Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

POLİNOMLAR. BİLGİLER 1) x değişkenine bağlı üsleri doğal sayı katsayıları reel sayı olan ifadelere reel katsayılı polinom denir. P(x), Q(x), B(x) … lerle.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "POLİNOMLAR. BİLGİLER 1) x değişkenine bağlı üsleri doğal sayı katsayıları reel sayı olan ifadelere reel katsayılı polinom denir. P(x), Q(x), B(x) … lerle."— Sunum transkripti:

1 POLİNOMLAR

2 BİLGİLER 1) x değişkenine bağlı üsleri doğal sayı katsayıları reel sayı olan ifadelere reel katsayılı polinom denir. P(x), Q(x), B(x) … lerle gösterilirler. ÖRNEK: Aşağıdakilerden hangileri polinomdur. 2x 4 + 6x 3 Üsler doğal sayıdır Katsayılar reel sayıdır. POLİNOMDUR. 5 = 5.x 0 Üs doğal sayı Katsayı reel sayı. POLİNOMDUR. 0 =0.x 1 = 0.x 2 = ….. Üsler doğal sayıdır Katsayı reel sayı. POLİNOMDUR. P(x) = 0 SIFIR POLİNOMUDUR. P(x) = a Reel sayı SABİT POLİNOMDUR. Dağal sayı değil. POLİNOM DEĞİL 2.x -1 Doğal sayı değildir. POLİNOM DEĞİL Reel sayı değil. POLİNOM DEĞİL DİKKAT: P(x) = 3x 4 – 8x 3 + 9x 2 + x x 0 Üstlere terimlerin derecesi denir. En büyük üsse Polinomun derecesi denir. d[P(x)] = 4 yada derP(x) = 4 şeklinde ifade edilir. Polinomun katsayıları denir. En büyük üslünün katsayısına Baş katsayı denir. ÖRNEKLER: 3x 5 + 5x 3 – 7x DERECESİ = 5 BAŞKATSAYI = 3 SABİT TERİM d[P(x)] = 5 1 – x – x 2 – x 3 – x 7 d[P(x)] = 7 BAŞ KATSAYI = -1 SABİT TERİM P(x) = 7= 7.x 0 d[P(x)] = 0 BAŞ KATSAYI = 7 P(x) = 0 = 0.x 2 = 0.x 3 =... Derece yok BAŞ KATSAYI = 0 SORU: P(x) = (a – 4).x 2 + (b + 2).x + 5 Polinomu sabit polinom ise a.b çarpımı kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) = (a – 4).x 2 + (b + 2).x + 5 sadece sabit terim kalmalı x ler kaybolmalı o halde; 0 a = 4 0 b = -2 olmalılar İSTENEN = a.b =4.(-2) = -8 olur. SORU: P(x) = (a + 1).x 2 + (b + 3).x + 2-c Polinomu sıfır polinomu ise a + b + c toplamı kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) = (a + 1).x 2 + (b + 3).x + 2-c Bütün katsayılar 0 olmalı. Sabit terim de 0 olmalı a = -1b = -3c = 2 İSTENEN = a + b + c -32 = -2 olur. 2) Sağdaki örneği dikkatle inceleyelim. ÖRNEK: P(x) = x 8 ve Q(x) = x 3 olsun. P(x) + Q(x) = x 8 + x 3 toplamın derecesi hangisinin derecesi büyük ise odur. d [ P(x) + Q(x) ] = Büyük olanıdır. P(x).Q(x) =x 8.x 3 = x 8+3 = x 11 çarpımın derecesi derecelerinin toplamıdır. d [ P(x).Q(x) ] = d [ P(x) ] + d [ Q(x) ] P(x) Q(x) = x8x8 x3x3 = x 8-3 = x 5 bölümün derecesi derecelerinin farkıdır. payın derecesi büyük iken P(x) Q(x) ] [ d = d [ P(x) ] – d [ Q(x) ] P 4 (x) = ( P(x) ) 4 = (x 8 ) 4 = x 32 üstel polinomların derecesi üs ile polinomun derecesinin çarpımıdır. d [ P n (x) ] = n. d [ P(x) ] P ( Q(x) ) = x3x3 P(x 3 ) içeriye gelenin 8. kuvvetini alıyor. = (x 3 ) 8 = x 24 Bileşke polinomun derecesi polinom derecelerinin çarpımıdır. [ P ( Q(x) ) ] = d derecesi = P derecesi = Q ise P.Q SORU: P(x) = x 7 – 2x + 5 Q(x) = x 2 + 3x + 5 ise aşağıdaki ifadeleri sonuçlandırınız. a) d [ P(x) + Q(x) ] = 72 7 b) d [ P(x).Q(x) ] = = 9 P(x) Q(x) ] [ d = c) – 2 = 5 d [ P 5 (x) ] = d) = 35 [ P ( Q(x) ) ] = d e) = 14 f) d [ P 4 (x).Q 5 (x) ] = = 38 P 6 (x) Q 3 (x) ] [ d = g) – 3.2 = 36 [ P 5 ( Q 3 (x) ) ] = d h) = 210 gibi. 3) Eşit Muamele Mantığı. P(2x + 5) = x 3 – 6x 2 + 5x + 9 gibi bir polinom alalım. 1 Bu x in yerine 1 yazmak istiyorum. Tek şartla yazabilirim. Bütün x lere de 1 yazmak şartıyla P(7) = 1 – P(7) = 9 Yani; Herhangi bir polinomdaki herhangi bir x in yerine her şey yazılabilir. TEK ŞARTI VAR. O YAZDIĞINIZ ŞEY NE İSE İŞTE O ŞEYİ TÜM X LERE DE YAZMAK ŞARTIYLA. Gelen örneğe dikkat ediniz. ÖRNEK: P(x – 3) = x 2 + 3x – 5 ise P(1) = ? 4 yazmalıyım Çünkü; bu x i 4 alırsam içerisi 1 olur. 44 ŞART NEYDİ? DİĞERLERİNE DE YAZMAK. P(1) = – 5 P(1) = 23 istenendir. ÖRNEK: P(x 2 + 1) = 3x ise P(x) = ? P(x 2 + 1) = 3. Bunu yazalım. (x 2 + 1) 10 eklersek üstteki elde edilir P makinesi yani polinomu içine aldığı şeyi dışarıya çıkarırken ne yapıyor? 3 ile çarpıp 10 ekliyor. o halde; P(x) = 3 ile çarpıp 10 ekleyecek. 3x + 10 YADA xx alırsak P(x) = 3x + 10 elde edilir. ÖRNEK: 3x – 1 x 2 – 3x + 2 = A x – 1 + B x – 2 olduğuna göre, A.B çarpımı kaçtır? ÇÖZÜM: 3x – 1 x 2 – 3x + 2 = A x – 1 + B x – 2 3x – 1 -2 (x – 1).(x – 2) = (x-2) (x-1) A.(x – 2) + B.(x – 1) (x – 1).(x – 2) 3x – 1 = A.(x – 2) + B.(x – 1) x = 1 için = -A + 0 A = -2 x = 2 için = 0 + B B = 5 İstenen = A.B -2 5 = -10 olur. 4) Eşitlik, Toplama, Çıkarma, Çarpma. EŞİTLİK: İki polinomun birbirine eşit olması demek; aynı dereceli olan x’lerin katsayılarının bir birlerine eşit olması demektir. Örneğin; ax 3 + bx 2 + cx + d = 2x 3 + 5x 2 – 6x + 9 a = 2b = 5c = -6 d = 9 gibi. (a – b)x 2 + 4x + c = 8x 2 + (a + b)x – 3 a – b = 8 a + b = 4 + 2a = 12 a = 6 6 – b = 8 -2 = b c = -3 gibi. (a – 1)x 2 – bx + 3 = 4x – c + 1 -b = 4 b = -4 3 = -c + 1 c = -2 0 Niye sıfır? Çünkü; sağda x 2 li terim yok. a – 1 = 0 a = 1 gibi. TOPLAMA-ÇIKARMA: Sadece aynı dereceli olan x ler toplanabilir yada çıkarılabilir. Örneğin; 6x 3 + 4x 2 – 7x x x – 9 bu tek başına …. = 6x 3 + 7x 2 + 3x– 4 gibi. ÇARPMA: Normal dağılma özellikleri kullanılır. Ve; x m.x n = x m+n kuralı hatırlanır. Örneğin; (2x + 3).(5x – 4) = 10x 2 – 8x+ 15x– 12 ……………….. = 10x 2 + 7x– 12 gibi. SORU: (x + 3).(5x + 2) – x.(x 2 + 3x – 4) işleminin sonucu kaçtır. ÇÖZÜM: (x + 3).(5x + 2) – x.(x 2 + 3x – 4) …= 5x 2 + 2x+ 15x + 6– x 3 – 3x 2 + 4x …= -x 3 + 2x x + 6 5) Bölmeyi tek başına işleyeceğiz. Katsayılar Toplamı ve Sabit Terim. P(x) = ax 5 + bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f olarak alalım. P(1) = a + b + c + d+ e + f Katsayılar toplamıdır. Herhangi bir polinomda x yerlerine 1 yazınca katsayılarının toplamı bulunur. Örneğin; P(x) Katsayılar toplamı 1 P(1)dir. P(2x+3) Katsayılar toplamı 1 P(5) dir. P(x – 3) Katsayılar toplamı 1 P(-2) dir. P(0) = f Sabit terimdir. Herhangi bir polinomda x yerlerine 0 yazınca sabit terimi bulunur. Örneğin; P(x) sabit terimi 0 P(0)dır. P(5x+3) sabit terimi 0 P(3) dür. P(x – 4) sabit terimi 0 P(-4) dür. P(1) + P(-1) 2 = b + d + f Çift dereceli terimlerin katsayıları toplamıdır. P(1) – P(-1) 2 = a + c + e Tek dereceli terimlerin katsayıları toplamıdır. 6) Bölme. Öncelikle bir örnek üzerinde polinom bölmesinin nasıl yapıldığını görelim. 3x 3 + 2x 2 – 4x + 1 x +2 Bu bölme işlemini yapıp bölüm ve kalan bulalım. 3x 3 x En büyük dereceliyi en büyük dereceliye kafadan bölün. eder. 3x 2 3x 3 + 6x 2 Çıkarma yaparken şu yöntemi kullanın. Burayı + yapın. Bunun işaretlerini değiştirin. - – Şimdi toplayın. -4x 2 – 4x x 2 x – 4x – 4x 2 – 8x 4x + 1 4x x + 4 4x Kalan Bölüm ŞİMDİ BÖLME İLE İLGİLİ ÖNEMLİ 3 KURAL VERELİM.

3 BÖLME: Doğal sayılarda geçerli olan normal bölme kuralları aynen polinom bölmeleri için de geçerlidir. Yani; P(x)Q(x) B(x) K(x) KURAL:1 P(x) = Q(x). B(x) + K(x) dir. KURAL:2 K(x) < Q(x) dir. Kalanın derecesi kesinlikle bölenden küçüktür. KURAL:3 0 olursa Kalan sıfır olursa tam bölünme vardır. P(x) = Q(x). B(x) olur. Yani; çarpanlarına ayrılan bir polinom kendi çarpanlarına tam bölünür. Mesela; P(x) in çarpanlarından biri x – 2 ise P(x) x – 2 ile tam bölünür.

4 ŞİMDİ 2 ÖZEL SORU GELECEK VE BUNLAR SAYESİNDE ÇOK KULLANILACAK OLAN PRATİK YÖNTEMLER SÖYLENECEK SORU: Herhangi bir P(x) polinomunun x – a ile bölümünden kalan nedir? P(x) x – a B(x) Kalan P(x) = (x – a). B(x) + Kalan a a P(a) = 0. B(x) + KalanKalan SORU: Herhangi bir P(3x + 7) polinomunun x – a ile bölümünden kalan nedir? P(3x+7) x – a B(x) Kalan P(3x+7) = (x – a). B(x) + Kalan a a P(3a+7) = 0. B(x) + Kalan Kalan

5 KALAN BULMA PRATİK YOLLARI 1) P(x) polinomunun ax + b ile bölümünden kalan ax + b = 0 ax = -b x = -b a P( -b a ) dır. ÖRNEKLER: P(x) polinomunun x – 3 ile bölümünden kalan 3 P(3) P(x) polinomunun x + 2 ile bölümünden kalan -2 P(-2) P(x) polinomunun 2x + 3 ile bölümünden kalan -3 2 P( -3 2 ) YANİ; Bölenin kökünü Bunun yerine yaz. 2) P(2x + 5) polinomunun x – 7 ile bölümünden kalan Son yazdığımız mantık yine geçerlidir. Bölenin kökü olan 7 sayısını Buradaki x yerine yaz. 7 P( ) = P(19) dur. P(mx + n) polinomununax + b ile bölümünden kalan P( -b a ) m. + n dir. ÖRNEKLER P(3x+7) polinomunun x – a ile bölümünden kalan a P(3a+7) P(2x+5) polinomunun x – 7 ile bölümünden kalan 7 P(19) P(x – 9) polinomunun x + 4 ile bölümünden kalan -4 P(-13) Yani; Bölenin kökünü Bu x in yerine yazın. 3) Şu örneğe bakalım. P(x) = 5x polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır? P(x) x B(x) Kalan = ? P(x) = (x 4 + 1).B(x) + Kalan Bunu bulmak için Burayı sıfır yapmalıyız. 5x = P(x) i yerine yazdık. (x 4 + 1).B(x) + Kalan x 4 yerine -1 yazarsak sıfır olur burasıTüm x 4 yerlerine de -1 yazmalıyız o halde 5.(-1) + 7 = 0 + Kalan 2 = Kalan olur. Bu yaptıklarımızın pratik yolunu mutlaka anlayın. Yoksa çok çekeceksiniz. P(x) polinomunun x n + a ile bölümünden kalan x n + a = 0 x n = -a Polinomdaki x n yerlerine -a yazarak elde edilen şeydir. ÖRNEKLER P(x) polinomununx ile bölümünden kalan x 3 yerlerine -2 yazarak elde edilen şeydir. P(x) polinomununx 10 – 1 ile bölümünden kalan x 10 yerlerine 1 yazarak elde edilen şeydir. BAŞKA BİLGİ YOK.

6 SORU: a) P(x) = x 9 + 3x 7 + 5x + 8 polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan kaçtır? P(x) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan P(-1)dir. P(x) = x 9 + 3x 7 + 5x + 8 P(-1) = (-1) 9 + 3(-1) 7 + 5(-1) P(-1) = -1 – 3 – P(-1) = -1 Kalan

7 b) P(x) = x 5 + 2x 4 + ax + 5 polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 11 ise a = ? P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 1 P(1)dir. Kalan = P(1) = 11 imiş. P(x) = x 5 + 2x 4 + ax (1) 4 + a.(1) + 5 = a + 5 = 11 a + 8 = 11 a = 3

8 c) P(3x – 7) = x 3 + 2x 2 – 3x + 9 olarak veriliyor. Buna göre; P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan kaçtır? P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan 2 P(2)dir. P(3x – 7) = x 3 + 2x 2 – 3x + 9 3x – 7 = 2 3x = 9 x = P(2) = – P(2) = – P(2) = 45

9 d) P(x) = x 3 – 5x 2 – 4x + 1 olarak veriliyor. Buna göre; P(2x + 3) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır? P(2x + 3) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 1 P(5) dir. P(x) = x 3 – 5x 2 – 4x P(5) = 125 – 125– P(5) = -19

10 e) P(2x – 5) = 2x 3 + 5x 2 – 3x + 10 olarak veriliyor. Buna göre; P(2x - 5) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan kaçtır? P(2x – 5) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan 2 P(-1) dir. P(2x – 5) = 2x 3 + 5x 2 – 3x x – 5 = -1 2x = 4 x = P(-1) = – P(-1) = 40

11 f) P(5x + 3) = 3x 2 – 3x + a olarak veriliyor. P(x - 7) polinomunun x – 5 ile bölümünden kalan 10 ise a = ? P(x - 7) polinomunun x – 5 ile bölümünden kalan 10 5 Kalan = P(-2) = 10 imiş. P(5x + 3) = 3x 2 – 3x + a -2 olması için x yerlerine -1 yazılmalıdır. P(-2) = 3(-1) 2 – 3(-1) + a P(-2) = a P(-2) = 6 + a 6 + a = 10 a = 4

12 g) P(3x – 5) = 2x 3 – 3x + 5 ve Q(x – 3) = 5x + 7 olarak veriliyorlar. Buna göre; 2.P(x) + 3.Q(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır? 2.P(x) + 3.Q(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 1 Kalan = 2.P(1) + 3.Q(1) P(3x – 5) = 2x 3 – 3x P(1) = 16 – P(1) = 15 Q(x – 3) = 5x Q(1) = 27 Kalan = Kalan = 111

13 SORU:18 a) olarak veriliyor. Q(x) in x – 8 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre; P(x – 3) polinomunun x – 6 ile bölümünden kalan kaçtır? Q(x) in x – 8 ile bölümünden kalan 2 Q(8) = 2 P(x – 3) polinomunun x – 6 ile bölümünden kalan 6 Kalan = P(3) = ?

14 b) P(x) polinomunun x – 5 ile bölümünden kalan 2, Q(x + 3) polinomunun x – 6 ile bölümünden kalan 5, olarak veriliyor. R(x – 1) = P(x + 1). Q(x + 5) + 3x + 2 olduğuna göre; R(x + 2) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır? P(5) = 2 Q(9) = 5 1 R(3) = ? R(3) = P(5). Q(9) R(3) = 24

15 c) (x – 1).P(x) = x 2 + 3x – a olarak veriliyor. Buna göre; P(2x + 5) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır? 1 Kalan = P(7) (x – 1).P(x) = x 2 + 3x – a Yazımından faydalanarak P(7) yi bulabilmek için öncelikle a bulunmalıdır. (x – 1).P(x) = x 2 + 3x – a = 4 – a a = 4 (x – 1).P(x) = x 2 + 3x – a(x – 1).P(x) = x 2 + 3x – P(7) = – 4 6.P(7) = 66 P(7) = 11

16 SORU: a) P(x) = 2x 5 – 3x 4 + 2x 3 + 6x 2 + 3x + 1 polinomunun x 3 – 1 ile bölümünden kalan kaçtır? x 3 – 1 = 0 x 3 = 1 x 3 yerine 1 yazacağız. 2x 5 – 3x 4 + 2x 3 + 6x 2 + 3x + 1 = 2.x 3.x 2 – 3.x 3.x +2.x 3 + 6x 2 + 3x + 1 Çünkü buralardan x 3 lü terim gelmez. Aynen yazabiliriz KALAN = 2x 2 – 3x x 2 + 3x + 1 KALAN =8x 2 + 3

17 b) P(x) = x 36 – 2x x polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır? x = 0 ise x 9 = -2 Yani; x 9 yerlerine -2 yazarsak kalanı bulmuş oluruz. P(x) = x 36 – 2x x Kalan = (-2) 4 – 2. (-2) (-2) + 10 Kalan =16 – 8– Kalan = 12

18 c) P(x) = x 20 – x x polinomunun ile bölümünden kalan kaçtır? Yani; x 10 yerlerine yazılırsa kalan bulunmuş olur. P(x) = x 20 – x x P(x) = (x 10 ) 2 – x x Kalan = + 4x Kalan = 2 + 4x Kalan =4x 5 + 9

19 d) P(x) = x 3 + 3x 2 + ax + b polinomunun x ile tam bölünmesi için a ve b ne olmalıdır? P(x) x B(x) 0 P(x) = (x 2 + 1).B(x) + 0 x 3 + 3x 2 + ax + b = (x 2 + 1).B(x) + 0 x 2.x + 3x 2 + ax + b = (x 2 + 1).B(x) + 0 -x + 3+ ax + b = x(1 – a) + b + 3 = 0 00 a = 1 b = -3

20 SORU: P(x) = x 3 + 3x 2 + 5x + 1 polinomunun x 2 – 3x + 2 ile bölümünden kalan kaçtır? 1.YOL: x 2 – 3x + 2 = 0 x 2 = 3x – 2 x 2 yerlerine 3x – 2 yazınca kalan bulunur. x 3 + 3x 2 + 5x + 1 3x–2 Bunu ayrı bir yerde yapalım. x 3 = x 2.x = 3x–2 (3x – 2).x = 3x 2 – 2x 3x–2 = 3.(3x – 2) – 2x = 7x – 6 Kalan =7x–6+ 3.(3x – 2) + 5x + 1 Kalan =21x – YOL: P(x) x 2 – 3x + 2 B(x) ax + b P(x) = (x 2 – 3x + 2 ).B(x) + ax + b P(x) = -2 (x – 2).(x – 1).B(x)+ ax + b P(2) = 2a + b P(1) = a + b P(x) = x 3 + 3x 2 + 5x + 1 P(2) = = = 31 2a + b = 31 P(x) = x 3 + 3x 2 + 5x + 1P(1) = = 10 a + b = 10 a = 21 b = -11 Kalan = ax + b = 21x - 11

21 SORU: P(x) polinomunun; x – 1 ile bölümünden kalan 5, x + 2 ile bölümünden kalan 8 olarak veriliyor. Buna göre; P(x) polinomunun (x – 1). (x + 2) ile bölümünden kalan kaçtır? P(x) (x – 1).(x + 2) B(x) Kalan P(x) = (x – 1).(x + 2).B(x) + KalanP(x) = (x – 1).(x + 2).B(x) + ax + b ax + b P(1) = 5P(-2) = P(1) = a + b -2 P(-2) = -2a + b = 5 = 8 3a = -3 a = b = 5 b = 6 Kalan = ax + b = -x + 6

22 Şimdi aynı soruyu daha kısa yoldan çözelim.

