Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

TBF 121 - Genel Matematik I DERS – 3 : Limit ve Süreklilik Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "TBF 121 - Genel Matematik I DERS – 3 : Limit ve Süreklilik Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi."— Sunum transkripti:

1

2 TBF Genel Matematik I DERS – 3 : Limit ve Süreklilik Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi

3 x |1-x| Limit. Bir f fonksiyonu ile c ve L reel sayıları verilmiş olsun. f nin c yi içine alan bir açık aralığın belki c dışında her noktasında tanımlı olduğunu kabul edelim. f fonksiyonu c’de tanımlı olsun veya olmasın bazen aşağıdaki soru önem kazanır: L: x değişkeni c ye gittikçe yaklaşan değerler alırken f(x) in aldığı değerler nasıl değişir? “x “x değişkeninin c ye gittikçe yaklaşan değerler alması” ifadesinden ne anlaşılması gerekir? Şekilden görüldüğü üzere, aşağıdaki listede soldan sağa doğru gidildikçe listedeki sayıla- rın 1 e olan uzaklığı sıfıra yaklaşır:

4 x   x değişkeni bir c sayısına gittikçe yaklaşan değerler alıyorsa, x, c ye yaklaşıyor denir ve x x c yazılır. x in c ye yaklaşırken aldığı değerlerin bir kısmı c den küçük bir kısmı c den büyük olabilir. Eğer x in c ye yaklaşırken aldığı değerlerin hepsi c den küçükse, o takdirde x, c ye soldan yaklaşıyor denir ve xc– xc– yazılır. Eğer x in c ye yaklaşırken aldığı değerlerin hepsi c den büyükse, o takdirde x, c ye sağdan yaklaşıyor denir ve x x c+ c+ yazılır. Sayı ekseni üzerinde c den küçük olan sayıların c nin solunda, c den büyük olan sayıların ise c nin sağında yer alması neden bu isimlendirmelerin yapıldığını açıklar. x  c– x  c– c c x  c+ x  c+   x

5 L 1 : x değişkeni c ye yaklaşırken f(x) de L ye yaklaşır. L 2 : x in c ye yeterince yakın her değeri için f(x) de L ye istenildiği kadar yakın olur. L: x değişkeni c ye gittikçe yaklaşan değerler alırken f(x) in aldığı değerler nasıl değişir? L 3 : x ile c arasındaki uzaklık sıfıra yaklaşırsa, f(x) ile L arasındaki uzaklık da sıfıra yaklaşır. L 1, L2 L2 ve L3 L3 cümlelerinden herhangi birinin geçerli olması durumunda L sayısına x, c ye yaklaşırken f fonksiyonunun limiti denir ve veya iken yazılır. x y (0,0) (c,L) c L x f(x)f(x) x (x,f(x))

6 x y (0,0) (c,L) veya c L x f(x)f(x) x (x,f(x)) Yukarıda verilen limit tanımı, matematiksel olarak ifade edilirse, “ “ -  tanımı” olarak da adlandırılan bir sonraki slaytta vereceği- miz tanım ortaya çıkar: Örnek. x y (0,0) 1/

7 Tanım. Bir f fonksiyonu; c, L  R verilmiş olsun. f nin c yi içine alan bir açık aralığın belki c dışında her noktasında tanımlı olduğunu kabul edelim. Eğer verilen her  > 0 için koşulunu sağlayan bir  >0 bulunabiliyorsa, L sayısına x sayısı c ye yaklaşırken f fonksiyonunun limiti denir ve veya iken yazılır. Tanımdaki koşul şöyle de ifade edilebilir: Her  > 0 için olduğunda olacak biçimde bir  >0 bulunabilmesi. Bu durumu yandaki şekilden izleyelim. (c,L) c x y (0,0) c+  L c-  x (x,f(x)) L-  f(x)f(x) L+ 

8 Daha önce verdiğimiz limit örneği için “ “ -  tanımı” şöyle uygulanabilir: dır; çünkü,  > 0 verildiğinde tanımdaki koşulu sağlayan  >0 sayısı olarak  =  /2 almak yeterli olur. Gerçekten Bu muhakemenin en son kısmını gözden geçirerek  > 0 verildiğinde tanımdaki koşulu sağlayan  >0 sayısının nasıl belirlendiğini anlamaya çalışınız. Bundan sonraki uygulama ve örneklerimizde “ “ -  tanımı” üzerinde çok durmaya- cağız.

9 Örnek. y x (0,0) x  1 için Örnek. Eğer olan bir L sayısı yoksa, f fonksiyonunun x  c iken limiti yoktur denir. y x (0,0) YOK!

10 Örnek. (0,0) x y x y YOK! Örnek. YOK!

11 veya x  c iken f(x)  L olup olmadığı araştırılırken x in c ye her iki taraftan da yakın değerleri, yani hem c den küçük hem de c den büyük değerleri için f(x) in L ye yakın olup olmadığı kontrol edilmektedir. x in c ye sadece bir taraftan yakın değerleri için de f (x) in L ye yakın olup olmadığı sorgulanabilir. Bu düşünce bizi tek yanlı limit kavramına götürür. Eğer x in c ye yakın fakat c den küçük her değeri için f(x) sayısı L ye yakın oluyorsa, L sayısına x sayısı c ye soldan yaklaşırken f fonksiyonunun limiti (the limit of f as x approaches c from the left) denir ve veya yazılır. x y (0,0) (c,L) c L x (x,f(x)) Bu durumu açıklayan şekli yandaki yeşil bölgeden izleyelim.

12 Örnek. y x (0,0) Örnek. (5,0) (0,0) x y 0

13 Örnek. (0,0) x y x y YOK! Örnek. YOK! yonunun limiti yoktur denir. Eğer olan bir L sayısı yoksa, x sayısı c ye soldan yaklaşırken f fonksi-

14 (c,L) Tanım. Bir f fonksiyonu; c, L  ℝ verilmiş olsun. f nin c den küçük sayılar da kapsayan bir aralıkta tanımlı olduğunu kabul edelim. Eğer verilen her  > 0 için koşulunu sağlayan bir  >0 bulunabiliyorsa L sayısına x sayısı c ye soldan yaklaşır- ken f fonksiyonunun limiti denir ve veya yazılır. Bu tanımı yandaki şekil üzerinde açıklayalım. c x y (0,0) L c-  x L-  L+  f(x)f(x) (x,f(x)) Soldan limit için de “ “ -  tanımı” verilebilir:

15 Eğer x in c ye yakın fakat c den büyük her değeri için f(x) sayısı L ye yakın oluyorsa, L sayısına x sayısı c ye sağdan yaklaşırken f fonksiyonunun limiti (the limit of f as x approaches c from the right) denir ve veya yazılır. x y (0,0) (c,L) c L x f(x)f(x) (x,f(x)) Örnek. y x (0,0)

16 Örnek. y x (0,0) Örnek. (0,0) x y 0

17 Örnek. (0,0) x y x y YOK! Örnek. YOK! yonunun limiti yoktur denir. Eğer olan bir L sayısı yoksa, x sayısı c ye soldan yaklaşırken f fonksi-

18 Sağdan limit için de “ “ -  tanımı” verilebilir: Tanım. Bir f fonksiyonu; c, L  ℝ verilmiş olsun. f nin c den küçük sayılar da kapsayan bir aralıkta tanımlı olduğunu kabul edelim. Eğer verilen her  > 0 için koşulunu sağlayan bir  >0 bulunabiliyorsa L sayısına x sayısı c ye sağdan yaklaşır- ken f fonksiyonunun limiti denir ve veya yazılır. Bu tanımı yandaki şekil üzerinde açıklayalım. (c,L) c x y (0,0) L c+  x L-  L+  f(x)f(x) (x,f(x))

19 İfade kolaylığı sağlamak için Limit Sol Limit Sağ Limit limitine f nin x = c’deki sol limiti, limitine de f nin x = c’deki sağ limiti denir. mevcut değildir.

20 Örnek. Öyle bir grafik ( y = f(x) f(x) ) çiziniz ki, olsun. x y (-1,2) (1,3) (1,-2) (1,2) (2,0) (0,0) y = f(x) (0,1)

21 Limit ile ilgili bazı özellikler. f ve g fonksiyonlar; c, L, M  R ; olsun. Bu takdirde, Burada listelenen limit özellikleri x  c yerine x  c+ c+ veya x  c - yazıldığı takdirde de geçerli- dir.

22 Örnek.

23 Süreklilik. Aşağıdaki fonksiyonlardan her birinin x = 2 civarında grafiğini gözden geçirelim: x y (0,0) y x 2 4 y x Tanım. Eğer aşağıdaki üç koşul sağlanıyorsa, f fonksiyonu x = c’de süreklidir denir: x = 2’de sürekli x = 2’de sürekli değil x = 2’de sürekli değil

24 Tanım. Eğer aşağıdaki üç koşul sağlanıyorsa, f fonksiyonu x = c’de süreklidir denir: x = c’de sürekli olmayan bir fonksiyona x = c’de süreksiz fonksiyon denir. Yukarıda verilen örneklere ek olarak aşağıdaki şekilde gösterildiği biçimde süreksizlik örnekleri de vardır: y = f(x) c x y (0,0) f(c)f(c) L (c,f(c)) (c,L)(c,L) Somut bir örnek: x y (0,0)

25 Tanım. Eğer aşağıdaki üç koşul sağlanıyorsa, f fonksiyonu x = c’de süreklidir denir: x = c’de sürekli olmayan bir fonksiyona x = c’de süreksiz fonksiyon denir. Tanım. a, b  R, a < b olsun. Eğer a < c < b olan her c için f fonksiyonu x = c’de sürekli ise, f fonksiyonu (a, b) aralığında süreklidir denir. f nin sürekli olduğu aralıklar: (- ,-1), (-1,0), (0,1), (1, )) x y (-1,2) (1,3) (1,-2) (1,2) (2,0) (0,0) y = f(x)

26 Teorem. f fonksiyonu (a, b) aralığında sürekli ve her x  (a, b) için f (x)  0 ise, ya her x  (a, b) için f(x) > 0 dır; ya da her x  (a, b) için f (x) < 0 dır. y x (0,0) a b Tanım. f nin süreksiz olduğu x sayıları ile f (x) = 0 olan x sayılarına f nin parçalanış sayıları (partition numbers) veya işaret sayıları denir. Parçalanış sayıları ve yukarıdaki teorem yardımıyla, hangi x sayıları için f(x) f(x) > 0 ve hangi x sayıları için f (x) < 0 olduğu kolayca belirlenir. y = f(x) Bir aralık üzerinde sürekli olan fonksiyonların önemli bir özelliğini yansıtan aşağıdaki teorem aşikâr görünmekle birlikte ispatı göründüğü kadar kolay değildir.

27 Örnek. p(x)=x–2 nin bir tek işaret sayısı vardır: x = 2. Bu fonksiyon, (– ,2) aralığında negatif; (2,  ) aralığında pozitif değerler alır. Bu durumu işaret tablosu dediğimiz tablo ile şöyle göste- ririz: x-2 0 x --  Örnek. x p(x)=x 2 –1 in iki işaret sayısı vardır: x = ve x = 1. Bu fonksiyonun işaret tablosu şöyledir: x --  x x

28 Örnek. denklemi ile verilen fonksiyonun işaret sayıları x =, 1 ve 2 dir. f (x) > 0 ve f (x) < 0 olan bölgeler aşağıdaki tabloda gösterilmiştir: 0 x-2 0 x x --  Bu fonksiyonun grafiği sonraki slaytta gösterilmiştir

29 x y 2 1

30 Tanım. Eğer ise, f fonksiyonu x = c’de soldan süreklidir denir. Eğer ise, f fonksiyonu x = c’de sağdan süreklidir denir. Örnekler. y x (0,0) y x y x x = -1’de sağdan sürekli x = 1’ de soldan sürekli x = 0’da sağdan sürekli x = 0’da ne sağdan ne de soldan sürekli 1

31 Sonsuz Limitler ve Düşey Asimptotlar. f fonksiyonu bir c reel sayısını içine alan bir açık aralığın belki c hariç her noktasında tanımlı olsun. Eğer x, c ye (soldan ve sağdan) yaklaşırken f (x) değerleri sınırsız olarak artıyorsa, x, c ye yaklaşırken f fonksiyonu- nun limiti sonsuzdur veya x, c ye yaklaşırken f (x) sonsuza ıraksar denir. Bu durumda, veya yazılır. Benzer şekilde, eğer x, c ye (soldan ve sağdan) yaklaşırken f (x) değerleri sınır- sız olarak azalıyorsa, x, c ye yaklaşırken f fonksiyonunun limiti eksi sonsuzdur veya x, c ye yaklaşırken f (x) eksi sonsuza ıraksar denir. Bu durumda, veya yazılır. Yandaki şekillerin bu tanımlar için açıklayıcı olacağını düşünüyoruz. y x (0,0) c y x c

32 Sonsuz limitlerin de “ “ -  tanımı” verilebilir. Tanım. Bir f fonksiyonu; c  R verilmiş olsun. f nin c yi içine alan bir açık aralığın belki c dışında her noktasında tanımlı olduğunu kabul edelim. Eğer verilen her  > 0 için koşulunu sağlayan bir  >0 bulunabiliyorsa, x, c ye yaklaşırken f fonksiyonunun limiti sonsuzdur veya x, c ye yaklaşırken f (x) (x) sonsuza ıraksar denir. Bu durumda, veya yazılır. koşulunu sağlayan bir  >0 bulunabiliyorsa, x, c ye yaklaşırken f fonksiyonunun limiti eksi sonsuzdur veya x, c ye yaklaşırken f (x) (x) eksi sonsuza ıraksar denir. Bu durumda, Benzer şekilde, eğer verilen her  > 0 için veya yazılır.

33 Örnek. y x (0,0) 2 y x 2

34 y x c y x c x, c ye soldan veya sağdan yaklaşırken f nin limitinin sonsuz veya eksi sonsuz olma- sı da yukarıdakilere benzer biçimde tanımlanabilir. Örneğin, x, c ye sağdan yaklaşır- ken f nin limitinin sonsuz olması ve x, c ye sağdan yaklaşırken f nin limitinin eksi sonsuz olması aşağıdaki grafiklerde gösterilmiştir.

35 Örnekler. y x (0,0) y x 1

36 Eğer aşağıdaki durumlarından biri geçerli ise, x = c doğrusu f fonksiyonunun grafiğine düşey asimptot- tur veya f fonksiyonunun düşey asimptotudur denir. Yukarıdaki örneklerden, x = 1 doğrusunun nin grafiğine ve aynı zamanda in grafiğine düşey asimptot olduğu görülür. x = 2 doğrusu ve ün grafiğine düşey asimptottur. ün grafiğine bir düşey asimptot daha vardır: x = -2, çünkü

37 Sonsuzda Limitler. c herhangi bir reel sayı olmak üzere (c,  ) aralığında tanımlı bir f fonksiyonu için x sınırsız olarak artarken, yani x x  için f (x) değerlerinin nasıl değiştiğini bilmek isteriz. Eğer x sınırsız olarak artarken f (x) değerleri bir b sayısına yaklaşıyorsa, bu takdirde, x sonsuza ıraksarken f nin limiti b dir denir ve veya yazılır. Eğerise, x in büyük değerleri için fonksiyonunun grafiği aşağıdaki iki durumdan birine benzeyecektir y x (0,0) b y x b

38 Benzer biçimde, c herhangi bir reel sayı olmak üzere (- ,c) aralığında tanımlı bir f fonk- siyonu için x sınırsız olarak azalırken, yani x x - - için f (x) değerlerinin nasıl değiştiğini bilmek isteriz. Eğer x sınırsız olarak azalırken f (x) değerleri bir b sayısına yaklaşıyorsa, bu takdirde, x eksi sonsuza ıraksarken f nin limiti b dir denir ve veya yazılır. Eğer ise, x in küçük değerleri için fonksiyonunun grafiği aşağıdaki iki durumdan birine benzeyecektir y x (0,0) y x b b

39 Bütünlüğü korumak adına sonsuzda limitler için de “ “ -  tanımı” nı verelim. Tanım. Bir f fonksiyonu; b, c  ℝ verilmiş olsun. f nin (c, ) ) aralığında tanımlı olduğunu kabul edelim. Eğer verilen her  > 0 için koşulunu sağlayan bir  >0 bulunabiliyorsa, x sonsuza ıraksarken f nin limiti b dir denir ve veya yazılır. Benzer biçimde, f nin (- , c) c) aralığında tanımlı olduğunu kabul edelim. Eğer veri- len her  > 0 için koşulunu sağlayan bir  >0 bulunabiliyorsa, x eksi sonsuza ıraksarken f nin limiti b dir denir ve veya yazılır.

40 Örnekler. Eğer ise, y = b doğrusu f fonksiyonunun grafiğine Örnek. in düşey ve yatay asimptotları: veolduğundan, y = 2 yatay asimptot. ve olduğundan, x = 1 düşey asimptot. veya yatay asimptottur denir.

41 Sonsuzda Sonsuz Limitler. c herhangi bir reel sayı olmak üzere (c,  ) aralığında tanımlı bir f fonksiyonu için x sınırsız olarak artarken, yani x   için f (x) de sınırsız olarak artıyorsa, x sonsuza ıraksarken f nin limiti sonsuzdur denir ve veya yazılır. Benzer şekilde, x sınırsız olarak artarken, yani x   için f (x) sınırsız olarak azalıyorsa, x sonsuza ıraksarken f nin limiti eksi sonsuzdur denir ve veya yazılır. Bu tanımlara ek olarak ve gösterimlerinin hangi anlamda kullanıldığının okuyucu tarafından kolayca anla- şılabileceğini kabul ediyoruz.

42 Örnekler. y x (0,0) y x y x y x

43 Örnekler.


"TBF 121 - Genel Matematik I DERS – 3 : Limit ve Süreklilik Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları