metre basamaklar

53 İleri Düzey Problem Kurma Jerry mutfaktan kaçırdığı peyniri evine götürmek üzereyken, yolunun 4/9'una geldiğinde Tom'un sesini duyar. Tom jerry'e yaklaşık 20 km kızla koşarak yaklaşıyordur. Jerry, Tom onu yakalamadan evine varması için en az kaç km hızla kaçmalıdır ? basamaklar

54 Geriye Doğru İşlem Yapma Stratejisi Dışarıdan bakıldığından bu metodu karmaşık olarak algılanıyor. Geriye doğru çözme metoduna istediğimiz sonuca ulaşmak için, problemdeki önemli noktaları yakalamak gerekir. Bu metot günlük hayatta da karşımıza çıkmakta. Trafik kazasıyla karşılaşan polis kazanın nasıl olduğunu öğrenmek için geriye dönme metodunu kullanarak kazanın nasıl olduğunu ilk kimin kime vurduğunu tespit eder. Metodun temel prensibi olaylara tersten bakmaktır.

55 !!!Problem - 8 Ayşe’nin 11 litrelik ve 5 litrelik birer su bidonu vardır. 7 litre suyu Ayşe bu su bidonlarıyla nasıl tartabilir? 11 litre 5 litre

56 Problemi Anlama Plan Hazırlama Planı Uygulama Geriye Doğru Bakma İleri Düzey Problem Kurma

57 Problemi Anlama Verilenler: 11 litrelik su bidonu 5 litrelik su bidonu İstenenler: 7 litre su basamaklar

58 Plan Hazırlama Geriye doğru işlem yapma stratejisi kullanılsın. Diğer problem çözme stratejileri de kullanılabilir. basamaklar

59 7 litre Planı Uygulama 11 litre 5 litre 1 litre 4 litreyi elde edebilmek için 5 litrelik su bidonunda 1 litre su bırakılmalıdır. Peki 5 litrelik bidondan 1 litre suyu nasıl elde edebiliriz? 11 litre bidona tamamen su doldurulur. 5 litre su bidonu kullanılarak iki seferde 11 litrelik su bidonundan, 10 litre su boşaltılıyor. Bu şekilde geriye 1 litre kalıyor. Kalan 1 litre su 5 litrelik su bidonuna dolduruluyor. 11 litrelik su bidonu tekrar doldurulur. 5 litrelik bidonumuzun 1 litresi doluydu. 11 litrelik bidondan 5 litrelik bidon dolacak şekilde su aktarılıyor. 4 litre su aktarmış oluyoruz. Böylece 11 litrelik bidondan 4 litre su eksilmiş yani geriye 7 litre su kalmıştır. basamaklar

60 Geriye Doğru Bakma basamaklar Mantıklı Tahmin Yürütme ve Test Etme Stratejisi

61 !!!Problem - 9 Bir çifti yumurtalarını yerel marketlere dağıtırken bir kaza geçirir ve bütün yumurtaları kırılır. Kaç tane yumurtası olduğunu hatırlayamaz. Fakat en başta yumurtaları; 2’li olarak paketlemeye çalıştığında 1 tane, 3’lü olarak paketlemeye çalıştığında 1 tane, 4’lü paketlemeye çalıştığında 1 tane, 5’li paketlemeye çalıştığında 1 tane, 6’lı paketlemeye çalıştığında da 1 tane yumurta artar. 7’li paketlemeye çalıştığında ise geriye hiç yumurta kalmaz. Buna göre çiftçinin en az kaç yumurtası vardı ?

62 Problemi Anlama Plan Hazırlama Planı Uygulama Geriye Doğru Bakma İleri Düzey Problem Kurma

63 Problemi Anlama Verilenler: 2’li paketlemede 1 yumurta artar 3’lü paketlemede 1 yumurta artar 4’lü paketlemede 1 yumurta artar 5’li paketlemede 1 yumurta artar 6’lı paketlemede 1 yumurta artar 7’li paketlemede artan yumurta olmaz İstenenler: Başlangıçta çiftçinin en az kaç tane yumurtasının olduğu. basamaklar

64 Plan Hazırlama Geriye doğru işlem yapma stratejisi kullanılsın. Diğer problem çözme stratejileri de kullanılabilir. basamaklar

65 Planı Uygulama Çiftçinin sahip olabileceği en az yumurta sayısını bulabilmek için 2,3,4,5 ve 6’nın en küçük ortak çarpanını bulup 1 eklemek gerekir. Çünkü yumurtalar 2,3,4,5 ve 6’lı paketlemeler de 1 yumurta artmıştır. Bulunan sayı 7’ye tam bölünüyorsa problem çözülmüş olur. En küçük ortak bölen 60’dır. 2.60 + 1 = 121 => 7 ile bölünmez 3.60 + 1 = 181 => 7 ile bölünmez 4.60 + 1 = 241 => 7 ile bölünmez 5.60 + 1 = 301 => 7 ile bölünür 6.60 + 1 = 361 => 7 ile bölünmez Çiftçinin başta 301 tane yumurtası vardır. basamaklar

66 Geriye Doğru Bakma basamaklar Mantıklı Tahmin Yürütme ve Test Etme Stratejisi

67 İleri Düzey Problem Çözme Bir çifti yumurtalarını yerel marketlere dağıtırken bir kaza geçirir ve bütün yumurtaları kırılır. Çiftçi kaç tane yumurtası olduğunu hatırlayamaz. Fakat en başta yumurtaları 2’li olarak paketlemeye çalıştığında 1 tane, 3’lü olarak paketlemeye çalıştığında hiç, 4’lü paketlemeye çalıştığında 1 tane, 5’li paketlemeye çalıştığında 1 tane, 6’lı paketlemeye çalıştığında 1 tane, 9'lu paketlemeye çalıştığında da geriye hiç yumurta kalmaz. Buna göre çiftçinin en az kaç yumurtası vardı ? basamaklar

68 !!!Problem - 10 Verilen sayılardan hangisi daha büyüktür?

69 Problemi Anlama Plan Hazırlama Planı Uygulama Geriye Doğru Bakma İleri Düzey Problem Kurma

70 Problemi Anlama Verilenler: İstenenler: Hangi sayının daha büyük olduğu. basamaklar

71 Plan Hazırlama Geriye doğru işlem yapma stratejisi kullanılsın. Diğer problem çözme stratejileri de kullanılabilir. basamaklar

72 Planı Uygulama basamaklar

73 Geriye Doğru Bakma basamaklar Basit Benzer Problem Çözme Stratejisi

74 İleri Düzey Problem Kurma hangi sayı daha büyüktür ? basamaklar