Deprem Muhendisliği Yrd. Doç. Dr. AHMET UTKU YAZGAN Maltepe Üniversitesi Mühendislik ve Doğa Bilimleri Fakültesi İnşaat Mühendisliği / Oda No: 305 utkuyazgan@maltepe.edu.tr

AYRIK SISTEMLERIN DINAMIGI Bir Sistemin önemli tüm kütlelerinin pozisyonunu tanımlamak için gerekli bağımsız Değişkenlerin sayısı, sistemin dinamik serbestlik derecesinin sayısıdır.

Pozisyonu bir değişken ile tam anlamıyla tanımlanabilen Ayrık sistemler tek dereceli serbestlikli (TDS) sistem olarak anılmaktadır. Bu tek serbestlik düz yatay yada düşey) Dönmeli (rotational) yer değiştirmeyi temsil eder Tipik TDS 1)Rijit kütle (m) 2) Rijitlik yayı (k) 3)Bir vizkoz sönümleme katsayısı (c)

Pozitif x-yönünde bir kuvvete negatif x-yönünde Bir TDS sisteminin kütlesine dinamik yükleme yapıldığı zaman Hareket eğilimi kütlenin ataleti ile yay ile sönümleyici içinde gelişen kuvvetler tarafından kısıtlanır Pozitif x-yönünde bir kuvvete negatif x-yönünde Bu kuvvetler kütlenin hareketi cinsinden ifade edilebilir. Newton un ikinci yasasına göre bir kütle üzerine etkiyen atalet kuvveti o kütlenin momentum değişim hızına eşittir.

Viskoz bir sönümleyici kuvveti kütlenin hızı ile orantılıdır. Yay ile sağlanan kuvvet de, yay rijitliği ile yer değiştirme miktarının çarpımına eşittir.

Genel Hareket Denklemi İkinci derece differansiyel denklem, Hareketin differansiyel denkleminin doğrusal olduğu kabul edilir (Tüm terimlerin katsayıları sabittir) Hareket Denklemi : Mesnetlerin Titreşimi (Taban Sarsması) Dinamik yükleme dış yük yerine sistemin desteklerinin titreşiminden gelir. Buna uygun hareket denklemi geliştirilmeli.

Toplam yer değiştirme= taban yer değiştirmesi + tabana göre kütlenin yer değiştirmesi Atalet kuvveti kütlenin toplam ivmesine, viskoz sönümleme ve elastik yay kuvvetleri göreceli yer değiştirmeye Sistemin taban sarsmasına tepkisi o sistemin tabanının sabit olduğu ve kütlenin de dış yüklemeye maruz kaldığı durumdaki tepkisidir

Doğrusal TDS Sistemlerin tepkisi Zorlanmış Titreşim------- Belirli bir dış Q(t) yüklemesi a) Periyodik b) Periyodik olmayan Serbest Titreşim--------Dış yükleme veya taban sarsması olmadığı durumda gelişir. Kütlenin belirli bir yer değiştirmeden sonra serbest kalmasından ileri gelebilir veya geçici zorlanmış titreşim sona erdikten sonra oluşur. Sönümlemesiz serbest titreşim---- c = 0 ; Q(t) = 0 Sönümlemeli serbest titreşim-------c > 0 ; Q(t) = 0 Sönümlemesiz zorlanmış titreşim-- c = 0 ; Q(t) ≠ 0 Sönümlemeli zorlanmış titreşim---- c > 0 ; Q(t) ≠ 0

Sönümlemesiz serbest titreşim---- c = 0 ; Q(t) = 0 TDS sistem dış yükler etkisi altında salınmadığı zaman serbest titreşime maruz kalır (c = 0) Bu Differansiyel sistemin çözümü Burada C1 ve C2 sistemin başlangıç şartlarina bağlıdır, Sistemin doğal dairesel frekansı, Doğal frekans ve doğal Peryod :

Serbest titreşimdeki sönümlemesiz bir sistem kendi doğal frekansında harmonik olarak salınacağını ifade eder. Başlangıç şartları (t=0) yerine konularak C1 ve C2 hesaplanabilir. Bu durumda bir TDS sistemin sönümlemesiz serbest titreşim tepkisinin çözümü:

Sönümlemesiz serbest titreşim---- c = 0 ; Q(t) = 0 Serbest Titreşimin trigonometrik notasyonla gösteimi

2) Sönümlemeli serbest titreşim---- c > 0 ; Q(t) = 0 Gerçek sistemlerde enerji kaybolması sürtünme, ısı oluşumu, hava direnci veya diğer mekanizmalardan ileri gelebilir. TDS sistemin tepkisi zamanla azalacaktır. Denklemi m’ e bölüp değişikliği yaparsak Kritik sönümleme katsayısı cc, Sönümleme oranı: sönümleme katsayısının kritik sönümleme katsayısına oranı olarak tanımlanır.

2) Sönümlemeli serbest titreşim---- c > 0 ; Q(t) = 0 Sönümlemenin kritik değerin altında olduğu durumda hareketin genel çözümü t artıkça üssel terim küçülür zamanla sıfıra yakın bir değer alır. Serbest titreşimdeki az sönümlemeli sistemlerin tepkisi zaman içinde üssel olarak azalır. Bu hız sönümleme oranına bağlıdır. Eğer bu değer küçük ise tepkinin azalması yavaş, büyükse hızlı olur.

Sönümlemeli serbest titreşim---- c > 0 ; Q(t) = 0 Wd = Sistemin sönümlemeli doğal frekansı olarak tanımlarsak. Sönümlemeli bir sistemin doğal frekansı sönümlemesiz bir sitemininkinden daima küçüktür ve artan sönümleme oranı ile birlikte azalır.

2) Sönümlemeli serbest titreşim---- c > 0 ; Q(t) = 0 Az sönümlemeli bir sitemin serbest titreşim tepkisi TDS sistemin sönümleme oranını hesaplamak için bir serbest titreşim deneyi yapılır. Logaritmik azalım ölçülür.

3) Sönümlemesiz zorlanmış titreşim---- c = 0 ; Q(t) ≠ 0 Tamamlayıcı çözüm (eşitliğin sıfır olduğu) sistemin başlangıç şartlarından ileri gelen Sistemin sönümlemesiz doğal frekansındaki basit harmonik salınım Özel çözümün (tepkinin dış yüklemeden ileri gelen kısmı)

3) Sönümlemesiz zorlanmış titreşim---- c = 0 ; Q(t) ≠ 0 Genel Çözüm = Tamamlayıcı Çözüm ile Özel çözümün toplamı Hız için genel çözüm

3) Sönümlemesiz zorlanmış titreşim---- c = 0 ; Q(t) ≠ 0 Belirli bir ilksel yerdeğiştirme ve ilksel hız için

3) Sönümlemesiz zorlanmış titreşim---- c = 0 ; Q(t) ≠ 0 Genel Tepki sonuç olarak: İki bileşen var: 1) yüklemeye tepki olarak ve uygulanan yükün frekansında, diğeri ise Başlangıç şartlarının neden olduğu serbest titreşim etkisidir. Sistemin doğal frekansında Oluşur.

3) Sönümlemesiz zorlanmış titreşim---- c = 0 ; Q(t) ≠ 0 İki bileşen var: 1) yüklemeye tepki olarak ve uygulanan yükün frekansında, diğeri ise Başlangıç şartlarının neden olduğu serbest titreşim etkisidir. Sistemin doğal frekansında Oluşur. Q0/k terimi, Q0 yükünün statik olarak uygulandığı durumdaki kütle yerdeğiştirmesini temsil eder. 1/(1-β2) Terimi statik yerdeğiştirme genliğinin harmonik yük ile büyütüldüğü miktarı tanımlayan bir büyütme faktörü. Büyütme faktörü ayarlama oranı ile birlikte değişir

3) Sönümlemesiz zorlanmış titreşim---- c = 0 ; Q(t) ≠ 0 Büyütme faktörü ayarlama oranı ile birlikte değişir. dan küçük yükleme frekans- Larında yerdeğiştirme genliğinin statik yerdeğiştirmeden büyüktür. Daha yüksek yükleme Frekanslarında statik yerdeğiştirmeden daha küçük olabilir. Harmonik yükleme, sönümlemesiz bir TDS sistemin doğal frekansında uygulandığı zaman sistemin tepkisi sonsuza gider ve bu durum sistemin rezonansına işaret eder. Ancak tamamen sönümlemesiz sistmeler mevcut ıomadığından gerçek rezonans hiç bir zaman oluşmaz.

4) Sönümlemeli zorlanmış titreşim---- c ≠ 0 ; Q(t) ≠ 0 Şeklinde basit harmonik yüklemeye maruz kalan sönümlemeli bir TDS sistemin hareket denklemi Tamamlayıcı çözüm az sönümlemeli sistem için ifade edilen sönümlemeli serbest titreşim tepkisini temsil eder.

4) Sönümlemeli zorlanmış titreşim---- c ≠ 0 ; Q(t) ≠ 0 Sönümlemeli bir TDS sistemin tepkisi genellikle dış yük ile faz dışında olduğundan, özel çözüm: Buna karşılık gelen hız ve ivme : Bu değerleri genel denklemde yerine koyup, terimleri düzenlersek

4) Sönümlemeli zorlanmış titreşim---- c ≠ 0 ; Q(t) ≠ 0

4) Sönümlemeli zorlanmış titreşim---- c ≠ 0 ; Q(t) ≠ 0 Sönümlemeli zorlanmış titreşimin hareket denkleminin genel çözümü Buradaki C1 ve C2 başlangıç şartlarına bağlıdır.