Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Bölüm 3 Kesikli Rassal Değişkenler ve Olasılık Dağılımları OLASILIK (6BMHMAU102) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-1.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Bölüm 3 Kesikli Rassal Değişkenler ve Olasılık Dağılımları OLASILIK (6BMHMAU102) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-1."— Sunum transkripti:

1 Bölüm 3 Kesikli Rassal Değişkenler ve Olasılık Dağılımları OLASILIK (6BMHMAU102) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-1

2 Olasılık Dağılımlarına Giriş Rassal Değişken Rastgele bir deneyden olan muhtemel bir sayısal değeri temsil etmektedir Rassal Değişkenler Kesikli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişkenler Bölüm. 3Bölüm. 4 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-2

3 Kesikli Rassal Değişkenler Sadece sayılabilen sayı değerlerini alabilirler Örnekler: Bir zar atma X zarın 4 gelmesi sayısı olsun (o halde X 0, 1, veya 2 defadır) 5 defa yazı-tura atma. X tura gelme sayısı (o halde X = 0, 1, 2, 3, 4, veya 5’dir) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-3

4 Kesikli Olasılık Dağılımı x Değeri Olasılık 0 1/4 = 0,25 1 2/4 = 0,50 2 1/4 = 0,25 Deney: 2 Para ile Yazı-tura atmak. X = Tura sayısı olsun Y Y 4 muhtemel sonuç Y Y T T TT Olasılık Dağılımı x 0,50 0,25 Olasılık P(x)’i gösteriniz, yani tüm x değerleri için P(X = x) : Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-4

5 Olasılık Dağılımı Gerekli Özellikler  P(x)  0 her hangi bir x değeri için  Bireysel olasılıklar 1’e tamamlanır; (Notasyon tüm muhtemel x değerleri boyunca toplamı göstermektedir) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-5

6 Birikimli (Kümülatif) Olasılık Fonksiyonu F(x 0 ) olarak gösterilen Birikimli (Kümülatif) Olasılık Fonksiyonu, X’in x 0 ’dan daha küçük veya eşit olduğunu göstermektedir Başka bir deyişle, Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-6

7 Beklenen Değer Bir Kesikli dağılımın Beklenen Değeri (veya ortalama) (Tartılı Ortalama) Örnek: 2 yazı tura atma, x = tura sayısı, x’in beklenen değerini hesaplayınız: E(x) = (0×0,25) +(1×0,50)+(2×0,25) = 1,0 x P(x) 0 0,25 1 0,50 2 0,25 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-7

8 Varyans ve Standart Sapma Bir X kesikli Rassal değişkeninin Varyansı Bir X kesikli Rassal değişkeninin Standart Sapması Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-8

9 Standart Sapma (Örnek) Örnek: 2 kez yazı-tura atılmaktadır, X tura sayısıdır, standart sapmayı hesaplayınız (E(x) = 1 olduğunu hatırlayınız) Muhtemel tura sayısı = 0, 1, or 2 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-9

10 Rassal Değişkenlerin Fonksiyonları Eğer P (x) X kesikli Rassal değişkeninin olasılık fonksiyonu ve g(x) X’in herhangi bir fonksiyonu ise, g fonksiyonunun beklenen değeri aşağıdaki gibidir: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-10

11 Rassal Değişkenlerin Doğrusal Fonksiyonları a ve b herhangi sabitler olmak üzere, a) yani, eğer bir Rassal değişken daima a değerini alıyorsa, a ortama değeri ve o standart sapmaya sahip olacaktır b) yani, b.X’in beklenen değeri b·E(x)’dir. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-11

12 Rassal Değişkenlerin Doğrusal Fonksiyonları Rassal X değişkeni µ x ortalama ve σ 2 x varyans değerine sahip olmak üzere a ve b her hangi sabit değerler olmak üzere Y = a + bX olmak üzere O halde Y’nin ortalama ve varyansı aşağıdaki gibidir O halde Y’nin standart sapması aşağıdaki gibidir (devam) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-12

13 Olasılık Dağılımları Sürekli Olasılık Dağılımları Binom Hipergeometrik Poisson Olasılık Dağılımları Kesikli Olasılık Dağılımları Tekdüze (Uniform) Normal Üstel Bölüm. 3 Bölüm. 4 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-13

14 Binom Dağılımı Binom Hipergeometrik Poisson Olasılık Dağılımları Kesikli Olasılık Dağılımları Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-14

15 Bernoulli Dağılımı Sadece “başarı” veya “başarısızlık” şeklinde iki sonucu ele alınız P başarı olasılığını göstersin 1 – P başarısızlık olasılığını göstersin Rassal X değişkeni tanımlanmış olsun: eğer başarılı ise x = 1, eğer başarısızsa x = 0 O halde Bernoulli olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibidir: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-15

16 Bernoulli Dağılımı Ortalama ve Varyans Ortalama µ = P ‘dir Varyans σ 2 = P(1 – P) ‘dir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-16

17 n Denemede x Başarısı Dizileri n bağımsız denemedeki X başarısı olan dizilerin sayısı : burada n! = n·(n – 1)·(n – 2)·... ·1 ve 0! = 1 Bu diziler karşılıklı dışlamalıdır, çünkü her ikisi de aynı anda meydana gelemez Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-17

18 Binom Olasılık Dağılımı  n adet sabit bir sayıdaki gözlem  örneğin, 15 defa yazı tura atılması; bir depodan alınan on ampul  İki karşılıklı dışlamalı ve toplu ayrıntılı kategori  örneğin, paranın her atılışında yazı ve tura; arızalı veya arızalı olmayan ampul  Genellikle “başarı” ve “başarısızlık” şeklindedir.  Başarı olasılığı P, başarısızlık olasılığı 1 – P  Her bir gözlem için sabit olasılık  örneğin, her para atılışında yazı gelme olasılığı aynıdır  Gözlemler bağımsızdır  Bir gözlemin sonucu diğerinin sonucunu etkilememektedir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-18

19 Muhtemel Binom Dağılımı Düzenleri Bir imalathane ürünleri hatalı veya kabul edilebilir olarak etiketlemektedir Sözleşme için teklif veren bir firma bir sözleşme imzalar veya imzalamaz Bir pazarlama araştırması yapan firma anket yanıtı olarak “evet satın alacağım” veya “hayır satın almayacağım” sonucunu almaktadır Yeni iş başvurusunda bulunanlar sunulan teklifi kabul ederler veya reddederler. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-19

20 Binom Dağılımı Formülü P(x) = her bir denemede P başarı olasılığı ile n denemede x başarının olasılığı x = örnekteki ‘başarı’ sayısı, (x = 0, 1, 2,..., n) n = örnek büyüklüğü (deneme veya gözlem sayısı) P = “başarı” olasılığı P(x) n x ! nx P(1- P) X n X ! ( ) !    Örnek: Bir para dört kez atılması sonucu x=tura sayısı olsun: n = 4 P = P = ( ) = 0.5 x = 0, 1, 2, 3, 4 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-20

21 Örnek: Bir Binom Olasılığının Hesaplanması Eğer başarı olasılığı 0,1 ise beş gözlemde bir başarının olasılığı nedir? x = 1, n = 5, ve P = 0,1 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-21

22 Binom Dağılımı Binom dağılımının şekli P ve n’nin değerlerine bağlıdır n = 5 P = 0,1 n = 5 P = 0,5 Mean 0 0,2 0,4 0, x P(x) 0,2 0,4 0, x P(x) 0  Burada, n = 5 ve P = 0,1’dir  Burada, n = 5 ve P =0,5’dir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-22

23 Binom Dağılımı Ortalama ve Varyans Ortalama  Varyans ve Standart Sapma Buradan = örnek büyüklüğü P = başarı olasılığı (1 – P) = başarısızlık olasılığı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-23

24 Binom Özellikleri n = 5 P = 0,1 n = 5 P = 0,5 Mean 0 0,2 0,4 0, x P(x) 0,2 0,4 0, x P(x) 0 Örnekler Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-24

25 Binom Tablolarının Kullanılması Nx…p=.20p=.25p=.30p=.35p=.40p=.45p= ………………………………………………………… Örnekler: n = 10, x = 3, P = 0,35: P(x = 3|n =10, p = 0,35) = 0,2522 n = 10, x = 8, P = 0,45: P(x = 8|n =10, p = 0,45) = 0,0229 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-25

26 Hipergeometrik Dağılım Binom Poisson Olasılık Dağılımı Kesikli Olasılık Dağılımı Hipergeometrik Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-26

27 Hipergeometrik Dağılım N boyutundaki sonlu bir popülasyondan (ana kütleden alınmış olan bir örnekteki “n” Yerine koymaksızın alınan örnek Denemelerin sonuçları bağımlıdır Popülasyonda“S” başarının mevcut olduğu örnekteki “X” başarının olasılığının bulunması ile ilgilidir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-27

28 Hipergeometrik Dağılım Formülü Burada N = popülasyon büyüklüğü S = popülasyondaki başarı sayısı N – S = popülasyondaki başarısızlık sayısın n = örnek büyüklüğü x = örnekteki başarı sayısı n – x = örnekteki başarısızlık sayısı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-28

29 Hipergeometrik Dağılımın Kullanımı ■ Örnek: Bir bölümdeki 10 bilgisayar arasından 3 farklı bilgisayar kontrol ediliyor. Bu 10 bilgisayardan 4’ü yasa dışı yazılım yüklenmiş. Seçilmiş olan bu 3 bilgisayardan 2’sinin yasa dışı yazılım yüklenmiş olma olasılığı nedir? N = 10n = 3 S = 4 x = 2 Seçilen 3 bilgisayar arasından 2’sinde yasa dışı yazılım yüklenmiş olma olasılığı 0,30 veya %30’dur. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-29

30 Poisson Dağılımı Binom Hipergeometrik Poisson Olasılık Dağılımı Kesikli Olasılık Dağılımı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm

31 Poisson Dağılımı Aşağıdaki hallerde Poisson Dağılımı uygulanır: Verilen sürekli bir aralıkta bir olayın meydana gelme sayısını saymak isteyebilirsiniz Bir alt aralıkta bir olayın meydana gelme olasılığı çok küçüktür ve tüm alt aralıklar için aynıdır Bir alt aralıkta meydana gelen olayların sayısı diğer alt aralıklarda meydana gelen olayların sayısından bağımsızdır Her bir alt aralıkta birden çok meydana gelme olmayabilir Birim başına olayların beklenen sayısı (lambda)’dır. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-31

32 Poisson Dağılımı Formülü burada: x = birim başına başarı sayısı = birim başına beklenen başarı sayısı e = doğal logaritma sisteminin tabanı (2, ) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-32

33 Poisson Dağılımının Özellikleri Ortalama  Varyans ve Standart Sapma burada = birim başına beklenen başarı sayısı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-33

34 Poisson Tablolarının Kullanımı X Örnek: Eğer = 0,50 ise P(X = 2)’yi bulunuz Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-34

35 Poisson Olasılıklarının Grafiği X = 0, ,6065 0,3033 0,0758 0,0126 0,0016 0,0002 0,0000 P(X = 2) = 0,0758 Grafik olarak: = 0,50 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-35

36 Poisson Dağılımının Şekli Poisson Dağılımının şekli parametresine bağlıdır : = 0,50 = 3,00 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-36

37 Ortak (Bileşik) Olasılık Fonksiyonu Ortak (Bileşik) Olasılık Fonksiyonu X’in x spesifik değerini ve eş zamanlı olarak Y’nin y değerini aldığı ifade etmek üzere kullanılmaktadır Tekne (Marjinal) olasılıklar aşağıdaki gibidir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-37

38 Koşullu Olasılık Fonksiyonları Rassal Y değişkeninin koşullu olasılık fonksiyonu X için x değerinin belirlendiğinde Y’nin y değerini aldığı olasılığı ifade etmektedir. Benzer şekilde, X’in koşullu olasılık fonksiyonu, Y = y olarak verildiğinde, aşağıdaki gibidir: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-38

39 Bağımsızlık Bileşik olarak dağıtılmış olan X ve Y Rassal değişkenleri, sadece ve sadece bileşik olasılık fonksiyonları marjinal olasılık fonksiyonlarının çarpımı ise bağımsız olarak anılmaktadırlar: muhtemel tüm x ve y değer çiftleri için Bir k adet değişkenler kümesi yalnız ve yalnız aşağıdaki durum söz konusu ise bağımsızdır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-39

40 Koşullu Ortalama ve varyans Bölüm 3-40 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Koşullu olasılık Koşullu varyans

41 Ortak Varyans (Kovaryans) X ve Y, μ X ve μ Y ortalamaları ile X ve Y kesikli Rassal değişkenler olsun (X - μ X )(Y - μ Y ) beklenen değerleri X ve Y arasındaki ortak varyans (kovaryans) olarak anılmaktadır Kesikli Rassal değişkenler için Eşdeğer bir ifade aşağıdaki gibidir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm Cov (x,y) türkçe kaynaklarda Orv (x,y) olarak da geçmektedir

42 Ortak Varyans (Kovaryans) ve Bağımsızlık Kovaryans iki değişken arasındaki doğrusal ilişkinin gücünü ölçmektedir Eğer iki Rassal değişken istatistiksel olarak bağımsız ise, bu değişkenler arasındaki kovaryans 0’dır. Aksi mutlaka doğru değildir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-42

43 Korelasyon X ve Y arasındaki korelasyon aşağıdaki gibidir: ρ = 0  X ve Y arasında hiçbir doğrusal ilişki mevcut değildir ρ > 0  X ve Y arasında pozitif doğrusal ilişki X yüksek (düşük) olduğu zaman Y de muhtemelen yüksek (düşük) olacaktır ρ = +1  mükemmel pozitif doğrusal bağımlılık ρ < 0  X ve Y arasında negatif doğrusal ilişki X yüksek (düşük) olduğu zaman Y muhtemelen düşük (yüksek) olacaktır ρ = -1  mükemmel negatif doğrusal bağımlılık Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-43


"Bölüm 3 Kesikli Rassal Değişkenler ve Olasılık Dağılımları OLASILIK (6BMHMAU102) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 3-1." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları