MATEMATİK DÖNEM ÖDEVİ.

... konulu sunumlar: "MATEMATİK DÖNEM ÖDEVİ."— Sunum transkripti:

1 MATEMATİK DÖNEM ÖDEVİ

2 FONKSİYONLARIN LİMİTİ
LİMİTTE BELİRSİZLİK DURUMLARI

3 LİMİTTE BELİRSİZLİK DURUMLARI
BELİRSİZLİĞİ Trigonometrik Fonksiyonların Limiti BELİRSİZLİĞİ BELİRSİZLİĞİ BELİRSİZLİĞİ

4 Limit hesaplamalarında karşılaşılan
biçimindeki ifadelere belirsiz ifadeler denir. Bu bölümde belirsizliklerini inceleyeceğiz. BELİRSİZLİĞİ Bu belirsizlik halini şöyle açıklayabiliriz: Bölme işlemi yapılınca, bölüme her reel sayı yazılabilir.

5 Limiti hesaplanırken;
ve ise belirsizliği oluşur. Bu durumda f(x) ve g(x) ifadeleri, (x-a) çarpanına sahiptir. Yani f (x) = (x-a).f1 (x) ve g(x) = (x-a). g1 (x) olacağından, olur. Bu limitte yine belirsizliği varsa, aynı işlemler tekrar edilir.

6 ÖRNEK: değerini bulalım. ÇÖZÜM:

7 TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN LİMİTİ
Teorem: a  R olmak üzere: 1. sin x = sin a dır. 2. cos x = cos a dır 3. dir.

8 sin x. cos x < x < tan x olur.
İSPAT: Bir çemberde 1'in ve 2'nin doğruluğu kolayca görülebilir. Biz 3'ün ispatını yapalım. Şekildeki orijin merkezli birim çemberde, AOP açısının ölçüsüne x radyan dersek; PR = sin x, OR=cos x ve AC = tan x olur. OPR üçgeninin alanı, OAP daire diliminin alanı, OAC üçgeninin alanı arasındaki sıralama; A(OPR) < A(OAP) < A(OAC) sin x. cos x < x < tan x olur.

9 B(0,1) y x A(1,0) C P O 1 sin x tan x cos x

10 i. için sin x > 0’dır. Eşitsizliğinin her üç yanını sin x ile bölelim: cos x > > olur. Her üç tarafın limitini alalım. ise; bulunur.

11 ii. için, sin x < 0’dır. Eşitsizliğin her üç yanını sin x’e bölelim: cos x > > olur. Her üç tarafın limitini alalım: ise;

12 Soldan ve sağdan limitler eşit olduğu için; olur.
olduğunu gösterelim: bulunur.

13 SONUÇLAR: ve ve

14 BELİRSİZLİĞİ un belirsizliğini şöyle açıklayabiliriz:
şeklinde yazarsak; belirsizliğine dönüşür. Bunun için da belirsiz bir ifadedir.

15 Birer polinom fonksiyonu olduğuna göre;
ve ise; limitinin hesabında belirsizliklerinden biri ile karşılaşılır.bu durumda belirsizliği vardır, denir.

16 Bu belirsizliği yok etmek için, pay ve paydan yüksek dereceli x parantezine alınıp, kısaltmalar yapılarak limit hesabına geçilir. Bu durumda; , m = n ise , m > n ise , m < n ise olur.

17 Örnek: Çözüm: Belirsizliği bulunur. Bu durumda;

18 BELİRSİZLİĞİ  -   -  un belirsiz olduğunu şöyle açıklayabiliriz:
ları eşit düşünürsek sonuç 0, ilk u daha büyük düşünürsek pozitif bir değer; ikinci u daha büyük kabul edersek sonuç negatif bir değerdir. Bu durumda kesin bir şey söylenemediği için belirsiz bir ifadedir.   -  ya da belirsizliği genellikle; ya da belirsizliklerinden birine dönüşür.

19 ÖRNEK: değerini hesaplayalım, ÇÖZÜM: belirsizliği belirsizliğine dönüşür. bulunur.

20 ÖZELLİK a > 0 olmak üzere; dır.

21 BELİRSİZLİĞİ 0. un belirsiz olduğunu şöyle açıklayabiliriz: Sıfır çarpma işleminin yutan elemanı olduğunadan,çarpma işlemini buna göre yaparsak ; olur. Çarpma işlemini a göre yaparsak; olur. Buna göre çarpma işleminin sonucu sıfır mıdır; sonsuz mudur? Kesin bir şey söyleyemediğimiz için işleminin sonucu belirsizdir. 0. 0. = 0  .0 =  .0 veya

22 belirsizliğinin oluşması durumuında;
veya belirsizliğinin oluşması durumuında; veya biçimine dönüştürülerek limit hesabı yapılır. olması durumunda da aynı işlem yapılır. Not:

23 belirsizşliğine dönüştürülür.
Örnek: Çözüm: belirsizliği vardır. belirsizşliğine dönüştürülür. olarak bulunur.

24 belirsizliğine dönüşür.
Örnek: Çözüm: belirsizliği vardır. belirsizliğine dönüşür. için olduğundan; bulunur.

25 belirsizliği vardır.  - 2x = h diyelim.
Örnek: Çözüm: belirsizliği vardır.  - 2x = h diyelim. olur. iken dır. Değerleri yerine yazalım: belirsizliğine dönüşür. bulunur.