İLERİ GERİ Sayfa:2 GERİ Tanım: Bir x 0  A = [a,b] alalım. f : A  R ye veya f : A -{x 0 }  R ye bir Fonksiyon olsun Terimleri A - {x 0 } Cümlesine.

... konulu sunumlar: "İLERİ GERİ Sayfa:2 GERİ Tanım: Bir x 0  A = [a,b] alalım. f : A  R ye veya f : A -{x 0 }  R ye bir Fonksiyon olsun Terimleri A - {x 0 } Cümlesine."— Sunum transkripti:

1

2 İLERİ

3 GERİ Sayfa:2

4 GERİ

5 Tanım: Bir x 0  A = [a,b] alalım. f : A  R ye veya f : A -{x 0 }  R ye bir Fonksiyon olsun Terimleri A - {x 0 } Cümlesine ait ve x 0 ’a yakınsayan her ( x n ) dizisi için (f(x n )) fonksiyon değerleri dizisi daima sonlu bir L  R sayısına yakınsıyorsa bu L sayısına f fonksiyonunun x 0 noktasındaki limiti denir ve şeklinde gösterilir. Tanımdan da görüldüğü gibi limit noktasının Fonksiyonunun tanım cümlesine ait olma zorunluluğu yoktur yani x 0 noktasında fonksiyon tanımsız olsa bile bu noktada limit mevcut ola bilir. 1 2 x y Yandaki şekilde x=2 için fonksiyon tanımsız olmasına rağmen aynı noktada fonksiyonun limiti var ve 1’dir. İLERİ

6 Örnek: Çözüm: x = 3 için f(x) tanımlı değildir. Yani x = 3 için kesrin pay ve paydası sıfır olur ve sıfıt ile bölme tanımlanamaz, bu tanımsızlığı ortadan kaldırdıktan sonra limite geçilir. x 3, x-3 0 olduğundan pay ve paydayı x-3 ile bölelim. bulunur. Sonuç: Bir f(x) fonksiyonunun herhangi bir noktada limitinin olması için o nokta da tanımlı olmak zorunda değildir. GERİ

7 1.X değişkeni bir c noktasına azalan değerlerle (yani sağdan) yaklaştığı zaman bir limiti mevcutsa bu limite fonksiyonun x = c noktasındaki sağdan limiti denir ve şeklinde gösterilir. x y. L. 2. X değişkeninin c noktasına artan değerlerle (yanı soldan) yaklaştığı zaman bir limiti mevcutsa bu limite fonksiyonun x = c noktasındaki soldan limiti denir ve şeklinde gösterilir. x y L Bir f(x) fonksiyonunun limtinin olabilmesi için sağdan ve soldan limitlerinin birbirine eşit olması gerekir. GERİ

8 Sağdan ve soldan limitler her zaman sürekli olmayan aşağıdaki dört çeşit özel tanımlı fonksiyonlarda uygulanır. 1. Parçalı sürekli fonksiyonlar 2. Mutlak değer fonksiyonlar 3. İşaret fonksiyonlar 4. Tam değer fonksiyomlar bu fonksiyonların dışındaki sürekli fonksiyonlardan sağdan ve soldan limitler birbirine eşit olduğundan doğrudan limit alınır. GERİ

9 ÖRNEK1: 3 - 3 3 + Yukardaki fonksiyonun tanımından da görüldüğü gibi 3’ün sağında ve solunda fonksiyon değişik değerler almıştır. Bu kritik noktada limiti bulalım: olduğundan limiti mevcut değildir. İLERİ

10 ÖRNEK2: Fonksiyonunun x = 3 ve x = 4 noktalarında limitleri nedir? ÇÖZÜM: NOT: x’in 3 den farklı bütün değerleri için f(x) = 2x-1 olduğuna ve limitlerinin bulunduğuna dikkat ediniz. GERİ

11 ÖRNEK1: Fonksiyonunun x = 1 noktasında sağdan ve soldan limitini bulunuz. ÇÖZÜM: X -  1 +  1 - x + - 1-x -(1 - x) İLERİ

12 ÖRNEK2: ÇÖZÜM: Fonksiyonun x = 2 noktasında sağdan ve soldan limiti bulunuz. Bu noktadaki f(x)’in limiti var mıdır? X -  -2 2 +  x 2 - 4 + - + -x 2 +4 x 2 -4 Yani x = 2 noktasında f(x)’in limiti vardır ve sıfırdır. GERİ

13 ÖRNEK1: Fonksiyonunun x = 3 noktasında limitini araştıralım. X -  3 +  x - 3 - + -1 1 NOT: işaret fonksiyonların grafiklerinden de biliyoruz ki fonksiyonlar işaret değiştirdiği kritik noktalarda soçrama yaptığı için sağdan ve soldan limitleri farklıdır. Dolayısıyle bu noktada limitleri yoktur. ÇÖZÜM: İLERİ

14 ÖRNEK2: Fonksiyonunun x = -3 noktasında sağdan limitini bulunuz? X -  -3 +  x + 3 - + ÇÖZÜM: ÖRNEK3: ÇÖZÜM: Limitini hesaplayınız ‘dır. GERİ

15 Tam değer fonksiynu  x  R için x’den küçük olan en büyük tam sayıya tamdeğer x denir ve sembolüyle gösterilir. Tamdeğer fonksiyonunda limit bulunurken oldığundan sağdan yaklaşırken aynı değer alınır. Soldan yaklaşırken aynı değerin bir eksiği alınır. NOT: Limit alınıtken önce fonksiyon limit noktasında tanımlanır. Sonra limite geçirilir. Çünkü tamdeğer fonksiyonu sabit fonksiyondur. ÖRNEK1: İLERİ İLERİ

16 ÖRNEK2: ÇÖZÜM: Önce fonksiyonu 2’nin sağ tarafındaki değerini bulalım. X -2 2 x 2 - 4 + - + 2-x + + - dir. GERİ

17 LİMİT TEOREMLERİ: Tanımlı iki fonksiyon ve olsun. 1. a)Sabit bir sayının limiti o sayıya eşittir. dir. b)Sabit terim limitin dışına alınabilir. i) ii) iii) 2. Toplamın limiti, limitlerin toplamına eşittir. İLERİ İLERİ

18 ÖRNEKLER: GERİ

19 1. 2. Sonuç: 3. Sonuç: İLERİ

20 ÖRNEKLER: GERİ

21 1) 2) 3) GERİ

22 Bu tür belirsizlikleri dizilerdeki gibi sadeleştirme işlemiyle ortadan kaldırabileceğimiz gibi aşağıda göstereceğimiz pratik yolları da kullanabiliriz şeklindeki bir limitte i) Eğer p=q ise yani iki polinomun dereceleri eşitse limitin a 1 /b 1 dir. Başka bir deyişle limit en büyük dereceli terimlerin önündeki katsayıların oranıdır. ÖRNEK: ii) p<q ise yani paydanın derecesi payın derecesinden büyük ise limit sıfır dır. ÖRNEK: iii) p>q ise yani payın derecesi paydanın derecesinden büyükse limit dur. ÖRNEK: İLERİ

23 ÖRNEK: GERİ İLERİ İLERİ

24 Bu tür belirsizliklerin giderilmesi için eşitliğinden yararlanacağız. ÖRNEK: İLERİ

25 Devamı: GERİ

26 İfadesinin limitini araştırırken önce p(x)’in derecesi belirlenir. i) p(x)’in derecesi çift ise ii) p(x)’in derecesi tek ise dir yani sadece en büyük üslü terinim limitini almak yeterlidir. ÖRNEK: GERİ

27 f ve g fonksiyonları x = a noktsında sürekli iki fonksiyon olduğuna göre: 1) olmak üzere.f fonksiyonu da x = a noktasında süreklidir. 2) f+g, f-g, f.g fonksiyonlar da x = a noktasında süreklidir. 3) olmak üzere: f/g, 1/g, -g fonksiyonları da x = a noktasında süreklidir. 4) fonksiyonlarda x = a noktasında süreklidir. Tanımı: f(x) fonksiyonu x = a noktasında aşağıdaki 3 şartı sağlıyorsa o noktada süreklidir. i) f(x) fonksiyonu x = a noktasında tanımlı olması ii) limiti olmalı iii) olmalıdır. İLERİ

28 ÖRNEK: fonksiyonu Şeklinde tanımlanan f(x) fonksiyonu x = 0 noktasında sürekli olması için a ne olmalıdır. ÇÖZÜM: noktasında tanımlıdır. i) ii) eşitliğinde a = 1 dir. GERİ

29 SORULAR: 1. 2. 3. 4. a)2 b)5c)6d)8e)10 a)-5b)-3c)-2d)3e)7 a)-3b)-1c)0d)1/2e)3 a)2b)1c)1/2d)-1e)-2 İLERİ

30 5. 6. 6. 7. a)-1/3 b)0 c)1/3 d)2/3 e)1 a)-1/3 b)0 c)1/3 d)2/3 e)1 a)3 b)2 c)-1 d)0 e)-2 a)1 b)2 c)1/2 d)0 e)-1 a)1 b)2 c)1/2 d)0 e)-1 İLERİ İLERİ

31 8. İse ifadesinin değeri nedir? a)3 b)2 c)1 d)0 e) ? 32 2 lim 0              xx xx x )()(...)( 0 2    h xfhxf xxxf h 9. 10. İfadesinin eşiti nedir? a)2 b)x-1 c)2x-n d)-2x+1 e)2x-1 a)0 b)3 c)3/5 d)-2 e)-3 İLERİ

32 11. 12. a)0 b)3 c)9 d)18 e)27 a)23/3 b)45/3 c)27/16 d)1/3 e)16 13.   ?22lim 2 2 3 0                     xx x x x a)-4 b)-2 c)-1 d)0 e)2 İLERİ

33 14. a)2 b)1 c)0 d)-1/2 e)-2 15. a)0 b)-1 c)sin1 d)-sin1 e) 16. a)-1/2 b)0 c) d) e)limit yok İLERİ

34 17. a) b)3/2 c)3/7 d)-2 e)-3 18. a)2 b)1 c)0 d)-1 e) GERİ GERİ

35 Cevap:D Geri

36 Belirsizlik olduğundan çarpanlara ayırarak belirsizlikten kurtaralım. Cevap:B Geri

37 Şeklinde bir belirsizlik vardır. Çarpanlara ayrılmadığından ifadenin pay ve paydasını ile çarparak bu belirsizlikten kurtaralım. Cevap:A Geri

38 Belirsizliği var. Çarpanlara ayıralım. Cevap: E Geri

39 f(x)=x/3 f(x)=1/3 Cevap:D Geri

40 -2 3 3-x 2x-1 3 3 Cevap:C Geri

41 - + 0 0 X = 0 noktasında sağdan ve soldan limitler eşit olduğundan Cevap:A Geri

42 - - + + 1 1 X = 1 noktasında sağdan ve soldan limitleri eşit olduğundan Cevap:B Geri

43 Cevap:D Geri

44 Cevap:E Geri

45 Olduğuna dikkat ediniz. Cevap:E Geri

46 2’nin sol tarafında özel tanımlı fonksiyonların nasıl tanımlandığına dikkat ediniz. Cevap:A Geri

47 Cevap:B Sıfırın sol tarafında dir. Buna göre Geri

48 Cevap:B Geri

49 Cevap:C Geri

50 1 1 y y x x fonksiyonunun grafiği yanda görülmektedir. Buna göre olduğundan, yani f(x) fonksiyonun x = 1 noktasında sağdan ve soldan limitleri farklıdır,dolayısıyla x = 1 noktasında f(x)’in limiti yoktur. fonksiyonunun grafiği yanda görülmektedir. Buna göre olduğundan, yani f(x) fonksiyonun x = 1 noktasında sağdan ve soldan limitleri farklıdır,dolayısıyla x = 1 noktasında f(x)’in limiti yoktur. Cevap:E Geri

51 İken pay ve paydanın dereceleri eşitse pratik olarak limitin değeri ;eşit dereceli terimlerin katsayılarının oranıdır. Yani -4/2 =-2’dir Cevap:D Geri

52 Cevap: C Geri