(iki değişkenli fonksiyonlarda integral)

... konulu sunumlar: "(iki değişkenli fonksiyonlarda integral)"— Sunum transkripti:

1 (iki değişkenli fonksiyonlarda integral)
DERS:13 İKİ KATLI İNTEGRALLER (iki değişkenli fonksiyonlarda integral)

2

3

4 bölgesinde tanımlı ve sürekli fonksiyonunu ele alalım. olsun.
Sınırlı ve kapalı bir bölgesinde tanımlı ve sürekli fonksiyonunu ele alalım. olsun. x y z yo =c yn =d xo =a D y=g(x) y=f(x) xn =b

5 Küçücük dikdörtgenler prizmasının hacmi olur.
x y z x=a x=b y=c y=d D Pi (xi,yi,zi) Küçücük dikdörtgenler prizmasının hacmi olur.

6 Tabanı D bölgesi olan ve yüzeyinin altında kalan cismin hacmi
x y z x=a x=b y=c y=d D Pi (xi,yi,zi) Z=f(x,y) Tabanı D bölgesi olan ve yüzeyinin altında kalan cismin hacmi olur.

7 İki Katlı İntegrallerin Bazı Özellikleri:
İki Katlı İntegrallerin Bazı Özellikleri: ise İntegralinde alınırsa (D bölgesinin alanı) olur.

8 İki Katlı İntegrallerin Hesabı:
İki Katlı İntegrallerin Hesabı: z = f(x,y) fonksiyonu bir bölgesinde tanımlı olsun. 1. Ox eksenine dik doğrular D bölgesinin bir iç noktasından geçerek bölgeyi sağdan (üstten) sınırlayan y=f(x) eğrisi ile, bölgeyi solan (alttan) sınırlayan y=g(x) eğrisini ayrı ayrı birer noktada kesiyorlarsa D bölgesi x eksenine göre düzgün bölgedir denir. Bu durumda dır.

9 D bölgesi x eksenine göre düzgün bölgedir.
y z x=a x=b y=g(x) y=f(x) D D bölgesi x eksenine göre düzgün bölgedir.

10 x y z z=f(x,y) x=a x=b y=g(x) y=f(x) D

11 D={(x,y):c ≤ y ≤ d, g(y) ≤ x ≤ f(y), x,yєR} dır.
2. y eksenine dik doğrular D bölgesinin bir iç noktasından geçerek bölgeyi üstten (sağdan) sınırlayan x=g(y) eğrisi ile, bölgeyi alttan (osldan) sınırlayan x=f(y) eğrisini ayrı ayrı birer noktada kesiyorsa D bölgesi y eksenine göre düzgün bölgedir denir. Bu durumda D={(x,y):c ≤ y ≤ d, g(y) ≤ x ≤ f(y), x,yєR} dır.

12 D bölgesi y eksenine göre düzgün bölgedir.
x y z y=c y=d D x=g(y) x=f(y) D bölgesi y eksenine göre düzgün bölgedir.

13 z=f(x,y) x y z y=c y=d D

14 D bölgesi hem x eksenine hem de y eksenine göre düzgün bölge ise;
D bölgesi hem x eksenine hem de y eksenine göre düzgün bölge ise; olur.

15 Örnek: Tabanı, z=0 düzleminde x=0, x=1, y=1, y=2 doğruları ile sınırlı D bölgesi, üstten z = 2x düzlemi ile sınırlı cismin hacmini hesaplayınız. Çözüm: x y z (1,1,2) (1,0,2) (1,2,2) 1 2 D 1 (1,2) (1,1)

16 Hacmi istenen cismi gördükten sonra D bölgesine tekrar bakalım.
Hacmi istenen cismi gördükten sonra D bölgesine tekrar bakalım. D bölgesi hem x eksenine hem de y eksenine göre düzgün bölgedir. x eksenine göre düzgün bölge olarak alalım. O zaman V hacmi; x y z D 1 2 (1,1) (1,2)

17 x+y+z=1 düzlemi ile z=0 düzleminin arakesiti x+y=1 doğrusudur.
Örnek: Koordinat düzlemleri ile x+y+z=1 düzleminin sınırladığı cismin hacmini hesaplayınız. Çözüm: x+y+z=1 düzlemi ile z=0 düzleminin arakesiti x+y=1 doğrusudur. x+y+z=1 düzlemi ile y=0 düzleminin arakesiti x+z=1 doğrusudur. x+y+z=1 düzlemi ile x=0 düzleminin arakesiti y+z=1 doğrusudur.

18 x+z=1 y+z=1 x+y+z=1 x+y=1 x+y=1
x+y=1 x y z D 1 x y z x+z=1 y+z=1 x+y+z=1 1 1 x+y=1 D bölgesi hem x eksenine hem de y eksenine göre düzgün bölgedir. x eksenine göre düzgün bölge olarak alalım. O zaman V hacmi;

19 y=1-x x y z D 1

20 Örnek: Tabanı z=0 düzleminde y=0, y=x, x=1 doğruları ile sınırlı D bölgesi ve üstten z=x+y düzlemi ile sınırlı cismin hacmini hesaplayınız. Çözüm: (1,1,2) x y z x y z y=x D 1 (1,1) (1,0,1) y=x D 1 (1,1) x=1

21 x y z y=x D 1 (1,1) D bölgesi hem x eksenine hem de y eksenine göre düzgün bölgedir. x eksenine göre düzgün bölge olarak alalım. O zaman V hacmi;

22 Örnek: (Sınır Değiştirme)
Örnek: (Sınır Değiştirme) Tabanı, z=0 düzleminde, x=0, y=1 ve y=x doğruları ile sınırlı üçgensel D bölgesi ve üstten z=xcosy3 yüzeyi ile sınırlı cismin hacmini hesaplayınız. D 1 Çözüm:

23 Örnek: (Sınır Değiştirme)
Tabanı, z=0 düzleminde, x=0, y=1 ve y=x doğruları ile sınırlı üçgensel D bölgesi ve üstten z=ey2 yüzeyi ile sınırlı cismin hacmini hesaplayınız. D 1 Çözüm:

24 D bölgesi x=y doğrusu ve x=y2 parabolü ile sınırlı bölge olmak üzere,
Örnek: D bölgesi x=y doğrusu ve x=y2 parabolü ile sınırlı bölge olmak üzere, integrallerini hesaplayınız. Çözüm: 1 x=y2 D x=y

25 Örnek: Tabanı x ekseni ile y=2x-x2 parabolü tarafından sınırlanan bölge, üst yüzeyi z= 4-x yüzeyi olan cismin hacmini hesaplayınız. Çözüm: y=2x-x2 D 2

26 2 (0,0,4) (1,1,3) (2,0,2) V=4 br3 (1,1,0)

27 Örnek: Tabanı, z=0 düzleminde, y=0, y=lnx, x=e ile sınırlı D bölgesi ve üstten z=3 düzlemi ile sınırlı cismin hacmini hesaplayınız. x y z Çözüm: 3 (1,0,3) 1 1 D e (e,1) y=lnx

28 Hacmi istenen cismi gördükten sonra D bölgesine tekrar bakalım.
Hacmi istenen cismi gördükten sonra D bölgesine tekrar bakalım. x y z 1 (e,1) y=lnx e D D bölgesi hem x eksenine hem de y eksenine göre düzgün bölgedir. x eksenine göre düzgün bölge olarak alalım. O zaman V hacmi;

29

30 Örnek: Tabanı, z=0 düzleminde, x=1-y2 parabolü ve x=0 ile sınırlı D bölgesi ve üs yüzeyi z=2-x düzlemi olan cismin hacmini hesaplayınız. Çözüm: z = 2-x x y z 2 (0,0,2) (1,0,2) -1 1 (1,0,2) 1 x = 1-y2

31 Hacmi istenen cismi gördükten sonra D bölgesine tekrar bakalım.
Hacmi istenen cismi gördükten sonra D bölgesine tekrar bakalım. x y z 1 -1 x = 1-y2 D D bölgesi y eksenine göre düzgün bölgedir. x eksenine göre düzgün bölge değildir. O zaman V hacmi;

32

33 Örnek: Tabanı, z=0 düzleminde, y=2, y=lnx ve koordinat eksenleri ile sınırlı D bölgesi ve üst yüzeyi z=3 düzlemi olan cismin hacmini hesaplayınız. x y z Çözüm: 3 (1,0,3) 2 1 D (e2 ,2) y=lnx

34 D bölgesi x eksenine göre düzgün olmayıp y eksenine göre düzgün bölgedir. Dolaysıyla y nin sınırları sabit x in sınırları y ye bağlı olacaktır. x y z 1 (e2 ,2) y=lnx D 2 y=lnx x=ey

35 Örnek: Tabanı, z=0 düzleminde, x2=4y, y2=4x parabolleri ile sınırlı D bölgesi ve üst yüzeyi z=x düzlemi olan cismin hacmini hesaplayınız. 4 Çözüm: z = x (4,0,4) (4,4,4) 4 y2 = 4x 4 (4,4,0) x2 = 4y

36 4 x2 = 4y y2 = 4x (4,4,0) D D bölgesi x eksenine ve y eksenine göre düzgün bölgedir. x eksenine göre düzgün bölge olarak alırsak, bölgeyi üstten sınırlayan eğri y2=4x tir. D bölgesini x ekseni göre düzgün bölge kabul ettiğimizden bu eğrinin denklemini y=f(x) şeklinde yazmalıyız.

37

38 Örnek: Tabanı, z=0 düzleminde, y=2x-x2 parabolü ile x ekseni tarafından sınırlanan D bölgesi ve üst yüzeyi z=2y düzlemi olan cismin hacmini hesaplayınız. (0,1,2) (1,1,2) (2,1,2) Çözüm: z=2y 1 D 1 1 2 y=2x-x2 (2,1,0)

39 D bölgesi x eksenine düzgün bölgedir.
2 1 D y=2x-x2 D bölgesi x eksenine düzgün bölgedir.

40 Örnek: Çözüm: (0,1,e) Tabanı, y ekseni, y=1 doğrusu ve x=y2 parabolü ile sınırlı D bölgesi ve üstten z=ey3 yüzeyi ile sınırlı cismin hacmini hesaplayınız. z=ey3 (1,1,e) (0,0,1) 1 D 1 x=y2 (1,1,0)

41 D bölgesini y eksenine göre düzgün bölge olarak alalım.
(1,1,0) 1 D x=y2 D bölgesini y eksenine göre düzgün bölge olarak alalım.

42 x+y=1 D Örnek: Çözüm:

43 D y=x Örnek: Çözüm:

44

45 D y=x Örnek: Çözüm:

46 D y=x Örnek: Çözüm:

47 Örnek: y ekseni, y=x2 parabolü ve y=4 doğrusu ile sınırlı D bölgesi veriliyor. a) D bölgesinin alanını hesaplayınız. b) Tabanı D bölgesi, üst yüzeyi z=y düzlemi olan cismi çiziniz ve hacmini hesaplayınız. Çözüm: a) x y 4 D 2

48 b) 4 D 2

49

50 Örnek: x ekseni ve y=4-x2 parabolü ile sınırlı D bölgesi veriliyor. a) D bölgesinin alanını hesaplayınız. b) Tabanı D bölgesi, üst yüzeyi z=4-y düzlemi olan cismi çiziniz ve hacmini hesaplayınız. Çözüm: a) x y 4 D -2 2

51 (-2,0,4) x y z 4 (2,0,4) y=4-x2 -2 4 D 2

52

53 Örnek: Tabanı 2x = y2 parabolü ve x = 1 doğrusu ile sınırlı D bölgesi ve üst yüzeyi z=x2+y2 yüzeyi olan cismin hacmini hesaplayınız. Çözüm: D

54 Örnek: x2+y2=16 ve x2+z2=16 silindirlerinin sınırladığı ortak hacmi hesaplayınız. Çözüm:

55 D 4 x2+y2=16 4

56 ÖDEVLER 1. Tabanı 0≤x≤1 ve 1≤y≤2 karesi ve üst yüzeyi z = 4 – x – y düzlemi olan cismin hacmini hesaplayınız. 2. x ekseni, x=1 ve y=x doğruları ile sınırlı D bölgesi veriliyor. 3. y ekseni, y=2 doğrusu ve x = y2 parabolü ile sınırlı D bölgesi veriliyor. 4. x ekseni ve y = 1-x2 parabolü ile sınırlı D bölgesi veriliyor. a) D bölgesinin alanını hesaplayınız. b) Tabanı D bölgesi ve üst yüzeyi z = 1 – x + y düzlemi olan cismin hacmini hesaplayınız.

57 5. D={(x,y):0≤x≤π/2, 0≤y≤π/2}ve z=sinx+cosy olduğuna göre
5. D={(x,y):0≤x≤π/2, 0≤y≤π/2}ve z=sinx+cosy olduğuna göre 6. Köşeleri O(0,0), A(2,0) ve B(0,3) noktaları olan üçgensel bölge üzerinde 7. z=0 düzleminde koordinat eksenleri ve y=1-x2 parabolü ile sınırlı D bölgesi veriliyor.

58 b) hacmini hesaplayınız.
8. D={(x,y): 0≤x≤1, 0≤y≤x } veriliyor. Tabanı D bölgesi üst yüzeyi z=1-x2 yüzeyi olan cismin hacmini hesaplayınız. 9. Koordinat düzlemleri, x+y=2 düzlemi ve z=x2+y2 paraboloidi arasında kalan bölgenin hacmini hesaplayınız. 10. Tabanı z = 0 düzleminde x = 0, y = 1 ve y = x doğruları tarafından sınırlanan üçgensel D bölgesi ve üst yüzeyi z = 2-y düzlemi olan cismin, a) şeklini çiziniz. b) hacmini hesaplayınız.

59 ÇÖZÜMLER: 1. Tabanı 0≤x≤1 ve 1≤y≤2 karesi ve üst yüzeyi z = 4 – x – y düzlemi olan cismin hacmini hesaplayınız. Çözüm: x y z (0,1,3) (0,2,2) (1,1,2) (1,2,1) 1 2 D 1 (1,2) (1,1)

60 2. x ekseni, x = 1 ve y = x doğruları ile sınırlı D bölgesi veriliyor.
2. x ekseni, x = 1 ve y = x doğruları ile sınırlı D bölgesi veriliyor. D 1 y = x 3. y ekseni, y = 2 doğrusu ve x = y2 parabolü ile sınırlı D bölgesi veriliyor. D

61 4. x ekseni ve y = 1- x2 parabolü ile sınırlı D bölgesi veriliyor.
4. x ekseni ve y = 1- x2 parabolü ile sınırlı D bölgesi veriliyor. a) D bölgesinin alanını hesaplayınız. b) Tabanı D bölgesi ve üst yüzeyi z = 1 – x + y düzlemi olan cismin hacmini hesaplayınız. 1 D