RASTGELE DEĞİŞKENLER Herhangi bir özellik bakımından birimlerin almış oldukları farklı değerlere değişken denir. Rastgele değişken ise tanım aralığında hangi değeri alacağı önceden bilinmeyen fakat bu değerleri alma olasılıkları hesaplanabilen değişkenlerdir. Örneğin bir tavla zarı atıldığında mümkün durumların 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 olduğu bilinmektedir. Ancak zar atıldığında bu durumlardan hangisinin geleceğini önceden bilinmemesine rağmen bu değerlerin ortaya çıkma olasılıkları 1/6 olarak hesaplanabilmektedir. O halde bir tavla zarı atıldığında ortaya çıkan sayılar bir rastgele değişkendir.

Değişkenler kesikli ve sürekli olarak ikiye ayrılmaktadır Değişkenler kesikli ve sürekli olarak ikiye ayrılmaktadır. Tanım aralığındaki her değeri alamayan yani sınırlı sayıda değerler alabilen değişkenlere kesikli, tanım aralığındaki her değeri alabilen diğer bir ifadeyle sınırsız sayıda değerler alabilen değişkenlere ise sürekli değişken denir. Kardeş sayısı, illere göre nüfus, üniversitelere göre öğretim üyesi sayısı vb. kesikli değişken iken gelir, ücret, boy, ağırlık, hacim, alan vb. sürekli değişkenlerdir.

Bir rastgele değişkenin alabileceği değerler ile bu değerleri alma olasılıkları arasındaki bağıntıyı gösteren fonksiyona olasılık fonksiyonu denir. Kesikli değişkenler için olasılık fonksiyonu değişkenin almış olduğu değerler ile bu değerleri alma olasılıklarını gösteren tablodur. Sürekli değişkenler için olasılık fonksiyonuna olasılık yoğunluk fonksiyonu ya da sıklık fonksiyonu gibi isimler verilir. Olasılık yoğunluk fonksiyonu X rastgele değişkeninin tanım aralığı ve bu aralık için olasılık fonksiyonunun yazılması şeklinde ifade edilir.

KESİKLİ RASTGELE DEĞİŞKENLER Kesikli değişkenler için olasılık fonksiyonu rastgele değişkenin almış olduğu değerler ile bu değerlere karşılık gelen olasılıkların gösterildiği tablodur. Dolayısıyla X kesikli rastgele değişkeni için olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibi yazılabilir

Ya da bir tablo şeklinde aşağıdaki gibi yazılabilir.

Kesikli değişkenler için olasılık fonksiyonu aşağıdaki koşulları sağlaması gerekir:

Örneğin, dengeli bir madeni para 2 kez atıldığında örnek uzayı TT, YT, TY, YY durumlarını içeren bir küme olacaktır. Bu deneyde X rastgele değişkeni turaların sayısı olarak tanımlanırsa, X’in alabileceği değerler YY için 0, TY ve YT için 1 ve TT için 2 olacaktır. Böylece örnek uzayındaki noktalar reel sayılar ile ifade edilebilmektedir. Bu örnek için olasılık fonksiyonunu yazabilmemiz için ilgili durumların olasılıkları hesaplanmalıdır. YY için P(X=0)=1/4, YT ve TY için P(X=1)=(1/4)+(1/4)=2/4 iken TT için P(X=2)=1/4 olacaktır. Bu durumda X rastgele değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

Soru: Bir torbada bulunan 3 kırmızı ve 4 beyaz bilye arasından 2 bilye ard arda seçiliyor. X rastgele değişkeni kırmızı bilyelerin sayısı olmak üzere a) X’in olasılık fonksiyonunu bulunuz.

Bu deney için örnek uzayı X rastgele değişkeni kırmızı bilyelerin sayısı olduğuna göre BB için X=0, KB ve BK durumları için X=1 iken KK durumu için X=2 olacaktır. O halde X rastgele değişkeninin alabileceği değerler 0, 1 ve 2 olmaktadır. X’in bu değerleri alma olasılıkları ise aşağıdaki gibi hesaplanabilir.

Bu durumda X rastgele değişkeninin olasılık fonksiyonu:

Soru: X rastgele değişkeni için olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir. X’in olasılık fonksiyonu olabilmesi için k sabiti hangi değeri almalıdır?

SÜREKLİ RASTGELE DEĞİŞKENLER f(x), X rastgele değişkeninin aralığında tanımlı bir fonksiyonu olsun. Aşağıdaki koşulları sağlaması durumunda f(x)’e X’in olasılık yoğunluk fonksiyonu denir.

f(X) bir olasılık yoğunluk fonksiyonu ise X’in a ve b aralığında bulunma olasılığı şeklinde hesaplanabilir. Burada dikkat edilecek nokta, X=a gibi bir durum için olasılığın sıfır olmasıdır. Diğer bir ifadeyle P(X=a)=0 dır.

Soru: X rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

Soru: X rastgele değişkeni için f(x) aşağıdaki gibi tanımlanmıştır: f(x)’in olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için “c” sabiti hangi değeri almalıdır? olmalıdır.

Kesikli değişkenler için Sürekli değişkenler için RASSAL DEĞİŞKENİN BEKLENEN DEĞERİ Bir rassal değişkenin için beklenen değer bu değişkenin uzun dönem ortalaması olarak tanımlanır. Beklenen değer yerine “ortalama” ya da “matematik umut” ifadeleri de kullanılabilir. E(X) rassal değişkenin beklenen değerini tanımlamak üzere Kesikli değişkenler için Sürekli değişkenler için

Soru: İki dengeli madeni para aynı anda atılıyor Soru: İki dengeli madeni para aynı anda atılıyor. Her ikisi de tura gelirse 10 TL biri tura gelirse 5 TL kazanılır iken her ikisi de yazı gelirse 20 TL kaybedilen bir oyunda beklenen kazanç ne olur? X: Kazanılan para tutarı (TL)

O halde X rassal değişkeninin olasılık fonksiyonu

Soru: Bir torbada 4 siyah, 3 beyaz ve 2 kırmızı bilye vardır Soru: Bir torbada 4 siyah, 3 beyaz ve 2 kırmızı bilye vardır. Bu torbadan yerine koymadan 2 bilye seçiliyor. X rassal değişkeni kırmızı bilyelerin sayısı olmak üzere X’in beklenen değerini hesaplayınız.

X: Kırmızı bilye sayısı SS, SB, BS, BB durumları için X=0 SK, BK, KS, KB durumları için X=1 KK durumu için X=2

O halde X rassal değişkeninin olasılık fonksiyonu

Soru: X rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir. X’in beklenen değerini hesaplayınız

Soru: X rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir. X’in beklenen değerini hesaplayınız

BEKLENEN DEĞERİN ÖZELLİKLERİ 1- a bir sabit olmak üzere E(a)=a dır BEKLENEN DEĞERİN ÖZELLİKLERİ 1- a bir sabit olmak üzere E(a)=a dır. Diğer bir ifadeyle sabitin beklenen değeri kendisine eşittir. 2- E(aX)=aE(X) 3- a ve b bir sabit olmak üzere E(aX+b)=aE(X)+b

Soru: X rassal değişkeninin olsılık fonksiyonu aşağıda verilmiştir Soru: X rassal değişkeninin olsılık fonksiyonu aşağıda verilmiştir. a) E(X2)=? b) E(X2+X)=?

Soru: X rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir. a) E(X2)=? b) E(2X)=?

RASSAL DEĞİŞKENİN VARYANSI Varyans bir dağılım ölçütüdür. Birimlerin ortalama etrafındaki dağılımının yapısı (homojen ya da heterojen) hakkında bilgi verici bir ölçüttür. Varyansın pozitif kareköküne standart sapma denir. Standart sapma daima pozitif değerler alır. Standart sapma değeri sıfıra yaklaştıkça ilgili değişkenin dağılımındaki homojenlik (türdeşlik) artacaktır. Kesikli rassal değişkenler için varyans:

Sürekli rassal değişkenler için varyans:

X P(X) XP(X) X2(P(X) 1/4 02 (1/4)=0 1 2/4 11 (2/4)=2/4 2 22 (1/4)=4/4 1.0 6/4=3/2

Soru: X rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir. X’in varyansını hesaplayınız

Örnek: 𝑋 rastgele değişkeni bir üretim sürecindeki kusurlu parça sayısını göstermek üzere kusurlu parça sayısı için olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir. Kusurlu parça sayısına ilişkin dağılımın varyansını bulunuz. Çözüm. 𝐸 𝑋 = 𝑥=0 3 𝑥𝑃 𝑥 =0×0.51+1×0.38+2×0.10+3×0.01=0.61 𝐸 𝑋 2 = 𝑥=0 3 𝑥 2 𝑃 𝑥 = 0 2 ×0.51+ 1 2 ×0.38+ 2 2 ×0.10+ 3 2 ×0.01=0.87 𝑉 𝑋 =𝐸 𝑋 2 − 𝜇 2 =0.87− 0.61 2 =0.498 𝒙 1 2 3 𝑷 𝑿=𝒙 0.51 0.38 0.10 0.01

Örnek: Aşağıda olasılık yoğunluk fonksiyonu verilen 𝑋 rastgele değişkeninin standart sapmasını bulunuz. 𝑓 𝑋 = 3 10 3𝑥− 𝑥 2 0≤𝑥≤2 0 𝑑𝑖ğ𝑒𝑟 𝑥 ′ 𝑙𝑒𝑟 𝑖ç𝑖𝑛 Çözüm. 𝐸 𝑋 =𝜇= 0 2 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0 2 𝑥 3 10 3𝑥− 𝑥 2 𝑑𝑥 = 3 10 𝑥 3 − 3 40 𝑥 4 0 2 = 3 10 2 3 − 3 40 2 4 −0=1.2

𝐸 𝑋 2 = 0 2 𝑥 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0 2 𝑥 2 3 10 3𝑥− 𝑥 2 𝑑𝑥 = 9 40 𝑥 4 − 3 50 𝑥 5 0 2 = 9 40 2 4 − 3 50 2 5 −0=1.68 𝑉 𝑋 = 𝜎 2 =𝐸 𝑋 2 − 𝜇 2 =1.68− 1.2 2 =0.24 𝜎= 0.24 =0.489

VARYANSIN ÖZELLİKLERİ a bir sabit olmak üzere V(a)=0 dır. Diğer bir ifadeyle sabitin varyansı sıfırdır. a bir sabit olmak üzere V(aX)=a2V(X) a ve b sabit sayılar olmak üzere V(aX+b)=V(aX)+V(b)=a2 V(X) Soru: X rassal değişkeninin varyansı 3 olsun. 4+X ve 8-X rassal değişkenlerinin varyanslarını hesaplayınız V(X)=3 iken V(4+X)=V(X)=3 ve V(8-X)=V(X)=3

Örnek: Aşağıda 𝑋 rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu veriliyor. 𝑌=2𝑋−3 rastgele değişkeninin varyansını bulunuz. 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 3 −1<𝑥<2 0 𝑑𝑖ğ𝑒𝑟 𝑥 ′ 𝑙𝑒𝑟 𝑖ç𝑖𝑛 Çözüm. 𝑉 𝑌 =𝑉 2𝑋−3 =4𝑉 𝑋 𝐸 𝑋 = −1 2 𝑥 𝑥 2 3 𝑑𝑥 = 𝑥 4 12 −1 2 = 2 4 12 − −1 4 12 = 5 4 𝐸 𝑋 2 = −1 2 𝑥 2 𝑥 2 3 𝑑𝑥 = 𝑥 5 15 −1 2 = 2 5 15 − −1 5 15 = 11 5 𝑉 𝑋 =𝐸 𝑋 2 − 𝜇 2 =2.2− 1.25 2 =0.6375 𝑉 𝑌 =4𝑉 𝑋 =4×0.6375=2.55

DAĞILIM FONKSİYONLARI Kesikli ya da sürekli X rassal değişkeninin birikimli olasılık fonksiyonu dağılım fonksiyonu olarak adlandırılır ve F(X) ile gösterilir. olarak ifade edilir. X kesikli rassal değişkeni için dağılım fonksiyonu

X sürekli rassal değişkeni için dağılım fonksiyonu olarak tanımlanır.

. . . . . . DAĞILIM FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ Kesikli rassal değişkenin dağılım fonksiyonu da kesikli iken sürekli rassal değişkenin dağılım fonksiyonu süreklidir.

X sürekli rassal değişken ise olur Soru: Bir tavla zarının bir kez atıldığı deneyde X rassal değişkeni üsr yüze gelen sayı olsun. Bu durumda X’in olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibi olacaktır.

Bu durumda X2in dağılım fonksiyonu Dağılım fonksiyonu özelliklerinden F(X) aşağıdaki gibi yazılabilir.

Soru: X rassal değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibidir Soru: X rassal değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibidir. X’in dağılım fonksiyonunu bulunuz. X P(X) 0,35 1 0,20 2 0,25 3 0,15 4 0,05 F(X) X<0 0,00 X<= 0 0,35 X<=1 0,55 X<=2 0,80 X<=3 0,95 X<=4 1,00 X<4

Soru: X rassal değişkeni için olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi olsun. Bu durumda X’in dağılım fonksiyonu:

Dağılım fonksiyonu özelliklerinden

Örnek 7. Bir telefon üreticisi tarafından satılan A marka telefonların garanti süresi içerisinde farklı arızalardan dolayı kaç defa geri döndüklerinin sayısını gösteren 𝑋 rastgele değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibidir. 𝑋’in dağılım fonksiyonunu bulunuz. 𝐹 𝑥 = 0 𝑥<0 0.60 0≤𝑥<1 0.80 1≤𝑥<2 0.90 2≤𝑥<3 0.98 3≤𝑥<4 1 𝑥≥4 𝒙 𝑷 𝑿=𝒙 𝑭 𝒙 =𝑷 𝑿≤𝒙 0.60 1 0.20 0.80 2 0.10 0.90 3 0.08 0.98 4 0.02

𝑃 1<𝑋<4 =𝑃 𝑋<4 −𝑃 𝑋≤1 =𝑃 𝑋≤3 −𝑃 𝑋≤1 =𝐹 3 −𝐹 1 =0. 98−0. 80=0 𝑃 1<𝑋<4 =𝑃 𝑋<4 −𝑃 𝑋≤1 =𝑃 𝑋≤3 −𝑃 𝑋≤1 =𝐹 3 −𝐹 1 =0.98−0.80=0.18 𝑃 1≤𝑋≤4 =𝑃 𝑋≤4 −𝑃 𝑋<1 =𝑃 𝑋≤4 −𝑃 𝑋≤0 =𝐹 4 −𝐹 0 =1−0.60=0.40 𝑃 1<𝑋≤4 =𝑃 𝑋≤4 −𝑃 𝑋≤1 =𝐹 4 −𝐹 1 =1−0.80=0.20 𝑃 1≤𝑋<4 =𝑃 𝑋<4 −𝑃 𝑋<1 =𝑃 𝑋≤3 −𝑃 𝑋≤0 =𝐹 3 −𝐹 0 =0.98−0.60=0.38

Örnek 8. Aşağıda olasılık yoğunluk fonksiyonu verilen 𝑋 rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunu bulunuz. 𝑓 𝑥 = 3 4 2𝑥− 𝑥 2 0≤𝑥≤2 0 𝑑𝑖ğ𝑒𝑟 𝑥 ′ 𝑙𝑒𝑟 𝑖ç𝑖𝑛 Çözüm. 𝐹 𝑥 = 0 𝑥 3 4 2𝑡− 𝑡 2 𝑑𝑡= 3 4 𝑡 2 − 𝑡 3 3 0 𝑥 = 3 4 𝑥 2 − 𝑥 3 3 𝐹 𝑥 = 0 𝑥< 0 3 4 𝑥 2 − 𝑥 3 3 0≤𝑥≤2 1 𝑥>2

𝑃 𝑋≤1.5 =𝐹 1.5 = 3 4 1.5 2 − 1.5 3 3 =0.843 𝑃 1.2≤𝑋≤1.8 =𝐹 1.8 −𝐹 1.2 = 3 4 1.8 2 − 1.8 3 3 − 3 4 1.2 2 − 1.2 3 3 =0.324

Örnek 9. Aşağıda olasılık yoğunluk fonksiyonu verilen 𝑋 rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunu bulunuz. 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 2 𝑥≥1 0 𝑑𝑖ğ𝑒𝑟 𝑥 ′ 𝑙𝑒𝑟 𝑖ç𝑖𝑛 Çözüm. 𝐹 𝑥 = 1 𝑥 1 𝑡 2 𝑑𝑡 = 𝑡 −2+1 −2+1 1 𝑥 =− 𝑥 −1 − −1 = 𝑥−1 𝑥 𝐹 𝑥 = 0 𝑥<1 𝑥−1 𝑥 𝑥≥1