DERS-3 İstatistiksel Dağılımlar -II Prof.Dr.Hüseyin BAŞLIGİL YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ ENDÜSTRİ MÜHENSLİĞİ BÖLÜMÜ

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Örnek 11: İstatistik dersinden yapılan II. Arasınav için ortalama 60 ve standart sapma 10 olarak hesaplanmıştır. a) Bu sınavdan 85 ve üzeri not alan öğrencilerin yüzdesini belirleyiniz? b) Aynı sınavdan 70 ile 80 arasından not alan öğrencilerin oranı nedir? İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL P(z<2.5)=0.9938 Sadece % 0.62’si (1-0.9938) bu notun üzerinde not almıştır. İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL P (z<2)=0.9772 P (z<1)=0.8413 70 ile 80 arasında not alan öğrencilerin yüzdesi: =0.9772-0.8413 =0.1359 İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Örnek 12: Bir işletmede üretilmekte olan cıvataların çap değerlerinin ortalaması 10 mm ve standart sapması 2 mm olan normal dağılıma uymaktadır. a) Buna göre rasgele seçilen bir civatanın çap uzunluğunun 8.9 mm den kısa olması olasılığını hesaplayınız? Çözüm: İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL b) Bu işletmede bir günde üretilen cıvata sayısı 10.000 olduğuna göre cıvata çapı 8.9 mm den kısa olacak cıvata sayısının beklenen değerini hesaplayınız? E[x]=10000*0.2912=2912 İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Örnek-13: Bir işletmenin üretmekte olduğu deterjanların ağırlıklarının ortalaması μ=3500 gr, standart sapması σ=600 gr olan normal dağılım gösterdiği bilinmektedir. a) Bu deterjanların % ne kadarı 3500g’dan ağırdır? b) Bu deterjanların % ne kadarı3500g’dan hafiftir? c) Bu deterjanların % ne kadarı 3500g ile 3800g arasındadır? d) Bu deterjanların % ne kadarı 4100g’dan ağırdır? İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Çözüm: a) P(x>3500)= 0.5 P(z>0)= 0.5 b) P(z<0)= 0.5 c) P(3500<x<3800)=p(0<z<0.5) z=(x-μ)/σ z = (3800-3500)/600 = 0.5 P(0<z<0.5)=0.1915 d) P(x>4100)= P(z>1) P(z>1)= P(z>0)- P(0<z<1) P(z>1)= 0.5- 0.3413=0.1587 İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

Örnek-14 GE için kalite güvence mühendisleri, üretmekte oldukları Opel Marka araçlarının ampul kullanım süresinin = 2000 saat & = 200 saat olmak üzere normal dağılım gösterdiğini belirlemişlerdir. Buna göre, A. Bir ampulün kullanım süresi olasılığının 2000 ile 2400 saat arasında olması olasılığı? B. Bir ampulün kullanım süresi olasılığının 1470 saatten az olması olasılığı nedir? Allow students about 10-15 minutes to solve this.

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Çözüm* P(2000  X  2400) Normal Dağılım Standart Normal Dağılım .4772 İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Çözüm* P(X  1470) Normal Dağılım Standart Normal Dağılım .5000 .0040 .4960 İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

Bazı Önemli Sürekli Dağılımlar İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Düzgün Dağılım İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Düzgün Dağılım İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Üstel Dağılım İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Üstel Dağılım İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

Üstel Dağılımın Özellikleri İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Üstel Dağılım-Örnek İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

Üstel Dağılım-Örnek-Çözüm: İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Gamma Dağılım İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

Gamma Dağılımın Fonksiyonu İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

Gamma Dağılım: Beklenen Değer ve Varyans İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Beta Dağılım İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

Beta Dağılım: Beklenen Değer ve Varyans İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Beta Dağılım-Olasılık yoğunluk fonksiyonu İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Ki-Kare Dağılımı İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL t Dağılımı İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Örnek-15 Elektronik işlemciye ait dayanım parametresi, X rasgele değişkeninin [1.5, 5.5] aralığında sürekli bir düzgün dağılıma sahip olduğu bilindiğine göre; X rasgele değişkeninin ortalama, varyans ve standart sapma değerlerini hesaplayınız? P (X<2.5) olasılığını hesaplayınız? Kümülatif dağılım fonksiyonunu elde ediniz? Çözüm: Eğer X değişkeni [a, b] aralığında düzgün sürekli dağılıma sahip ise ortalama ve varyans değerleri aşağıdaki gibi hesaplanır: İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Dolayısıyla; b) İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL c) Sürekli düzgün dağılım için kümülatif dağılım fonksiyonu aşağıdaki gibi elde edilebilir: Dolayısıyla dağılım fonksiyonu aşağıdaki gibi elde edilir: İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Örnek-16 X rasgele değişkeninin [-1, 1] aralığında sürekli bir düzgün dağılıma sahip olduğu bilindiğine göre; X rasgele değişkeninin ortalama, varyans ve standart sapma değerlerini hesaplayınız? P (-x<X<x)=0.90 olmasını sağlayan x değerini hesaplayınız? Kümülatif dağılım fonksiyonunu elde ediniz? İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Dolayısıyla x=0.90 olarak belirlenir. c) İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Örnek-17 İletir Kablo tarafından üretilmekte olan yarı iletken kabloların genişliğinin ortalaması 0.5 mm ve standart sapması 0.05 olan normal dağılım gösterdikleri bilinmektedir. Buna göre; a) Kablo genişliğinin 0.62 mm den daha büyük olması olasılığını hesaplayınız? b) Kablo genişliğinin 0.47-0.63 mm arasında olması olasılığı nedir? Hangi değer için kablo kalınlıkları %90 oranında bu değerin altında kalmaktadır? İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Çözüm İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Örnek-17 Erdem Kopyalama yeni aldığı bir yazıcının çıktılarına ait nokta işareti için istatistiksel bir analiz gerçekleştirmiş ve yazıcı çıktılarına ait nokta çaplarının ortalaması 0.002 cm standart sapması 0.0004 cm olan normal dağılıma uyduğunu tespit etmiştir. a) Nokta çaplarının 0.0026 cm den daha büyük olma olasılığı nedir? b) Nokta çaplarının 0.0014-0.0026 cm arasında olması olasılığı nedir? c) b şıkkında ulaşılacak olan olasılık değerini 0.995 yapacak standart sapma değeri nedir? İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Çözüm İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Örnek-18 X rasgele değişkeni λ=2 olacak şekilde üstel dağılıma uyduğuna göre, a) P(X≤0)=? b) P(X≥2)=? c) P(X≤1)=? d) P(1<X<2)=? e) P(X<x)=0.05 eşitliğini sağlayan x değerini bulunuz? İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Çözüm İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Örnek-19 Bir bilgisayar laboratuarında bulunan bilgisayarların açılıp sisteme girilmesi süreci ortalaması 3 bilgisayar/dakika olan Poisson dağılımına uymaktadır. a) Sisteme girişler arasında geçen zamanın ortalaması nedir? b) Sisteme girişler arası zaman için standart sapma nedir? c) Belirli bir “x zamanı” için, en az 1 sisteme giriş olasılığını 0.95 yapacak “x zamanını” belirleyiniz? İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Çözüm İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Örnek-20 Endüstri Mühendisliği Bölümü öğrencilerinden Ahmet Zorgeçer, İstatistik dersinin sınavına çalışmamış ve 4 seçenekli çoktan seçmeli 25 sorudan oluşan yarıyıl sonu sınavına girmiştir. Ahmet Zorgeçer, soruları sadece tahmin ederek cevaplandırmaktadır. a) Ahmet’in 20 veya daha fazla soruya doğru cevap verme olasılığını hesaplayınız? b) Ahmet’in 5 veya daha az soruya doğru cevap verme olasılığını hesaplayınız? İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Çözüm İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Merkezi Limit Teoremi İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Daha Büyük Örnek Hacmi P(X) B Daha küçük örnek hacmi A X  İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Merkezi Limit Teoremi İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Örnek-21 Opel firması ürettiği markalarda kullanmak üzere sipariş ettiği otomobil lastiklerinin ömürlerinin 25.000 km ortalamalı ve 16.000 standart sapmalı bir dağılıma olduğu bilinmektedir. Seçilen 64 lastik için ortala ma ömrün 24.600 km den daha az olma olasılığı nedir? Çözüm: Ortalama= 25000 Standart Sapma: 1600/8 = 200 z = (24600-25000)/200 = -2 P(z< -2) = 0.0228 İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Örnek-22 Bitmez Pil Sanayi yaptığı çalışmalar neticesinde ortalama pil ömrünün X~N(20, 10) olduğunu belirlemiştir. Bitmez Pil, garanti kapsamı olarak seçilen 24 adet pilin ömrünün 16 saati aştığını kontrol etmektedir. Rassal olarak seçilen pillerin garanti koşulunu sağlama olasığını belirleyiniz? ÇÖZÜM: İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

Örnek Oranı için Merkezi Limit Teoremi Bir yığından seçilen rassal “n” hacimli örnek için “x” adet başarı gözlendiği durumda, eğer “n” örnek hacmi yeterince geniş (np > 10) ise “örnek oranı-p” yaklaşık olarak normal dağılıma sahip olacaktır. İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Örnek-23 Son yıllarda kalite anlamında ciddi sorunlar yaşayan bir firma, üretmekte olduğu ürünlerin %12 oranında başarısız olduğunu tespit etmiştir. Rastgele seçilen 50 ürün için başarısızlık oranının %11’den daha az olması olasılığı nedir? ÇÖZÜM: İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Örnek-24 Ekmek Teknesi fırın işletmecisi Nusrettin Bey, almış olduğu un çuvallarının ağırlıklarının ortalaması 82, standart sapması 12 olan bir yığından geldiğini tespit etmiştir. Nusrettin Bey, satın aldığı 64 çuval un için ağırlıkların 80.8 ile 83.2 kg arasında değişmesini istemektedir. Un çuvallarının bu ağırlıkları sağlama ihtimalini belirleyiniz? İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Çözüm: İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Örnek-25 Yıldırım Elektronik, üretmekte olduğu kondansatörlerin direnç elemanları için akım değerinin ortalama değerinin 100 ohm ve standart sapmasının 25 ohm olduğunu tespit etmişlerdir. Müşteri, Yıldırım Elektronikten aldığı kondansatörler için akım değerinin 95 ohm dan daha düşük olmasını istememektedir. Yığından rastgele alınan 25 direnç elemanı için akım değerinin 95 ohm dan daha düşük olma olasılığını belirleyiniz. İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL

İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL Çözüm İstatistiksel Dağılımlar-Hüseyin BAŞLIGİL