MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek GERİLME VE ŞEKİL DEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜM BAĞINTILARI y Q x z Genel yükleme durumunda, bir Q noktasını üç boyutlu olarak temsil eden kübik gerilme elemanı üzerinde 6 bileşeni gösterilebilir: ıx , ıy , ız , IJxy , IJyz , IJzx. y y’ Söz konusu kübik eleman x-y-z eksenleri yerine döndürülmüş x’-y’-z’ eksenlerine paralel alınsaydı gerilme bileşenleri; ı’x , ı’y , ı’z , IJ’xy , IJ’yz , IJ’zx olacaktı. x’ Gerilme dönüşüm bağıntıları kullanılarak x-y-z eksen takımındaki 6 gerilme bileşeninin döndürülmüş başka bir eksen takımındaki karşılıkları bulunur. x z z’ © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Düzlem gerilme durumunda dönüşüm bağıntıları Yapısal bir elemanın veya makine parçasının dış/serbest yüzeyinde düzlem gerilme durumu (yüzeye uygulanmış dış kuvvet/kuvvetler yoksa) ortaya çıkar.  z   zx   zy  0 3 boyutlu kübik eleman İnce bir plakada orta düzlemde etkiyen kuvvetlerden dolayı düzlem gerilme oluşur. İnce cidarlı basınçlı tank ve tüplerde de düzlem gerilme durumu söz konusudur. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek y y’ Düzlem gerilme elemanı ıy’ IJx’y’ ıy ı IJxy x’ x’ θ ıx x n-n hattı boyunca bir kesim yapılırsa: y’ y n x’ θ x ı x IJxy ıy n © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek  x F  0   A   A cos cos  A cos sin x x xy   Asin sin  Asin cos y xy    cos2   sin2   2 sin cos x x y xy K düzlemi  y F  0   A   A cos sin  A cos cos xy x xy   Asin cos   Asin sin y xy   (  )sin cos  (cos2  sin2  ) y xy xy x cos(   90 )   sin sin(   90 )  cos  ı’ bağıntısında θ= θ+90 yazılarak:    sin2   cos2   2 sin cos y x y xy © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek cos2   1  cos 2 2 sin 2   1  cos 2 cos 2  cos2   sin2  K düzlemi sin 2  2sin cos Trigonometrik dönüşüm bağıntıları kullanılarak bu denklemler şu şekilde düzenlenebilir:  x   y  x   y  x   cos 2  xy sin 2 (1) 2 2  x   y  x   y  y   cos 2  xy sin 2 (2) 2 2  x   y (3)  xy   sin 2  xy cos 2  x  y   x  y 2 © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

2 2    2      xy MECHANICS OF MATERIALS      Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Mohr Çemberi, Asal Gerilmeler ve Maksimum Kayma Gerilmesi (1)ve (3) nolu denklemler yeniden düzenlenip kareleri alınarak taraf tarafa toplanırsa parametrik bir daire denklemi elde edilir Mohr Çemberi  x   y  2    x  y 2        cos 2  sin 2   x     2   2 xy   x  y 2   2   R  xy     cos 2  xy sin 2   xy   2 y C   x    2    2    x   2 -   x y   2   x ort xy xy xy  2  a y     x y   x   y  2    ort 2  2   2    2 xy  R 2 x ort         2  ort  x y ; 2 R    x y    2 xy 2 © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Mohr Çemberi, Asal Gerilmeler ve Maksimum Kayma Gerilmesi Mohr Çemberi Çizim Sırası: 1-D1 noktası belirlenir. 2-D2 noktası belirlenir. 3- D1-D2 birleştirilir. 4-C merkezli çember çizilir. Mohr Çemberi x'y’ x'  Önemli noktalar: 1-) Bulunduğumuz nokta D1 dir. 2-) Kayma gerilmesinin yönü sağ düzlemde aşağı doğru ise pozitiftir. 3-) Gerçekte normali +x ekseni ile  açısı yapan yapan düzlem, Mohr çemberinde D3 noktasına karşılık gelir. D3 e ulaşmak için mohr çemberinde gerçektekiyle aynı yönde 2 kadar bulunduğumuz nokta (D1) dan dönülür. D3 ün mohr çemberindeki koordinatları, o  max=R D3(x’, dž’ LJ’) D1(x , xy) R  düzlemdeki normal gerilmeyi ( ) ve kayma gerilmesi  ) ni verir. xy x’ x’ y’ 4-)+x ekseniyle p açısı yapan düzlemde normal gerilme diğer düzlemlere göre maksimumdur ( max ) ve bu düzlemde kayma gerilmesi sıfırdır. Bu düzleme ulaşmak için bulunduğumuz noktadan (D1den) 2p kadar dönülür. Gerçekte bü düzleme dik (+90 derece) düzlemde ise normal gerilme minimumdur (min ). Bu özel gerilmelere asal gerilmeler (principal stress) , düzlemlerine asal gerilme düzlemleri denir. 5-) Asal gerilme düzlemleriyle gerçekte 45o , mohr çemberinde 90o açı yapan düzlemde ise kayma gerilmelerin maksimum değeri (max) bulunur. Bu düzlemdeki normal gerilme ise ort. min y C  max  x - xy  max,min   ort  R  x   y 2 2 xy  ort    x   y      tan 2  2 2 p    x y © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Mohr Çemberi, Asal Gerilmeler ve Maksimum Kayma Gerilmesi Mohr Çemberi  max,min  ort  R  D3(x’, dž’ LJ’) D1(x , xy) R       x y  2     x y    2 max=R   max,min 2 xy  2   xy min 2 xy y C  tan 2  x  max p    x y - xy Maksimum kayma gerilmeleri    2      max  R   x y   2 xy   x   y  2   x y 2 ort      2  2   © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Örnek: Şekildeki düzlem gerilme durumu için Mohr Çemberini çizerek (a) asal gerilmeleri ve doğrultularını/düzlemlerini, (b) maksimum kayma gerilmelerini ve düzlemlerini, bulunan düzlemlerdeki normal gerilmeleri bulunuz.  max D2(-10 , 40)  x   y 2 50   10  2  ort    20 MPa 40 R  CD1  302  402  50 MPa Yarıçap: min C 50 max=R max -10 -40 D1( Asal gerilmeler ve düzlemleri :  p  26.6     x y   x   y  2      ort 2 2  max  OA  OC  CA  20  50  min  OB  OC  BC  20  50  max  70 MPa  min  30 MPa  40 30  p  26.6 tan 2 p © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Örnek: Şekildeki düzlem gerilme durumu için (a) Mohr Çemberini çizerek asal gerilmeleri ve doğrultularını, (b) normail +x ekseniyle 30 ° açı yapan yüzeydeki gerilmeleri bulunuz. tan 2  XF  48  2.4    p 100  60 2 CF 20   x y   80 MPa ave 2 2 p  67.4 R  202  482  52 MPa  p  33.7 clockwise  max  OA  OC  CA  max  80  52  132MPa  min  OA  OC  BC  min  80  52  28MPa © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7- 10

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Örnek: θ=30° deki gerilmeler Analitik formüllerden:  x   y  x   y  x   cos 2   xy sin 2  48.4MPa 2 2  x   y  xy   sin 2   xy cos 2  41.3MPa 2 Veya Mohr çemberinden geometrik olarak bulunabilir.   180  60  67.4  52.6  x  OK  OC  KC  80  52cos52.6  y  OL  OC  CL  80  52cos52.6  xy  KX   52sin 52.6  x  48.4 MPa  y  111.6 MPa  xy  41.3MPa © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Örnek: Yanda verilen gerilme durumu için; a) Asal gerilmeler ve doğrultularını bularak bir gerilme elemanı üzerinde gösteriniz, b) c düzlemindeki normal ve kayma gerilmelerinin değerini hesaplayınız. 60 MPa 45 MPa 70 ° 120 MPa Burada analitik çözüm verilmiştir (Mohr çemberi ile de çözüm yapılabilir). c © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Örnek: Eksenel yükleme için Mohr çemberi 45lik doğ. için P P  x  ,  y   xy  0 A       x y xy 2 A Örnek: Saf burulma (pure torsion) durumu için Mohr çemberi Tc  x   y  0  xy  J 45lik doğ. için  Tc J      0 x y xy © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Genel gerilme durumunda dönüşüm bağıntıları ve Mohr Çemberi y α, ȕ ve Ȗ yüzey normalinin (N) sırasıyla x, y ve z eksenleriyle yaptığı açılar olmak üzere: λx=cos α, λy=cosȕ, λz=cos Ȗ y B ABC noktalarından geçen ve yüzey normali N olan (doğrultman kosinüsleri λx, λy, λz) bir düzlemde kesim yapılırsa: A C x  Fn  0 x z Statik dengeden z Herhangi bir N doğrultusundaki normal gerilme (not: kayma gerilmeleri de benzer şekilde bulunabilir)          2 2 2 2  xy xy  2 yz yz  2   n x x y y z z zx z x 3 boyutlu kübik gerilme elemanına etkiyen kuvvetler sadece normal    2   2   2 n a a b b c c gerilme/asal gerilme ise (yani kayma gerilmeleri yoksa): © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Üç boyutlu durum için Mohr Çemberi: Her bir daire/çember; kübik gerilme elemanının asal gerilme eksenleri etrafında döndürülmesiyle oluşan normal ve kayma gerilmelerini göstermektedir. Yani ,şekildeki BC çemberi a etrafındaki bir dönmeye, AC çemberi b etrafındaki bir dönmeye, AB çemberi c etrafındaki bir dönmeye karşılık gelmektedir. σc σb σa En büyük kayma gerilmesi büyük çemberin yarıçapına karşılık gelmektedir:   1    2 max max min Not: Daha önce düzlem gerilme durumunda 2 asal gerilme hesaplanmıştı. Ancak gerçekte değeri “0” da olsa üçüncü bir asal gerilme de vardır. Mohr çemberleri buna göre oluşturulabilir. Özellikle düzlem durum için bulunan ımax ve ımin değerlerinin ikisi de pozitif veya ikisi de negatif ise; üçüncü gerilmenin “0” olarak göz önüne alınması son derece önemlidir. Çünkü maksimum kayma gerilmesi değeri ve kayma düzlemi değişmektedir. IJmax düzlem içi (in-plane) kaymaya neden olur. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek İçten basınca maruz ince cidarlı kaplarda gerilmeler (düzlem gerilme) P iç basıncına maruz iki ucu kapalı, ince cidarlı (r>>t) silindirde gerilmeler A ve B noktaları sırasıyla 1 = teğetsel gerilme, 2 = eksenel gerilme Burada 1 ve 2 aynı zamansa asal gerilmeleridir. Çünkü kayma gerilmesi yok. Teğetsel Gerilme teğetsel gerilmeyi ( ) ve 1 gerilmeyi (2) eksenel göstermektedir.  z F  0   2t x p2r x 1 Maksimum düzlem içi (in-plane) kayma gerilmesi: ı1 dA  max(in plane )  1  2  pr 2 4t  pr t  1 p dA Düzlem dışı (out-of-plane) maksimum kayma gerilmesi: ı1 dA Eksenel Gerilme  x ı2 dA 2 pr Emniyet kontrolünde veya tasarımda göz önüne alınması gereken kayma gerilme     max 2  pr 2t 2t  2 1  2 2 p dA © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek P iç basıncına maruz ince cidarlı (r>>t) küresel kaplarda gerilmeler pr 1   2  2t Burada 1 ve 2 aynı zamansa asal gerilmeleridir. Çünkü kayma gerilmesi yok. Her ikisi de Mohr çemberinde  max(in- plane)  0 aynı noktayı gösterir. Bu nedenle; pr 4t    1  max 1 Üçüncü asal gerilme “0” olduğundan; maksimum kayma gerilmesi; 2 © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Düzlem şekil değiştirme ve dönüşüm bağıntıları y  x,  y ,  xy Düzlem şekil değiştirme durumunda:       0 z zx zy Gerilme dönüşüm bağıntıları ile şekil değiştirme dönüşüm bağıntıları arasında benzeşim vardır.Gerilme dönüşüm bağıntılarında ı yerine ε ve IJ yerine γ/2 yazılarak dönüşüm bağıntıları elde edilebilir. z x x  2             x y  x y cos 2  xy sin 2 x 2 2 2           x y  x y cos 2  xy sin 2 y 2 2 2     xy   x y sin 2  xy cos 2 2 2 2  x   y   x   y © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Düzlem şekil değiştirmede Mohr Çemberi Asal gerilme düzlemleri ile asal şekil değiştirme düzlemleri ve doğrultuları aynıdır. Çünkü kayma gerilmeleri ve dolayısıyla kayma şekil değiştirmeleri yoktur (Hooke bağıntıları). Düzlem şekil değiştirme durumunda asal gerilmelerin üçüncüsü gerilmede olduğu gibi “0” dır. Bu durum göz önüne alınarak Mohr çemberi çizilmeli ve maksimum kayma birim şekil değiştirmesi bulunmalıdır.  x   y   x   y  2   xy  2 ort  ; R      2  Düzlem gerilme durumu için asal şekil değiştirmeler: ıa ve ıa asal gerilmeler 2     2 Asal birim şekil değiştirmeler ve doğrultuları ıc=0 ise de εc≠0;  tan 2  xy    a   b a E E p    x y  max   ave  R;  min   ave  R      a  b E E Düzlem içi maksimum kayma birim şekil değiştirmesi b                c E a b 1  a b        max  2R  2 2 xy x y © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Deformasyon Rozetleri: Strain-Gages Strain gages birim şekil değiştirme ölçümünde kullanılan dirençlerdir. 45o lik bir rozet ile x ve y doğrudan , xy ise dolaylı olarak ölçülmüş olur:      x cos2    y sin 2    xy sin  cos OB   45  1  x   y   xy  2  xy  2OB   x   y  Aralarında herhangi bir açı bulunan rozetler kullanılırsa, x-y düzlemindeki normal ve kayma birim şekil değiştirmeleri 3 bilinmeyenli 3 denklem kullanılarak bulunur. Burada ε1, ε2ve ε3 strain gages’lerden deneysel olarak elde edilen değerlerdir. 1   x cos 1   y sin 1   xy sin 1 cos1 2   x cos 2   y sin 2   xy sin 2 cos2 3   x cos 3   y sin 3   xy sin 3 cos3 2 2 2 2 2 2 © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7- 20

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Örnek © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Örnek © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Örnek © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Örnek: T burulma momentine maruz şekildeki içi dolu mile yapıştırılan bir strain gage’den ε=+250 ȝ değeri okunmuştur. G=75 GPa olduğuna göre T’nin değerini bulunuz. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Örnek: Şekildeki yükleme durumu için A noktasından okunan strain gage değerleri ε =-60 μ, 1 ε2=+240 μ, ve ε3=+200 μ olarak okunmuştur. E=200 GPa, G=79 GPa ve Ȟ=0.3 olduğuna göre, uygulanan P ve Q kuvvetlerini bulunuz. 75 mm © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.