23 SORU: P(x) polinomunun; x – 1 ile bölümünden kalan 5, x + 2 ile bölümünden kalan 8 olarak veriliyor. Buna göre; P(x) polinomunun (x – 1). (x + 2) ile bölümünden kalan kaçtır? A) 2x + 3 B) x + 5 C) –x + 6 D) 3x + 2 E) -2x – 5 P(1) = 5P(-2) = 8 P(1) = 5ve P(-2) = 8 Şartlarını gerçekleyen şık doğru cevaptır. –x + 6 P(1) = = 5 P(-2) = -(-2) + 6 = 8 olduğundan C) şıkkı doğru cevaptır.

24 SORU:P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 5, x – 2 ile bölümünden kalan 8 olarak veriliyor. Buna göre; P(x) polinomunun (x – 1). (x – 2) ile bölümünden kalan kaçtır? A) 2x + 5 B) 3x – 5 C) 5x + 1 D) 2x + 3 E) 3x + 2 P(1) = 5P(2) = 8 P(1) = 5ve P(2) = 8 Şartlarını gerçekleyen şık doğru cevaptır. 3x + 2 P(1) = = 5 P(-2) = = 8 olduğundan E) şıkkı doğru cevaptır.

25 SORU: P(x) polinomunun x + 2 ile bölümünden kalan 5, x – 3 ile bölümünden kalan 10 olarak veriliyor. Buna göre; P(x) polinomunun x 2 – x – 6 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 3x + 11 B) x – 5 C) x + 5 D) x + 7 E) 3x + 1 x 2 – x – = (x – 3). (x + 2) (x – 3). (x + 2) P(-2) = 5P(3) = 10 P(-2) = 5ve P(3) = 10 Şartlarını gerçekleyen şık doğru cevaptır. x + 7 P(-2) = = 5 P(3) = = 8 olduğundan D) şıkkı doğru cevaptır.

26 SORU: P(x) polinomunun x ile bölümünden kalan 1, x – 1 ile bölümünden kalan 3, x – 3 ile bölümünden kalan 13 olarak veriliyor. Buna göre; P(x) polinomunun x.(x – 1).(x – 3) ile bölümünden kalan kaçtır? A) x 2 + 3x + 11 B) x 2 + x + 2 C) x 2 + x + 1 D) 2x + 1 E) 3x 2 – 4x + 1 P(0) = 1P(1) = 3P(3) = 13 P(0) = 1 P(1) = 3 P(3) = 13 Şartlarını gerçekleyen şık doğru cevaptır. C) x 2 + x + 1 sağlar.

27 SORU: a)P(3x – 5) = 2x 3 – 3x + 5 olarak veriliyor. Buna göre; P(x) polinomunun katsayılarının toplamı kaçtır? P(x) polinomunun katsayılarının toplamı P(1) dir. P(3x – 5) = 2x 3 – 3x + 5 3x – 5 = 1 3x = 6 x = P(1) = – P(1) = 16 – P(1) = 15istenendir.

28 b)P(3x + 2) = x 3 – 3x 2 + 5x + 1 olarak veriliyor. Buna göre; P(2x + 9) polinomunun katsayılarının toplamı kaçtır? P(2x + 9) polinomunun katsayılarının toplamı P(11) dir. P(3x + 2) = x 3 – 3x 2 + 5x P(11) = 3 3 – P(11) = 27 – P(11) = 16 istenendir.

29 c)P(3x – 6) = 8x 2 – 3x + 6 olarak veriliyor. Buna göre; P(x) polinomunun sabit terimi kaçtır? P(x) polinomunun sabit terimi P(0) dır. P(3x – 6) = 8x 2 – 3x P(0) = – P(0) = 32 – P(0) = 32istenendir.

30 d)P(x – 5) = x 5 – 7x – 5 olarak veriliyor. Buna göre; P(5x – 6) polinomunun sabit terimi kaçtır? P(5x – 6) polinomunun sabit terimi P(-6) dır. P(x – 5) = x 5 – 7x – 5 P(-6) = – 5 P(-6) = 1istenendir.

31 POLİNOMLAR TESTİ-1

32 1) A) 22 B) 18 C) 16 D) 11 E) 7 ifadesinin bir polinom olması için m nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? ÇÖZÜM: x lerin üsleri doğal sayı olmalı. m – 4 ≥ 0 m ≥ 4 7 – m ≥ 0 7 ≥ m m ≤ 7 Bu aralıklardaki doğal sayılar. {4, 5, 6, 7} olup toplamları 22 dir.

33 2) A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 6 P(x) = ax 2 + 2x 2 + (4 – b)x + a + b polinomu sabit polinom olduğuna göre,a + b toplamı kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) = ax 2 + 2x 2 + (4 – b)x + a + b İki tane x 2 olmaz. Teke indirmeliyiz. P(x) = (a + 2)x 2 + (4 – b)x + a + b sabit polinom ise x li terimler olmamalı x li terimlerin katsayılarını sıfır alarak halledebiliriz. 00 a = -2 b = 4 olmalılar. İstenen = a + b = olur.

34 3) A) -4 B) -3 C) -2 D) 1 E) 5 P(x) = (a + 2)x 2 + (2b – 6)x + 3c + 12 polinomu sıfır polinom olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) = (a + 2)x 2 + (2b – 6)x + 3c + 12 sıfır polinom ise x lerde olmayacak sabitte olmayacak Bütün katsayıları ve sabit terimi sıfır alarak halledebiliriz. 000 a = -2b = 3c = -4 olmalılar. İstenen = a + b + c = olur.

35 4) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 P(x) = ax 2 + 6x + bx + 8 Q(x) = 2x 2 + ax – 3x + c P(x) = Q(x) olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) = Q(x) ax 2 + 6x + bx + 8 = 2x 2 + ax – 3x + c İki tane x var.Teke indirmeliyiz. ax 2 +(6 + b)x + 8 = 2x 2 + İki tane x var.Teke indirmeliyiz. (a – 3)x + c a = b = a – 3 c = b = 2 – b = -1 b = -7 İstenen = a + b + c = olur.

36 5) A) 9 B) 5 C) 4 D) 2 E) 0 Her x gerçel sayısı için, 2x 2 + ax – 9 = (2x – 3).(bx + 3) olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? ÇÖZÜM: 2x 2 + ax – 9 = (2x – 3).(bx + 3) 2x 2 + ax – 9 = 2bx 2 + 6x – 3bx – 9 2x 2 + ax – 9 = 2bx 2 + (6 – 3b)x– 9 2 = 2b b = 1 a = 6 – 3b 1 a = 3 -9 = -9 İstenen = a + b = olur.

37 6) A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 6 A(x – 1) + B.(x + 3) = 2x + 14 olduğuna göre, B – A kaçtır? ÇÖZÜM: 1.YOL: A(x – 1) + B.(x + 3) = 2x + 14 Ax – A + Bx + 3B = 2x + 14 (A + B)x + 3B – A = 2x + 14 A + B = 2 3B – A = B = 16 B = 4 A + 4 = 2 A = -2 İstenen = B – A 4 -2 = 6 olur. 2.YOL: A(x – 1) + B.(x + 3) = 2x + 14 x = 1 için; B.4 = 16 4B = 16 B = 4 x = -3 için; -3 -4A + 0 = 8 -4A = 8 A = -2 Bu değerler rasgele değil. A ve B nin katsayılarını sıfır yapan değerlerdir. İstenen = B – A 4 -2 = 6 olur. Hangisi daha kolay?

38 7) A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 5x – 2 x 2 – 2x – 8 = A x – 4 + B x + 2 olduğuna göre, A + B kaçtır? ÇÖZÜM: 5x – 2 x 2 – 2x – 8 = A x – 4 + B x + 2 5x – (x – 4).(x + 2) = (x+2) (x-4) A.(x + 2) + B.(x – 4) (x – 4).(x + 2) 5x – 2 = A.(x + 2) + B.(x – 4) x = -2 için = 0 – 6B 2 = B x = 4 için = 6A + 03 = A İstenen = A + B 3 2 = 5 olur.

39 8) A) 24 B) 20 C) 16 D) 12 E) 10 P(x) = 2x 2 + 5x + 3 Q(x) = 4x 3 – 2x olduğuna göre, P(x).Q(x) çarpım polinomundaki x 4 lü terimin katsayısı kaçtır? ÇÖZÜM: P(x).Q(x) = (2x 2 + 5x + 3). (4x 3 – 2x 2 + 1) Hangi terimlerin çarpımından x 4 gelir? Bunları bulmalıyız. -4x x 4 Başka yerden gelmez. 16x 4 Katsayısı 16 olur.

40 9) A) x 2 + 3x + 14 x 3 + 5x + 42 x + 3 ifadesinin en sade şekli nedir? B) x 2 – 3x + 14C) x 2 – x + 14 D) x 2 + 5x + 14 E) x 2 – 5x + 14 ÇÖZÜM: Demek ki tam bölünme oluyor ki şıklar polinom şeklindedir. O zaman normal bölme yaparak sonucu bulabiliriz. x 3 + 5x + 42x + 3 x3x3 x = x 2 x2x2 x3x3 + 3x 2 0.x 2 var aslında burda 0.x 2 – 3x 2 = -3x 2 -3x 2 + 5x x 2 x = -3x –3x -3x 2 – 9x 5x – (-9x) = 14x 14x x x = x cevaptır.

41 10) A) -20 B) -18 C) -16 D) -14 E) -10 P(x) = x 3 + 4x 2 – 5x + m polinomunun çarpanlarından biri x + 2 ise, m kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) = (x + 2).Q(x) imiş. x + 2 bir çarpanı imiş. Diğer çarpanın ne olduğu belli değil. x 3 + 4x 2 – 5x + m = (x + 2).Q(x) -2 alırsak sağ taraf sıfır olur ve bilinmeyen Q(x) den kurtuluruz. Diğer x lerede -2 yazmalıyız m = m = 0 m = -18 olur.

42 11) A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 P(x) = x 3 – 5x + a polinomunun bir çarpanı x + 2 ise, P(-1) kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) = (x + 2). Q(x) imiş. x 3 – 5x + a = (x + 2). Q(x) a = a = 0 a = -2 P(x) = x 3 – 5x + a -2 – 2 İstenen = P(-1) = (-1) 3 – 5(-1) – 2 P(-1) = – 2 P(-1) = 2 olur.

43 12) A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 P(x – 2) = x 2 + 3x + 4 olduğuna göre, P(x) polinomunun x + 3 ile bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) polinomunun x + 3 ile bölümünden kalan = bunu sıfır yapan x değeri -3 P(-3)dür. P(x – 2) = x 2 + 3x + 4 Bundan faydalanarak P(-3) ü bulalım. x yerlerine ne yazarsak burası -3 olur. x – 2 = -3 x = x = -1 yazarsak bulunur. P(-3) = (-1) (-1) + 4 = 1 – = 2 = kalandır

44 13) A) -169 B) -156 C) -132 D) -91 E) -65 P(3x) = 12x – 13 olduğuna göre, P(x) polinomunun x + 13 ile bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) polinomunun x + 13 ile bölümünden kalan = Burayı sıfır yapan x değeri -13 P(-13)dür. P(3x) = 12x – 13 Bundan faydalanarak P(-13) ü bulalım. -13 olması için x ne olmalıdır? 3x = -13 x = P(-13) = – 13 4 = -52 – 13 = -65 = kalandır

45 14) A) 14 B) 13 C) 10 D) 8 E) 5 olduğuna göre, P(x – 1) = 4x 2 – 10x + 7 P(x + 2) polinomunun sabit terimi kaçtır? ÇÖZÜM: P(x + 2) polinomunun sabit terimi = İçerdeki x yerine 0 yazınca sabit terim bulunmuş olur. 0 P(2)dir. P(x – 1) = 4x 2 – 10x + 7 Bundan faydalanarak P(2) yi bulalım. 2 olması için x değeri 3 seçilmelidir P(2) = 36 – P(2) = 13 istenendir.

46 15) A) -9 B) -7 C) -2 D) 5 E) 10 P(x) = x 3 – 6x 2 – 7x + 9 olduğuna göre,P(x – 3) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? ÇÖZÜM: P(x – 3) polinomunun sabit terimi = İçerdeki x yerine 1 yazınca katsayılar toplamı bulunmuş olur. 1 P(-2) dir. P(x) = x 3 – 6x 2 – 7x + 9 Bundan faydalanarak P(-2) yi bulalım. -2 P(-2) = -8 – P(-2) = -9 istenendir.

47 16) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 P(x + 1) polinomunun katsayıları toplamı 7, P(x + 2) polinomunun sabit terimi 2a – 3 olduğuna göre, a kaçtır? ÇÖZÜM: P(x + 1) polinomunun katsayıları toplamı = 1 P(2) = 7 imiş. P(x + 2) polinomunun sabit terimi = 0 P(2)= 2a – 3 imiş. Bunlar eşit Bunlar da eşittir 2a – 3 = 7 2a = 10 a = 5 olur.

48 17) A) -18 B) -12 C) -6 D) 6 E) 18 P(x) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan -3, Q(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 2 dir. Buna göre, P 2 (x – 1).Q(x + 1) çarpım polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan P(-1) = -3 Q(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 1 Q(1) = 2 P 2 (x – 1).Q(x + 1) in x ile bölümünden kalan = Burayı sıfır yapan değer 0 dır. 0 P 2 (-1).Q(1) = (-3) 2. 2 = 18 olur.

49 18) A) 0,5 B) 1,5 C) 2 D) 2,5 E) 3 P(x) ve Q(x) polinomlarının x – 2 ile bölümünden kalanlar sırasıyla 3 ve -2 dir. Buna göre, a nın hangi değeri için x.P(x) + a.Q(x) toplam polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan 5 tir? ÇÖZÜM: 2 P(2) = 3Q(2) = -2imişler. x.P(x) + a.Q(x) in x – 2 ile bölümünden kalan = 2 2.P(2) + a.Q(2) = 5 imiş – 2a = 5 1 = 2a a = 0,5 olur.

50 19) A) x 2 + x B) x 3 + x 2 C) x 4 + 3x 3 – 4x 2 D) x E) x olduğuna göre, P(x) = x 4 – 3x 3 – 4x 2 Q(x) = x 4 + x P(x) ve Q(x) polinomlarının en büyük ortak böleni nedir? ÇÖZÜM: P(x) = x 4 – 3x 3 – 4x 2 = x 2.( x2x2 – 3x – 4) = x2.x (x – 4).(x + 1) Q(x) = x 4 + x = x.( x3x3 + 1) = x. Küpler toplamı açılımı var. (x + 1).(x 2 – x + 1) Her iki polinomda artık çarpanlara ayrılamaz hale geldi. Yani her ikisi de asal çarpanlarına ayrıldılar. Bize OBEB soruluyor. İkisinde de ortak olan çarpanların küçükleri OBEB idi. Kimler bunlar. Bulalım. OBEB = x2x2 x x x Küçüğünü alcaz ya onun için x alındı. (x + 1) İkisi de aynı. Küçük olanı kendisidir..(x + 1) Başka ortak olan çarpan yok. OBEB = x 2 + x olur.

51 20) A) x + 4 B) x + 2 C) 2 – x D) 3 – x E) 4 – x P(x).Q(x) = 3x 2 – 7x – 20 olduğuna göre,P(x) polinomu aşağıdakilerden hangisi olabilir? ÇÖZÜM: P(x).Q(x) = 3x 2 – 7x – 20 = Bu üç terimliyi çarpanlara ayırmalıyız. 3 1 Çarpımları 3 olan iki sayı aldık. 1 üstte 3 altta da yazılabilirdi Çarpımları -20 olan iki sayı seçtik. Bunu sağlayan bir çok durum var. Niye bu ikisini seçtik. Çünkü, bunların çapraz çarpımlarının toplamı ortadaki terimim katsayısını verir = -7 orta ile aynı x x x Artık çarpanlarına ayırma şartları hazır. (3x + 5). (x – 4) = (3x + 5). (-1).(4 – x) olarak yazılabilir. P(x).Q(x) = (-3x – 5). (4 – x) P(x) bu olabilir.

52 POLİNOMLAR TESTİ-2

53 1) A) 12 B) 24 C) 29 D) 34 E) 41 olduğuna göre, P(x – 2) = x 3 – 9x + 6 kalan kaçtır? P(x + 1) polinomunun x – 1 ile bölümünden ÇÖZÜM: P(x + 1) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan = 1 1 P(2) = ? P(x – 2) = x 3 – 9x Çünkü 4 yazınca P(2) bulunur. 4 4 P(2) = 64 – P(2) = 34 olur.

54 2) A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) 25 2x 2 – 2x x + 3 Kalan Yukarıdaki polinom bölmesine göre, kalan kaçtır? ÇÖZÜM: Q(x) diyelim. Bölmenin sağlaması gereği; 2x 2 – 2x + 1 =Q(x).(x + 3) + Kalan Madem ki bunu arıyoruz. Burasını sıfır yapmalıyız. Bunun için x yerlerine -3 yazmamız yeterlidir = 0 + Kalan Kalan 25 = Kalan olur.

55 3) A) 6 B) 2 C) -1 D) -3 E) -4 P(3x + 1) Q(x – 2) = 4x 2 – 3x – 13 P(x – 2) polinomunun x – 6 ile bölümünden kalan 36 olduğuna göre, Q(x + 2) polinomunun x + 3 ile bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM: P(x – 2) polinomunun x – 6 ile bölümünden kalan = 6 6 P(4) =36ise, Q(x + 2) polinomunun x + 3 ile bölümünden kalan = -3 Q(-1) = ? diyor. P(3x + 1) Q(x – 2) = 4x 2 – 3x – 13 Bundan faydalanarak istediğimizi bulalım. 1 x = 1 seçersem aradığım Q(-1) i bulmuş olurum P(4) Q(-1) =4 – 3 – Q(-1) = -3 olur.

56 4) A) -6 B) -4 C) -3 D) -2 E) -1 P(x – 2) + x Q(x + 1) + 4 = x – 2 Q(x – 1) polinomunun sabit terimi -2 olduğuna göre, P(x – 4) polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM: Q(x – 1) polinomunun sabit terimi = 0 İçerdeki x yerine sıfır yazınca sabit terim bulunmuş olur. Q(-1) = -2 ise, P(x – 4) polinomunun x ile bölümünden kalan = Burayı sıfır yapan değer 0 dır. 0 0 P(-4) = ? diyor. P(x – 2) + x Q(x + 1) + 4 = x – 2 Bundan faydalanarak isteneni bulalım. -2 Çünkü x = -2 alınca P(-4) bulunmuş olur. -2 P(-4) – 2 Q(-1) + 4 = P(-4) – 2 = 2.(-4) -8 P(-4) = istenendir.

57 5) A) -10 B) -8 C) -6 D) 2 E) 4 P(x + 2) = (x 2 – 3x).Q(x) + 2x 2 Q(x) polinomunun katsayılar toplamı 6 olduğuna göre, P(x) polinomunun x – 3 ile bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM: 1 içerdeki x yerine 1 yazınca katsayılar toplamı bulunur. Q(1) = Kalan = P(3) = ? P(x + 2) = (x 2 – 3x).Q(x) + 2x 2 1 Çünkü x yerine 1 yazarsak istenen P(3) bulunmuş olur P(3) = (1 – 3).Q(1) P(3) = P(3) = istenendir.

58 6) A) -3 B) -1 C) 2 D) 3 E) 4 olduğuna göre, (x – 2).P(x) = x 3 + x 2 – 7x + m P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM: Kalan = 1 1 P(1) = ? (x – 2).P(x) = x 3 + x 2 – 7x + m Bundan faydalanarak isteneni bulalım. 1 Çünkü P(1) i arıyoruz P(1) =1 + 1 – 7 + m -1.P(1) = -5 + m P(1) = 5 – m Şimdi de m değerini bulmalıyız. Şimdi yapacağım şeye dikkat edin. (x – 2).P(x) = x 3 + x 2 – 7x + m 2 Çünkü 2 yazınca P(x) kaybolur. Ve m yalnız kalır =8 + 4 – 14 + m 0 = -2 + m m = 2 P(1) = 5 – 2 P(1) = 3 İstenen kalan ifadesidir.

59 7) A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2 (x + 2).P(x) = x 2 + 3x + m olduğuna göre, P(-2) kaçtır? ÇÖZÜM: Önce m değerini bulalım. (x + 2).P(x) = x 2 + 3x + m -2 Çünkü -2 alınca P(x) kaybolur. Ve m yalnız kalır = 4 – 6 + m 0 = -2 + m 2 = m (x + 2).P(x) = x 2 + 3x + m 2 P(x) = x 2 + 3x + 2 x + 2 P(x) = 2 1 (x + 2).(x + 1) x + 2 P(x) = x Çünkü; P(-2) soruluyor. -2 P(-2) = -1 istenendir

60 8) A) -4 B) 1 C) 3 D) 4 E) 5 olduğuna göre, P(x) polinomdur. (x + a).P(x) = x 2 – 4x – 5 a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? ÇÖZÜM: (x + a).P(x) = x 2 – 4x – 5 P(x) = x 2 – 4x – 5 x + a P(x) = -5 1 (x – 5).(x + 1) x + a Polinom olması için sadeleşme gerçekleşmeli. O halde; a = -5 veya a = 1 olabilir. Toplamları = -4 olur.

61 9) A) -3 B) -1 C) 6 D) 10 E) 14 P(x + 2) = x 2 – 3x + m P(x – 1) polinomunun x – 4 ile bölümünden kalan 12 ise m kaçtır? ÇÖZÜM: P(x – 1) polinomunun x – 4 ile bölümünden kalan = 4 4 P(3) = 12 imiş. P(x + 2) = x 2 – 3x + m 1 Niye 1 aldık? Çünkü; P(3) ü biliyoruz. 11 P(3) =1 – 3 + m 12 = -2 + m 14 = m olur.

62 10) A) 5 B) 4 C) 3 D) -1 E) -5 olduğuna göre, P(x) polinomunun (x – 1) 3 ile bölümünden kalan x 2 – 3x + 5 P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) polinomunun P(x) (x – 1) 3 ile bölümünden (x – 1) 3 kalan x 2 – 3x + 5 x 2 – 3x + 5 imiş. B(x) diyelim Bölmenin sağlaması gereği; P(x) = (x – 1) 3.B(x) + x 2 – 3x + 5 olur. P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan = 1 1 P(1) = ? diyor P(1) =0 + 1 – P(1) = 3 istenendir

63 11) A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 P(x) = ax 3 + x – 1 polinomunun x 2 – 1 ile bölümünden kalan 3x + b ise a + b kaçtır? ÇÖZÜM: ax 3 + x – 1 x 2 – 1 3x + b imiş. Bölüme B(x) diyelim. B(x) Bölmenin sağlaması gereği; ax 3 + x – 1 = (x 2 – 1). B(x) + 3x + b olur. Bu nasıl yok olur? 1 Bütün x 2 leri 1 alarak kaybedebiliriz. a.x 2.x 1 ax + x – 1 = 0 +3x + b (a + 1)x– 1 = 3x + b a + 1 = 3 a = 2 b = -1 İstenen = a + b 2 = 1 olur.

64 12) A) -10 B) -8 C) -6 D) -4 E) -2 P(x) = 2x 9 – x 6 + ax 3 polinomunun bir çarpanı x olduğuna göre, a kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) = (x 3 + 2).Q(x) imiş. Çünkü bu P(x) in çarpanı imiş. Bu da diğer çarpan. Ne olduğunu bilmiyoruz. 2x 9 – x 6 + ax 3 = (x 3 + 2).Q(x) Bu bilinmeyen şeyden nasıl kurtulcaz dersiniz. -2 alarak kurtulabiliriz. O zaman her yerdeki x 3 leri -2 almalıyız. 2x 9 2(x 3 ) 3 – x6x6 (x 3 ) 2 + ax 3 = (x 3 + 2).Q(x) -2 2.(-2) 3 – (-2) 2 + a.(-2) =0 -16 – 4 – 2a = = 2aa = -10 olur.

65 13) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 olduğuna göre, P(x + 1) = x 3 + 3x 2 + 3x + 5 P(x) polinomunun x – 3 2 ile bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) polinomunun 3 2x – ile bölümünden kalan = 3 2 P( 3 2 ) dir. P(x + 1) = x 3 + 3x 2 + 3x + 5 P(x + 1) = x 3 + 3x 2 + 3x P(x + 1) = (x + 1) P, aldığı ifadenin küpünü alıp 4 ekliyor. O halde; P(x) = küpünü alıp 4 ekleyecek x P(x) = x P( 3 2 ) = 3 2 () = = 6 olur.

66 14) A) -2x B) -2x + 2 C) 2x D) 2x + 2 E) 4x P(x) = (x 2 + x – 1) 2 + 2x – 1 polinomunun x 2 + 2x ile bölümünden kalan nedir? ÇÖZÜM: P(x) x 2 + 2x Kalan = ? diyor. Bölüme B(x) diyelim. B(x) Bölmenin sağlaması gereği; P(x) = (x 2 + 2x).B(x) + Kalan (x 2 + x – 1) 2 + 2x – 1 Bu nasıl yok edilir. -2x alırsak yok olur. Yalnız bu değeri tüm x 2 lere de yazmalıyız. -2x (-2x + x – 1) 2 + 2x – 1 = 0 + Kalan Kalan -x – 1 (-x – 1) 2 = (x + 1) 2 (x + 1) 2 x 2 + 2x x – 1= Kalan -2x Rasladığımız her x 2 yi -2x almalıyız. 2x = Kalan istenendir.

67 15) A) -3 B) -2 C) 0 D) 6 E) 9 P(x + 1) = (2x + 1).Q(x – 2) + x Q(x) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre, P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM: Q(x) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan = Q(-1) =2 imiş. P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan = 2 2 P(2) = ? P(x + 1) = (2x + 1).Q(x – 2) + x Bundan faydalanarak isteneni bulalım. 1 Çünkü x yerine 1 yazarsak, istenen P(2) yakalanmış olur P(2) = 3.Q(-1) + 3 P(2) = P(2) = 9 istenendir.

68 16) A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 P(x) = x 3 – x 2 – ax + b polinomu x 2 – 3x + 2 ile tam bölündüğüne göre, a + b toplamı kaçtır? ÇÖZÜM: Böyle bir soru iki yoldan çözülebilir. İkisini de kullanacağız hangisini beğenirseniz onu devamlı kullanırsınız. 1.YOL: P(x) x 2 – 3x imiş. Bölüme B(x) diyelim. B(x) Bölmenin sağlaması gereği; P(x) = (x 2 – 3x + 2).B(x) + 0 x 3 – x 2 – ax + b = -2 (x – 1).(x – 2).B(x) Bundan nasıl kurtuluruz. Bu çarpanları sıfır yapan x değerlerini yazarak kurtuluruz. x = 1 için a + b = 0 x = 2 için – 4 – 2a + b = 0 4 = 2a – b b = a b 4 = 2b – b 4 = b Zaten b ile a eşit olduğundan; a = 4 İstenen = a + b 44 = 8 olur. 2.YOL: P(x) x 2 – 3x B(x) Burası 1. YOL ‘ daki ile aynı. Bölmenin sağlaması gereği; P(x) = (x 2 – 3x + 2).B(x) + 0 x 3 – x 2 – ax + b = (x 2 – 3x + 2).B(x) Bundan nasıl kurtuluruz? Burayı sıfır yaparak 1. yolda çarpanlarına ayırmış da yapmıştık. Fakat bu ifadenin bazen çarpanlara ayrılmadığı durumlarda gelebiliyor. O zaman şimdi yapacağımız yoldan başka yol kalmaz. x 2 – 3x + 2 = 0 x 2 = 3x – 2 3x – 2 Her yerde ki x 2 yerine 3x – 2 yazarsak B(x) den kurtuluruz. 3x – 2 Şimdi napcaz? Bunun yerine ne yazcaz. Bu kısmı ayrı bir yerde yapmalıyız. x 3 =x 2.x = 3x – 2 (3x – 2).x = 3x 2 – 2x 3x – 2 = 3.(3x – 2) – 2x = 9x– 6– 2x = 7x – 6 7x – 6 Biraz uzun sürdü ama polinomlar konusunda üslü işlemleri hızla yapabiliyor olmalıyız zaten. (7x – 6)–(3x – 2)– ax + b = 0 7x – 6 – 3x + 2 – ax + b = 0 4x – 4 – ax + b = 0 4x – 4 = ax – b a = 4b = 4 a + b = 8 olur.

69 17) A) -6 B) -2 C) 3 D) 10 E) 12 P(x) = x 3 + 3x 2 – x + b polinomunun x 2 – 2x ile bölümünden kalan ax + 3 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? ÇÖZÜM: x 3 + 3x 2 – x + b x 2 – 2x ax + 3 sorudaki anlatılan olay budur. Bölmenin sağlaması gereği; x 3 + 3x 2 – x + b = (x 2 – 2x). Bölüme B(x) diyelim. B(x) +ax + 3 Bundan kurtulmak için; 2x x 2 yerlerine 2x yazmamız yeterli olur. 2x Burasını ayrıca yapalım. x 3 = x 2.x = 2x 2x 2 = 2x 4x 4x + 3.(2x) – x + b = ax + 3 ax + 3 9x + b = ax + 3 a = 9 b = 3 İstenen = a + b 9 3 = 12 olur.

70 18) A) x – 2 B) x + 2 C) 3x + 4 D) 4x – 2 E) 4x – 6 P(x) = x 3 – 2x 2 + 3x polinomunun x 2 – x – 2 ile bölümünden kalan nedir? ÇÖZÜM: 1.YOL: P(x) x 2 – x – 2 Kalan = ? anlatılan olay budur. Bölüme B(x) diyelim. B(x) ax + b gibi olur. Çünkü; kalan bölenden bir derece düşük olur. (En fazla) Bölmenin sağlaması gereği; P(x) =(x 2 – x – 2).B(x) + ax + b x 3 – 2x 2 + 3x = -2 1 (x – 2).(x + 1).B(x) + ax + b Bundan kurtulmak içinçarpanlarını sıfırlayan sayıları yazacağız. x = 2 için – = 0 + 2a + b 6 = 2a + b x = -1 için -1 – 2 – 3 = 0 – a + b -6 = -a + b 12 =3a 4 = a -6 = -4 + b -2 = b 4 -2 Kalan = 4x – 2 2.YOL: P(x) x 2 – x – 2 Kalan = ? B(x) Bölmenin sağlaması gereği; P(x) =(x 2 – x – 2).B(x) + Kalan x 3 – 2x 2 + 3x = (x 2 – x – 2).B(x) + Kalan Bundan nasıl kurtulcazBurayı 0 yaparak x 2 – x – 2 = 0 x 2 = x + 2 x + 2 x 2 yerlerine x + 2 yazmalıyız. x + 2 Burayı ayrıca yapalım. x 3 = x 2.x = x + 2 (x + 2).x = x 2 + 2x x + 2 = x x = 3x + 2 3x + 2 (3x + 2) – 2.(x + 2) + 3x = 0 + Kalan 3x + 2 – 2x – 4 + 3x = Kalan 4x – 2 = Kalan olur. Hangi yol daha kısa sizce? Bana 2. YOL daha kullanışlı geliyor.

71 19) A) -2x + 2 B) -2x – 2 C) -2x – 3 D) -x – 3 E) 2x – 3 P(x) polinomunun katsayıları toplamı -4, P(x – 2) polinomunun sabit terimi 2 dir. Buna göre, P(x) polinomunun x 2 + x – 2 ile bölümünden kalan nedir? ÇÖZÜM: 1 x yerine 1 yazınca katsayılar toplamı bulunur. P(1) = -4 0 x yerine sıfır yazınca sabit terim bulunur. P(-2) = 2 P(x) polinomunun x 2 + x – 2 ile bölümünden kalan nedir? P(x) x 2 + x – 2 ax + b = ? Bölüme B(x) diyelim. B(x) Bölmenin sağlaması gereği; P(x) =(x 2 + x – 2).B(x) + ax + b verilenleri kullanalım. P(1) = B(x) + a + b 0 a + b = -4 P(-2) = -2 0.B(x) – 2a + b 0 -2a + b = 2 3a = -6 a = b = -4 b = Kalan = -2x – 2 olur.

72 20) A) t + 1 B) t – 1 C) –t – 1 D) t E) 2t olduğuna göre, t 2 – t + 1 = 0 aşağıdakilerden hangisidir? t 3 + t + 1 toplamının t cinsinden değeri ÇÖZÜM: t 3 + t + 1 = Öncelikle bunu t cinsinden bulmalıyız. Verilenden faydalanalım. t 2 – t + 1 = 0 t 2 = t – 1 t 3 = t 2.t t – 1 t 3 = (t – 1).t t 3 =t 2 – t t – 1 t 3 =t – 1 – t t 3 = t + 1= t olur.

73 POLİNOMLAR TESTİ-3

74 1) Aşağıdakilerden hangisi polinom değildir? x lerin üstleri doğal sayı olmalı. üs doğal sayı değil. Bu şık polinom olmaz.

75 2) A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14 n pozitif tamsayı olmak üzere, polinomunun derecesi en az kaçtır? ÇÖZÜM: Buraların pozitif tamsayı olacağı kesin n = 0 olsa yine polinom olur. Ama soruda n = pozitif tamsayı şartı verilmiş. n = 12 Olması halinde ikisininde pozitif tamsayı ve en az olacağı gözüküyor. P(x) = (x 3 + 2) 1 + (x 2 – 1) 4 + 5x – 4 P(x) =x (x ) + 5x – 4 Polinomun derecesi en az 8 olur.

76 3) A) -19 B) -17 C) -16 D) -15 E) -14 olduğuna göre, P(x) = (a – 2)x 2 + 2x + b – 1 Q(x – 3) = dx 2 – 4x – 18 P(x) = Q(x) a + b + d toplamı kaçtır? ÇÖZÜM: Önce Q(x) i bulalım. Q(x – 3) = dx 2 – 4x – 18 x + 3 Q(x) =d.(x + 3) 2 – 4(x + 3) – 18 Q(x) = d.(x 2 + 6x + 9) – 4(x + 3) – 18 Q(x) = dx 2 + 6dx + 9d – 4x – 12 – 18 Q(x) =dx 2 +(6d – 4)x + 9d– 30 P(x) = Q(x) (a – 2)x 2 + 2x + b – 1= dx 2 +(6d – 4)x + 9d– 30 a – 2 = d 2 = 6d – 4 b – 1 = 9d – 30 d = 1 1 a = 3 1 b = -20 İstenen = a + b + d = -16 olur.

77 4) A) -12 B) -10 C) -8 D) -6 E) -4 3x – 1 x 2 – 3x + 2 = A x – 1 + B x – 2 olduğuna göre, A.B çarpımı kaçtır? ÇÖZÜM: 3x – 1 x 2 – 3x + 2 = A x – 1 + B x – 2 3x – 1 -2 (x – 1).(x – 2) = (x-2) (x-1) A.(x – 2) + B.(x – 1) (x – 1).(x – 2) 3x – 1 = A.(x – 2) + B.(x – 1) x = 1 için = -A + 0 A = -2 x = 2 için = 0 + B B = 5 İstenen = A.B -2 5 = -10 olur.

78 5) A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 P(x) = (x + 2) 2 – (x + 1) polinomunun x + 3 ile bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) polinomununx + 3 ile bölümünden kalan = -3 P(-3) = ? P(x) = (x + 2) 2 – (x + 1) Çünkü; P(-3) ü arıyoruz. -3 P(-3) = (-1) 2 –(-2) P(-3) = P(-3) = 11 olur.

79 6) A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 P(x) 3.dereceden, Q(x) ise 4.dereceden bir polinomdur. P(x).Q 2 (x) P(x) – Q(x) ifadesi polinom olduğuna göre, bu polinomun derecesi kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) = x 3 Q(x) = x 4 olarak alabiliriz. verilen şartlara uyuyorlar. P(x).Q 2 (x) P(x) – Q(x) = x3x3.(x 4 ) 2 x3x3 – x4x4 = x 3.x 8 Payda 4. derecedir. Bu yüzden paydayı x 4 olarak alabiliriz. x4x4 = x 11 x4x4 = x 11-4 = x 7 7. derecedir.

80 7) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 ax 3 + bx 2 + cx + d 2x 2 + x – 2 x + 2 x + 1 Yukarıdaki bölme işlemine göre, c kaçtır? ÇÖZÜM: Bölmenin sağlaması gereği; ax 3 + bx 2 + cx + d = (2x 2 + x – 2).(x + 2) + x + 1 Bu çarpımın sonucunda illa ki x li bir terim vardır. İşte bu x li terimin katsayısı c sayısına eşittir. Nerelerin çarpımından x li terimler gelir belirleyelim. 2x+ (-2x)+ x Başka bir yerden gelmez. = x Katsayısı 1 olup c = 1 dir.

81 8) A) -3 B) -2 C) -1 D) 0 E) 1 P(x) = x 16 – 2x 8 – 2 polinomunun ile bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) Kalan = ? Bölüme B(x) diyelim. B(x) Bölmenin sağlaması gereği; x 16 – 2x 8 – 2 = Bundan nasıl kurtuluruz? -2 x 4 yerine -2 yazarak kurtuluruz. Buradaki x 4 lerin yerine de yazmalıyız. (x 4 ) 4 -2 ( ) 4 4 – 2.(x 4 ) 2 -2 ( ) – 2 = 0 + Kalan -2 = Kalan 2.YOL: P polinomunda x 4 yerlerine yazarsak kalan bulunmuş olur. P(x) = x 16 – 2x 8 – 2 = (x 4 ) 4 – 2(x 4 ) 2 – 2 = 4 4 = 4 – 4 – 2 = -2 Kalandır.

82 9) A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 P(x) = 3x 2 + ax + c P(x) polinomunun sabit terimi 2 ve katsayılar toplamı 7 olduğuna göre, a – c farkı kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) = 3x 2 + ax + c Katsayılar toplamı = 3ac 3 + a + c = 7 Sabit terim = c = a = 7 a = 2 İstenen = a – c 2 2 = 0 olur. Katsayılar ve sabit terim şabalak gibi sırıttığı için böyle bir yol kullandık.

83 10) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 P(2x – 1) = x 3 – 2x 2 – x + a polinomu veriliyor. P(x) polinomu x – 3 ile tam bölündüğüne göre, a kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) polinomu x – 3 ile tam bölündüğüne göre P(x) x – 3 B(x) 0 demektir. Yani; Kalan sıfır demektir. Bölmenin sağlaması gereği; P(x) = (x – 3).B(x) P(3) = 0 Bunu kullanalım. P(2x – 1) = x 3 – 2x 2 – x + a 2 Çünkü 2 yazınca P(3) gelmiş olur. 222 P(3) = 8 – 8 – 2 + a 0 =-2 + a 2 = a olur.

84 11) A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 olduğuna göre, P(x) = 2x 3 – 3x 2 – 1 polinomunun x + 1 ile bölümden elde edilen bölüm Q(x) polinomu Q(x) polinomunun katsayıları toplamı kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) x + 1 Q(x) olarak veriliyor. Kalan Bunun ne olduğunu bilmiyoruz. P(x) in x + 1 ile bölümünden kalan = P(-1) P(-1) =-2 – 3 – 1 = Bölmenin sağlaması gereği; P(x) = (x + 1).Q(x) + (-6) 2x 3 – 3x 2 – 1 = (x + 1).Q(x) – 6 1 Neden 1 yazdık? Çünkü Q(1) soruluyor. Çünkü Q(x) in katsayıları toplamı = 1 Q(1) dir – 3 – 1 = 2.Q(1) – 6 -2 = 2.Q(1) – 6 4 = 2.Q(1) 2 = Q(1) istenendir.

85 12) A) x + 1 B) x – 1 C) x + 4 D) x – 4 E) –x – 1 P(x) = 3x 3 – x polinomunun x 2 – x + 1 ile bölümünden kalan nedir? ÇÖZÜM: P(x) x 2 – x + 1 Kalan = ? Bölüme B(x) diyelim. B(x) Bölmenin sağlaması gereği; P(x) =(x 2 – x + 1).B(x) + Kalan Bundan nasıl kurtuluruz?Bu çarpanı sıfırlayarak. x 2 – x + 1 = 0 x 2 = x – 1 x – 1 x 2 yerlerine x – 1 yazarsak kalan bulunur. 3x 3 – x = (x 2 – x + 1).B(x) + Kalan x – 1 Bunu ayrıca yapalım. x 3 =x 2.x = x – 1 (x – 1).x = x 2 – x x – 1 = x – 1 – x = -1 -3–(x – 1) + 1 = 0 + Kalan -3 – x = Kalan -x – 1 = Kalan olur.

86 13) A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 P(x) polinomunun x 2 – 5x + 6 ile bölümünden kalan 2x – 1 dir. Buna göre, P(x) polinomunun x – 3 ile bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) polinomunun x 2 – 5x + 6 ile bölümünden kalan 2x – 1 dir P(x) x 2 – 5x + 6 2x – 1 B(x) Bölmenin sağlaması gereği; P(x) = (x 2 – 5x + 6).B(x) + 2x – 1 olur. P(x) polinomunun x – 3 ile bölümünden kalan kaçtır P(x) polinomunun x – 3 ile bölümünden kalan = 3 3 P(3) dür P(3) = P(3) = 5 istenen kalandır.

87 14) A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan 3 ve Q(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 2 dir. Buna göre, x.P(x) – Q(x – 1) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan 3 P(2) = 3 Q(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 2 Q(1) = 2 Artık bunu yapabilecek kadar seviyeye gelmiş olmalısınız. x.P(x) – Q(x – 1) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan = P(2) – Q(1) = 6 – 2 4

88 15) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 P(2x – 1) Q(x + 1) = x 2 + x – 1 Q(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre, P(x + 2) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM: Q(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan 2 Q(2) = 2 P(x + 2) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan = P(1) = ? Bunu bulmak için verilenden faydalanalım. P(2x – 1) Q(x + 1) = x 2 + x – 1 x yerlerine ne yazarsak P(1) gelir? 2x – 1 = 1 2x = 2 x = P(1) Q(2) = – P(1) = 2 istenendir.

89 16) A) 31x + 31 B) 31x – 31 C) 32x – 1 D) 32x – 32 E) 32x + 32 P(x) = 3x 3 – x 2 – 3x + 1 polinomunun x 2 – 4x + 3 ile bölümünden kalan nedir? ÇÖZÜM: x 2 – 4x + 3 x 2 – 4x + 3 = 0 x 2 = 4x – 3 x 2 yerlerine 4x – 3 yazınca kalan bulunur. Artık eskisi gibi uzatmaya gerek yok. P(x) = 3x 3 – x 2 – 3x + 1 4x – 3 Bunu ayrıca yapalım. x 3 =x 2.x = 4x – 3 (4x – 3).x =4x 2 – 3x = 4x – 3 4.(4x – 3) – 3x =16x – 12 – 3x = 13x – 12 13x–12 Kalan =3.(13x – 12) – (4x – 3) – 3x + 1 Kalan = 39x – 36 – 4x + 3 – 3x + 1 Kalan =32x – 32 olur.

90 17) A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 P(x) = (x 2 + 1).(ax 2 + 2x + 3) – 4 polinomunun bir çarpanı x + 1 olduğuna göre, P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) polinomunun bir çarpanı x + 1 ise P(x) = (x + 1).Q(x) gibidir. (x 2 + 1).(ax 2 + 2x + 3) – 4 = (x + 1).Q(x) Çünkü; -1 yazınca Q(x) den kurtuluruz. 2.(-a – 2 + 3) = 0 2.(-a + 1) = 0 -a + 1 = 0 -a = -1 a = 1 P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan İstenen = P(1) P(x) = (x 2 + 1).(ax 2 + 2x + 3) – P(1) = (1 + 1).( ) – 4 P(1) = 8 istenendir.

91 18) A) x B) x C) x 3 D) x 2 – 1 E) x 4 olduğuna göre, P(2x – 1) = 4x 2 – 4x + 1 P(x 2 ) polinomu aşağıdakilerden hangisine eşittir? ÇÖZÜM: P(2x – 1) = 4x 2 – 4x + 1 P(2x – 1) = (2x – 1) 2 Çarpanlara ayırma konusundan tam kareli ifadeleri biliyor olmalıyız. 2x – 1 P polinomu içine aldığı şeye sadece karesini alma işlemi yapıyor demektir. İstenen = P(x 2 ) =x2x2 bununda sadece karesini alacak demektir. (x2)2(x2)2 = x 4 olur.

92 19) A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24 P(x) = 2x 2 – 3x + 1 olduğuna göre,P(x 2 ) polinomunun x + 2 ile bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM: P(x 2 ) polinomunun x + 2 ile bölümünden kalan = -2 P(4)= ? P(x) = 2x 2 – 3x Çünkü P(4) ü arıyoruz. 44 P(4) = 32 – P(4) = 21 olur.

93 20) P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan 2, P(x) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan 3 tür. Buna göre, P(x) polinomunun (x – 2).(x + 1) ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir? ÇÖZÜM: istenen şey. verilenlerin çarpımıdır. Konu anlatımında bu durumlar için kolay yol vardı. Kullanalım. P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan 2 P(2) = 2 P(x) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan 3 tür P(-1) = 3 Şıklarda; x yerine 2 yazdığımızda sonucu 2 olan şıklar doğru cevaptır. olmaz. olur. Kullanmaya gerek kalmadı bile.

94 POLİNOMLAR TESTİ-4

95 1) A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 P(x) = x n x -n + 2 polinomunun derecesi en fazla kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) = x n x -n + 2 n yi pozitif tamsayı alırsak Burası doğal sayı olmaz. n + 4 ≥ 0 n ≥ -4 n = -4 için polinom =P(x) = x x = 1 2.x n = -3 için polinom =P(x) = x x Gittikçe derece azalıyor. En fazla 4 olur.

96 2) A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 (2x 4 – 3x 2 + 8x + 11).(x 3 – 2x 2 + 6x – 3) çarpımında x 4 lü terimin katsayısı kaçtır? ÇÖZÜM: (2x 4 – 3x 2 + 8x + 11).(x 3 – 2x 2 + 6x – 3) x 4 lü terimler nerelerin çarpımından gelir? Belirleyelim. -6x 4 + 6x 4 + 8x 4 Başka yerlerden gelmez. = 8x 4 x 4 lü terimin katsayısı 8 olur.

97 3) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 P(x) = 2x 3 – x + a x + 1 P(x) bir polinom olduğuna göre, P(-1) kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) = 2x 3 – x + a x + 1 Demek ki tam bölünme oluyor ki P(x) polinom oluyor. Yani; x + 1 ifadesi 2x 3 – x + a nın bir çarpanı demektir. Yani; 2x 3 – x + a = (x + 1).Q(x) a = 0 a = 1 olur. = 2x 3 – x + 1 x + 1 Pay kısmını çarpanlara ayırmak zor gözüküyor. O halde normal bölme yaparak sonuca gidelim. 2x 3 – x + 1x + 1 2x 3 x = 2x 2 2x 2 2x 3 + 2x 2 -2x 2 – x x 2 x = -2x – 2x -2x 2 – 2x x x = 2x 2 – 2x + 1 P(x) = 2x 2 – 2x + 1 P(-1) = 5 olur.

98 4) A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2 P(x) polinomunun (x – 1).(x + 3) ile bölümünden kalan 2x – 3 tür. Buna göre, P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) polinomunun (x – 1).(x + 3) ile bölümünden kalan 2x – 3 tür. P(x) (x – 1).(x + 3) 2x – 3 B(x) P(x) = (x – 1).(x + 3).B(x) + 2x – 3 olur. İstenen = P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan = 1 1 P(1) = ? P(1) = – 3 P(1) = -1 istenendir

99 5) A) x + 1 B) 1 C) x – 1 D) -x E) –x + 1 olduğuna göre, P(x – 1) = x 2 – x + 1 P(x 2 ) polimomunun x ile bölümünden kalan nedir? ÇÖZÜM: P(x 2 ) polimomunun x ile bölümünden kalan nedir P(x 2 ) polimomunun x ile bölümünden kalan nedir? demek; x x P(x) polimomunun x + 1 ile bölümünden kalan nedir? demektir. = P(-1) = ? Bunu bulmak için P(x – 1) = x 2 – x + 1 Bundan faydalanalım. P(x – 1) = x 2 – x Çünkü 0 yazınca istenen P(-1) bulunur. 0 0 P(-1) = 1 istenendir

100 6) A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2 P(x) polinomunun x 2 – x ile bölümünden kalan 3x – 4 olduğuna göre, P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) polinomunun x 2 – x ile bölümünden kalan 3x – 4 olduğuna göre, P(x) x 2 – x 3x – 4 B(x) P(x) =(x 2 – x).B(x) + 3x – 4 İstenen = P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan = 1 1 P(1) = ? P(1) = – 4 P(1) = -1 istenendir

101 7) olduğuna göre, (x + 2).P(x) = x 3 + ax + 2 P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan kaçtır? A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2 ÇÖZÜM: P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan kaçtır? P(2) = ? (x + 2).P(x) = x 3 + ax + 2 Öncelikle a bulunmalıdır. -2 Çünkü x = -2 olunca P(x) kaybolur ve a bulunabilir =-8 – 2a = -6 – 2a 2a = -6 a = -3 (x + 2).P(x) = x 3 + ax + 2– 3x 2 Niye 2 yazdık? Bunu arıyorduk dimi? P(2) = 8 – P(2) = 4 P(2) = 1 istenendir

102 8) A) -3x + 1 B) x – 1 C) -3x + 4 D) 2x + 4 E) -3x – 1 P(x) polinomunun x – 3 bölümünden kalan 1, P(x) polinomunun x – 4 bölümünden kalan -2 dir. Buna göre, P(x + 2) polinomunun x 2 – 3x + 2 ile bölümünden kalan nedir? ÇÖZÜM: P(x + 2) polinomunun x 2 – 3x + 2 ile bölümünden kalan nedir P(x + 2) x 2 – 3x + 2 Kalan = ? ax + b Bölüme B(x) diyelim. B(x) Bölmenin sağlaması gereği; P(x + 2) = (x 2 – 3x + 2). B(x) + ax + b -2 (x – 1).(x – 2) Bundan kurtulmak için Burayı sıfır yapan 1 ve 2 değerlerini yazalım P(3) = 0 + a + b a + b P(3) = 1 = P(4) = 0 + 2a + b 2a + b P(4) = -2 = -2 -a = 3 a = b = 1 b = Kalan = -3x + 4 istenendir.

103 9) A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2 P(x) = x 5 – 2x 3 – ax + b polinomunun x ile bölümünden kalan 2x – 1 olduğuna göre, a – b farkı kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) = x 5 – 2x 3 – ax + b polinomunun x 5 – 2x 3 – ax + b x ile bölümünden x kalan 2x – 1 2x – 1 şeklinde imiş. B(x) diyelim. Bölmenin sağlaması gereği; x 5 – 2x 3 – ax + b = (x 2 + 1).B(x) + 2x – 1 Bundan kurtulmak için; yazarız. Fakat tüm x 2 yerlerine -1 yazmalıyız. Bunu bulalım. x 3 = x 2.x = -x -x Bunu bulalım. x 5 =x 2.x 2.x = x x x – 2.(-x) – ax + b = 0 + 2x – 1 3x – ax + b = 2x – 1 -ax + b = -x – 1 -a = -1 a = 1b = -1 İstenen = a – b 1 = 2 olur.

104 10) A) 3x 2 – 5x + 1 P(x) polinomunun x 2 + x ile bölümünden kalan 2x – 1, P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 7 dir. Buna göre, P(x) polinomunun x 3 – x ile bölümünden kalan nedir? B) 3x 2 + 5x – 1 C) 3x 2 – 5x – 1 D) x 2 – 5x + 1 E) x 2 – 5x – 1 ÇÖZÜM: Bu ifade verilenlerin çarpımı mı? (x 2 + x).(x – 1) = x(x + 1).(x – 1) = x.(x 2 – 1) = x 3 – x Evet. O halde; P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 7 P(1) = 7 Doğru cevap şıkkında x yerine 1 yazıldığında sonucun 7 çıkması gerekir. Bu durum sadece B) şıkkında vardır. Bu durumu başka şık da sağlasa idi diğer bilgiyi kullanacaktık. Ama gerek kalmadı. Çünkü bu bir test sorusu ve yukarıdaki espiriyi bilen kazanacak.

105 11) A) -20 B) -19 C) -18 D) -17 E) -16 olduğuna göre, P(x) polinomunun x 2 + 2x – 15 ile bölümünden kalan 4x + 3 P(x) polinomunun x + 5 bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) polinomunun P(x) x 2 + 2x – 15 ile bölümünden x 2 + 2x – 15 kalan 4x + 3 4x + 3 imiş. B(x) diyelim. Bölmenin sağlaması gereği; P(x) = (x 2 + 2x – 15).B(x) + 4x + 3 İstenen = P(x) polinomunun x + 5 ile bölümünden kalan = -5 P(5) = ? -5 0 P(-5) = 0 + (-20) + 3 P(-5) = -17 istenendir

106 12) A) -2 B) -1 C) 1 D) 2 E) 4 P(x + 3) = x 3 + 2x 2 + x + m P(3 – x) polinomunun bir çarpanı 2 – x olduğuna göre, m kaçtır? ÇÖZÜM: P(3 – x) polinomunun bir çarpanı 2 – x olduğuna göre P(3 – x) = (2 – x).Q(x) gibi bir şey bu. 2 2 P(1) = 0 demektir. P(x + 3) = x 3 + 2x 2 + x + m -2 Çünkü -2 yazınca P(1) gelmiş olur. -2 P(1) = – 2 + m 0 = -2 + m 2 = m istenendir

107 13) A) -5x + 2 B) 5x – 2 C) 5x + 2 D) 2x + 5 E) 2x – 5 olduğuna göre, P(x) polinomunun x 3 – 1 ile bölümünden kalan 2x 2 – 3x + 4 P(x) polinomunun x 2 + x + 1 ile bölümünden kalan nedir? ÇÖZÜM: P(x) polinomunun P(x) x 3 – 1 ile bölümünden x 3 – 1 kalan 2x 2 – 3x + 4 2x 2 – 3x + 4 imiş. B(x) Bölmenin sağlaması gereği; P(x) =(x 3 – 1). B(x) + 2x 2 – 3x + 4 olur. P(x) polinomunun x 2 + x + 1 ile bölümünden kalan nedir? P(x) x 2 + x + 1 Kalan = ? M(x) P(x) =(x 2 + x + 1).M(x) + Kalan (x 3 – 1). B(x) + 2x 2 – 3x + 4 = (x 2 + x + 1).M(x) + Kalan (x – 1).(x 2 + x + 1) -x – 1 Yazınca M(x) kaybolur ve Kalan bulunur. -x – x – 2 – 3x + 4 = 0 + Kalan Kalan -5x + 2 = Kalan istenendir

108 14) A) -6 B) -2 C) 2 D) 3 E) 6 olduğuna göre, (x – 1).P(x + 1) = x 4 + 2x 2 + 3x + a P(x – 2) polinomunun x – 3 ile bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM: Önce a bulunmalı. (x – 1).P(x + 1) = x 4 + 2x 2 + 3x + a = a -6 = a – 6 (x – 1).P(x + 1) = x 4 + 2x 2 + 3x – 6 İstenen = P(x – 2) polinomunun x – 3 ile bölümünden kalan = 3 3 P(1) P(1) = -6 P(1) = 6 istenendir

109 15) A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 olduğuna göre, P(x) + P(2x) = 5x 2 – 9x + 2 P(x – 1) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM: P(x – 1) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan = P(-2) = ? Eli mahkum P(x) polinomunun ne olduğunu bulmak zorundayız. P(x) polinomunun II. dereceden olduğu kesin. P(x) = ax 2 + bx + c olarak kabul edelim. P(x) = ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c + 2x a(2x) 2 + b.(2x) + c = 5x 2 – 9x + 2 (a + 4a)x 2 + (b + 2b)x + 2c = 5x 2 – 9x + 2 5a = 5 a = 1 3b = -9 b = -3 2c = 2 c = P(x) = x 2 – 3x + 1 P(-2) = (-2) 2 – 3(-2) + 1 P(-2) = 11 istenendir

110 16) A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 olduğuna göre, P(x) polinomunun (x + 2) 2 ile bölümünden kalan -2x + 3 P(x) polinomunun 2x + 4 bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) polinomunun P(x) (x + 2) 2 ile bölümünden (x + 2) 2 kalan -2x x + 3 imiş. B(x) Bölmenin sağlaması gereği; P(x) =(x + 2) 2.B(x) – 2x + 3 İstenen = P(x) polinomunun 2x + 4 ile bölümünden kalan = -2 P(-2) -2 P(-2) = P(-2) = 7 istenendir

111 17) A) 2x – 4 B) 2x + 6 C) 6x – 2 D) 6x + 2 E) 2x + 2 P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden elde edilen bölüm x ve kalan 2 dir. Buna göre, P(x) polinomunun (x – 1) 2 bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) polinomunun (x – 1) 2 bölümünden kalan kaçtır P(x) (x – 1) 2 Kalan B(x) P(x) = (x – 1) 2. B(x) + Kalan P(x) polinomunun P(x) x – 2 ile bölümünden x – 2 elde edilen bölüm x x ve kalan 2 dir 2 P(x) = (x – 2).(x 2 + 3) + 2 olur. (x – 2).(x 2 + 3) + 2 = (x 2 – 2x + 1). B(x) + Kalan Bundan kurtulmak için; 2x – 1 yazmamız gerekir. 2x – 1 (x – 2).(2x – 1 + 3) + 2 = 0 + Kalan Kalan (x – 2).(2x +2 ) + 2 =Kalan 2x 2 + 2x – 4x – = Kalan 2x 2 – 2x – 2 = Kalan 2x – 1 2.(2x – 1) – 2x – 2 = Kalan 4x – 2 – 2x – 2 = Kalan 2x – 4 Biraz zordu dimi?

112 18) A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2 P(x) = x 3 + ax + b polinomu (x – 1) 2 ile tam bölündüğüne göre, b kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) polinomu P(x) (x – 1) 2 ile tam bölündüğüne göre (x – 1) 2 0 demektir. B(x) Bölmenin sağlaması gereği; P(x) =(x – 1) 2. B(x) x 3 + ax + b = (x – 1) 2. B(x) Bundan kurtulcaz a + b = 0 a + b = -1 Bu şekilde sıfır yaparsanız b bulunamaz. Peki ne yapcaz. İzleyin canlarım. x 3 + ax + b = (x 2 – 2x + 1).B(x) 2x – 1 yazarsak sağ taraf sıfır olur. Fakat tüm x 2 yerlerine 2x – 1 yazmalıyız. x 2.x 2x – 1 = (2x – 1).x = 2x 2 – x 2x – 1 =4x – 2 – x = 3x – 2 3x – 2 + ax + b = 0 ax + b = -3x + 2 b = 2 olur. Bu soru Türev kullanarak da çözülmektedir. Ama bu yeterli bence.

113 19) A) 2x – 3 B) 2x – 1 C) 2x + 1 D) x – 2 E) x + 1 P(x + 2) + P(x) = 4x + 6 olduğuna göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden hangisidir? ÇÖZÜM: P(x) polinomunun I. dereceden olması gerekir. P(x) = ax + b olarak alalım. P(x) = ax + b P(x + 2) = a(x + 2) + b + ax + b = 4x + 6 ax + 2a + ax + 2b = 4x + 6 2ax +2a + 2b = 4x + 6 2a = 4 a = 2 2a + 2b = b = 6 2b = 2 b = 1 P(x) = ax + b 21 P(x) = 2x + 1 olur.

114 20) a a 2 + 2a + 2 ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) a 2 – a + 2B) a 2 + a + 1 C) a 2 – 1 D) a 2 – 2a + 2 E) a 2 + 2a + 2 ÇÖZÜM: a = 1 için a a 2 + 2a = 5 5 = 1 olur. Bunun sade şekli olan şıklarda da x = 1 için sonuç 1 çıkan şık doğrudur. 11 = = 3 1 = = 1 Bu doğru şık.


"POLİNOMLAR. BİLGİLER 1) x değişkenine bağlı üsleri doğal sayı katsayıları reel sayı olan ifadelere reel katsayılı polinom denir. P(x), Q(x), B(x) … lerle." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları