İNTEGRAL UYGULAMALARI GÖSTERİYE BAŞLA

EĞRİ ALTINDAKİ ALAN TANIM: tanımlı ve bu aralıkta sürekli olmak koşuluyla; İntegralinin değerine x=a dan x=b ye kadar f(x) eğrisi ve x ekseni arasındaki alan denir. TANIM: a b A A a b a b A1 A2

f(x) in grafiği y-ekseni y=m ve y=n doğrularıyla sınırlı bölgenin alanı

NOT: -3 6 3br2 20br2 a) Yukarıda verilen f(x) fonksiyonuna göre integralinin değeri nedir? Denildiğinde alanların cebirsel toplamı yapılır. b)|-3,6| aralığında f(x) ve x ekseni arasındaki taralı alan nedir? denildiğinde ise mutlak değerce toplamı yapılır.

ÇÖZÜM: meydana gelen şekil yamuk olup integralsiz de çözülebilir. ÖRNEK1 :x+2 doğrusu x=-1, x=2 doğruları ve x-ekseni arasında kalan alankaç br2dir? ÇÖZÜM: meydana gelen şekil yamuk olup integralsiz de çözülebilir. y=x+2 x -2 2 -1 y

ÖRNEK2: f(x)=2-x2/2 eğrisi ile ox ekseni arasında kalan alanı bulunuz. ÇÖZÜM: -2 2

İKİ EĞRİ ARASINDA KALAN ALAN b f(x) g(x) f(x) g(x) a b 1) g(x) a b f(x) Şekillerde görüldüğü gibi taralı alan;

2) İki eğri arasında kalan alan şekildeki gibi ise f(x) a b c g(x)

ÇÖZÜM: Önce kesim noktaları bulunup, grafik çizilir. ÖRNEK3: y=x2 eğrisi ile y=x+2 doğrusu arasında kalan bölgenin alanı kaç br2dir? ÇÖZÜM: Önce kesim noktaları bulunup, grafik çizilir. y=x+2 y=x2 x -2 2 -1 y y=x2 , y=x+2 x2=x+2 x2-x-2=0 (x+1) (x+2)=0 x=-1 , x=2

ÖRNEK4: y2=x eğrisi ile y=x-6 doğrusu arasında kalan bölgenin alanı kaç br2dir? ÇÖZÜM: y=x-6 y2=x 3 -2 x y y2=y+6 y2-y-6=0 (y+2) (y-3)=0 y=-2 , y=3 Şekilden de anlaşılacağı gibi y ekseni arasında kalan alanı bulmalıyız.

ÖRNEK5: f(x)=x2-x, g(x)=3x-x2 eğrileri arasında kalan bölgenin alanını bulunuz. ÇÖZÜM: iki eğriyi ortak çözüp integral sınırlarını bulalım. f(x)=g(x) x2-x=3x-x2 ise 2x2-4x=0 x=0, x=2 dir.

ÖRNEK6: f(x) fonksiyonunun grafiği şekildeki gibidir. Buna göre; ve c f(x) ÖRNEK6: f(x) fonksiyonunun grafiği şekildeki gibidir. Buna göre; ve ise değeri nedir? ÇÖZÜM: ise üstteki pozitif alan ile alttaki negatif alanın toplamıdır. şekildeki taralı alanların toplamıdır. (B<0) dersek, Yani; bulunur.

ÖRNEK7: Grafiği verilen f(x) fonksiyonu, y=x2+2x 2 -2 x y ÖRNEK7: Grafiği verilen f(x) fonksiyonu, x=2 doğrusu ve x ekseni arasında kalan taralı alan kaç br2dir? ÇÖZÜM:

DÖNEL CİSİMLERİN HACİMLERİ x y=f(x) y b a 1. Y=f(x) denklemi ile temsil edilen eğrinin [a,b] aralığına ait parçanın Ox ekseni etrafından döndürülmesi ile elde edilen cismin hacmi :

2. d a b c x y y=f(x) f(a)=c f(b)=d Aynı şekilde y=f(x) denklemi ile temsil edilen [c,d] aralığına ait parçanın Oy ekseni etrafında döndürülmesi ile meydana getirilen cismin hacmi:

b a y x f(x) g(x) 3. İki eğri arasında kalan alanın Ox ekseni etrafında 360 derece döndürülmesinden elde edilen şeklin hacmi:

Örnek 1: y=x2 eğrisi ile x=2 doğrusu ve x ekseni arasında kalan alanın Ox ekseni etrafında döndürülmesinden oluşan cismin hacmi kaç br3 dür? Çözüm: x=2 x y y=x2 dür.

y=ex eğrisi ve x=1 doğrusu ve eksenler arasında kalan bölgenin Ox ekseni etrafında döndürülmesinden oluşan cismin hacmi kaç br3 dür? Örnek 2: y=ex 1 x y Çözüm:

Örnek3: y=cosx eğrisinin x=0, x=л doğruları ve x ekseni arasında kalan alanın yine ox ekseni etrafında döndürülmesinden meydana gelen cismin hacmi kaç br3’tür? Çözüm: 0 ve /2arasındaki alan, /2 ile  arasında kalan alana eşit olduğundan x ekseni etrafında dönmesinden oluşacak hacimlerde eşit olacağından; y=cosx /2  y x

Örnek4: f(x)=2/x2 eğrisine x=1 apsisli noktadan çizilen teğeti ile eksenler arasındaki düzlemsel bölgenin oy ekseni etrafında döndürülmesi ile oluşan şeklin hacmi kaç br3’tür? Çözüm: Meydana gelen düzlemsel bölgenin alanı şekildeki gibidir. Önce f(x)in x=1 noktasındaki teğeti bulunur. -3/2 3/2 x y f(x)=-2x*2/x4 =-4/x3 m=f-1(x)=-4 x=1 için f(1)=2 A(1,2) Teğetin denklemi: y-y1=m(x-x1) y-2=-4(x-1) y=-4x+6

1. Yol: Şekil konidir. Koninin hacminden; 2.Yol:

Örnek5: Çözüm: İntegral yardımıyla koninin hacmini bulunuz. Koninin yüksekliğine h ve taban yarıçapına r diyelim ve [AB]doğrusunun denklemini bulalım. A(0,r) B(h,0) y x A (0 , r) = (x1 , y1) , B = (h , 0) = (x2 , y2) (x-x1) * (y2-y1) = (x2-x1) * (y-y1) (x-0) * (0-r) = (h-0) * (y-r) -x*r = h*(y-r) ise y=r-(x*r)/h

Buna göre;

KARIŞIK ÖRNEKLER 1 ) y=x2-2x eğrisi x=3 doğrusu ve x ekseni arasında kalan alan kaç br2’dir? E) 3/2 A ) 16/3 B) 8/3 C ) 4/3 D) 3

ÇÖZÜM: A=A1+A2 y=x2-2x y x 3 2 CEVAP B

2) y=x3 eğrisi y=3 doğrusu ve y-ekseni arasında kalan alan kaç br2’dir? C ) D )

ÇÖZÜM: -1 y=3 y=x3-1 CEVAP D

3) y=lnx eğrisi ox ekseni ve x=e doğrusu arasında kalan düzlemsel bölgenin alanı kaç br2’dir? SANKİ BULDUM GİBİ.. E) 5/2 A ) 1/2 B) 1 C ) 3/2 D) 2

ÇÖZÜM: e 1 y=lnx y x CEVAP B

4) y=2-x2 ile y=x2 eğrileri tarafından sınırlanan alan kaç br2’dir? C ) 4/3 D) 1/2

ÇÖZÜM: CEVAP E y=x2 y=2-x2 x2=2-x2 2x2=2 ise x2=1 x=1, x=-1 y=x2 -1 1

5 ) f(x)=lnx eğrisinin x=e noktasından çizilen teğeti ile x ekseni ve f(x) = lnx eğrisi arasındaki alan kaç br2’dir? E) (e-2)/2 A ) 2 B) 1 C ) e D) e/2

ÇÖZÜM: Önce teğetin denklemi bulunur. y=lnx 1 e f(x) = lnx A(e,1) f´(x)=1/x ise m=1/e dir y-y1=m(x-x1) y-1=1/e(x-e) y=x/e-1+1 y=x/e CEVAP E

6 ) f(x)=x2 parabolü ve g(x)=x doğrusu arasında kalan düzlemsel bölgenin ox ekseni etrafında 360 döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi nedir? E)  A ) /15 B) 2/15 C ) 1/15 D) 15/

ÇÖZÜM: f(x) =g(x)  x2=x  x=0 veya x=1 f(x) =x2 g(x) = x CEVAP B

7 ) y=x2 parabolü, x=0 ve y=2 doğruları arasında kalan bölgenin Oy eksen etrafında 360 döndürülmesi ile elde edilen dönnel cismin hacmini bulunuz. E) /3 br3 A ) 2 br3 B) 3/2 br3 C )  br3 D) /2 br3

CEVAP A ÇÖZÜM: y = x2  x = y (x >=0) dır. Oluşan cismin hacmi:

8 ) x2+(y-3)2 =4 çemberinin sınırladığı bölgenin, Oy ekseni etrafında dönmesinden oluşan cismin hacmi nedir? E) /2 br3 A ) 32/2 br3 B) 32/3 br3 C ) 16 /2br3 D) 5/6 br3

Vy=4/3 br3 =4/3*8 32/3 br3 Oluşacak şekil küre olduğundan ÇÖZÜM: M(0,3) r=2 Oluşacak şekil küre olduğundan Kürenin hacmi ile de çözülebilir. 3 1 5 y=(4-x2)+3 -2 2 Vy=4/3 br3 =4/3*8 32/3 br3 CEVAP B

9 ) y= x2 eğrisi ile y=4 doğrusu x ekseni etrafında döndürülüyor 9 ) y= x2 eğrisi ile y=4 doğrusu x ekseni etrafında döndürülüyor. Elde edilen cismin hacmi kaç br3’tür? E) /256 br3 A ) 256/4 br3 B) 128/5 br3 C ) 64 /2br3 D) 256/5 br3

ÇÖZÜM: x2=y x2=4 x=2 , x=-2 y2=x2 y1=4 -2 2 CEVAP D

GÖSTERİ SONA ERMİŞTİR! İLK SLAYT