Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

OLASILIK (6BMHMAU102) Bölüm 6 Tahmin Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-1.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "OLASILIK (6BMHMAU102) Bölüm 6 Tahmin Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-1."— Sunum transkripti:

1 OLASILIK (6BMHMAU102) Bölüm 6 Tahmin Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-1

2 Güven Aralığı Bu bölümün içeriği: Popülasyon (Ana Kütle) Ortalaması, μ için Güven Aralıkları Popülasyon Varyansı σ 2 bilindiğinde Popülasyon Varyansı σ 2 bilinmediğinde Popülasyon (Ana Kütle) orantısı, için Güven Aralıkları (büyük örnekler) Bir normal popülasyonun varyansı için Güven Aralığı Tahminleri Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-2

3 Tanımlar Bir ana kütle parametresinin tahmin edicisi örneklem bilgilerine dayanan rassal bir değişkendir. bu bilinmeyen parametreye bir yaklaşık değer sağlamaktadır Bu rassal değişkenin spesifik bir değeri tahmin olarak anılmaktadır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-3

4 Nokta ve Aralık Tahminleri Bir nokta tahmini tek bir sayıdır, bir güven aralığı değişkenlik hakkında ilave bilgi vermektedir Nokta Tahmini Alt Güven Sınırı Üst Güven Sınırı Güven Aralığı genişliği Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-4

5 Nokta Tahminleri Bir Ana kütle (popülasyon) Parametresini … Bir Örneklem İstatistiği ile tahmin ederiz (bir Nokta Tahmini) Ortalama Orantı P x μ Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-5

6 Sapmasızlık Eğer örneklem dağılımının beklenen değeri veya ortalaması  ise  parametresinin bir sapmasız tahmin edicisi olarak tanımlanmaktadır, Örnekler: Örneklem ortalaması μ’nün bir sapmasız tahmin edicisidir Örneklem varyansı s 2 σ 2 ’ bir sapmasız tahmin edicisidir Örneklem orantısı P’nin bir sapmasız tahmin edicisidir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-6

7 Sapmasızlık sapmasız bir tahmin edicidir, sapmalıdır: (devam) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-7

8 Sapma  ’nın bir tahmin edicisi olmak üzere ‘da sapma onun ortalaması ve  arasındaki fark olarak tanımlanmaktadır ve aşağıdaki gibi ifade edilir Sapmasız bir tahmin edicinin sapması 0’dır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-8

9 En Etkin Tahmin Edici  ’nın birkaç sapmasız tahmin edicilerinin olduğunu varsayınız.  ‘nın en etkin tahmin edicisi veya minimum varyans sapmasız tahmin edicisi en küçük varyanslı tahmin edicisidir ve  ’nın aynı gözlem sayısına dayanan iki sapmasız tahmin edicisi olmak üzere, bu durumda Eğer ise ‘in ‘ye göre daha etkin olduğu söylenmektedir ‘in ’ye göre göreli etkinliği, onların varyanslarının oranıdır: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-9

10 Güven Aralıkları Bir ana kütle parametresinin nokta tahmini ile ne kadarlık bir belirsizlik ilişkilidir? Bir aralık tahmini bir nokta tahminine göre bir ana kütle karakteristiği hakkında daha fazla bilgi temin etmektedir Böyle aralık tahminleri güven aralıkları olarak anılmaktadır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-10

11 Güven Aralığı Tahmini Bir aralık bir değerler dizisi vermektedir: Örneklem istatistiğindeki örneklemden örnekleme varyasyonunu dikkate almaktadır 1 örneklemden olan gözleme dayanmaktadır Bilinmeyen ana kütle parametrelerine yakın olma hakkında bilgi vermektedir Güven seviyesi olarak ifade edilir asla %100 güvenli olamaz Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-11

12 Güven Aralığı ve Güven Seviyesi Eğer P(a <  < b) = 1 -  ise o halde aralık a’dan b’ye  ’nın %100(1 -  ) güven aralığı olarak anılmaktadır. (1 -  ) de aralığın güven seviyesi olarak anılmaktadır (  0 ve 1 arasındadır) Ana kütlenin tekrarlanan örneklemlerinde,  parametresinin gerçek değeri yolla hesaplanan aralığında %100(1 -  )’i içinde yer alabilmektedir. Bu yolla hesaplanmış olan güven %100(1 -  ) ile a <  < b olarak yazılmaktadır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-12

13 Tahmin Süreci (ortalama, μ, bilinmiyor) Ana kütle Rastgele Örneklem Ortalama X = 50 Örneklem μ’nün 40 & 60 arasında olduğundan %95 eminim. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-13

14 Güven Seviyesi, (1-  ) Güven Seviyesi = 95% olarak varsayınız (1 -  ) = 0,95 olarak da yazılabilir Bir göreli frekans yorumu: Tekrarlayan örneklerden oluşturulacak tüm güven aralıklarının %95’i bilinmeyen gerçek parametreyi içerecektir Bir spesifik aralık gerçek parametreyi içerebilir veya içermeyebilir Spesifik bir aralığa hiçbir olasılık dahil değildir (devam) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-14

15 Genel Formül Tüm güven aralıkları için genel formül: Güvenilirlik faktörünün değeri arzu edilen güven seviyesine bağlıdır Nokta Tahmini  (Güvenilirlik Faktör)(Standart Hata) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-15

16 Güven Aralıkları Ana kütle Ortalaması σ 2 bilinmiyor Güven Aralıkları Ana kütle Orantısı σ 2 biliniyor Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-16 Ana kütle Varyansı

17 μ için Güven Aralığı (σ 2 Biliniyor) Varsayımlar Ana kütle varyansı σ 2 biliniyor Ana kütle normal dağılmış Eğer ana kütle normal değilse, büyük örnekler kullanınız Güven Aralığı tahmini: (burada z  /2 her bir kuyruktaki  /2 olasılığı için normal dağılımdır) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-17

18 Hata Payı Güven aralığı olarak da yazılabilir burada HP hata payı olarak anılmaktadır Aralık genişliği, w, hata payının iki katıdır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-18

19 Hata Payının Azaltılası Hata Payının azaltılması için Ana kütle standart sapması azaltılabilir (σ↓) Örnek büyüklüğü artırılır (n↑) Güven seviyesi azaltılır, (1 –  ) ↓ Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-19

20 Güvenilirlik Faktörü z  /2 ’nin Bulunması %95’lik bir Güven Aralığını ele alalım: z = -1,96z = 1,96 Nokta Tahmini Alt Güven Sınırı Üst Güven Sınırı Z birimler: X birimler: 0  z 0,025 =  1,96’i standart normal dağılım tablosundan bulunuz Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-20

21 Yaygın Güven Seviyeleri Yaygın olarak kullanılan güven seviyeleri %90, %95, ve %99’dur. Güven Seviyesi Güven Katsayısı, Z  /2 değeri 1,28 1,645 1,96 2,33 2,58 3,08 3,27 0,80 0,90 0,95 0,98 0,99 0,998 0,999 %80 %90 %95 %98 %99 %99.8 %99.9 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-21

22 Aralıklar ve Güven Seviyesi Güven Aralıkları Aralıklar ‘den ‘e uzanmaktadır Oluşturulan %100(1-  )’lık aralıklar μ’yü içermektedir; %100(  ) ise içermez. Ortalamanın Örneklem Dağılımı x x1x1 x2x2 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-22

23 Örnek Büyük bir ana kütleden seçilen 11 devre 2,20 ohm’luk bir ortalama dirence sahiptir. Geçmişteki bilgilerden ana kütlenin standart sapmasının 0,35 ohm olduğu bilinmektedir. Ana kütlenin gerçek ortalamasını %95’lik bir güven aralığında belirleyiniz. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-23

24 Örnek Büyük bir ana kütleden seçilen 11 devre 2,20 ohm’luk bir ortalama dirence sahiptir. Geçmişteki bilgilerden ana kütlenin standart sapmasının 0,35 ohm olduğu bilinmektedir. Çözüm: (devam) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-24

25 Yorum Gerçek ortalama direncin 1,9932 ile 2,4068 ohm arasında olduğundan %95 eminiz Gerçek ortalamanın bu aralıkta olmamasının da mümkün olmasına rağmen bu şekilde oluşturulmuş olan %95’lik aralıklar gerçek ortalamayı içerecektir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-25

26 Güven Aralıkları Ana Kütle Ortalaması σ 2 bilinmiyor Güven Aralıkları Ana Kütle Orantısı σ 2 biliniyor Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-26 Ana Kütle Varyansı

27 Student t Dağılımı n gözlemlik bir rassal örneklemi ele alalım ortalaması x ve standart sapması s olsun ortalaması μ olan bir normal dağılımdan seçilmiş olsun O halde değişken Serbestlik derecesi (n – 1) olan Student t dağılımını takip Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-27

28 μ için Güven Aralığı (σ 2 Bilinmiyor) Eğer ana kütle standart sapması σ biliniyorsa, örneklem standart sapması, s’i yerine koyabiliriz. Bu durum yeni bir belirsizlik ortaya koyar, çünkü s örnekten örneğe değişkenlik göstermektedir Bu yüzden normal dağılım yerine t dağılımını kullanmaktayız Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-28

29 μ için Güven Aralığı (σ 2 Bilinmiyor) Varsayımlar Ana kütle varyansı σ 2 bilinmiyor Ana kütle normal dağılmış Eğer ana kütle normal değilse, büyük örnekler kullanınız Student t Dağılımını kullanınız Güven Aralığı Tahmini burada t n-1,α/2 n – 1 serbestlik derecesine ve her bir kuyrukta α/2 alana sahip olan t dağılımının kritik değeri olarak anılmaktadır: (devam) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-29

30 Hata Payı Güven Aralığı, olarak da yazılabilmektedir burada HP Hata Payı olarak da anılmaktadır: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-30

31 Student t Dağılımı t bir dağılımlar ailesidir t değeri serbestlik derecesine (s.d.) bağlıdır. Örneklem ortalamasından sonra değişme serbestisi olan gözlem sayısı aşağıdaki hesaplanmaktadır s.d. = n - 1 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-31

32 Student t Dağılımı t 0 t (sd = 5) t (sd = 13) t-dağılmları çan eğrisi sergilerler ve simetriktirler, fakat ‘daha geniş’ kuyruklara sahiptir Standart Normal (sd= ∞ olan t) Dikkat ediniz: t Z (n arttıkça) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-32

33 Student t Tablosu Üst Kuyruk Alanı sd t 0 2,920 Tablo içeriği t değerlerini içerir olasılık değerlerini içermez Örnek: n = 3 sd = n - 1 = 2  = 0,10  /2 =0,05  /2 = 0, Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-33

34 t dağılım değerleri Z değeri ile karşılaştırıldığında Güven t t t Z Seviyesi (10 s.d.) (20 s.d.) (30 s.d.) ____ 0,80 1,372 1,325 1,310 1,282 0,90 1,812 1,725 1,697 1,645 0,95 2,228 2,086 2,042 1,960 0,99 3,169 2,845 2,750 2,576 Dikkat: t Z (n arttıkça) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-34

35 Örnek n = 25 olan bir rastgele örnek x = 50 ve s = 8 değerlerine sahiptir. μ için %95’lik bir güven aralığı oluşturunuz s.d.= n – 1 = 24, bu yüzden Güven Aralığı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-35

36 Güven Aralıkları Ana kütle Ortalama σ 2 Bilinmiyor Güven Aralıkları Ana kütle Orantısı σ 2 Biliniyor Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-36 Ana kütle Varyansı

37 Ana kütle Orantısı için Güven Aralığı Ana kütle orantısı (P) için bir aralık tahmini örneklem orantısı ( )’nin belirsizliği için bir tolerans payı ekleyerek hesaplanabilmektedir. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-37

38 Ana kütle Orantısı P için Güven Aralığı Eğer örneklem büyüklüğü yeterince büyükse örneklem orantısının aşağıdaki standart sapma ile yaklaşık olarak normal olduğunu hatırlayınız Bunu bu örneklem verileri ile tahmin edeceğiz: (devam) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-38

39 Güven Aralığı Uç Noktaları Popülasyon orantısı için üst ve alt güven sınırları aşağıdaki formül ile hesaplanmaktadır burada z  /2 ; istenilen güven seviyesi için standart normal değeridir ; örneklem orantısı n; örneklem büyüklüğü nP(1−P) > 5 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-39

40 Örnek 100 kişilik rastgele bir örneklem 25’inin solak olduğunu göstermektedir. Solakların gerçek orantısı için %95’lik bir güven aralığı oluşturunuz. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-40

41 Örnek 100 kişilik rastgele bir örneklem 25’inin solak olduğunu göstermektedir. Solakların gerçek orantısı için %95’lik bir güven aralığı oluşturunuz. (devam) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-41

42 Yorum Ana kütledeki solakların yüzdesinin %16,51 ile %33,49 arasında olduğundan %95 eminiz. 0,1651 ile 0,3349 arasındaki aralığın gerçek orantıyı içermeyebilmesine rağmen büyüklüğü 100 olan örneklerden oluşturulan aralıkların %95’i gerçek orantıyı içerecektir. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-42

43 Güven Aralıkları Ana Kütle Ortalaması σ 2 Bilinmiyor Güven Aralıklar Ana Kütle Orantısı σ 2 Biliniyor Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-43 Ana Kütle Varyansı

44 Ana Kütle Varyansı için Güven Aralığı Güven aralığı örneklem varyansı s 2 ’na dayanmaktadır Varsayılan: ana kütle normal olarak dağılmıştır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER  Amaç: Ana kütle varyansı, σ 2 için bir güven aralığı oluşturmak Bölüm 8-44

45 Ana Kütle Varyansı için Güven Aralığı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Rassal değişken (n – 1) serbestlik derecesi olan bir ki-kare dağılımı izlemektedir (devam) Burada ki-kare değeri aşağıdaki olasılık değerini temsil etmektedir Bölüm 8-45

46 Ana Kütle Varyansı için Güven Aralığı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Ana kütle varyansı için %(1 -  ) güven aralığı aşağıdaki gibidir (devam) Bölüm 8-46

47 Örnek Üretilen bir bilgisayar işlemcileri partisi test edilmektedir. Aşağıdaki veriler (MHz olarak) toplanıyor: Örneklem Büyüklüğü 17 Örneklem Ort Örneklem std sap 74 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Ana kütlenin normal olduğunu varsayınız. σ x 2 için %95 güven aralığını belirleyiniz Bölüm 8-47

48 Ki-kare Değerlerinin Bulunması n = 17 ve ki-kare dağılımı(n – 1) = 16 serbestlik derecesine sahiptir  = 0,05, o halde her bir kuyruktaki ki-kare değeri 0,025’tir: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Olasılık α/2 = 0,025  2 16 = 28,85  2 16 = 6,91 Olasılık α/2 = 0,025 Bölüm 8-48

49 Güven Sınırlarının Hesaplanması %95 güven aralığı aşağıdaki gibidir: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Standart sapmayı dönüştürürken, CPU hızının 55,1 ile 12,6 MHz arasında olduğundan %95 eminiz. Bölüm 8-49

50 Sonlu Ana kütleler Eğer örneklem büyüklüğü ana kütle büyüklüğünün %5’i büyüklüğünde ise (ve örnekleme yerine koymaksızın oluyorsa) o halde standart hata hesaplanırken sonlu ana kütle düzeltme faktörü kullanılmak zorundadır. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-50

51 Sonlu Ana kütle Düzeltme Faktörü Örneklemin yerine koymaksızın yapıldığını ve örneklem büyüklüğünün ana kütle büyüklüğüne göre büyük olduğunu varsayınız Ana kütle büyüklüğünün merkezi limit teoremini uygulamak üzere yeterince büyük olduğunu varsayınız Ana kütle varyansını tahmin ederken sonlu Ana kütle Düzeltme Faktörünü uygulayınız Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm17-51

52 Ana kütle ortalamasının Tahmin Edilmesi Büyüklüğü n olan bir basit rassal örneklem ortalaması μ olan bir N üyeli ana kütleden alınmış olsun Örneklem ortalaması, μ ana kütle ortalamasının sapmasız tahmin edicisidir Nokta tahmin edicisi aşağıdaki gibidir: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm17-52

53 Sonlu ana kütleler: Ortalamalar Eğer örneklem büyüklüğü ana kütle büyüklüğünün %5’inden daha büyük ise, örneklem ortalamasının varyansı için sapmasız bir tahmin edici aşağıdaki gibidir O halde ana kütle ortalaması için güven aralığı %100(1-α)’dır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-53

54 Ana kütle Toplamının Tahmin Edilmesi Büyüklüğü N olan bir ana kütleden büyüklüğü n olan bir basit rassal örneklemi ele alınız Tahmin edilecek olan miktar Nμ popülasyon toplamıdır Nμ ana kütle toplamı için sapmasız bir tahmin edicinin tahmin prosedürü Nx nokta tahmini ile sonuçlanmaktadır. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm17-54

55 Ana kütle Toplamının Tahmin Edilmesi Ana kütle toplamının varyansının sapmasız bir tahmin edicisi aşağıdaki gibidir: Ana kütle toplamı için bir %100(1 -  )’lık güven aralığı aşağıdaki gibidir: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm17-55

56 Ana Kütle Toplamı için Güven Aralığı: Örnek Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bir firma 1000 hesaplık bir ana kütleye sahiptir ve toplam ana kütle değerini tahmin etmek istemektedir Ortalaması 87,6 $ ve standart sapması 22,3$ olan 80 hesaplık bir örnek seçildi. Find the Toplam dengenin %95’lik güven aralığı tahminini bulunuz. Bölüm17-56

57 Örnek Çözüm Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Ana kütle toplam dengesi için %95 güven aralığı ,53$ ile ,47$ arasında idi. Bölüm17-57

58 Ana Kütle Orantısının Tahmin Edilmesi Ana Kütlenin gerçek orantısı P olsun n gözlemden olan bir basit rassal örneklemin örneklem orantısı olsun Örneklem orantısı, P ana kütle orantısının sapmasız bir tahmin edicisidir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm17-58

59 Sonlu Ana kütleler:Orantı Eğer örneklem büyüklüğü ana kütle büyüklüğünün %5’inden daha büyük ise, örneklem orantısının varyansı için sapmasız bir tahmin edici aşağıdaki gibidir O halde, Ana kütle orantısı için bir %100(1 -  )’lık güven aralığı aşağıdaki gibidir: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-59

60 Tahmin: İlave Konular Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm Konuları Ana Kütle Ortalamaları Bağımsız Örneklemler Ana Kütle Ortalamaları Bağımlı Örneklemler Örneklem Büyüklüğünün Tayin Edilmesi 1. Gruba karşın bağımsız 2. Grup İşlem öncesine karşın sonrasındaki aynı grup Sonlu Ana Kütleler Örnekler: Ana Kütle Orantıları 1. Orantıya karşın 2. Orantı Bölüm-6-60 Büyük Ana Kütleler Güven Aralıkları

61 Bağımlı Örneklemler İki ilişkili ana kütlenin ortalamalarının testleri Eşli veya eşlenmiş örneklemler Tekrarlanmış ölçütler (önce/sonra) Eşli değerler arasındaki farkı kullanınız: Denekler arasındaki varyasyonu ortadan kaldırır Varsayımlar: Her iki ana kütle normal olarak dağılmaktadır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bağımlı Örneklemler d i = x i - y i Bölüm-6-61

62 Ortalama Farkı i’inci eşli fark d i ’dir, burada fark aşağıdaki gibidir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER d i = x i - y i Ana kültle eşli ortalama eşli farklının nokta tahmini d’ dir: n örneklemdeki eşleşmiş çiftlerin sayısı Örneklem standart sapması: Bağımlı Örneklemler Bölüm-6-62

63 Ortalama Farkı için Güven Aralığı Ana kütle ortalamaları arasındaki fark μ d için güven aralığı aşağıdaki gibidir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Burada n = örneklem büyüklüğü (eşleşmiş örneklemlerdeki eşleşmiş çiftlerin sayısı) Bağımlı Örneklemler Bölüm-6-63

64 Ortalama Farkı için Güven Aralığı Hata payı; t n-1,  /2 (n – 1) serbestlik derecesi Student’s t dağılımından gelen değerdir aşağıdaki olasılık değerine sahiptir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER (devam) Bağımlı Örneklemler Bölüm-6-64

65 Altı kişi bir kilo verme programına kaydolmaktadırlar. Aşağıdaki veriler toplanmıştır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Eşli Örneklemler: Örnek Ağırlık: Kişi Önce (x) Sonra (y) Farkı, d i d =  didi n = 7,0 Bölüm-6-65 Bağımlı Örneklemler

66 %95’lık bir güven seviyesi için, uygun t değeri t n-1,  /2 = t 5,0,025 = 2,571 Ortalamalar arasındaki fark μ d için %95 güven aralığı aşağıdaki gibidir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Eşli Örneklemler: Örnek (devam) Bu aralık sıfır içerdiğinden dolayı bu sınırlı verilerle kilo verme programının kişilere yardım ettiğine dair %95 emin olamamaktayız Bölüm-6-66 Bağımlı Örneklemler

67 İki Ortalama Arasındaki Fark: Bağımsız Örneklemler Farklı veri kaynakları İlişkili olmayan Bağımsız Tek bir ana kütleden seçilen örneklemler başka bir ana kütleden seçilen örneklem üzerinde hiçbir etkiye sahip değildir Nokta tahmini iki örneklem ortalaması arasındaki farktır: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Ana Kütle Ortalamaları, Bağımsız örneklemler Amaç: İki ana kütle ortalaması arasındaki fark için bir güven aralığı oluşturunuz, μ x – μ y x – y Bölüm-6-67

68 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Ana Kütle Ortalamaları, Bağımsız örneklemler Güven aralığı z  /2 ’yi kullanır Güven aralığı Student t dağılımından olan bir değeri kullanmaktadır σ x 2 ve σ y 2 eşit kabul edilir σ x 2 ve σ y 2 biliniyor σ x 2 ve σ y 2 bilinmiyor σ x 2 ve σ y 2 eşit kabul edilmez (devam) Bölüm-6-68 İki Ortalama Arasındaki Fark: Bağımsız Örneklemler

69 σ x 2 ve σ y 2 Biliniyor Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Ana Kütle Ortalamaları, Bağımsız örneklemler Varsayımlar:  Örneklemler rastgele ve bağımsız olarak seçilmiştir  Her iki ana kütle dağılımı normaldir  Ana kütle varyansları bilinmektedir * σ x 2 ve σ y 2 biliniyor σ x 2 ve σ y 2 bilinmiyor Bölüm-6-69

70 σ x 2 ve σ y 2 Biliniyor Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Ana Kütle Ortalamaları, Bağımsız örneklemler …ve rassal değişken standart bir normal dağılıma sahiptir σ x ve σ y bilindiğinde ve her ikisi de normal olarak dağıldığında, X – Y’nin varyansı (devam) * σ x 2 ve σ y 2 biliniyor σ x 2 ve σ y 2 bilinmiyor Bölüm-6-70

71 Güven Aralığı σ x 2 ve σ y 2 Biliniyor Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Ana Kütle Ortalamaları, Bağımsız örneklemler μ x – μ y için güven aralığı: * σ x 2 ve σ y 2 biliniyor σ x 2 ve σ y 2 bilinmiyor Bölüm-6-71

72 σ x 2 ve σ y 2 Bilinmiyor, Eşit Kabul Ediliyor Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Ana Kütle Ortalamaları, Bağımsız örneklemler Varsayımlar:  Örneklemler rastgele ve bağımsız olarak ve seçilmektedir  Ana kütleler normal olarak dağılmaktadır  Ana kütle varyansları ilinmemektedir fakat eşit oldukları varsayılmaktadır * σ x 2 ve σ y 2 eşit kabul edilir σ x 2 ve σ y 2 biliniyor σ x 2 ve σ y 2 bilinmiyor σ x 2 ve σ y 2 eşit kabul edilmez Bölüm-6-72

73 σ x 2 ve σ y 2 Bilinmiyor, Eşit Kabul Ediliyor Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Ana Kütle Ortalamaları, Bağımsız örneklemler (devam) Aralık tahminlerini oluştururken:  Ana kütle varyanslarının eşit olduğu varsayılmaktadır, o halde iki standart sapmayı kullanmak ve σ’yı tahmin etmek üzere onları havuzda toplamak gerekir getirmek  (n x + n y – 2) serbestlik derecesinde bir t değeri kullanınız * σ x 2 ve σ y 2 eşit kabul edilir σ x 2 ve σ y 2 biliniyor σ x 2 ve σ y 2 bilinmiyor σ x 2 ve σ y 2 eşit kabul edilmez Bölüm-6-73

74 σ x 2 ve σ y 2 Bilinmiyor, Eşit Kabul Ediliyor Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Ana Kütle Ortalamaları, Bağımsız örneklemler Toplanmış varyans (devam) * σ x 2 ve σ y 2 eşit kabul edilir σ x 2 ve σ y 2 biliniyor σ x 2 ve σ y 2 bilinmiyor σ x 2 ve σ y 2 eşit kabul edilmez Bölüm-6-74

75 Güven Aralığı, σ x 2 ve σ y 2 Bilinmiyor, Eşit Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER μ 1 – μ 2 için güven aralığı: Burada * σ x 2 ve σ y 2 eşit kabul edilir σ x 2 ve σ y 2 bilinmiyor σ x 2 ve σ y 2 eşit kabul edilmez Bölüm-6-75

76 Toplanmış Varyans: Örnek İki bilgisayar işlemcisini hız yönünden test edilmektedir. CPU hızlarındaki fark için bir güven aralığı oluşturunuz. Aşağıdaki hız (MHz) verileri toplanmıştır: CPU x CPU y Test Edilen Sayı Örneklem Ort Örneklem std s Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Her iki ana kütlenin eşit varyanslı olduğunu varsayınız ve %95 güven aralığını kullanınız Bölüm-6-76

77 Toplanmış Varyansı hesaplarken Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Toplanmış varyans: %95’lik bir güven aralığı için t değeri: Bölüm-6-77

78 Güven Sınırlarını Hesaplarken %95’lik güven aralığı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER CPU hızındaki ortalama farkın 416,69 ile 515,31 MHz arasında olduğundan %95 eminiz. Bölüm-6-78

79 σ x 2 ve σ y 2 Bilinmiyor, Eşit olmadıkları Varsayılıyor Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Ana Kütle Ortalamaları, Bağımsız örneklemler Varsayımlar:  Örneklemler rastgele ve bağımsız olarak ve seçilmektedir  Ana kütleler normal olarak dağılmaktadır  Ana kütle varyansları bilinmemektedir ve eşit olmadıkları varsayılmaktadır * σ x 2 ve σ y 2 eşit kabul edilir σ x 2 ve σ y 2 biliniyor σ x 2 ve σ y 2 bilinmiyor σ x 2 ve σ y 2 eşit kabul edilmez Bölüm-6-79

80 σ x 2 ve σ y 2 Bilinmiyor, Eşit olmadıkları Varsayılıyor Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Ana Kütle Ortalamaları, Bağımsız örneklemler (devam) Aralık tahminlerini oluştururken:  Ana kütle varyanslarının eşit olmadığı varsayılmaktadır, bu yüzden toplanmış varyans uygun değildir.  serbestlik derecesi ile bir t değerini kullanınız, σ x 2 ve σ y 2 biliniyor σ x 2 ve σ y 2 bilinmiyor * σ x 2 ve σ y 2 eşit kabul edilir σ x 2 ve σ y 2 eşit kabul edilmez Bölüm-6-80

81 Güven Aralığı, σ x 2 ve σ y 2 Bilinmiyor, Eşit Değil Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER μ 1 – μ 2 için güven aralığı: * σ x 2 ve σ y 2 eşit kabul edilir σ x 2 ve σ y 2 bilinmiyor σ x 2 ve σ y 2 eşit kabul edilmez Burada Bölüm-6-81

82 İki Ana Kütle Orantısı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Amaç: İki ana kütle orantısı arasındaki P x – P y farkı için bir güven aralığı oluşturmaktır. Fark için nokta tahmini Ana kütle orantıları Varsayımlar: Her iki örneklem büyüklüğü büyüktür (genellikle her bir örneklemde 40 gözlem) Bölüm-6-82

83 İki Ana Kütle Orantısı Rassal değişken yaklaşık olarak normal dağılmıştır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Ana kütle orantıları (devam) Bölüm-6-83

84 İki Ana Kütle Orantısı için Güven Aralığı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Ana kütle orantıları P x – P y için güven sınırları: Bölüm-6-84

85 Örnek: İki Ana Kütle Orantısı Kolej diploması olan erkeklerin orantısı ve kadınların orantısı arasındaki fark için %90’lık bir güven aralığı oluşturunuz. Bir rassal örneklemde 50 erkeğin 26’sı 40 kadının 28’si kolej diploması almıştır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-85

86 Örnek: İki Ana Kütle Orantısı Erkekler: Kadınlar: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER (devam) %90’lık güven aralığı için, Z  /2 = 1,645 Bölüm-6-86

87 Örnek: İki Ana Kütle Orantısı Güven sınırları: o halde güven aralığı aşağıdaki gibidir -0,3465 < P x – P y < -0,0135 Aralık sıfır içermediği için iki orantının eşit olmadığından %90 eminiz Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER (devam) Bölüm-6-87

88 Örneklem Büyüklüğünün Tespit Edilmesi Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Ortalama için Örneklem Büyüklüğünün Belirlenmesi Orantı için Bölüm-6-88 Büyük ana kütleler Sonlu ana kütleler Ortalama için Orantı için

89 Hata Payı Gereken örneklem büyüklüğü tanımlanmış olan bir güven seviyesi (1 -  ) olan istenen bir hata payına (HP) ulaşılarak bulunabilmektedir Hata payı örnekleme hatası olarak da anılmaktadır ana kütle parametresinin tahminindeki hatalı ölçü miktarı güven aralığını oluşturmak üzere nokta tahminine eklenen veya çıkarılan miktar Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-89

90 Örneklem Büyüklüğünün Tespit Edilmesi Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Hata Payı (örneklem hatası) Bölüm-6-90 Ortalama için Büyük ana kütleler

91 Örneklem Büyüklüğünün Tespit Edilmesi Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER (devam) Şimdi n için çözünüz Bölüm-6-91 Ortalama için Büyük ana kütleler

92 Örneklem Büyüklüğünün Tespit Edilmesi Ortalama için gereken örneklem büyüklüğünü belirlemek üzere, aşağıdakileri bilmeniz gerekmelidir: z  /2 değerini belirleyen istenen güven seviyesi (1 -  ), Kabul edilebilir hata payı (örneklem hatası), HP Ana kütle standart sapması, σ Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER (devam) Bölüm-6-92

93 Gerekli Olan Örneklem Büyüklüğü, Örnek Eğer  = 45 ise, ortalamayı %90 güven aralığında ± 5 içerisinde tahmin etmek için gereken örneklem büyüklüğü nedir? Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER (Daima yuvarlayınız) O halde gereken örneklem büyüklüğü n = 220 Bölüm-6-93

94 Örneklem Büyüklüğünün Belirlenmesi: Ana kütle Orantısı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Hata Payı (örneklem hatası) Bölüm-6-94 Orantı için Büyük ana kütleler

95 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER yerine 0,25’i koyunuz ve n için çözünüz (devam) zaman 0,25’den daha büyük olamaz Bölüm-6-95 Orantı için Büyük ana kütleler Örneklem Büyüklüğünün Belirlenmesi: Ana kütle Orantısı

96 Örneklem ve ana kütle orantıları, ve P, genellikle bilinmemektedir (çünkü daha henüz hiçbir örneklem alınmadı) P(1 – P) = 0,25 mümkün olan en büyük hata payını meydana getirmektedir (böylece bulunan örneklem büyüklüğü istenen güven seviyesini garantilemiş olacaktır) Orantı için gerek olan örneklem büyüklüğünü belirlemek üzere, aşağıdakileri bilmek zorundasınız: kritik z  /2 değerini belirleyen (1 -  ) istenen güven seviyesini kabul edilebilir örneklem hatası (hata payı), HP P(1 – P) = 0,25’yi sağlayan P’nin tahmini Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER (devam) Bölüm-6-96 Örneklem Büyüklüğünün Belirlenmesi: Ana kütle Orantısı

97 Gerekli Olan Örneklem Büyüklüğü-Örnek: Ana kütle Orantısı %±3 içerisinde, %95 güven aralığı ile bir büyük ana kütledeki gerçek orantıyı tahmin etmek üzere ne büyüklükte bir örneklem gerekli olacaktır? Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-97

98 Gerekli Olan Örneklem Büyüklüğü- Örnek Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Çözüm: %95 güven aralığı için, z 0,025 = 1,96’yi kullanınız HP = 0,03 P(1 – P) = 0,25 olarak tahmin ediniz O halde n = 1068’i kullanınız (devam) Bölüm-6-98

99 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-99 Örneklem Büyüklüğünün Belirlenmesi : Sonlu Ana kütleler Sonlu Ana kütleler Ortalama için Bir sonlu ana kütle düzeltme faktörü ilave edilmektedir: 1.Gerekli olan örneklem büyüklüğü n 0 ’ı ön formülü kullanarak hesaplayınız: 2.Daha sonra sonlu ana kütle için ayarlayınız:

100 Örneklem Büyüklüğünün Belirlenmesi : Sonlu Ana kütleler Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm Sonlu Ana kütleler Orantı için Bir sonlu ana kütle düzeltme faktörü ilave edilmektedir: 1.n için çözünüz: 2.Bu ifade için mümkün olan en büyük değer (Eğer P = 0,25 ise): 3. Aynı örneklem orantısından %95’lik bir güven aralığı ±1.96 olarak yer almaktadır

101 Örnek: Ana Kütle Orantısını tahmin etmek üzere Örneklem Büyüklüğü Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm (devam) 850 kişiden oluşan bir ana kütledeki kolej mezunlarının gerçek orantısını ±%5 içerisinde %95 güven aralığı ile tahmin etmek üzere gerekli olan bir örneklem ne büyüklükte olmalıdır?

102 Gerekli Olan Örneklem Büyüklüğü- Örnek Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Çözüm:  %95 güven aralığı için, z = 1,96’yı kullanınız  HP = 0,05 O halde n = 265’i kullanınız (devam) Bölüm-6-102


"OLASILIK (6BMHMAU102) Bölüm 6 Tahmin Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-1." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları