MATEMATİĞİN TARİHSEL GELİŞİMİ Bende o kadar fikir var ki, benden daha iyi görmesini bilenler bir gün onları daha da derinleştirecek ve benim zihin emeğime kendi kafalarının güzelliğini katacaklardır. G.W. LEIBNIZ

. MATEMATİK TARİHİNİN MATEMATİK EĞİTİMİNDEKİ YERİ Düşünce dünyamıza yön veren onu şekillendiren matematik, medeniyetimizin gelişmesinde her zaman önemli rol oynamıştır. Evrensel kültürden bizim milli kültürümüze döndüğümüz de kendi değerlerimizin farkında oluruz. Elbette, Poincare, Descartes, Gauss, bunlar büyük matematikçilerdir. Fakat onların eline işleyecekleri, kullanacakları matematiği ulaştıran Harizmi, Ebul Vefa ve Hayyam gibi matematikçiler de çok önemlidir. Çünkü, modern matematiğin kurucusu aslında onlardır. Hayyam, Euclid’in aksiyomlarını Lobachevsky ve Riemann’dan çok daha önce sorgulamış ve yeni geometrilerin olabileceği üzerinde durmuştur. Hatta, Hayyam bugün Pascal üçgeni olarak bildiğimiz Binom açılımının katsayıları arasındaki ilişkiyi Pascal’dan çok önceleri görebilmiştir. Asıl Rönesans belki de Fatih’in toplarda kullandığı tekniktir. Çünkü, Newton’dan çok önce o toptan çıkan bir merminin bir parabol çizerek hedefe vardığını hesaplamıştır. Demek ki bugün Newton’un bulduğunu kabul ettiğimiz kanunların bir kısmını Fatih çok önceden kullanabiliyordu.

Fatihten 500 yıl sonraya yani günümüze gelelim ve matematik bilimine katkıda bulunan matematikçiklerimizden örnekler verelim. Gurur duyabileceğimiz matematikçilerimizden biri, Bieberbach varsayımı üzerinde çalışan Prof. Dr. Cengiz Uluçaydır. Yazdığı “Fonksiyonlar Teorisi ve Riemann Yüzeyleri” adlı kitabı Dünya üniversitelerinin kütüphanelerinde aranılan temel kaynaklardandır

Gurur duyabileceğimiz diğer bir matematikçimiz de kendi adıyla bilinen teoremleriyle Prof. Dr. Cahit Arf’tır. Günümüz Türk matematikçilerine dolaylı veya dolaysız şekilde esin kaynağı olmuş, yaptığı uyarılar ve verdiği fikirlerle, çevresindeki tüm matematikçilerin ufuklarını genişletmiştir. Arf, sayılar teorisi, analiz ve geometri alanlarında yaptığı çalışmalarla matematiğe evrensel katkılarda bulunmuştur. Sayılar teorisinde çok özel bir yeri olan çalışması Hasse-Arf Teoremi olarak bilinmektedir. Arf’in diğer bir çalışması da “Arf halkaları” olarak matematik literatürüne geçmiştir.

Büyük matematikçileri tanıtırken onların çalışmalarının bugünkü medeniyetimizin gelişmesinde nasıl rol oynadığını ortaya koyan örneklerin seçilerek derslerde verilmesi, öğrencilerin matematiğin değerini kavraması açısından çok önemlidir. Şüphesiz ki, matematik öğretiminin tarihi olaylarla ve günlük hayat ile ilişkilendirilmesi öğrencinin matematiğe karşı olumlu tavır geliştirmesine de yardım edecektir. Düşünce dünyamıza yön veren onu şekillendiren matematik, medeniyetimizin gelişmesinde her zaman önemli rol oynamıştır. Evrensel kültürden bizim milli kültürümüze baktığımızda kendi değerlerimizin farkında olmamız şüphesiz bizi olduğu kadar matematik eğitimi alan gençlerimizi de olumlu yönde etkileyecektir.

GÜNLÜK İHTİYAÇLARDAN DOĞAN MATEMATİK Matematiğin doğuşunun en önemli kaynağı insanın evreni, çevresini nicel özellikleriyle algılama yeteneğidir. Bu yetenek, insana günlük ihtiyaçlarını ve sorunlarını çözmede tarih boyunca yardım etmiştir. Günlük ihtiyaçlardan doğan matematiğin ilk örneklerini Mezopotamya’da görmekteyiz. Yerleşik hayata geçilmesi ve tarımla uğraşılmasıyla birlikte Sümerler, Babilliler ileri mühendislik gerektiren yapıtlar meydana getirmişlerdir. Sulama kanalları, asma bahçeleri düşünüldüğünde Mezopotamyalıların matematikte hayli ileri gittiklerini söyleyebiliriz. Aynı dönemde, günlük ihtiyaçlardan doğan matematiği Çin'de, Hindistan’da ve Mısırda da görebiliriz. Suların çekilmesiyle Nil nehrinin kıyılarında tarım yapmaları hemen her yıl tarlalarını ölçme ihtiyacında olan Mısırlıları geometri yapmaya zorlamıştır. Çin'de, Mezopotamya’da, Hindistan’da ve Mısırdaki bu gelişmeler ilkel sayma becerisini aşan matematiğin MÖ 5000 yıllarına dayandığını bize göstermektedir. Dolayısıyla günlük ihtiyaçlardan, deneyimlerden çıkan matematik Roma ve Yunanın değil Mezopotamyalıların, Mısırlıların ve Çin gibi diğer eski doğu kültürlerinin eseridir.

Çin ve Japon kültüründeki toplumların kullandıkları sayılar (bugünkü hali ile)

Matematiğe kuramsal bilim niteliği kazandıranlar Eski Yunanlılardır. Fakat onların kuramsal matematiği geliştirmede Eski Mısıra, Babillilere ve Çinlilere borçlu olduklarını söylemeliyiz. Thales ve Pythagoras’dan çok önce eski Çin kaynaklarında ölçmelerde dik üçgenlerin kullanıldığını görmekteyiz. Bu yazılı kaynaklarda bizim “nilüfer problemi” olarak bildiğimiz probleme benzer problemler yer almaktadır Nilüferin yüzen yaprağı kaldırılarak dik konuma getirilir, su yüzeyi ile yaprağın arasındaki mesafe ölçülür, ayrıca dik durumdaki gövdesinin bulunduğu yerden yaprağın yüzer duruma geldiği yer arasındaki mesafe ölçülür. Bu ölçümlerden yararlanarak nilüferin bulunduğu suyun derinliği hesap edilir. Burada Pythagoras’ın dik üçgende buldum diyerek sevindiği ilişkiyi Çinliler ondan çok daha önce bulduklarını söyleyebiliriz. Ancak burada belirtmeliyiz ki Çinliler bunu sayısal hesaplamalar yerine özel çubuklar ve benzer üçgenler yardımıyla yapmışlardır. Bugün biz Çinlilerin binlerce yıl önce değişik yöntemlerle bulduğu suyun derinliğini Pythagoras bağıntısı yardımıyla a ve b değerlerini ölçerek kolayca hesaplayabilmekteyiz: b x+a x a

AHMES (MÖ ) Eski Mısırlı Ahmes’i papirüs üzerine yazdığı matematik kitabından biliyoruz. Kendi zamanına kadar bilinenleri toplayarak bu kitabı yazmıştır. “Karanlık Şeyleri Bilmenin Yolları” adlı bu kitabın bazı parçaları Londra’da British Museum'dadır. Bu kitap papirüs üzerine yazılmış en eski kitaptır. Ahmes’in kitabı ders kitabından daha çok pratik el kitabı niteliğindedir. Pratik ölçme bilgilerini içerdiği gibi bazı lineer denklemlerin çözümünden de söz etmektedir. Bugünkü gösterimle yazacak olursak Ahmes x+l/7x= 19 şeklindeki denklemlerin çözümlerini yazmıştır. Ahmes 2/(2n+l) türünden kesirlerin toplamını yazma gibi bugün bile hesaplamada zorlanacağımız aritmetik problemlerin çözümlerini yapmış ancak bunlar için bir kural veya yöntem vermemiştir. Örnek: 2/29=1/24+1/58+1/174+1/132 British Museum’da Ahmes’e ait olduğu söylenen papirüslerden bir örnek

Eski Mısırlılarda sayılar Mısırlılar bu hieroglif sayılarıyla toplama işlemini yukarıdaki gibi yapabildiklerini tahmin edebiliriz.

ESKİ YUNAN MATEMATİĞİ Eski Yunan matematiğinin, Eski Mısır ve Babil matematiğine borçlu olduğunu söylemiştik. Ancak, bu borcun ölçüsü ne olursa olsun, Yunanlıların onlardan aldıklarıyla yetinmediğini, matematiğe yeni bir kimlik kazandırdıklarını belirtmek zorundayız. Thales, Pythagoras, Euclid gibi Eski Yunan Matematikçilerinin elinde matematik doğruluğu deneysel gözleme, sınama ve yanılmaya dayanan önermeler yığını olmaktan çıkarak, doğruluğu mantıksal çıkarımlara dayanan ispatlardan oluşan bir sistem niteliği kazandı.

THALES (MÖ 625 ‑ 550) Thales Milet’de doğdu. Astronomi ve matematikle uğraşan Thales aynı zamanda zengin bir tüccardır. Thales’den çok önce MÖ 1600 lerde Ahmes’in yazdığı kitap henüz Eski Yunanda bilinmemektedir. Thales bölgenin bütün zeytin bahçelerine sahip olan zengin bir tüccar olarak Mısır’a seyahatleri sırasında Mısırlıların pratik geometride ilerlediğini, büyük piramitlerin bu bilgi düzeyinin eseri olduğunu gördü. Ahmes’in kitabi ile tanıştı ve bu bilgileri kendi ülkesi Milet’e taşıdı. Matematikçi ve astronom olan Thales’in yazılı bir kitabından tarihçi Herodot bahsetmiyor. Ancak, yaptığı çalışmalar ondan sonraki astronomlar, matematikçiler ve mühendislerce kullanıldığı kesindir. Onun, İyonya denizcilerinin kullandığı “Yıldız Kılavuzu” adlı bir çalışması olduğunu ve Küçükayı ‑ Büyük ayı sistemini ilk kez bu kılavuzda tanımladığını ve açıkladığını Herodot’dan bilmekteyiz.

Thales’in bir bilim adamı olarak saygınlık kazanması ve ün yapması onun bir güneş tutulması olayını önceden tahmin etmesi ile başlamıştır. Thales, güneş tutulmasını o devirlerde çok gelişmiş olan ay takvimini (Güneş yılından 11 gün eksik olan ve ayın safhalarına dayandırılan, ortalama bir ayın 30 güne karşılık geldiği Ay yılı) kullanarak tahmin etmiştir.

Yunan matematiğine Thales’i anlatmakla başlamamız Thales’in Yunan matematiğinin kurucusu olduğu anlamına gelmez. Yunan matematiği olarak karakterize ettiğimiz, aksiyom, önerme, tanım ve ispattan oluşan matematik onunla başlamış ancak Euclid ile gelişmiştir. Thales, ilk defa geometri için kendisi mantıksal bir yapı geliştirdi ve ilk defa ispat düşüncesini geometriye Thales soktu. Zamanına kadar gelen geometri problemlerini ve kurallarını topladı. Bunları kendi yöntemleri ile ispatlamaya çalıştı.

Matematiksel ispatı ilk Thales geometride uyguladı dersek yanılmamış oluruz. İspatladığı önermelerden bazıları şunlardır: Çap daireyi iki eşit parçaya böler. İkiz kenar üçgenin taban açıları eşittir. İki doğru kesiştiği zaman iç ‑ ters açılar eşittir. Yarım dairede çapı gören açı dik açıdır. Benzer üçgenlerin kenarları oranlıdır. İkişer açısı ve birer kenarları eşit olan iki üçgen özdeştir. Thales, sahip olduğu matematiği Mısırlılara ve onların Ahmes’ine borçlu olduğunu hiç bir zaman unutmadı ve öğrencisi olan Pythagoras’a Mısıra seyahat etmesini vasiyet etti.

PYTHAGORAS (MÖ 570 ‑ 500) Pythagoras Samos adasında doğdu. Thales’in öğrencisi olduğundan anlıyoruz ki Pythagoras Miletlidir. Ancak daha sonraları İtalya’nın güneyinde Doriona’nın Croton'a şehrinde yerleşti. Hocasının vasiyeti üzerine Mısırı gezen Pythagoras Croton'da kendi adıyla anılan okulunu kurdu. Bu okulda bir çok seçkin insana ders verdi.

Erkeklerin olduğu yerlere girmesi yasak olan kadınların da Pythagoras’ın derslerine devam etmesi okulun yüksek bir entellektüel atmosfer oluşturduğunu göstermektedir. Pythagoras’ın derslerine katılan bayan öğrencilerinden biri de Milo valisinin kızıydı. Bu güzel kız daha sonra Pythagoras ile evdendi ve Pythagoras’ın biyografisini yazdı. Croton'da kendilerine Pythagorasçılar denilen yeni bir kuşak oluştu. Bu okulun öğrencileri cemiyet veya tarikat olarak aynı felsefi görüşleri paylaştılar. Böylece Pythagoras’ın okulu çok tanındı ve yunan kültürel hayatında etkili oldu. Bu okulda matematiğin yanında tıp ve felsefe de okutuldu. Pythagoras’ın öğrencilerinin bulduğu beş köşeli yıldız bu okulun ve sağlığın simgesi oldu.

Pythagorasçılar matematikte büyük ilerlemeler sağladılar. Örneğin, Pythagoras’ın kendi adıyla bilinen teoremi bu okulda ilk önceleri şu şekilde ifade edildi: Bir dik üçgenin bir kenarı üzerindeki karenin alanı diğer kenarlar üzerinde oluşturulan karelerin alanları toplamına eşittir. Hikayeye göre, Pythagoras bu ilginç sonucu bulduğu zaman bir öküz kurban etmiştir. b a

Bu teoremlerin ispatları sırasında Pythagoras irrasyonelliği keşfetti. Tam sayılar ve rasyonel sayılar dışında başka sayıların olabileceğini o zamanlar kabul etmek onlar için çok zordu. Her şeyi sayılarla ifade edebileceklerini düşünen Pythagorasçılar bu durumu bir türlü kabul edemiyorlardı. Aslında bu olay matematiğin yaşamış olduğu ilk krizdi. Başka sayıların da olabileceği düşüncesi Pythagoras okulunda yeni bir felsefi tartışmayı başlatmıştır. Bu okul aynı zamanda bir tarikat niteliğinde olduğu için nin varlığını bu okulun üyeleri uzun bir süre bir sır gibi sakladılar. Bugünkü gösterimle Pythagoras’ın keşfini özetleyelim: köşegeni a ve kenarı b olan bir kareyi ele alalım. Pythagoras’ın teoremine göre olacaktır. Eğer bu değer ölçülebilir ise, şeklinde bir sayı olmalıydı. Bu oran daha sonra karşımıza irrasyonel sayı olarak çıkacaktır.

Pythagoras okulunun önemli buluşlarından birisi de geometrik çizim yoluyla geometrik ortalamayı tanımlamalarıydı. Bugünkü gösterimle; a x b.

Eski Yunanlılarda (İyonyalılar'da) sayılar Yunanlılar MÖ yılları arasında 5, 10, 100, 1000, sayıları için , , H, X, M sembollerini kullandılar. 5 sayısını temsil eden  sembolünü diğer sembollerle birleştirerek, sayılarını ifade ettiler.

Hippocrates