MKM 311 Sistem Dinamiği ve Kontrol Ters Laplace Dönüşümü, Lineerleştirme Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ s alanında hesaplamalar yapıldıktan sonra zaman (t) alanına geri dönerek sonucu zaman alanında değerlendirmek gerekebilir. Kompleks değişkenli ifadenin zaman değişkenli ifadeye dönüştürülmesi için uygulanan matematiksel işleme ‘Ters Laplace Dönüşümü’ denir. ℒ −1 F s =𝑓 𝑡 = 1 2𝜋𝑗 𝜎−𝑗∞ 𝜎+𝑗∞ 𝐹 𝑠 𝑒 𝑠𝑡 𝑑𝑡 t>0 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ f(t)’yi veren integral işlemi oldukça karışıktır. Lerch Teoremi: Bir F(s) fonksiyonu verildiğinde, Laplace dönüşümü olan t≥0 için tanımlı en çok bir sürekli f(t) fonksiyonu vardır. Ters Laplace dönüşümü yapabilmenin en kolay ve hızlı yolu, Laplace dönüşüm tablolarıdır. Kısmi kesirlere ayırma yöntemi kullanılır, böylece karmaşık ifadeler sadeleştirilerek dönüşüm tablolarındaki bilinen ifadeler haline dönüştürülür. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ Kısmi Kesirlere Ayırma Kontrol sistemlerinde F(s) transfer fonksiyonu, A(s) ve B(s) s değişkeninin birer polinomu olmak üzere 𝐹 𝑠 = 𝐴(𝑠) 𝐵(𝑠) şeklindedir. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ Kısmi Kesirlere Ayırma Basit poller hali B(s)=(s-p1)(s-p2)…….(s-pn) basit çarpanlara ayrılıyorsa, 𝐹 𝑠 = 𝐴(𝑠) 𝐵(𝑠) = 𝐾 1 𝑠− 𝑝 1 + 𝐾 2 𝑠− 𝑝 2 +……..+ 𝐾 𝑛 𝑠− 𝑝 𝑛 Basit kesirlerin toplamı şeklinde yazılabilir. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ Kısmi Kesirlere Ayırma Basit poller hali 𝐹 𝑠 = 𝐴(𝑠) 𝐵(𝑠) = 𝐾 1 𝑠− 𝑝 1 + 𝐾 2 𝑠− 𝑝 2 +……..+ 𝐾 𝑛 𝑠− 𝑝 𝑛 K1, K2,……,Kn sabitleri; 𝐾 𝑛 = lim 𝑠→ 𝑝 𝑛 (𝑠− 𝑝 𝑛 ) 𝐴(𝑠) 𝐵(𝑠) F(s) fonksiyonunda K sabitleri yerine yazılarak Ters Laplace dönüşümü uygulanırsa; 𝑓 𝑡 = 𝐾 1 𝑒 𝑝 1 𝑡 + 𝐾 2 𝑒 𝑝 2 𝑡 +………+ 𝐾 𝑛 𝑒 𝑝 𝑛 𝑡 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ Kısmi Kesirlere Ayırma Katlı poller hali B(s)=(s-pr)q (s-p1)(s-p2)…….(s-pn-q) q kere tekrarlanan katlı kök varsa, 𝐹 𝑠 = 𝐴(𝑠) 𝐵(𝑠) = 𝐶 𝑞 (𝑠− 𝑝 𝑟 ) 𝑞 + 𝐶 𝑞−1 (𝑠− 𝑝 𝑟 ) 𝑞−1 +……+ 𝐶 1 𝑠− 𝑝 𝑟 + + 𝐾 1 𝑠− 𝑝 1 + 𝐾 2 𝑠− 𝑝 2 +……..+ 𝐾 𝑛−𝑞 𝑠− 𝑝 𝑛−𝑞 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ Kısmi Kesirlere Ayırma Katlı poller hali Katlı terimlerin C sabitleri; 𝐶 𝑞 = lim 𝑠→ 𝑝 𝑟 (𝑠− 𝑝 𝑟 ) 𝑞 𝐴(𝑠) 𝐵(𝑠) 𝐶 𝑞−1 = lim 𝑠→ 𝑝 𝑟 𝑑 𝑑𝑠 (𝑠− 𝑝 𝑟 ) 𝑞 𝐴(𝑠) 𝐵(𝑠) 𝐶 𝑞−𝑘 = lim 𝑠→ 𝑝 𝑟 1 𝑘! 𝑑 𝑘 𝑑 𝑠 𝑘 (𝑠− 𝑝 𝑟 ) 𝑞 𝐴(𝑠) 𝐵(𝑠) 𝐶 1 = lim 𝑠→ 𝑝 𝑟 1 (𝑞−1)! 𝑑 𝑞−1 𝑑 𝑠 𝑞−1 (𝑠− 𝑝 𝑟 ) 𝑞 𝐴(𝑠) 𝐵(𝑠) Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ Kısmi Kesirlere Ayırma Katlı poller hali K sabitleri basit pollerdeki gibi hesaplanır. C ve K sabitleri yerine yazılarak Ters Laplace dönüşümü uygulanırsa; 𝑓 𝑡 = 𝐶 𝑞 𝑡 𝑞−1 (𝑞−1)! + 𝐶 𝑞−1 𝑡 𝑞−2 (𝑞−2)! +……+ 𝐶 2 𝑡+ 𝐶 1 𝑒 𝑝 𝑟 𝑡 + 𝐾 1 𝑒 𝑝 1 𝑡 +……+ 𝐾 𝑛 𝑒 𝑝 𝑛 𝑡 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ Kısmi Kesirlere Ayırma Kompleks (karmaşık) eşlenik poller hali Paydaya ait kompleks kökler a+jb ve a-jb olmak üzere eşlenik çiftler halindedir. B(s)=(s-a-jb)(s-a+jb)(s-p1)…….(s-pn) ise, 𝐹 𝑠 = 𝐴(𝑠) 𝐵(𝑠) = 𝐾 𝑐 𝑠−𝑎−𝑗𝑏 + 𝐾 −𝑐 𝑠−𝑎+𝑗𝑏 + 𝐾 1 𝑠− 𝑝 1 +……..+ 𝐾 𝑛 𝑠− 𝑝 𝑛 𝑓 𝑡 = 𝐾 𝑐 𝑒 (𝑎+𝑗𝑏)𝑡 + 𝐾 −𝑐 𝑒 (𝑎−𝑗𝑏)𝑡 + 𝐾 1 𝑒 𝑝 1 𝑡 +………+ 𝐾 𝑛 𝑒 𝑝 𝑛 𝑡 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ Kısmi Kesirlere Ayırma Kompleks (karmaşık) eşlenik poller hali Kc ve K-c sabitleri; 𝐾 𝑐 = lim 𝑠→𝑎+𝑗𝑏 (𝑠−𝑎−𝑗𝑏) 𝐴(𝑠) 𝑠−𝑎−𝑗𝑏 𝑠−𝑎+𝑗𝑏 𝑠− 𝑝 1 …..(𝑠− 𝑝 𝑛 ) = lim 𝑠→𝑎+𝑗𝑏 1 2𝑗𝑏 A s 𝑠− 𝑝 1 …..(𝑠− 𝑝 𝑛 ) 𝐾 𝑐 = 1 2𝑗𝑏 𝐾(𝑎+𝑗𝑏) 𝐾 𝑎+𝑗𝑏 = lim 𝑠→𝑎+𝑗𝑏 A s 𝑠− 𝑝 1 …..(𝑠− 𝑝 𝑛 ) 𝐾 −𝑐 =− 1 2𝑗𝑏 𝐾 𝑎−𝑗𝑏 𝐾 𝑎−𝑗𝑏 = lim 𝑠→𝑎−𝑗𝑏 A s 𝑠− 𝑝 1 …..(𝑠− 𝑝 𝑛 ) Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ Kısmi Kesirlere Ayırma Kompleks (karmaşık) eşlenik poller hali K(a+jb) ve K(a-jb) sabitleri eşlenik kompleks sayılar. 𝐾 𝑎+𝑗𝑏 = 𝐾(𝑎+𝑗𝑏) 𝑒 𝑗𝛼 𝐾 𝑎−𝑗𝑏 = 𝐾(𝑎−𝑗𝑏) 𝑒 −𝑗𝛼 𝐾(𝑎+𝑗𝑏) = 𝐾(𝑎−𝑗𝑏) 𝐾 𝑐 = 1 2𝑗𝑏 𝐾 𝑎+𝑗𝑏 𝑒 𝑗𝛼 𝐾− 𝑐 =− 1 2𝑗𝑏 𝐾 𝑎+𝑗𝑏 𝑒 −𝑗𝛼 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ Kısmi Kesirlere Ayırma Kompleks (karmaşık) eşlenik poller hali Kc ve K-c sabitleri 𝑓 𝑡 = 𝐾 𝑐 𝑒 (𝑎+𝑗𝑏)𝑡 + 𝐾 −𝑐 𝑒 (𝑎−𝑗𝑏)𝑡 + 𝐾 1 𝑒 𝑝 1 𝑡 +………+ 𝐾 𝑛 𝑒 𝑝 𝑛 𝑡 yerine yazılarak Ters Laplace dönüşümü uygulanırsa; 𝑓 𝑡 = 1 𝑏 𝐾(𝑎+𝑗𝑏) 𝑒 𝑎𝑡 𝑒 𝑗(𝑏𝑡+𝛼) − 𝑒 −𝑗(𝑏𝑡+𝛼) 2𝑗 + 𝐾 1 𝑒 𝑝 1 𝑡 +……+ 𝐾 𝑛 𝑒 𝑝 𝑛 𝑡 𝑓 𝑡 = 1 𝑏 𝐾(𝑎+𝑗𝑏) 𝑒 𝑎𝑡 𝑆𝑖𝑛(𝑏𝑡+𝛼) + 𝐾 1 𝑒 𝑝 1 𝑡 +……+ 𝐾 𝑛 𝑒 𝑝 𝑛 𝑡 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ Kısmi Kesirlere Ayırma Kompleks (karmaşık) eşlenik poller hali Sinusoidin zarf eğrisi 1 𝑏 𝐾(𝑎+𝑗𝑏) 𝑒 𝑎𝑡 t artarken; a<0 için f(t) sönümlenen sinusoid a=0 için f(t) sabit genlikli sinusoid a>0 için f(t) artan genlikli sinusoid Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ Kısmi Kesirlere Ayırma Kompleks (karmaşık) eşlenik poller hali Benzer şekilde f(t)’nin 𝐾 𝑛 𝑒 𝑝 𝑛 𝑡 (F(s)’nin basit pollerinden gelen) terimleri incelenirse; t artarken; pn<0 ise 𝐾 𝑛 𝑒 𝑝 𝑛 𝑡 üstel azalır pn=0 ise 𝐾 𝑛 𝑒 𝑝 𝑛 𝑡 = 𝐾 𝑛 pn>0 ise 𝐾 𝑛 𝑒 𝑝 𝑛 𝑡 üstel artar Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

LİNEERLEŞTİRME Kontrol sistemleri her zaman lineer denklemler ile ifade edilemeyebilir. Laplace dönüşümünden faydalanılarak kontrol sistemlerinin çözümü ve analizini yapmak için nonlineer bağıntılar lineerleştirilmelidir. (xi,yi) çalışma noktası ve x=xi+∆x Eğri için y=yi+ ∆y+ε Teğet için y=yi+ ∆y Yaklaşık olarak; y = yi+ ∆y+ε =҃ yi+ ∆y Teğetin eğimi Δ𝑦 Δ𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑖 =( 𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 ) ∆𝑦= 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑖 ∆𝑥 noktasındaki eğim Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

LİNEERLEŞTİRME İfade genelleştirilirse; y=f(x1, x2, x3,………,xn) olsun. Çalışma noktası(x1i, x2i, x3i…….xni) ise ∆𝑦= 𝜕𝑦 𝜕𝑥 1 𝑖 ∆ 𝑥 1 + 𝜕𝑦 𝜕𝑥 2 𝑖 ∆ 𝑥 2 +……..+ 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝑛 𝑖 ∆ 𝑥 𝑛 𝑦≅𝑓 𝑥 1𝑖 , 𝑥 2𝑖 , 𝑥 3𝑖 , …… 𝑥 𝑛𝑖 +∆𝑦 𝑦= 𝑦 𝑖 +∆𝑦= 𝑦 𝑖 + 𝜕𝑦 𝜕𝑥 1 𝑖 ∆ 𝑥 1 + 𝜕𝑦 𝜕𝑥 2 𝑖 ∆ 𝑥 2 +……..+ 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝑛 𝑖 ∆ 𝑥 𝑛 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki