Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

İSTATİSTİK VE OLASILIK I Öğr. Gör. Berk Ayvaz İTİCÜ Mühendislik ve Tasarım Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü 3. Hafta: Dağılma Ölçüleri 2013.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "İSTATİSTİK VE OLASILIK I Öğr. Gör. Berk Ayvaz İTİCÜ Mühendislik ve Tasarım Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü 3. Hafta: Dağılma Ölçüleri 2013."— Sunum transkripti:

1 İSTATİSTİK VE OLASILIK I Öğr. Gör. Berk Ayvaz İTİCÜ Mühendislik ve Tasarım Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü 3. Hafta: Dağılma Ölçüleri 2013

2  Uygulamada bir serinin tasvir edilmesinde sadece yer ölçüleri yeterli gelmez.  Serideki birimlerin merkezi eğilim etrafındaki dağılma durumunu da ortaya koymak gerekir.  Mesela ortalamaları eşit iki seri düşünelim. Bu serilerin hangisinde, birimlerin ortalama etrafında daha sık, hangisinde daha seyrek biçimde dağıldığını bilmek isteriz.  Çünkü birimleri ortalama değer etrafında daha sık dağılan serilerde ortalama değeri seriyi yüksek temsil gücüne sahiptir.  Bu durumun tespiti için dağılma ölçülerine ihtiyaç vardır.  Dağılma ölçüleri serideki bir kısım rakamlar üzerinden hesaplanan (parametrik olmayan) ve serideki tüm rakamlar üzerinden hesaplanan (parametrik) olmak üzere ikiye ayırmak mümkündür. Dağılma Ölçüleri

3 o Değişim aralığı o Kartil aralığı o Yarı kartil aralığı o Desil aralığı o Yarı desil aralığı o Ortalama sapma o Varyans o Standart sapma o Değişim katsayısı

4 1- Değişim Aralığı  Basit bir seride en büyük sayıdan en küçük sayının çıkartılması ile elde edilir.  Gruplandırılmış serilerde ise en yüksek sınıfın üst sınırından en düşük sınıfın alt sınırı çıkartılarak elde edilir.  Değişim aralığı serinin değişkenliği hakkında zaman kaybetmeden genel bir bilgi sağlar.  En büyük dezavantajı serideki bütün birimlerin hesaplamaya girmeyip, sadece iki değerle neticeye ulaşılmasıdır. Bundan dolayı değişim arağılı aşırı değerlerin direkt etkisi altındadır.

5 Örnek 1 X 10 12 18 20 Xf 41 52 74 93 Basit Seride: Sınıflandırılmış Seride:

6 Örnek 2 Gruplarf 2-42 5-713 8-104 11-131

7 Çözüm 2 Gruplarf 2-42 5-713 8-104 11-131

8 Sınıflar Xf ( Frekans) 4-81 8-122 12-161 16-202 20-241 24-282 28-322 32-361 36-402 Verilen sınıflandırılmış serinin değişim aralığı nedir ? Örnek 3 D.A = 40 – 4 = 36’dır.

9  Üçüncü kartilden birinci kartilin çıkarılmasıyla elde edilir.  Serinin üst ve alt kısımlarındaki %25’lik değerler dikkate alınmadığı için uç değerlerden daha az etkilenir. 2- Kartil Aralığı  Kartil aralığı ikiye bölünmek suretiyle yarı kartil aralığı bulunur.

10  Gruplandırılmış serinin kartil ve yarı kartil aralıklarını bulunuz. Örnek 4 Gruplarfk.f 1-311 3-523 5-747 7-9310

11  Gruplandırılmış serinin kartil ve yarı kartil aralıklarını bulunuz. Çözüm 4 Gruplarfk.f 1-311 3-523 5-747 7-9310 Hatırlatma

12  Bilindiği üzere kartil aralığı en büyük ve en küçük %25 ‘lik dilimlerdeki değerleri dikkate almamaktadır.  Bundan dolayı bazı istatistikçiler bu dilimlerdeki rakamların dikkate alınmamasının hatalı sonuçlar doğurabileceğini söylemişlerdir.  Desil aralığı en büyük desilden en küçük desilin çıkarılması ile elde edilir.  Bu şekilde en büyük ve en küçük %10 ‘luk dilimdeki değerler dikkate alınmamış olur. 3- Desil Aralığı  Desil aralığı ikiye bölünmek suretiyle yarı desil aralığı bulunur.

13  Gruplandırılmış seride desil aralığını hesaplayınız. Örnek 5 Gruplarfk.f 1-311 3-523 5-747 7-9310

14  Gruplandırılmış seride desil aralığını hesaplayınız. Çözüm 5 Gruplarfk.f 1-311 3-523 5-747 7-9310 Hatırlatma

15  Parametrik olmayan dağılma ölçülerinin en büyük dezavanatjı serideki tüm birimleri dikkate almamasıdır.  Bu dezavantaj parametrik dağılma ölçüleri ile bertaraf edilmektedir.  Bu ölçülerin tümü serideki rakamların aritmetik ortalamadan sapmalarını dikkate alır. Parametrik Dağılma Ölçüleri

16  Serideki rakamların aritmetik ortalamadan farklarının toplamı sıfırdır.  Elde edilen farkların bir kısmı negatif, bir kısmı pozitif değer taşır. Toplandığında sıfıra eşit olurlar.  Bu farkların mutlak değerlerinin toplamı rakam sayısına bölündüğünde ortalama sapma değeri bulunur. 1- Ortalama Sapma

17 X 10 12 18 20 Örnek 6 Yandaki serinin ortalama sapma değerini hesaplayınız.

18 X 10 12 18 20 Çözüm 6 X 10-55 12-33 1833 2055 Yandaki serinin ortalama sapma değerini hesaplayınız.

19  Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış seride Ortalama sapma değerini bulunuz. Örnek 7 Gruplarf 1-31 3-52 5-74 7-93

20  Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış seride Ortalama sapma değerini bulunuz. Çözüm 7 Gruplarf 1-31 3-52 5-74 7-93  Öncelikle sınıf sınırlarından sınıf değerleri hesaplanır. XffX 212-3,83,8 428-1,81,83,6 64240,2 0,8 83242,2 6,6

21 Sınıflar Xf ( Frekans) 0-41 4-82 8-122 12-161 16-202 20-242 Verilen sınıflandırılmış serinin ortalama sapmasını bulunuz ? Örnek 8

22 Sınıflar Xf ( Frekans)XiXi f. X i X i – X│ X i – X │f.│X i – X │ 0-4 122-1111 4-8 2612-77 14 8-12 21020-33 6 12-16 114 11 1 16-20 2183655 10 20-24 2224499 18 N = 10 T =128 Topl = 60 Çözüm 8

23  Ortalamadan sapmaların karelerinin toplamının serideki birim sayısına bölünmesi ile elde edilir. 2- Varyans  Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış serilerde varyans aşağıdaki şekilde hesaplanır. Örneklemdeki eleman sayısı büyük ise n-1 yerine n alınabilir.

24 Örnek 9 X 10 12 16 18 Yandaki serinin varyansını hesaplayınız.

25 X 10-525 12-39 1639 18525 Çözüm 9 X 10 12 16 18 Yandaki serinin varyansını hesaplayınız.

26  Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış seride varyans değerini bulunuz. Örnek 10 Gruplarf 1-31 3-52 5-74 7-93

27  Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış seride varyans değerini bulunuz. Çözüm 10 XffX 212-3,814,44 428-1,83,246,48 64240,20,040,16 83242,24,8414,52 Gruplarf 1-31 3-52 5-74 7-93

28 3- Standart Sapma Basit seriler için Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış seriler için

29  Gerek standart sapma gerekse dağılma ölçüleri ölçü biriminden bağımsız değildir.  Bundan dolayı aynı seri farklı ölçü birimleriyle ifade edildiğinde değişik standart sapma değerleri elde edileceği gibi, farklı ölçü birimleriyle ifade edilmiş iki ayrı serinin mukayesesi de yanıltıcı sonuçlar verecektir.  İşte diğer dağılım ölçülerinin bu dezavantajını gidermek için değişim katsayısı geliştirilmiştir.  Bu katsayıda mutlak yerine nisbi dağılma esas alınmıştır.  Yani, değişim katsayısında standart sapma aritmetik ortalamanın yüzdesi olarak ifade edilir. 4- Değişim Katsayısı

30  Ortalaması 15 ve standart sapması 4,76 olan serinin değişim katsayısını bulunuz. Örnek 11 a

31  Bir işletmenin yaptığı üretim belirli bir zaman diliminde ölçülmüş ve aşağıdaki veriler elde edilmiştir. Örnek 11 b 1159411010392104114106100102100959711398 10199103931079611311010810211490100103114 11110599102989793919911410810310098101 104110114113109108106115103111109112104 102 107106119105969496101 10610710511311299 a)Dağılım aralığı ?

32 Sınıflar Frekans 90-923 93-955 96-98 8 99-101 12 102-104 14 105-107 11 108-110 9 111-113 8 114-116 5 Yukarıdaki değerlere göre; a)Aritmetik ortalamayı, b)Ortancayı, c) Standart sapmayı, d) Standart hatayı bulunuz Örnek 12

33 Çözüm 12

34 Sınıflar Xf ( Frekans) 0-42 4-82 8-122 12-162 16-202 20-241 24-282 28-323 32-362 36-402 Verilen sınıflandırılmış serinin varyans ve standart sapmasını bulunuz ? Örnek 13

35 Sınıflar Xf ( Frekans)XiXi f. X i X i – X( X i – X ) 2 f. (X i – X ) 2 0-4224-18324648 4-82612-14196292 8-1221020-10100200 12-1621428-63672 16-2021836-248 20-24122 244 24-282265263672 28-3233090864300 32-362346814196392 36-402387618324648 N = 20 T =408 Topl = 2736 Çözüm 13

36 8 öğrenciden oluşan bir grup lise 1 öğrencisi yabancı dil eğitimi için yurt dışına gönderilmiş, döndüklerinde sınava tabi tutulmuşlardır. Aldıkları puanlar aşağıda verilmiştir. Öğrencilerin aldıkları puanlara ilişkin varyansı ve standart sapmayı hesaplayınız. Örnek 14

37 Çözüm 14

38 Örnek 15

39 Çözüm 15

40 Örnek 16

41 Çözüm 16


"İSTATİSTİK VE OLASILIK I Öğr. Gör. Berk Ayvaz İTİCÜ Mühendislik ve Tasarım Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü 3. Hafta: Dağılma Ölçüleri 2013." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları