Limit L i M i T 1981 yılından günümüze, bu konuyla ilgili 17 soru soruldu. Bu konu, türev ve integral konusunun temelini oluşturur. matcezir.

... konulu sunumlar: "Limit L i M i T 1981 yılından günümüze, bu konuyla ilgili 17 soru soruldu. Bu konu, türev ve integral konusunun temelini oluşturur. matcezir."— Sunum transkripti:

1 Limit L i M i T 1981 yılından günümüze, bu konuyla ilgili 17 soru soruldu. Bu konu, türev ve integral konusunun temelini oluşturur. matcezir

2 x  3– x  3+ Limit x = 2,5 x = 2,8 x = 2,9 x = 2,99 x = 2,999 …
Soldan yada Sağdan Yaklaşma x  3– x = 2,5 x = 2,8 x = 2,9 x = 2,99 x = 2,999 … x, 3 e soldan yaklaşıyor. x  3+ x = 3,5 x = 3,2 x = 3,1 x = 3,01 x = 3,001 … x, 3 e sağdan yaklaşıyor. -matcezir-

3 Limit Soldan yada Sağdan Yaklaşma
x, 3 e yakın ancak 3 ten küçük değerlerden itibaren 3 e doğru artarak yaklaşıyorsa bunun adı x in 3 e soldan yaklaşmasıdır. Bu yaklaşım, x  3– şeklinde gösterilir. -matcezir-

4 Limit Soldan yada Sağdan Yaklaşma
x, 3 e yakın ancak 3 ten büyük değerlerden itibaren 3 e doğru azalarak yaklaşıyorsa bunun adı x in 3 e sağdan yaklaşmasıdır. Bu yaklaşım, x  3+ şeklinde gösterilir. -matcezir-

5 Limit Soldan yada Sağdan Yaklaşma Genel ifadesiyle;
x değişkeni a ya, a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa böyle yaklaşıma soldan yaklaşma denir ve xa– şeklinde gösterilir. x değişkeni a ya, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa böyle yaklaşıma sağdan yaklaşma denir ve xa+ şeklinde gösterilir. -matcezir-

6 Limit Fonksiyonda Soldan yada Sağdan Yaklaşma
f(x) = 2x – 1 fonksiyonunun tablosunu inceleyelim. Tablodan da görüldüğü gibi x, 3 e sağdan yaklaşan değerler alırken f(x) fonksiyonu 5 e doğru azalarak yaklaşmakta; x, 3 e soldan yaklaşan değerler alırken f(x) de, 5 e doğru artarak yaklaşmaktadır. -matcezir-

7 Limit Fonksiyonda Soldan yada Sağdan Yaklaşma -matcezir-

8 Limit Limit Kavramı Yanda grafiği verilen f(x) fonksiyonu için, a noktasının solunda bulunan ve giderek a ya yaklaşan; A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3), D(x4,y4) noktalarını göz önüne alalım. Bu noktaların apsisleri olan x1, x2, x3, x4 a noktasına yaklaştıkça, ordinatları olan y1, y2, y3, y4 değerleri de b ye yaklaşır. Bu durum, x a ya soldan yaklaşırken f(x) b ye yaklaşır şeklinde belirtilir. Bu durum, f(x) in x = a noktasındaki soldan limiti b dir şeklinde ifade edilir. -matcezir-

9 Limit Limit Kavramı Benzer şekilde; x = a noktasının sağında bulunan ve giderek a ya yaklaşan; H(x5,y5), G(x6,y6), F(x7,y7), E(x8,y8) noktalarını göz önüne alalım. Bu noktaların apsisleri olan x5, x6, x7, x8 a noktasına yaklaştıkça, ordinatları olan y5, y6, y7, y8 değerleri de c ye yaklaşır. Bu durum, x a ya sağdan yaklaşırken f(x) d ye yaklaşır şeklinde belirtilir. Bu durum, f(x) in x = a noktasındaki sağdan limiti d dir şeklinde ifade edilir. -matcezir-

10 Grafiği verilen f(x) fonksiyonunda gördüğümüz gibi;
Limit Limit Kavramı Grafiği verilen f(x) fonksiyonunda gördüğümüz gibi; -matcezir-

11 Limit Limit Kavramı  f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşitse fonksiyonun x = a da limiti vardır.  Bu durumda; x = a daki sağdan limiti ve soldan limiti, fonksiyonun x = a daki limitidir.  f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit değilse fonksiyonun x = a da limiti yoktur. -matcezir-

12 Limit Limit Kavramı Örnek: f(x) = 5x – 1 fonksiyonunun x = 1 noktasındaki soldan ve sağdan limitlerine bakalım. Fonksiyonun tablosunu yapalım ve bulduğumuz değerleri inceleyelim..   x 0,7 0,8 0,9 0,99 1 1,01 1,1 1,2 1,3 f(x) 2,5 3 3,5 3,95 4 4,05 4,5 5 5,5 -matcezir-

13 Limit Limit Kavramı  1  x 0,7 0,8 0,9 0,99 1 1,01 1,1 1,2 1,3 f(x)
  x 0,7 0,8 0,9 0,99 1 1,01 1,1 1,2 1,3 f(x) 2,5 3 3,5 3,95 4 4,05 4,5 5 5,5 Tabloda gördüğümüz gibi x, 1 e soldan yani kendisinden küçük değerlerden itibaren artarak yaklaştığında fonksiyonun değeri giderek 4 e yaklaşıyor. Fonksiyonun x = 1 deki soldan limiti 4 tür. -matcezir-

14 Limit Limit Kavramı  1  x 0,7 0,8 0,9 0,99 1 1,01 1,1 1,2 1,3 f(x)
  x 0,7 0,8 0,9 0,99 1 1,01 1,1 1,2 1,3 f(x) 2,5 3 3,5 3,95 4 4,05 4,5 5 5,5 Benzer şekilde x, 1 e sağdan yani kendisinden büyük değerlerden itibaren azalarak yaklaştığında fonksiyonun değeri yine giderek 4 e yaklaşıyor. Fonksiyonun x = 1 deki sağdan limiti 4 tür. -matcezir-

15 Limit Limit Kavramı Fonksiyonun x = 1 deki soldan limiti sağdan limitine eşit olduğundan bu noktada limit vardır ve bu limit 4 tür. Öyleyse; -matcezir-

16 Limit Limit Kavramı Örnek: f(x) = 3x – 3 fonksiyonunun x = 2 noktasındaki soldan ve sağdan limitlerine bakalım. Yine bir tablo yapalım.   x 1,7 1,8 1,9 1,99 2 2,01 2,1 2,2 2,3 f(x) 2,4 2,7 2,97 3 3,03 3,3 3,6 3,9 -matcezir-

17 Limit Limit Kavramı  2  x 1,7 1,8 1,9 1,99 2 2,01 2,1 2,2 2,3 f(x)
  x 1,7 1,8 1,9 1,99 2 2,01 2,1 2,2 2,3 f(x) 2,4 2,7 2,97 3 3,03 3,3 3,6 3,9 Tabloda gördüğümüz gibi x, 2 ye soldan yani kendisinden küçük değerlerden itibaren artarak yaklaştığında fonksiyonun değeri giderek 3 e yaklaşıyor. Fonksiyonun x = 2 deki soldan limiti 3 tür. -matcezir-

18 Limit Limit Kavramı x in değeri 2 ye yaklaştıkça y nin değeri 3 e yaklaşıyor. -matcezir-

19 Limit Limit Kavramı  2  x 1,7 1,8 1,9 1,99 2 2,01 2,1 2,2 2,3 f(x)
  x 1,7 1,8 1,9 1,99 2 2,01 2,1 2,2 2,3 f(x) 2,4 2,7 2,97 3 3,03 3,3 3,6 3,9 Benzer şekilde x, 2 ye sağdan yani kendisinden küçük değerlerden itibaren azalarak yaklaştığında fonksiyonun değeri yine 3 e yaklaşıyor. Fonksiyonun x = 3 deki sağdan limiti 3 tür. -matcezir-

20 Limit Limit Kavramı x in değeri 2 ye yaklaştıkça y nin değeri 3 e yaklaşıyor. -matcezir-

21 Limit Limit Kavramı Fonksiyonun x = 2 deki soldan limiti sağdan limitine eşit olduğundan bu noktada limit vardır ve bu limit 3 tür. Öyleyse; -matcezir-

22 Limit Limit Kavramı Örnek: Yanda grafiği verilen fonksiyonda, x in aldığı 2, 3, 4 değerlerinden bazıları için var olan limitlerin toplamı kaçtır? (1984 – ÖYS) -matcezir-

23 O halde; x=2 için limit 3 tür.
Limit Kavramı x, 2 ye soldan giderken limit 3… x, 2 ye sağdan giderken limit 3… O halde; x=2 için limit 3 tür. -matcezir-

24 O halde; x=3 için limit yoktur.
Limit Kavramı x, 3 e soldan giderken limit 2… x, 3 e sağdan giderken limit 0… O halde; x=3 için limit yoktur. -matcezir-

25 O halde; x=4 için limit 1 dir.
Limit Kavramı x, 4 e soldan giderken limit 1… x, 4 e sağdan giderken limit 1… O halde; x=4 için limit 1 dir. Limit değerlerinin toplamı da; 3 + 1 = 4 -matcezir-

26 Limit Limit Kavramı Örnek: Yanda grafiği verilen fonksiyona göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?  Cevap : E -matcezir-

27 Limit Limit Kavramı Örnek:
fonksiyonunun x = 2 deki limitini araştıralım. -matcezir-

28 Limit Limit Kavramı  2  x 1,3 1,5 1,7 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,5 f(x) -1
  x 1,3 1,5 1,7 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,5 f(x) -1 1 -matcezir-

29 Limit Limit Kavramı olduğundan -matcezir-

30 Sancak Production Proudly Presented. Limit Yararlanılan Kaynaklar
Güvender Matematik Cahit KAYAER Google  -matcezir-