Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

7-MOMENT-TORK M.Feridun Dengizek. MOMENT-TORK Bir cisme ağırlık merkezinden geçmeyen bir kuvvet etki ederse o kuvvet o cismi ağırlık ekseni etrafında.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "7-MOMENT-TORK M.Feridun Dengizek. MOMENT-TORK Bir cisme ağırlık merkezinden geçmeyen bir kuvvet etki ederse o kuvvet o cismi ağırlık ekseni etrafında."— Sunum transkripti:

1 7-MOMENT-TORK M.Feridun Dengizek

2 MOMENT-TORK Bir cisme ağırlık merkezinden geçmeyen bir kuvvet etki ederse o kuvvet o cismi ağırlık ekseni etrafında döndürmeye çalışır. Bu etkiye Moment veya Tork denir. (Türkiye de genellikle bu etki yapı elemanları üzerinde ise Moment, makina elemanları üzerinde ise Tork olarak adlandırılır. Biz derslerimizde Moment terimini kullanacağız)

3 MOMENTİN BÜYÜKLÜĞÜ Moment esas olarak kuvvetin dönme eksenine olan dik mesafesi ile çarpımı olarak tanımlanır. Bkz şekil 1 Eğer kuvvet belli bir açı ile uygulanıyorsa Bkz. Şekil2 Eğer uygulanan kuvvet dönme noktasından geçiyorsa M= d*F*sin 0  M=0 Bkz Şekil 3 M=F*d F 7.1 M=F*d*sin F 7.2

4 MOMENTİN YÖNÜ Momentin yönü sağ el kuralı ile belirlenir. Sağ elin baş parmağı yukarıyı gösteriyor ve diğer parmaklar kapalı durumda iken, parmaklar kuvvetin yönünü, baş parmak ise momentin yönünü gösterir. Bkz. Şekil 4 Diğer bir tanım; İki boyutlu bir düzlemde kuvvet cismi saat yelkovanı istikametinin tersi yönünde döndürmeye çalışıyorsa moment iki boyutlu düzleme bakana (dışa) doğru olur. Bkz şekil 5 İki boyutlu düzlemde momentin yönü dışa doğru ise yuvarlak içinde nokta, içe doğru ise yuvarlak içinde X olarak da gösterilir. Bkz şekil 6 İki boyutlu düzlemde saat yelkovanının tersi yönde döndürmeye çalışan momentler pozitif (+) Saat yelkovanı yönünde döndürmeye çalışan momentler ise negatif (-) kabul edilir. (-) Moment(+) Moment

5 ÖRNEK PROBLEM 7.1 Yandaki elemanlarda ortaya çıkacak moment büyüklüklerini bulunuz. Şekil 6  M= -0.75*50N  M= N-m Şekil 6 Şekil 8 Şekil 7 Şekil 8  M= 1*sin45*60  M= 42.4 kN-m Şekil 7  M= 7*(4-1)  M= 21 kN-m

6 ÖRNEK PROBLEM 7.2 Yandaki borunun duvardan çıktığı O noktasında 50N kuvvetin etkisi ile meydana çıkacak moment büyüklüğünü bulunuz. ÇÖZÜM 7.2 Bu problemin çözümü için gerekli bilgi mühendislik mekaniğinden çok geometridir Önce O noktasından kuvvet doğrultusuna dik mesafe d bulunmalıdır. d=y*sin60 y=u-v u= *cos = mm v = 200*sin45 / tan60 =81.65 mm  y= =259.7 mm  d=259.7*sin60  d=224.9 mm=0.225m M=F*d  M=50*(-0.225)  M=-11.25N-m Kuvvet boruyu O noktası etrafında saat yelkovanı yönünde döndürmeye çalıştığı için moment negatif değer alır Şekil 9 Şekil 10

7 MOMENTLERİN TOPLANMASI Düzlemsel planda aynı eksen etrafında etkin momentler cebirsel olarak toplanabilirler. ΣM o =ΣFd Yandaki şekil için ΣM o = - F 1 d 1 + F 2 d 2 +F 3 d 3 Toplama işleminin sonucu pozitif çıkarsa toplam moment saat yelkovanı istikametinin tersi yönünde, negatif çıkarsa moment saat yelkovanı yönünde etkin demektir. Şekil 11

8 ÖRNEK PROBLEM 7.3 Yandaki borunun duvardan çıktığı O noktasında yandaki şekilde belirtilen kuvvetlerinin etkisi ile meydana çıkacak moment büyüklüğünü bulunuz. ÇÖZÜM 7.2 O noktasına her kuvvet doğrultusuna dik mesafeler bulunmalı ve kuvvetler ile çarpımları toplanmalıdır ΣM=ΣF*d  ΣM=500*( *cos45)-(300*(2.5*sin45)-(600*1)  ΣM= N-m Şekil 12

9 VEKTÖRLERİN ÇAPRAZ ÇARPIMI (CROSS PRODUCT) Konum vektörleri konusunu işlerken vektörlerin nokta çapımını anlatmıştık. Nokta çarpımında iki vektörün çarpılması ile skalar bir büyüklük elde edildiğini görmüştük. Bu derste ise vektörlerin çapraz çarpımı ile nasıl bir başka vektörel değer elde edildiğini anlatacağız. Çapraz vektör çarpımında çıkan vektörün büyüklüğü her iki vektörün skalar büyüklüklerinin aradaki açının sinüsü ile çarpımı kadar, yönü ise sağ el kuralına uygun olarak iki vektörün aralarında oluşturduğu düzleme dik olan ve kesiştikleri noktadan başlayan birim vektör doğrultusundadır. F 7.3 F 7.4 Şekil 13

10 ÇAPRAZ ÇARPIM KANUNLARI Çapraz çarpım kanunlarının nokta çarpım kanunlarından en önemli farkı çapraz çarpımın değişme özelliğinin bulunmamasıdır. ÇAPRAZ ÇARPIM KANUNLARI Değişme özelliği  AXB= - BXA Çarpma özelliği  a(AXB)= (a*A)XB = AX(a*B) = (AXB)*a Dağıtım özelliği  AX(B+C)= (AXB)+(AXC) Yandaki resimde görüldüğü gibi A vektörü B vektörü ile çapraz çarpıldığında C vektörünün yönü yukarı doğru olurken, B vektörü A ile çarpılırsa C vektörünün yönü ters tarafa doğru gerçekleşir. Şekil 14

11 KARTEZYEN VEKTOR FORMÜLASYONU Kartezyen vektör formülleri yukarıdaki tanımın sağ el kuralına göre çapraz çarpımı ile elde edilebilir. i x j = k j x i = -k j x k = i k x j = -i k x i = j i x k = -j Aynı yöndeki vektörlerin çapraz çarpımı ise her zaman sıfırdır. i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0 =90 0  Sin90=1 Şekil 15 DİKKAT: Vektörlerin nokta çapımında ise aynı notasyonlu vektörler çarpımı 1 diğerleri ise sıfırdır

12  C=(A x i +A y j + A z k) X (B x i + B y j +B z k)  C= (A x i B x i +A x i B y j +A x i B z k ) + (A y j B x i + A y j B y j + A y j B z k) + (A z k B x i +A z k B y j +A z k B z k)  C= A x B x (ixi) + A x B y (ixj) + A x B z (ixk) + A y B x (jxi) + A y B y (jxj) + A y B z (jxk) + A z B x (kxi) + A z B y (kxj) + A z B z (kxk) Bir önceki slaytta belirtilen kartezyen vektör çapraz çarpım kurallarını uygularsak  C= A x B x (0) + A x B y (k) + A x B z (-j) + A y B x (-k) + A y B y (0) + A y B z (i) + A z B x (j) + A z B y (-i) + A z B z (0)  C=i(A y B z -A z B y ) + j(A z B x - A x B z ) + k(A x B y - A y B x ) y eksenindeki (j notasyonlu) terimlerin yerini değiştirirsek  C=AXB= i(A y B z -A z B y ) - j(A x B z - A z B x ) + k(A x B y - A y B x ) F 7.5

13 HATIRLATMA Bu noktada Matrixlerin determinantını bulmayı hatırlayalım 3X3 lik bir matrix determinantı

14 3X3 lik matrix determinantı F 7.5 de bulmuş olduğumuz. C=AXB= i(A y B z -A z B y ) - j(A x B z - A z B x ) + k(A x B y - A y B x ) Böylece iki vektörün çapraz çarpımının daha kolay algılanabilir olmasını sağlamak için determinant form kullanılmaktadır. Çapraz çarpım vektörünü ifade için uygundur. F 7.6

15 VEKTÖRLERİN ÇAPRAZ ÇARPIMININ MOMENT BULUNMASI İÇİN UYGULANMASI Moment büyüklüğünün kuvvet ile kuvvete dik uzaklığın çarpımı, yönünün ise sağ el kuralına göre saat yelkovanı yönünün tersi yön için pozitif yön olarak değerlendirildiğinden bahsetmiştik. M=F*r*sin= F*d Eğer r vektörü moment eksenine dik bir düzlemde değil ise böyle problemlerin çözümünde çapraz çarpım uygulanmalıdır. AKTARILMA PRENSİBİ Bir eksen etrafında etkin kuvvetin eksene uzaklığı birden fazla gözükebilir. Bkz. Yan şekil. Ancak O eksenine dik bir düzlemde bu uzaklıkların dikey bileşenleri aynı olduğundan Moment sabit kalır. Böylece M o = r 1 *F = r 2 *F= r 3 *F Bu özelliğe bir kuvvetin aktarılma prensibi denilir

16 VEKTÖRLERİN ÇAPRAZ ÇARPIMININ MOMENT BULUNMASI İÇİN UYGULANMASI Üç boyutlu düzlemde etkin kuvvet vektörü F ile kuvvet kolu vektörü r değerlerinin (Bkz şekil 16) çapraz çarpım yolu ile bu iki vektörün oluşturduğu düzleme dik olan O ekseni etrafında oluşan momentin bulunması için önce r ve F vektörleri kartezyen bileşenlerine ayrılmalıdır. (Bkz. Şekil 17) Sonra matrix formatında yerleştirilerek determinant formatından yararlanılarak Moment bulunur Şekil 16 Şekil 17 F 7.6 F 7.5 Şekil 18 Eğer bir nokta etrafında birden fazla kuvvet ve kuvvet kolu etkin ise (Bkz şekil 18) toplam moment M o =Σ(rXF) olur F 7.7

17 ÖRNEK PROBLEM 7.4 Yandaki borunun duvardan çıktığı O noktasında yandaki şekilde belirtilen kuvvetin etkisi ile meydana çıkacak moment büyüklüğünü bulunuz. ÇÖZÜM 7.4 Önce kuvvet kartezyen koordinatlarda yazılmalıdır. O(0,0,0) A(1,4,0) B(1,4,2) C(5,0,0) Şekil 19

18 ÇÖZÜM 7.4 Devamı Şekil 19 Aynı problemi r B üzerinden çözersek Aynı sonuca ulaşılır

19 ÖRNEK PROBLEM 7.5 F 1 =(100i-120j+75k)lb F 2 =(-200i +250j+100k)lb Olarak verilmiş sistemde borunun duvardan çıktığı O noktasında yandaki şekilde belirtilen kuvvetlerin etkisi ile meydana çıkacak moment büyüklüğünü bulunuz. ÇÖZÜM 7.5 Şekil 20 Önce kuvvetlerin etki ettiği noktanın konum vektörü yazılır Kuvvetler aynı noktadan etki ettiği için kuvvetler toplanarak tek bir kuvvete dönüştürülür

20 VARIGNON PRENSİBİ Daha önce düzlemsel vektörlerde moment büyüklüğünün (M) kuvvet (F)X kuvvet doğrultusuna dik mesafenin (d) çarpımı olduğunu görmüştük. (Bkz. Şekil 21) M=F*d Waringon isimli fizikçi göstermişdir ki bu aynı zamanda kuvvetin dik bileşenlerinin x ve y eksenlerine olan uzaklıkları çarpımlarının farkına eşittir. F 7.8 Bu formülasyon ile kuvvet doğrultusuna dik mesafenin belirlenmesi zorluğu ortadan kalktığı için M=F*d yerine kullanılabilir

21 PROBLEM 7.2 NİN WARIGNON METODUNA GÖRE ÇÖZÜMÜ Warignon metoduna göre kuvvete dik mesafenin bulunmasına gerek yoktur F x =F*cos  F x = 50*cos60  F x =25N F y =F*sin  F y = 50*sin60  F y =43.3N X= *Cos  x= mm Y=200*sin45  mm M=25* *  M= -11,250 N-mm  M= N-m


"7-MOMENT-TORK M.Feridun Dengizek. MOMENT-TORK Bir cisme ağırlık merkezinden geçmeyen bir kuvvet etki ederse o kuvvet o cismi ağırlık ekseni etrafında." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları