Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

İSTATİSTİK VE OLASILIK I Öğr. Gör. Berk Ayvaz İTİCÜ Mühendislik ve Tasarım Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü 4. Hafta: Çarpıklık ve Basıklık 2013.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "İSTATİSTİK VE OLASILIK I Öğr. Gör. Berk Ayvaz İTİCÜ Mühendislik ve Tasarım Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü 4. Hafta: Çarpıklık ve Basıklık 2013."— Sunum transkripti:

1 İSTATİSTİK VE OLASILIK I Öğr. Gör. Berk Ayvaz İTİCÜ Mühendislik ve Tasarım Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü 4. Hafta: Çarpıklık ve Basıklık 2013

2  Moment bir serideki gözlem değerlerinin sıfırdan veya aritmetik ortalamadan farklarının kuvvetlerinin aritmetik ortalamasıdır.  Bu ölçüler serinin frekans dağılımının şeklinin belirlenmesinde kullanılan ölçülerdir.  Bir serideki gözlem değerlerinin sıfırdan çeşitli derecelerdeki farklarının ortalamasına sıfıra göre moment adı verilir.  Sıfıra göre moment “M r “ şeklinde yazılır.  Burada “r” momentin derecesi olup, fark alma işleminin derecesini gösterir.  Buna göre sıfıra göre momentler şöyle formüle edilir. Momentler

3  Sıfır etrafındaki 1. moment aritmetik ortalamaya eşittir.  Sıfıra göre momentleri kullanarak çarpıklık ve basıklık ölçüsünü elde etmek mümkün değildir.  Çarpıklık ve basıklık ölçüleri aritmetik ortalamaya göre momentler yardımı ile elde edilebilir.  Ancak sıfıra göre momentler kullanılarak aritmetik ortalamaya göre momentler elde edilebilir.

4 Momentler  Aritmetik ortalama etrafındaki 1. moment 0 ’a eşittir.  Aritmetik ortalama etrafındaki 2. moment ise varyansı verir. Serideki gözlem değerlerinin aritmetik ortalamalardan çeşitli derecelerdeki farklarının ortalamalarına aritmetik ortalamaya göre momentler adı verilir. Aritmetik ortalamaya göre momentler “  r ” şeklinde gösterilir. Burada “r” momentin derecesi olup 1,2,3,4 değerlerini alır.

5  Sıfır etrafındaki momentler bilindiğinde aritmetik ortalama etrafındaki momentler kolayca hesaplanabilir.  König teoremi iki moment türü arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi açıklamaktadır. Momentler

6  Yandaki basit serinin; a) Sıfır etrafındaki 2. ve 3. momentini, b) Aritmetik ortalama etrafındaki 2. ve 3. momentini, c) Sıfır etrafındaki momentler yardımıyla aritmetik ortalama etrafındaki 2. ve 3. momentlerini bulunuz. Örnek 1 X

7 a) Sıfır etrafındaki 2. ve 3. momenti: Çözüm 1 X

8 b) Aritmetik ortalama etrafındaki 2. ve 3. momenti: Çözüm 1 X

9 Çözüm 1 c)Sıfır etrafındaki momentler yardımıyla aritmetik ortalama etrafındaki 2. ve 3. momentler

10 Çalışma Sorusu 1  Yandaki gruplandırılmış serinin; a) Sıfır etrafındaki 2. ve 3. momentini, b) Aritmetik ortalama etrafındaki 2. ve 3. momentini, c) Sıfır etrafındaki momentler yardımıyla aritmetik ortalama etrafındaki 2. ve 3. momentlerini bulunuz. Gruplarf

11  Çarpıklık ve basıklık ölçüleri bir serideki gözlem değerlerinin dağılımının şeklini ortaya koyan ölçülerdir.  Bu ölçüler yorumlanırken normal dağılım özellikleri dikkate alınır. Normal dağılım eğrisi simetrik ve normal bir basıklığa sahiptir.  Çarpıklık ölçüsü serinin frekans dağılımının simetrik dağılımdan uzaklaşma derecesini gösterirken, basıklık ölçüsü verilerin normal dağılıma göre ortalama etrafında ne kadar yoğun bir şekilde dağıldığını gösteren ölçülerdir.  Bir başka ifade ile, çarpıklık ölçüsünün işaret büyüklüğü verinin çarpıklığının yön ve şiddetini gösterirken, basıklık ölçüsünün büyüklüğü verilerin ortalama civarında aşırı yoğunlaştığına, küçüklüğü ise verilerin ortalamaya etrafında fazla dağınık olduğuna işaret etmektedir. Çarpıklık ve basıklık ölçüleri

12  Bir serinin simetriden ayrılmasına çarpıklık denir.  Çarpıklık, bir dağılımın ortalaması etrafındaki asimetri derecesini belirtir.  Simetrik dağılım gösteren serilerde merkezi eğilim ölçüleri, dağılımın tam ortasında yer alır.  Bir başka ifadeyle, serideki rakamların %50 ‘si merkezi eğilim ölçüsünden büyük, kalan yarısı ise küçüktür.  Bununla beraber rakamların dağılımı her zaman simetrik olmaz.  Uygulamada sağa ya da sola çarpık serilerle sık sık karşılaşılmaktadır.  Serideki asimetriyi çarpıklık katsayılarına bakarak anlayabiliriz.  Çarpıklık katsayısı 0 olan seri simetrik seridir.  Çarpıklık katsayısı negatif olduğunda seri sola çarpık, pozitif olduğunda seri sağa çarpık demektir. Çarpıklık

13 1-Pearson Çarpıklık Katsayıları  Sağa çarpık bir seride:  Sola çarpık bir seride: Aritmetik Ortalama < Medyan < Mod 5 Mod < Medyan < Aritmetik Ortalama Mod = Medyan = Aritmetik Ortalama

14 1- Pearson Çarpıklık Katsayıları S: standart sapma

15  Aşağıdaki gruplandırılmış serinin medyana ve moda dayalı Pearson çarpıklığını bulunuz. Örnek 2 Gruplarfk.f

16  Medyana dayalı çarpıklık hakkında karar verebilmek için aritmetik ortalama ve standart sapmayı da bulmamız gereklidir. Çözüm 2

17  Moda dayalı çarpıklık: Çözüm2

18 A marka ampüller için yapılan ömür testinde, 150 ampülden tesadüfen seçilmiş ve saat cinsinden ömürleri aşağıda verilmiştir. Pearson asimetri ölçülerini bulup sonucu yorumlayınız. Örnek 3 Ömür (saat)Ampül sayısı

19  Pearson asimetri ölçülerini elde edilebilmesi için serinin aritmetik ortalaması, standart sapması, mod ve medyanının bilinmesi gerekir. Çözüm 3 Ömür (saat) Ampül sayısı mimi fimifimi fimi2fimi Toplam

20 Çözüm 3

21  Herhangi bir dağılıma ait kartil değerleriyle de söz konusu dağılımın asimetrisi hakkında fikir sahibi olunabilir.  Kartillerden yararlanmak suretiyle belli bir dağılımın çarpıklığı Bowley tarafından geliştirilen formülle hesaplanır: 2-Kartil Çarpıklık Katsayısı

22 X marka piller için yapılan ömür testinde, 150 pil tesadüfen seçilmiş ve saat cinsinden ömürleri aşağıda verilmiştir. Pillerin ömür deneyi örneği için Bowley asimetri ölçüsünü bularak sonucu yorumlayınız Örnek 4 Ömür (saat)Pil sayısı

23 Çözüm 4

24 3- Moment Çarpıklık Katsayısı

25  Basıklık bir dağılımın diklik derecesinin ölçüsüdür.  Bu konuda kullanılan en yaygın ölçü, moment basıklık katsayısıdır.  Moment basıklık katsayısı, ortalama etrafındaki 4. momentin standart sapmanın 4. kuvvetine bölünmesiyle elde edilir. Basıklık  Dağılımın normale göre daha basık olması, dağılımın değişkenliğinin fazla olduğunu gösterir.  Dağılımın normale göre daha dik olması, serideki rakamların merkezi eğiliminin yüksek olduğunu gösterir.

26 X Yandaki serinin basıklık durumunu irdeleyiniz. Örnek 5

27 X Çözüm 5 Seri normale göre basıktır.

28 X marka piller için yapılan ömür testinde, 150 pil tesadüfen seçilmiş ve saat cinsinden ömürleri aşağıda verilmiştir. a-) Sıfıra göre momentleri bulunuz. b-) Aritmetik ortalamaya göre momenti hesaplayınız. c-)  3 asimetri ölçüsünü bularak yorumlayınız. d-)  4 basıklık ölçüsünü bularak yorumlayınız. Örnek 6 Ömür (saat)Pil sayısı

29 Ömür (x10) fifi XiXi fiXifiXi fiXi2fiXi2 fiXi3fiXi3 fiXi4fiXi4 10– – – – – Toplam Çözüm 6

30

31

32

33  Bir sektördeki işletmeler büyüklülerine göre incelendiğinde, KOBİ tarzındaki işletme sayısının varyansı 6.219, aritmetik ortalamaya göre KOBİ tarzındaki işletme sayısının 3. dereceden momenti ise olarak hesaplanmıştır.  Çarpıklık moment katsayısıyla, KOBİ tarzındaki işletme sayısının çarpıklığını yorumlayınız. Örnek 7

34 Çözüm 7

35 Aşağıda GM firmasında meydana gelen hatalı kaparto üretim miktarlarının günlere göre dağılımı verilmiştir. Bu veriler göre serinin; a) Sıfıra ve aritmetik ortalamaya göre momentleri bulunuz. b) Asimetri ölçüsünü bulunuz. c) Basıklık ölçüsünü bulup yorumlayınız. Örnek 8

36 Çözüm 8

37  a) Sıfıra göre momentler: Sıfıra göre 4 moment şöyle olur. Çözüm 8

38

39

40

41


"İSTATİSTİK VE OLASILIK I Öğr. Gör. Berk Ayvaz İTİCÜ Mühendislik ve Tasarım Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü 4. Hafta: Çarpıklık ve Basıklık 2013." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları