Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

DOĞRUSAL PROGRAMLAMA 1 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "DOĞRUSAL PROGRAMLAMA 1 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol."— Sunum transkripti:

1 DOĞRUSAL PROGRAMLAMA 1 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

2 Doğrusal programlama belli bir amacı gerçekleştirmek için sınırlı kaynakların etkin kullanımını ve çeşitli seçenekler arasında en uygun dağılımı sağlayan matematiksel bir tekniktir. İkinci Dünya Savaşı yıllarında askeri problemleri çözmek amacıyla geliştirilen bu teknik daha sonra en uygun (optimal) kaynak dağılım problemlerinin çözümünde yaygın olarak kullanılmıştır. DOĞRUSAL PROGRAMLAMA

3 3 Hem amacın bir doğrusal eşitlik hem de bu amacın gerçekleşmesini kısıtlayan şartların doğrusal eşitlik ya da doğrusal eşitsizliklerle ifade edilebilmesidir. Doğrusal programlamanın temel varsayımı; Doğrusallık kavramı, doğrusal programlama probleminde yer alan değişkinler arasında sabit bir oransal ilişkinin olduğunu gösterir.

4 4 x y y = 3x x ile y arasında doğrusal bir ilişki vardır. (1,3) (3,9) (4,12) (2,6) (5,15)

5 5 (1,2) (2,5) (3,7) (4,6) (5,4) y = ?x x ile y arasında doğrusal bir ilişki yok. xy

6 Amaç fonksiyonu, matematiksel olarak formüle edilen ve ifade ettiği sayısal değerin en büyük ya da en küçük olarak gerçekleşmesini hedefleyen z = c 1 x 1 +c 2 x c n x n gibi bir doğrusal fonksiyondur. Bu fonksiyon şeklinde daha genel bir biçimde ifade edilebilir. ■ Amaç Fonksiyonu:

7 7 ■ Kısıtlılıklar: Bir doğrusal programlama probleminde amaç fonksiyonunun alabileceği değeri sınırlayan kısıtlılıklar ikiye ayrılır. 1. Kaynak Kısıtlılıkları; Bunlar temel sınırlılıklar olup probleme ilişkin mevcut kaynakları belirtirler. Bir problemde m tane kaynak kısıtlaması varsa bu kısıtlılıklar bir doğrusal eşitsizlik sistemi oluştururlar.

8 8 a 11 x 1 +a 12 x A 1n x n ≤ b 1 a 21 x 1 +a 22 x A 2n x n ≤ b a m1 x 1 +a m2 x a mn x n ≤ b m Bu eşitsizlik sistemleri; şeklinde daha genel biçimde ifade edilebilir. veya a 11 x 1 +a 12 x A 1n x n ≥ b 1 a 21 x 1 +a 22 x A 2n x n ≥ b a m1 x 1 +a m2 x a mn x n≥ b m veya 2. Negatif Olmama Kısıtlılığı; Doğrusal programlama problemlerinde yer alan değişkenler ( x i ler ) negatif değer alamazlar.

9 9 Doğrusal Eşitsizlik Sistemlerinin çözümü a 11 x 1 +a 12 x a 1n x n ≤ b 1 a 21 x 1 +a 22 x a 2n x n ≤ b a m1 x 1 +a m2 x a mn x n ≤ b m Şeklinde n tane bilinmeyeni m tane eşitsizliği olan sistemlere bir eşitsizlik sistemi denir. Bir eşitsizlik sisteminin çözümü diye her bir eşitsizliği sağlayan (x 1,x 2,…,x n ) n-lileri kümesine denir. İki bilinmeyenli bir eşitsizlik sisteminin çözümü bir düzlemsel bölgedir.

10 10 Teorem: Bir doğrusal programlama probleminde en iyi çözüm varsa, bu çözüm, çözüm bölgesinin köşe noktalarından birinde veya birkaçında ortaya çıkar. Çözüm bölgesi sınırlı ise amaç fonksiyonunun hem maksimum hem de minimum değeri vardır. Başka bir deyişle, en iyi çözüm vardır. Çözüm bölgesi sınırsız ve amaç fonksiyonunun katsayıları pozitif ise, amaç fonksiyonunun minimum değeri vardır; fakat maksimum değeri yoktur.

11 Problem: (Üretim Planlaması) Bir mobilyacı tanesini 200 TL karla sattığı küçük boy masa ile, tanesini 300 TL karla sattığı büyük boy masa üretmektedir. Bir küçük masa 3 saatlik doğrama işçiliği ve 2 kg boya gerektirirken bir adet büyük masa 4 saatlik doğrama işçiliği ve 1kg boya gerektirmektedir. Mobilya atölyesi doğrama işi için günlük en çok 96 saat çalışabilmekte ve günlük en çok 44 kg boya kullanabilmektedir. Mobilyacı karını maksimize edebilmek için günlük kaç tane küçük boy, kaç tane büyük boy masa üretmelidir?

12 12 Ayrıca üretilecek masa sayısı negatif olamayacağı için x ≥0 y ≥0 olmak zorundadır (negatif olmama kısıtlılığı). 3x+4y ≤ 96 Doğrama işi kısıtlılığı 2x+ y ≤ 44 Boya miktarı kısıtlılığı Kaynak kısıtlılığı DoğramaBoyaKar x için3 saat2 kg200 y için4 saat1 kg300 Kaynak kısıtlılığı96 saat44 kg Verilenleri bir tabloda özetleyelim. Küçük boy masalardan x, büyük boy masalardan y tane üretmek gereksin. Amaç fonksiyonumuz: Z max =200x+300y olur.

13 13 kısıtlamaları altında maksimize ediniz. “z max = 200x+300y fonksiyonunu 3x+4y ≤ 96 2x+ y ≤ 44 x ≥ 0 y ≥ 0 Amaç Fonksiyonu z max = 200x+300y 3x+4y ≤ 96 2x+ y ≤ 44 x≥0 y≥0 Negatif Olmama Kısıtlılıkları Karar Değişkenleri Kaynak Kısıtlılıkları olur Problemimiz;

14 14 3x+4y ≤ 96 2x+ y ≤ 44 x≥0 y≥0 2x+ y = 44 3x+4y =96 x y ÇÖZÜM BÖLGESİ Eşitsizlik sisteminin çözüm bölgesini bulalım. (16,12) x+4y =96 3x+4y=96 2x+ y =44 -8x-4y=-176 5x=80 x=16, y=12 K(16,12)

15 15 z max = =4400 TL (22,0) noktası için z max = =7200 TL (0,24) noktası için z max = =6800 TL (16,12) noktası için Çözüm Bölgesinin köşe noktaları için z = 200x+300y amaç fonksiyonunun aldığı değerleri bulalım. Firmanın en çok kar elde edebilmesi için küçük boy masalardan hiç üretmeyip büyük boy masalardan 24 adet üretip satması gerekir.

16 Problem: (Üretim Planlaması) Bir firma iki ayrı bantta A ve B türü telsizler üretmektedir. 1 adet A türü telsiz üretmek için 1. bantta 3, 2. bantta 5 saat, 1 adet B türü telsiz üretmek için 1. bantta 4, 2. bantta 3 saat süre gerekmektedir. Firmanın birinci bantta 61 ikinci bantta 65 saat iş kapasitesi vardır. Firma 1 adet A türü telsizden 300, 1 adet B türü telsizden 600 TL kar etmektedir. Ancak B türü telsizden 13 adetten fazla üretmek istememektedir. Bu kısıtlılıklar altında Firmanın maksimum kar edebilmesi için A ve B türü telsizlerden kaçar tane üretmelidir?

17 17 Çözüm: Firmanın maksimum kar etmesi için A türü telsizden x adet, B türü telsizden y adet üretmesi gereksin. Amaç fonksiyonu; z max = 300x + 600y 1. bant2.bantkar x için3 saat5 saat300 y için4 saat3 saat600 Kapasite61 saat65 saat 3x+4y ≤ 61 5x+3y ≤ 65 0≤ y ≤ 13 olur x ≥ 0 kısıtlılıklar ise

18 y 18 3x+4y = 61 5x+3y= 65 doğularının grafikleri; 5x+3y=65 3x+4y =61 y = 13 ÇÖZÜM BÖLGESİ 61/ /3 (7,10) 61/4 (3,13) x (0,0)

19 19 Çözüm bölgesinin köşe noktaları (15,0), (7,10), (3,13), (0,13) noktalarıdır. z max = 300x+600y kar fonksiyonunun bu noktalardan hangisinde maksimum değerini aldığını bulalım. z max = =4500 TL (15,0) noktası için z max = =8100 TL (7,10) noktası için z max = =8700 TL (3,13) noktası için z max = =7800 TL (0,13) noktası için Firmanın maksimum kar elde edebilmesi için 3 adet A türü, 13 adet B türü telsiz üretmesi gerekir. Bu durumda maksimum karı 8700 TL olur.

20 20 Bir fabrikada 2-kişilik ve 4-kişilik şişme botlar üretiliyor. Her bir 2-kişilik bot, kesim için 0.9 iş saati, dikim ve toplama için 0.8 iş saati ; her bir 4- kişilik bot, kesim için 1.8 iş saati, dikim ve toplama için 1.2 iş saati gerektiriyor. Aylık maksimum iş gücü, kesim bölümünde 864 iş saati, dikim ve toplama bölümünde 672 iş saatidir. Üretilen tüm botların satılacağına ve her bir 2-kişilik bottan 25 YTL, her bir 4-kişilik bottan 40 YTL kâr elde edileceğine göre, maksimum kâr için, her tür bottan kaç adet üretilmelidir? Problem: (Üretim Planlaması)

21 21 Gerekli İş GücüAylık İş Gücü 2 kişilik4 kişilik Kesim Bölümü0,91,8864 Dikiş Bölümü0,81,2672 Kar2540 İki kişilik bottan x, 4 kişilik bottan y adet üretilsin. Problemimiz; şeklini alır. fonksiyonunu Şartları altında maksimize ediniz. Z = 25x+40y YTL olur.

22 adet 2-kişilik, 240 adet 4-kişilik bot ile TL maksimum kâr elde edilir. KÖŞEP (0,0)0 (840,0)21000 (480, 240)21600 (0,480) ,8x 1 +1,2x 2 = 672 En iyi çözüm 0,9x 1 +1,8x 2 = 864 P(480,240)= = ,9x+1,8y = 864 0,8x+1,2y = 672 Doğrularını çizelim.

23 23 Bir imalatçı, A ve B türü olmak üzere iki tür çadır imal ediyor. Çadırlar, imalathanenin biçki bölümünde kesiliyor, dikiş bölümünde dikilip paketlenerek piyasaya veriliyor. A modeli çadırlardan her biri için biçki bölümünde 1 iş saati, dikiş bölümünde 3 iş saati, B modeli çadırlardan her biri için biçki bölümünde 2 iş saati, dikiş bölümünde 4 iş saati harcanıyor. Günlük toplam iş gücü, biçki bölümünde en çok 32 iş saati; dikiş bölümünde en çok 84 iş saatidir. A modeli çadırlardan her biri 50 TL, B modeli çadırlardan her biri de 80 TL kâr bıraktığına ve üretilen tüm çadırların satılacağı varsayıldığına göre, imalatçının günlük kârının maksimum olması için her tür çadırdan kaçar adet üretilmesi gerektiğini belirleyiniz. Problem: (Üretim Planlaması)

24 24 Verilenleri bir tabloda özetleyelim. Gereken İş Gücü Günlük İş Gücü A modeliB modeli Biçki Bölümü 1232 Dikiş Bölümü 3484 Çadır başı kâr 5080

25 25 A model çadırdan günde x adet, B model çadırdan y adet üretilsin. Bu durumda elde edilecek kâr: Problemimiz; fonksiyonunu kısıtlılıkları altında maksimize ediniz.” Z = 50x + 80y TL olur. olur

26 26 Amaç fonksiyonunun maksimum değerini çözüm bölgesinin hangi noktasında aldığını belirlemeliyiz. ÇÖZÜM BÖLGESİ

27 27 Çözüm bölgesinin köşe noktaları (28,0), (20,6), (0,16), noktalarıdır. z max = 50x+80y kar fonksiyonunun bu noktalardan hangisinde maksimum değerini aldığını bulalım. z max = =1400 TL (29,0) noktası için z max = = 1480 TL (20,6) noktası için z max = 80.16=1280 TL (0,16) noktası için Firmanın maksimum kar elde edebilmesi için 20 adet A türü, 6 adet B türü çadır üretmesi gerekir. Bu durumda maksimum karı 1480 TL olur.

28 28 1. Problem: (Üretim Planlaması) Bir mobilyacı tanesini 600 TL karla sattığı küçük boy masa ile, tanesini 750 TL karla sattığı büyük boy masa üretmektedir. Bir küçük masa 3 saatlik doğrama işçiliği ve 4 kg boya gerektirirken bir adet büyük boy masa 6 saatlik doğrama işçiliği ve 3 kg boya gerektirmektedir. Mobilya atölyesi doğrama işi için haftada en çok 108 saat çalışabilmekte ve haftada en çok 126 kg boya kullanabilmektedir. Mobilyacı karını maksimize edebilmek için haftada kaç tane küçük boy ve kaç tane büyük boy masa üretmelidir? ÖDEVLER

29 29 2. Problem: (Üretim Planlaması) Bir firma iki ayrı bantta A ve B türü telsizler üretmektedir. 1 adet A türü telsiz üretmek için 1. bantta 1, 2. bantta 3 saat, 1 adet B türü telsiz üretmek için 1. bantta 2, 2. bantta 4 saat süre gerekmektedir. Firmanın birinci bantta haftalık48 ikinci bantta 108 saat iş kapasitesi vardır. Firma 1 adet A türü telsizden 120, 1 adet B türü telsizden 175 TL kar etmektedir. Bu kısıtlılıklar altında Firmanın maksimum kar edebilmesi için A ve B türü telsizlerden haftada kaçar tane üretmesi gerekir?

30 30 Bir imalatçı, A ve B türü olmak üzere iki tür çadır imal ediyor. Çadırlar, imalathanenin biçki bölümünde kesiliyor, dikiş bölümünde dikilip paketlenerek piyasaya veriliyor. A modeli çadırlardan her biri için biçki bölümünde 3 iş saati, dikiş bölümünde 4 iş saati, B modeli çadırlardan her biri için biçki bölümünde 5 iş saati, dikiş bölümünde 3 iş saati harcanıyor. Günlük toplam iş gücü, biçki bölümünde en çok 135 iş saati; dikiş bölümünde en çok 114 iş saatidir. A modeli çadırlardan her biri 60 TL, B modeli çadırlardan her biri de 75 TL kâr bıraktığına ve üretilen tüm çadırların satılacağı varsayıldığına göre, imalatçının günlük kârının maksimum olması için her tür çadırdan kaçar adet üretilmesi gerektiğini belirleyiniz. 3. Problem: (Üretim Planlaması)


"DOĞRUSAL PROGRAMLAMA 1 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları