Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Bölüm 2 Olasılık OLASILIK (6BMHMAU102) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 2-1.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Bölüm 2 Olasılık OLASILIK (6BMHMAU102) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 2-1."— Sunum transkripti:

1 Bölüm 2 Olasılık OLASILIK (6BMHMAU102) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 2-1

2 Önemli Terimler Rassal Deney – belirsiz bir sonuca yol açan bir süreç Temel Sonuç –rassal deneyin muhtemel bir sonucu Örnek Uzayı –bir rassal deneyin muhtemel tüm sonuçlarının toplanması Olay –örnek uzayından olan temel sonuçların her hangi bir alt kümesi Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm

3 Önemli Terimler Olayların Arakesiti (Kesişimi) –Eğer A ve B bir örnek uzayındaki iki olay ise o halde A ∩ B kesişimi S’deki hem A ve hem de B’ye ait olan tüm sonuçların kümesidir (devam) AB ABAB S Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 2-3

4 Önemli Terimler Eğer hiçbir ortak temel sonuca sahip değillerse A ve B Bağdaşmaz (Karşılıklı Dışlamalı) Olaylar (Mutually Exclusive Events) dır. Yani A ∩ B kümesi boş kümedir (devam) A B S Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 2-4

5 Önemli Terimler Olayların Birleşimi –Eğer A ve B bir örnek uzayındaki iki olay ise o halde A U B birleşimi S’deki A veya B’ye ait olan tüm sonuçların kümesidir (devam) AB Pembe renkli (taralı) alan tümüyle A U B’i temsil etmektedir S Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 2-5

6 Önemli Terimler Eğer E 1 U E 2 U... U E k = S ise E 1, E 2, … E k olayları Bütünü Kapsayan (Toplu Kapsamlı) (Collectively Exhaustive) olaylardır Yani olaylar tamamen örnek uzayını kaplamaktadır. Bir A olayının tümleyeni örnek uzayı içerisindeki A’ya ait olmayan tüm temel sonuçların kümesidir. Tümleyen ile gösterilmektedir. (devam) A S Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 2-6

7 Örnekler Örnek Uzayı bir zarın atılması sonucu elde edilen tüm muhtemel sonuçlar olsun: S = [1, 2, 3, 4, 5, 6] A “Atılan sayının çift olması” olayı olsun B “Atılan sayının en az 4 gelmesi” olayı olsun O halde A = [2, 4, 6] and B = [4, 5, 6] Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 2-7

8 Örnekler (devam) S = [1, 2, 3, 4, 5, 6] A = [2, 4, 6] B = [4, 5, 6] Tümleyenler: Arakesitler (Kesişimler): Birleşimler: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 2-8

9 Örnekler Bağdaşmaz (Karşılıklı Dışlamalı): A ve B bağdaşmaz (karşılıklı dışlamalı) değildir. 4 ve 6 sonuçları her ikisi için ortaktır Bütünü Kapsayan (Toplu Kapsamlı): A ve B bütünü kapsayan (toplu kapsamlı) değildir. A U B 1 veya 3’ü içermemektedir (devam) S = [1, 2, 3, 4, 5, 6] A = [2, 4, 6] B = [4, 5, 6] Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 2-9

10 Olasılık Olasılık –Belirsiz bir olayın meydana gelme şansıdır (daima 0 ile 1 arasındadır) 0 ≤ P(A) ≤ 1 Herhangi bir olay için Belirli İmkansız 0,5 1 0 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm

11 Olasılığın Değerlendirilmesi Belirsiz bir olayın olasılığını değerlendirmede üç yaklaşım mevcuttur: 1. klasik olasılık Örnek uzayı içerisindeki tüm sonuçların eşit olasılıkta olduğu varsayılmaktadır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 2-11

12 Muhtemel Sonuçların Sayılması Bir anda k kez alınan n nesnenin kombinasyonu sayısını belirlemek üzere Kombinasyon formülü kullanılır n! = n(n-1)(n-2)…(1) 0! = 1 (tanım gereği) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 2-12

13 Olasılığın Değerlendirilmesi Üç yaklaşım (devam) 2. nispi frekans olasılığı Bir A olayının n adet büyük deneme sayısında meydana geldiği orantının limiti 3. öznel olasılık Meydana gelme olasılığı hakkındaki bir bireysel görüş veya inanç Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 2-13

14 Olasılık Önermeleri 1. Eğer A S örnek uzayında meydana gelen her hangi bir olay ise, o halde: 2. A, S’deki bir olay ve O i temel sonuçları gösteriyorsa, o halde (notasyon A’daki tüm temel sonuçların toplamı olduğu anlamına gelmektedir) 3.P(S) = 1 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 2-14

15 Olasılık Kuralları Tümleyen Kuralı: Toplam kuralı: İki olayın birleşiminin olasılığı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm

16 Bir Olasılık Tablosu B A İki A ve B olayı için olasılıklar ve bileşik olasılıklar bu tabloda özetlenmiştir: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 2-16

17 Toplam Kuralı (Örnek) 52 kartlık standart bir iskambil destesini dört takım ile ele alınız: ♥ ♣ ♦ ♠ A olayı =“kartın As olması” olayı olsun B olayı = kartın kırmız takımdan olma olayı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 2-17

18 Toplam Kuralı (Örnek) P(Kırmız U As) = P(Kırmızı) + P(As) - P(Kırmızı ∩ As) = 26/52 + 4/52 - 2/52 = 28/52 İki kırmızı ası iki kez saymayınız! Siyah Renk Tip Kırmızı Toplam AsAs 224 As olmayanlar Toplam (devam) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 2-18

19 Koşullu Olasılık Bir koşullu olasılık is başka bir olayın meydana geldiğinin varsayıldığı bir olayın olasılığıdır: B olayının meydana gelmesi halinde A’ nın olasılığı A olayının meydana gelmesi halinde B’ nin olasılığı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 2-19

20 Koşullu Olasılık (Örnek) Bir arabanın K’sı olması halinde bir CD olması olasılığı nedir? yani, P(CD | K)’yi bulmak istiyoruz Kullanılmış araba galerisinde %70’i klimalıdır (K) ve %40’ında (CD)vardır ve %20’sinde her ikisi de mevcuttur. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 2-20

21 Koşullu Olasılık (Örnek) CD yokCDToplam K 0,20,50,7 K yok 0,20,1 0,3 Toplam 0,40,61,01,0 Kullanılmış araba galerisinde %70’i klimalıdır (K) ve %40’ında (CD)vardır ve %20’sinde her ikisi de mevcuttur. (devam) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 2-21

22 Koşullu Olasılık (Örnek) CD yokCDToplam K 0,20,50,7 K yok 0,20,1 0,3 Toplam 0,40,6 1,01,0 Bahsi geçen K için, sadece en üst satırı ele alıyoruz (arabaların %70’i). Bunların %20’si CD okuyucuya sahiptir. %70’in %20’si % 28,57’dir. (devam) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 2-22

23 Çarpma Kuralı İki A ve B olayının çarpımı: ayrıca Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 2-23

24 Çarpma Kuralı (Örnek) P(Kırmızı ∩ As) = P(Kırmızı| As)P(As) Siyah Renk TipTip Kırmızı Toplam AsAs 224 As olmayan Toplam Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 2-24

25 İstatistiksel Bağımsızlık İki olay istatistiksel olarak bağımsız eğer ve sadece,: Bir olay başka bir olay tarafından etkilenmediğinde A ve B olayları bağımsızdır Eğer A ve B olayları bağımsızdır, o halde eğer P(B)>0 ise eğer P(A)>0 ise Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 2-25

26 İstatistiksel Bağımsızlık (Örnek) Kullanılmış araba galerisinde %70’i klimalıdır (K) ve %40’ında (CD)vardır ve %20’sinde her ikisi de mevcuttur. K ve CD olayları istatistiksel olarak bağımsız mıdır? Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 2-26 CDCD yokToplam K0,20,50,7 K yok0,20,10,3 Toplam0,40,61,0

27 İstatistiksel Bağımsızlık (Örnek) CD yokCD Toplam K 0,20,50,7 K yok 0,20,1 0,3 Toplam 0,40,61,01,0 (devam) P(K ∩ CD) = 0,2 P(K) = 0,7 P(CD) = 0,4 P(K)P(CD) = (0,7)(0,4) = 0,28 P(K ∩ CD) = 0,2≠ P(K)P(CD) = 0,28 O halde bu iki olay istatistiksel olarak bağımsız değildirler Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 2-27

28 İki Değişkenli Olasılıklar B1B1 B2B2...BkBk A1A1 P(A 1  B 1 )P(A 1  B 2 )... P(A 1  B k ) A2A2 P(A 2  B 1 )P(A 2  B 2 )... P(A 2  B k ) AhAh P(A h  B 1 )P(A h  B 2 )... P(A h  B k ) İki değişkenli olaylar için sonuçlar: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm

29 Ortak (Bileşik) ve Tekil (Marjinal) Olasılıklar A ∩ B, birleşik bir olayın olasılığı olmak üzere: Bir tekil (marjinal) olasılığının hesaplanması: Burada B 1, B 2, …, B k k adet bağdaşmaz (karşılıklı dışlamalı) ve bütünü kapsayan (toplu kapsamlı) olaylardır. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 2-29

30 Tekil (Marginal) Olasılık (Örnek) Siyah Renk TipTip Kırmızı Toplam AsAs 224 As değil Toplam Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 2-30

31 Ağaç Diyagramının Kullanılması K’sı var K’ya sahip değil CD’si var CD’si yok CD’si var CD’si yok P(K)= 0,7 P(K)= 0,3 P(K ∩ CD) = 0,2 P(K ∩ CD) = 0,5 P(K ∩ CD) = 0,1 P(K ∩ CD) = 0,2 Tüm arabalar K olması veya K olmaması halinde: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 2-31

32 Bahisler Özel bir olayın lehine bahisler olayın olasılığının onun tümleyenine bölünmesi ile elde edilen oran ile verilmektedir A’ nın lehine bahisler; Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 2-32

33 Bahisler (Örnek): Kazananlarının bahsinin 3’e 1 olduğu halde kazanma olasılığını hesaplayınız: Pay ve paydayı 1 – P(A) ile çarpıp, P(A) için eşitliği çözünüz: 3 x (1- P(A)) = P(A) 3 – 3P(A) = P(A) 3 = 4P(A) P(A) = 0,75 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 2-33

34 Aşırı Karışma Oranı (Overinvolvement Ratio) B 1 olayına koşullu A 1 olayının olasılığının A 1 olayına koşullu B 1 olayının olasılığına bölünmesi aşırı karışma oranı olarak tanımlanmaktadır: 1’den büyük bir aşırı karışma oranı A 1 olayının koşullu bahisler oranını B 1 lehine artırdığı anlamına gelmektedir: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 2-34

35 Bayes Teoremi burada: E i = k bağdaşmaz (karşılıklı dışlamalı) ve bütünü kapsayıcı (toplu kapsamlı) olayların i’incisidir A = P(E i )’yi etkileyebilecek olan yeni olaydır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm

36 Bayes Teoremi (Örnek) Bir sondaj şirketinin yeni bir kuyuda petrol bulma şansı %40’tır. Daha fazla bilgi elde etmek üzere detaylı bir test planlanmıştır. Geriye dönük olarak başarılı kuyuların %60’ı, başarısız kuyuların %20’ı detaylı teste sahiptiler. Bu yeni kuyuda detaylı test planlandığında, bu kuyunun başarılı olma olasılığı nedir? Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 2-36

37 S = başarılı kuyu U = başarısız kuyu olmak üzere P(S) = 0,4, P(U) = 0,6 (ön olasılıklar) Ayrıntılı testleri D olarak tanımlayınız Koşullu olasılıklar: P(D|S) = 0,6 P(D|U) = 0,2 Amaç P(S|D)’yi bulmaktır. Bayes Teoremi (Örnek) (devam) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 2-37

38 O halde daha önce değerlendirilmiş olan başarı olasılığı (orijinal tahminlerde 0,4 olan) bir detaylı test için 0,667 olarak planlanmıştır. Bayes Teoremi (Örnek) (devam) Bayes Teoremini uygulayınız: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 2-38


"Bölüm 2 Olasılık OLASILIK (6BMHMAU102) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 2-1." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları