Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER BİYOİSTATİSTİK-I (6BESYGS001) Bölüm 5 Örneklem ve Örneklem Dağılımları Bölüm-5-1.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER BİYOİSTATİSTİK-I (6BESYGS001) Bölüm 5 Örneklem ve Örneklem Dağılımları Bölüm-5-1."— Sunum transkripti:

1 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER BİYOİSTATİSTİK-I (6BESYGS001) Bölüm 5 Örneklem ve Örneklem Dağılımları Bölüm-5-1

2 İşletme İstatistiği Araçları  Tanımlayıcı İstatistik  Veriyi toplama, sunma ve betimleme  Çıkarımsal İstatistik  Sadece örneklem verisine dayanarak bir popülasyon hakkında sonuç çıkarma ve/veya karar verme Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-5-2

3 Popülasyonlar ve Örnekler  Bir Popülasyon araştırmaya konu olan öge veya bireylerin kümesidir.  Örnekler: Gelecek seçimlerdeki muhtemel tüm seçmenler Bugün imal edilen tüm parçalar Kasım ayı için alınan tüm makbuzlar  Bir Örnekler popülasyonun bir alt kümesidir  Örnekler: Bir görüşme için rastgele seçilmiş olan 1000 seçmen Tahribatlı test için seçilmiş olan çok az sayıdaki parça Denetim için rastgele seçilmiş olan makbuzlar Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-5-3

4 Popülasyona karşı Örneklem Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER a b c d ef gh i jk l m n o p q rs t u v w x y z PopülasyonÖrneklem b c g i n o r u y Bölüm-5-4

5 Neden Örneklem?  Genele göre daha az zaman alıcı  Genele göre daha düşük maliyetli  Örnekleme dayanan yeterince yüksek bir hassasiyet ile istatistiksel sonuçlar elde etmek mümkündür. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-5-5

6 Basit Rastgele Örneklem  Popülasyondaki tüm nesneler eşit seçilme şansına sahiptir  Nesneler bağımsız bir şekilde seçilmektedir  Örnekler rastgele sayılar tablosundan veya bilgisayardaki rastgele sayı üreteçlerinden elde edilebilmektedirler  Basit bir rastgele örneklem diğer örneklem yöntemleriyle kıyaslandığında en ideal olanıdır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-5-6

7 Çıkarımsal İstatistik  Örneklem sonuçlarını inceleyerek bir popülasyon hakkında çıkarımda bulunma Örneklem İstatistiği Popülasyon parametreleri (bilinen) çıkarım (bilinen fakat, örneklem bulgularından tahmin edilebilinen) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-5-7

8 Çıkarımsal İstatistik  Kestirim  Örneğin, örneklem ortalama ağırlığını kullanarak popülasyon ortalama ağırlığını kestirmek  Hipotez testi  Örneğin, popülasyonun ortalama ağırlığının 62 kg olduğu iddiasının test edilmesi Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Çıkarım örneklem sonuçlarına dayanarak bir popülasyon hakkında sonuç çıkarma sürecidir. Bölüm-5-8

9 Örneklem Dağılımları  Bir örneklem dağılımı bir popülasyondan seçilmiş olan verilmiş bir örnek büyüklüğü için olan bir istatistiğin tüm muhtemel sonuçlarının dağılımıdır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-5-9

10 Bölümün Anahatları Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Örneklem Dağılımları Örneklem Ortalaması Örneklem Dağılımı Örneklem Orantısı Örneklem Dağılımı Örneklem Varyansı Örneklem Dağılımı Bölüm-5-10

11 Örneklem Ortalaması Örneklem Dağılımı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Örneklem Dağılımları Örneklem Ortalaması Örneklem Dağılımı Örneklem Orantısı Örneklem Dağılımı Örneklem Varyansı Örneklem Dağılımı Bölüm-5-11

12 Örneklem Dağılımının Geliştirilmesi  Bir popülasyon olduğunu varsayınız…  Popülasyon büyüklüğü N=4  Rassal Değişken, X, bireylerin yaşıdır  X Değerleri: 18, 20, 22, 24 (yıl olarak) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER A B C D Bölüm-5-12

13 Örneklem Dağılımının Geliştirilmesi Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER 0, A B C D Tekdüze Dağılımı P(x) x (devam) Popülasyon Dağılımı için Özet Ölçütler: Bölüm-5-13

14 Şimdi büyüklüğü n=2 olan tüm muhtemel örneklemleri göz önüne alınız Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER 16 muhtemel örneklem (yerine koyarak örnekleme) (devam) Örneklem Dağılımının Geliştirilmesi 16 Örneklem Ortalamaları Bölüm-5-14

15 Tüm örneklem ortalamalarının Örneklem Dağılımı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER P(X) X Örneklem Ortalamalarının Dağılımı 16 Örneklem Ortalamaları _ Örneklem Dağılımının Geliştirilmesi (devam) (artık Tekdüze değil) _ Bölüm-5-15

16 Bu Örneklem Dağılımının Özet Ölçütleri: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Örneklem Dağılımının Geliştirilmesi (devam) Bölüm-5-16

17 Popülasyonun Örneklem Dağılımı ile Karşılaştırılması Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER ,1 0,2 0,3 P(X) X A B C D 0 0,1 0,2 0,3 Popülasyon N = 4 P(X) X _ Örneklem Ortalamaları Dağılımı n = 2 _ Bölüm-5-17

18 Örneklem Ortalamasının Beklenen Değeri  X 1, X 2,... X n bir popülasyondan olan rassal örnekleri temsil ediyor olsun  Bu gözlemlerin Örneklem Ortalaması değeri aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-5-18

19 Ortalamanın Standart Hatası  Aynı popülasyondan olan aynı örneklem büyüklüğündeki farklı örnekler farklı örneklem ortalamalarına yol açabilirler  Örneklemden örnekleme göre değişen ortalamanın değişkenliğinin bir ölçütü de Ortalamanın Standart Hatası ile verilmektedir  Ortalamanın standart hatasının, örneklem büyüklüğü arttıkça azaldığına dikkat ediniz Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-5-19

20 Eğer örneklem değerleri bağımsız değilse  Eğer örneklem büyüklüğü n, popülasyon büyüklüğü N’e göre küçük bir kesri temsil etmiyorsa, o halde bireysel örneklem üyeleri bir diğerinden bağımsız olarak dağılmamışlardır  O halde, gözlemler bağımsız olarak seçilmemişlerdir  Bunu hesaba katan bir düzeltme yapmak gerekir veya Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-5-20 (devam)

21 Eğer Popülasyon Normal ise  Eğer bir popülasyon μ ortalama ve σ standart sapma ile normal dağılıyorsa, örneklem dağılımı da ortalama ile normal olarak dağılmaktadır ve  Eğer örneklem büyüklüğü n popülasyon büyüklüğü N’e göre büyük değilse, o halde ve Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-5-21

22 Ortalamanın Örnekleme Dağılımı için Z-değeri  ‘in örnekleme dağılımı için Z-değeri: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER burada: = örneklem ortalaması = popülasyon ortalaması = ortalamanın standart hatası Bölüm-5-22

23 Örnekleme Dağılımının Özellikleri (yani yansız ise) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Normal Popülasyon Dağılımı Normal Örnekleme Dağılmı (aynı ortalamaya sahiptir Bölüm-5-23

24 Örnekleme Dağılımının Özellikleri  Yerine koyarak örnekleme için: n arttıkça, azalır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Büyük örneklem büyüklükleri Küçük örneklem büyüklüğü (devam) Bölüm-5-24

25 Eğer Popülasyon Normal dağılmamışsa  Merkezi Limit Teoremi uygulanabilir:  Popülasyon normal olmasa bile,  …popülasyondan olan örneklem ortalamaları, örneklem büyüklüğü yeterince büyük olduğu ölçüde yaklaşık olarak normal olacaktır. Örnekleme dağılımının özellikleri: ve Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-5-25

26 Merkezi Limit Teoremi Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER n↑n↑ Örneklem büyüklüğü yeterince büyük oldukça… Örnekleme dağılımı popülasyonun şekli ne olursa olsun neredeyse normale dönüşür Bölüm-5-26

27 Eğer Popülasyon Normal dağılmamışsa Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Popülasyon Dağılımı Örneklem Dağılımı (n arttıkça normale dönüşür) Merkezi Eğillim Varyasyon Büyük örneklem büyüklüğü Küçük örneklem büyüklüğü (devam) Örnekleme dağılımı özellikleri: Bölüm-5-27

28 Ne Kadar Büyük Olmalı?  Pek çok dağılım için, n > 25 neredeyse normal bir örnekleme dağılımı verecektir  Normal popülasyon dağılımları için, örnekleme dağılımları daima normal olarak dağılmıştır. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-5-28

29 Örnek  Ortalaması μ = 8 ve standart sapması σ = 3 olan bir büyük popülasyonu ele alınız. Büyüklüğü n = 36 olan rassal bir örneklemi ele alınız.  Örneklem ortalamasının 7,8 ile 8,2 arasında olma olasılığı nedir? Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-5-29

30 Örnek Çözüm:  Popülasyon normal olarak dağılmamışsa bile, merkezi limit teoremi kullanılabilmektedir (n > 25)  … yani örnekleme dağılımı yaklaşık olarak normaldir  … ortalaması = 8  …ve standart sapması Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER (devam) Bölüm-5-30

31 Örnek Çözüm (devam): Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER (devam) Z 7,8 8,2 -0,5 0,5 Örnekleme Dağılımı Standart Normal Dağılımı 0, ,1915 Popülasyon Dağılımı ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ÖrneklemStandardize et X Bölüm-5-31

32 Kabul Aralıkları  Amaç: Bir popülasyon ortalaması ve varyansı verilmişken örneklem ortalamalarının meydana gelmesinin muhtemele olacağı bir aralığı tespit ediniz  Merkezi Limit Teoremi ile, dağılımının eğer n yeterince büyükse μ ortalama ve ile yaklaşık olarak normaldir.  z α/2 normal dağılımda α/2 ‘lik bir alanı kaplayan z-değeri olsun (yani - z α/2 ‘den z α/2 ‘ye kadar 1 – α’lik bir olasılığa karşılık gelir)  O halde, X’i 1 – α olasılık ile kapsayan bir aralıktır. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-5-32

33 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Örnekleme Dağılımları Örneklem Ortalaması Örneklem Dağılımı Örneklem Orantısı Örneklem Dağılımı Örneklem Varyansı Örneklem Dağılımı Bölüm-5-33 Örneklem Orantısının Örnekleme Dağılımları

34 Örneklem Orantısı Örneklem Dağılımı P = aynı özelliklere sahip olan popülasyonun orantısı  Örnek orantısı ( ) P’nin bir tahmini verir:  0 ≤ ≤ 1  bir binom dağılıma sahiptir, fakat nP(1 – P) > 5 olduğunda bir normal dağılıma yaklaştırılabilirler Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-5-34

35 ’nin Örnekleme Dağılımı  Normale yaklaşma: Özellikler: ve Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER (burada P = popülasyon orantısı) Örnekleme Dağılımı 0,3 0,2 0, ,2 0,4 0,6 0,8 1 Bölüm-5-35

36 Orantılar için Z-Değerleri Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER ’yi aşağıdaki formül ile Z değerine standardize ediniz: Bölüm-5-36

37 Örnek  Halk oylaması A’yı destekleyen seçmenlerin orantısı P = 0,4 ise, büyüklüğü 200 olan bir örneklem için orantının 0,40 ile 0,45 arasında olma olasılığı nedir? Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER  yani: eğer P = 0,4 ve n = 200, ise P(0,40≤ ≤ 0,45) nedir? Bölüm-5-37

38 Örnek  eğer P = 0,4 ve n = 200, ise P(0,40≤ ≤ 0,45) nedir? Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER (devam) ‘yi bulunuz: Standart normale dönüştürünüz: Bölüm-5-38

39 Örnek  eğer P = 0,4 ve n = 200, ise P(0,40≤ ≤ 0,45) nedir? Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Z 0,451,44 0,4251 Standardize ediniz Örnekleme Dağılımı Standardize Normal Dağılım (devam) Standard normal tabloyu kullanınız : P(0 ≤ Z ≤ 1,44) = 0,4251 0,400 Bölüm-5-39

40 Örneklem Varyansı Örneklem Dağılımı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Örnekleme Dağılımları Örneklem Ortalaması Örneklem Dağılımı Örneklem Orantısı Örneklem Dağılımı Örneklem Varyansı Örneklem Dağılımı Bölüm-5-40

41 Örneklem Varyansı  x 1, x 2,..., x n bir popülasyondan rassal örneklem olsun. Örneklem varyansı aşağıdaki gibidir  örneklem varyansının kare kökü örneklem standart sapması olarak anılmaktadır.  örneklem varyansı aynı popülasyona ait olan farklı rassal örneklemler için farklı varyansa sahiptirler. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-5-41

42 Örneklem Varyanslarının Örnekleme Dağılımı  s 2 ’ in örnekleme dağılımı σ 2 ortalamasına sahiptir  Eğer popülasyon dağılımı normal ise, o halde has bir n – 1 serbestlik derecesi ile  2 dağılımına sahiptirler Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-5-42

43 Ki-kare Dağılımı  Ki-kare dağılımı serbestlik derecesine bağımlı olan bir dağılımlar ailesidir:  ν = n – 1   2 Tabloları ki-kare olasılıklarını içermektedir. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER ν = 1 ν = 5 ν = 15 22 22 22 Bölüm-5-43

44 Serbestlik Derecesi ( ν ) Fikir: Örneklem ortalaması hesaplandıktan sonra değişkenlik gösterebilme serbestliğine sahip olan gözlem sayısı Örnek: 3 sayının ortalamasının 8,0 olduğunu varsayınız X 1 = 7 X 2 = 8 ise X 3 nedir? Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Eğer bu üç değerin ortalaması 8,0 ise, X 3 9 olmalıdır (yani, X 3 değişkenlik gösterme serbestliğine sahip değildir Burada, n = 3, yani serbestlik derecesi = n – 1 = 3 – 1 = 2 (2 değer herhangi bir değer i almaktadır, fakat üçün değer verilen bir ortalama için değişebilme serbestliğine sahip değildir) Bölüm-5-44

45 Ki-kare Örnek  Bir ticari soğutucu imalatçısı sıcaklığı çok küçük bir varyasyonla muhafaza etmelidir. Şartnameye göre standart sapma 4 dereceden daha yüksek olmamalı (16 derece 2 ). Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER  14 soğutucudan oluşan bir örneklem test edilecektir  Popülasyon standart sapmasının 4’ü aşma olma olasılığı 0,05 ise örneklem varyansının üst limit olan (K) nedir? Bölüm-5-45

46 Ki-kare Değerinin Bulunması  Üst kuyrukta alanı 0,05 alanı olan ki-kare dağılımını kullanınız: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER olasılık α =0,05  2 13 22 = 22,36 = 22,36 (α = 0,05 and 14 – 1 = 13 ν.) serbestlik derecesi ile dağılmış olan ki- kare dağılımıdır Bölüm-5-46

47 Ki-kare Örnek Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER O halde: (devam)  2 13 = 22,36 (α = 0,05 ve 14 – 1 = 13 ν ) (burada n = 14) so Eğer n=14 örnekleminden olan s 2 27,52’den daha büyükse, popülasyon varyansının 16’yı aştığına dair güçlü bir kanıt mevcuttur. veya Bölüm-5-47


"Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER BİYOİSTATİSTİK-I (6BESYGS001) Bölüm 5 Örneklem ve Örneklem Dağılımları Bölüm-5-1." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları