DEVRE ANALİZİ LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ EE410 Ertuğrul Eriş.

... konulu sunumlar: "DEVRE ANALİZİ LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ EE410 Ertuğrul Eriş."— Sunum transkripti:

1 DEVRE ANALİZİ LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ EE410 Ertuğrul Eriş

2 LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ NİYE DÖNÜŞÜM FAYDA/BEDEL BAŞKA DÖNÜŞÜMLERE ÖRNEK
DEVRE/MATEMATİK MODEL DEVRE ÇÖZÜMÜ/DENKLEM ÇÖZÜMÜ İNTEGRO DİF DENK/DİF DENK/ CEBİRSEL DENKLEM BAŞKA DÖNÜŞÜMLERE ÖRNEK LOGARİTMA FREKANS DOMENİ EE410 Ertuğrul Eriş

3 DEVRELERDE KAŞILAŞILAN İŞARETLER/FONKSİYONLAR
Elektriksel işaretler: Analog, sayısal Ses, görüntü, ışık, radyasyon, ultrason, Dönüştürücüler Fourier Dönüşümü Sinüsoidal işaretler Kaynaklar DC kaynak + anahtar (Birim basamak), Süreksizlik noktası Süreksizlik noktasında türev Dirac Delta fonksiyonu (Impulse) Süreksizlik noktasında integral Bir boyutu sıfır olan alan (0) AC Lineer Devrelere görülen işaretler Doğru gerilim/akım AC gerilim/akım (Sönümlü) Üstel gerilim akım EE410 Ertuğrul Eriş

4 LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ(TRANSFORM) TANIM-1
Öyle bir dönüşüm olsun ki Differensiyel denklemin tam çözümünü versin Tanım, Çevre ve Düğüm denklemleri Cebirsel olsun L {f(t)}= F(s)=L {f(t)} f(t)= L -1 {F(s)} EE410 Ertuğrul Eriş

5 LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ TANIM-2
İntegrasyon limitleri Üst limit ∞ bazı fonksiyonların Laplace’ı yok Sınır - ∞ ile + ∞ arasında olmadığından, fiziksel gerçeğe uygun One-sided/unileteral Alt limit t=0 da süreklilik/süreksizlik t = 0- alt limit alınır t<0- ilk koşulların oluşumu t = 0- ile t=0+ aralığında integral: (0) İstisna: Impulse function (Dirac Delta) Functional/Operational Dönüşümler L {f(t)}=

6 SÜREKLİ/SÜREKSİZ BAŞLANGIÇ
Alt limit t=0 da süreklilik/süreksizlik t = 0- alt limit alınır t<0- ilk koşulların oluşumu t = 0- ile t=0+ aralığında integral: (0) İstisna: Impulse function (Dirac Delta) EE410 Ertuğrul Eriş

7 BASAMAK (STEP) FONKSİYONU
Birim basamak fonksiyonu Unit step function Basamak fonksiyonu(matematik model). devrelerde Anahtarlamanın karşılığı: doğru gerilim kaynağının(DC) bir anahtarla devreye uygulanması. EE410 Ertuğrul Eriş

8 BASAMAK FONKSİYONU SÜREKSİZLİĞİ
Teori*uygulama uyumluluğu EE410 Ertuğrul Eriş

9 BASAMAK FONKSİYONUN ÖTELENMESİ
Darbe (pulse)fonksiyonunu nasıl ifade edebiliriz? EE410 Ertuğrul Eriş

10 KESİKLİ LİNEER(PIECEWISE LINEER) FONKSİYONLARIN BASAMAK FONKSİYONLARIYLA İFADESİ
Ertuğrul Eriş

11 SÜREKSİZLİK NOKTASINDA TÜREV: DEĞİŞKEN PARAMETRELİ FONKSİYON OLARAK IMPULSE (DIRAC DELTA) FONKSİYONU
Değişken parametreli fonksiyon δ(t): Değişken parametre 0 a giderken; Fonksiyon, t=0 da sonsuza gider, Foksiyonun değişim aralığı, 0 a gider, Fonksiyon altındaki alan (1) dir. EE410 Ertuğrul Eriş

12 BİR BAŞKA DEĞİŞKEN PARAMETRELİ FONKSİYON OLARAK DİRAK DELTA FONKSİYONU δ(t)
Değişken parametreli fonksiyon δ(t): Değişken parametre 0 a giderken; Fonksiyon, t=0 da sonsuza gider, Foksiyonun değişim aralığı 0 a gider, Fonksiyon altındaki alan (1) dir. K: Strenght EE410 Ertuğrul Eriş

13 DIRAC DELTA (IMPULSE) FONKSİYONUN MATEMATİKSEL TANIMI δ(t) VE SIFTING (AYIRMA) ÖZELLİĞİ
Dirac delta fonksiyonunun ayırma özelliği (Shifting property): EE410 Ertuğrul Eriş

14 DIRAC DELTA FONKSİYONU δ(t)’NİN LAPLACE’I
L {f(t)}= Sifting özelliği: L {δ(t)}= L {δ(t)}= 1 EE410 Ertuğrul Eriş

15 DIRAC DELTA FONKSİYONUNUN TÜREVİNİN δ’(t) NİN LAPLACE’I
L {δ’(t)}= s Genelleştirilmişi: L {δ(n)(t)}= sn L {f(t)}= Detaylar için kitaba bakılabilir EE410 Ertuğrul Eriş

16 BİRİM BASAMAK FONKSİYONU İLE DIRAC DELTA δ(t) FONKSİYONU İLİŞKİSİ VE
f(t)→u(t) ε →0 f’(t) →δ(t) ε →0 δ(t)= du(t)/d(t) EE410 Ertuğrul Eriş

17 BİRİM BASAMAK FONKSİYONU U(t) NİN LAPLACE’I
L {f(t)}= L {u(t)}= 1/s F(s) Rasyonel fonksiyon! EE410 Ertuğrul Eriş

18 L {e - at}= 1/(s+a) e-at NİN LAPLACE’I L {f(t)}= EE410 Ertuğrul Eriş
F(s) Rasyonel fonksiyon! EE410 Ertuğrul Eriş

19 SİNÜS’ÜN LAPLACE’I L {sin ωt }= ω/(s2+ω2) L {cosωt }= s/(s2+ω2)
L {f(t)}= L {sin ωt }= ω/(s2+ω2) L {cosωt }= s/(s2+ω2) F(s) Rasyonel fonksiyon! Cos(ωt+φ) nin laplasını Nasıl hesaplarız? EE410 Ertuğrul Eriş

20 RAMPA FONKSİYONUNUN LAPLACE’I
L {f(t)}= F(s) Rasyonel fonksiyon! EE410 Ertuğrul Eriş

21 DEVRELERDE KARŞILAŞILAN FONKSİYONLARIN LAPLACE-I
L {f(t)}= İmpuse δ(t) 1 Step u(t) 1/s Ramp t 1/(s2) Exponential e-at 1/(s+a) Sine sinωt ω/(s2+ω2) Cosine cosωt s/(s2+ω2) Damped Ramp te-at 1/(s+a)2 Damped sine e-at sinωt ω/((s+a)2+ω2) Damped cosine e-at cosωt (s+a)/((s+a)2+ω2) F(s)’ler Rasyonel fonksiyonlar! EE410 Ertuğrul Eriş

22 OPERASYONEL DÖNÜŞÜMLER
Kf(t) KF(s) f1(t)+f2(t)-f3(t) F1(s)+F2(s)-F3(s) df(t)/dt sF(s)-f(0-) d2f(t)/dt2 s2F(s)-sf(0-)-df(0-)/dt dnf(t)/dtn snF(s)- sn-1f(0-)-sn-2 df(0-)/dt -dfn-1(0-)/dtn-1 F(s)/s f(t-a)u(t-a), a>0 e-asF(s) e-atf(t) F(s+a) f(at), a>0 (1/a)F(s/a) tf(t) -dF(s)/ds tnf(t) (-1)n dnF(s)/dsn f(t)/t L {f(t)}= Yorum: Laplace dönüşümü İntegro differansiyel denklem(leri) rasyonel fonksiyonlara dönüştürür. EE410 Ertuğrul Eriş

23 LAPLACE DÖNÜŞÜMÜNÜN DEVRELERE UYGULAMASI
EE410 Ertuğrul Eriş

24 TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ-1
Devre çözümleri s-domeninde rasyonel fonksiyonlar Proper rational n<m Improper rational m<n Rasyonel fonksiyonlar basit kesirler (Partial fraction expansion) toplamı biçiminde yazılabilir. Bu basit kesitlerden de Laplace dönüşümünün lineerliğinden yararlanarak t domenine geçilebilir EE410 Ertuğrul Eriş

25 TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ-2
u(t) 1/s e-at 1/(s+a) sinωt ω/(s2+ω2) cosωt s/(s2+ω2) te-at 1/(s+a)2 e-at sinωt ω/((s+a)2+ω2) e-at cosωt (s+a)/((s+a)2+ω2) K’nın s = -α+jβ köküne ait olduğu unutulmamalıdır!!! Rasyonel fonksiyonun kutupları reel ise ters laplace eksponansiyel Kompleks ise eksponansiyel sönümlü sinüsoidal İmajiner ise sinüsoidal EE410 Ertuğrul Eriş

26 TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ NÜMERİK ÖRNEK-1
Katsız reel köklü bir rasyonel fonksiyon için ters Laplace örneği: Bu fonksiyon bir devreye ilişkin olsa, yanar mı? EE410 Ertuğrul Eriş

27 TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ NÜMERİK ÖRNEK-2
Katsız /katlı reel köklü bir rasyonel fonksiyon için ters Laplace örneği: Bu fonksiyon bir devreye ilişkin olsa, yanar mı? EE410 Ertuğrul Eriş

28 TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ NÜMERİK ÖRNEK-3
Katsız /katlı reel köklü bir rasyonel fonksiyon için ters Laplace örneği: Bu fonksiyon bir devreye ilişkin olsa, yanar mı? EE410 Ertuğrul Eriş

29 TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ-4
Katsız eşlenik komplex kök Katlı eşlenik komplex kök Yorum: Eşlenik komplex köklerden –α+jβ ait K katsayısını bulmak yeter, K* bulmaya gerek yok; bu veri ile ters laplace doğrudan yazılabilir. Kökler yalnız imajiner olursa sonuç? EE410 Ertuğrul Eriş

30 TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ NÜMERİK ÖRNEK-4
Eşlenik Kompleks kutupları olan rasyonel fonksiyonların ters laplace’ına örnek Bu fonksiyon bir devreye ilişkin olsa, yanar mı? EE410 Ertuğrul Eriş

31 TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ NÜMERİK ÖRNEK-5
KATLI KOMPLEKS KUTBU OLAN RASYONEL FONKSİYONLARIN TERS LAPLACE’INI ALMAYA ÖRNEK Bu fonksiyon bir devreye ilişkin olsa, yanar mı? EE410 Ertuğrul Eriş

32 IMPROPER RATIONEL FUNCTION
Payın derecesi paydanınkinden büyük Bölme işlemi yapılarak polinom+proper rasyonel functiona dönüştürülür Polinomun ters dönüşümünden Dirac delta fonksiyonun türevleri ve/veya kendisi gelir Proper rasyonel fonksiyonun ters dönüşümü ise önce yapıldığı gibidir EE410 Ertuğrul Eriş

33 IMPROPER RATIONEL FUNCTION ÖRNEK
EE410 Ertuğrul Eriş

34 S-DÜZLEMİNDE KUTUP VE SIFIRLAR (POLES/ZEROS)
EE410 Ertuğrul Eriş

35 INITIAL AND FINAL VALUE TEOREMLERİ
Bulunan sonuçları test etmekte kullanabiliriz EE410 Ertuğrul Eriş

36 ÖRNEK-1 EE410 Ertuğrul Eriş

37 ÖRNEK-2 EE410 Ertuğrul Eriş

38 ÖRNEK-3 EE410 Ertuğrul Eriş

39 ÖRNEK-4 EE410 Ertuğrul Eriş

40 ÖRNEK-5 EE410 Ertuğrul Eriş

41 ÖRNEK-6 EE410 Ertuğrul Eriş

42 ÖRNEK-7 EE410 Ertuğrul Eriş

43 ÖRNEK-8 EE410 Ertuğrul Eriş

44 ÖRNEK-9 EE410 Ertuğrul Eriş

45 ÖRNEK-10 EE410 Ertuğrul Eriş

46 ÖĞRENİM PROGRAMI OLUŞTURULMASI
BÖLÜM, PROGRAM M E Z U N Ö Ğ R C İ ÖĞRENCİ P R O G A M Ç I K T L PROGRAM ÇIKTILARI P R O G A M Ç I K T L ALAN yETERLİKLERİ BİLGİ Knowledge BECERİ Skills KİŞİSEL/ MESLEKİ YETKİN LİKLER Competences AB/VE ULUSAL YETERLİKLER YENİ ÖĞRENCİ ORYANTASYON Yönetim, idare öğ anket ORYANTASYON Öğrenci Profili Öğ. anket Öğ. elem ÖĞRENCİ, ÜRÜN ?ÖĞRENİM PROGRAMI? İç Paydaşlar Ders öğ. anket DIŞ PAYDAŞLAR DIŞ PAYDAŞ GEREKSİNİMLERİ AB/ULUASAL ALAN YETERLİLİKLERİ PROGRAM ÇIKTILARI DEVLET, ÖZEL SEKTÖR MEZUNLAR, AİLELER MESLEK OD, NGO Çıktılar için veri top ve değerlendirme İyileştirme araçları SONUÇ: ULUSAL/ULUSLARARASI AKREDİTASYON

47 BLOOM’S TAXONOMY ANDERSON AND KRATHWOHL (2001)
!!Listening !!

48 ULUSAL LİSANS YETERLİLİKLER ÇERÇEVESİ
TÜRKİYE YÜKSEKÖĞRETİM ULUSAL YETERLİKLER ÇERÇEVESİ (TYUYÇ) TYUYÇ DÜZEYİ BİLGİ Kuramsal Uygulamalı BECERİLER Kavramsal/Bilişsel KİŞİSEL VE MESLEKİ YETKİNLİKLER Bağımsız Çalışabilme ve Sorumluluk Alabilme Yetkinliği Öğrenme Yetkinliği İletişim ve Sosyal Yetkinlik Alana Özgü ve Mesleki Yetkinlik 6 LİSANS _____ EQF-LLL: 6. Düzey QF-EHEA: 1. Düzey Ortaöğretimde kazanılan yeterliklere dayalı olarak alanındaki güncel bilgileri içeren ders kitapları, uygulama araç –gereçleri ve diğer bilimsel kaynaklarla desteklenen ileri düzeydeki kuramsal ve uygulamalı bilgilere sahip olmak Alanında edindiği ileri düzeydeki kuramsal ve uygulamalı bilgileri kullanabilmek, - Alanındaki kavram ve düşünceleri bilimsel yöntemlerle inceleyebilmek, verileri yorumlayabilmek ve değerlendirebilmek, sorunları tanımlayabilmek, analiz edebilmek, kanıtlara ve araştırmalara dayalı çözüm önerileri geliştirebilmek. Uygulamada karşılaşılan ve öngörülemeyen karmaşık sorunları çözmek için bireysel ve ekip üyesi olarak sorumluluk alabilmek, - Sorumluluğu altında çalışanların mesleki gelişimine yönelik etkinlikleri planlayabilmek ve yönetebilmek - Edindiği bilgi ve becerileri eleştirel bir yaklaşımla değerlendirebilmek, öğrenme gereksinimlerini belirleyebilmek ve öğrenmesini yönlendirebilmek. - Alanıyla ilgili konularda ilgili kişi ve kurumları bilgilendirebilmek; düşüncelerini ve sorunlara ilişkin çözüm önerilerini yazılı ve sözlü olarak aktarabilmek, - Düşüncelerini ve sorunlara ilişkin çözüm önerilerini nicel ve nitel verilerle destekleyerek uzman olan ve olmayan kişilerle paylaşabilmek, - Bir yabancı dili kullanarak alanındaki bilgileri izleyebilmek ve meslektaşları ile iletişim kurabilmek (“European Language Portfolio Global Scale”, Level B1) - Alanının gerektirdiği düzeyde bilgisayar yazılımı ile birlikte bilişim ve iletişim teknolojilerini kullanabilmek (“European Computer Driving Licence”, Advanced Level). - Alanı ile ilgili verilerin toplanması, yorumlanması, duyurulması ve uygulanması aşamalarında toplumsal, bilimsel ve etik değerlere sahip olmak, - Sosyal hakların evrenselliğine değer veren, sosyal adalet bilincini kazanmış, kalite yönetimi ve süreçleri ile çevre koruma ve iş güvenliği konularında yeterli bilince sahip olmak. BLOOMS TAXONOMY

49 DEVRE ANALİZİ DEĞERLENDİRME MATRİSİ
ALAN YETERLİLİKLERİ(ABET) a b c d e f g h i j k Lineer elektrik devreleri, frekans -domanlarinde ‘çevre akımları’ ve ‘düğüm gerilimleri’ yöntemleriyle çözebilecekler. 3 1 2 Lineer elektrik devreleri, s -domanlarinde ‘çevre akımları’ ve ‘düğüm gerilimleri’ yöntemleriyle çözebilecekler. Devre çözümlerini yorumlayabileceklerdir. Frekans domeni çözümlerinin sınırları ve faydalarını açıklayabilecekler, t-domani çözümleriyle karşılaştırabileceklerdir. s-domeni çözümlerinin sınırları ve faydalarını açıklayabilecekler, t-domani çözümleriyle karşılaştırabileceklerdir. Lineer devreleri ‘Transfer fonksiyon’ları ile modelleyip analiz edebileceklerdir. Çeşitli filtreleri RLC ve/veya işlemsel kuvvetlendirircilerle tasarlayabileceklerdir. (Sentez) Lineer İki kapılı devreleri kullanarak devre analizi yapabileceklerdir. ÖĞRENİM ÇIKTILARI Ertuğrul Eriş Devre Analizi İlk Ders