Mukavemet II Strength of Materials II

... konulu sunumlar: "Mukavemet II Strength of Materials II"— Sunum transkripti:

1 Mukavemet II Strength of Materials II
3-D Gerilme Analizi 3-D Stress Analysis Teaching Slides Chapter 5:

2 Chapter Outline Internal forces Stress concept
The stress state at a point Stress tansor Equations of stress transformations Principle stresses and directions Maximum/minimum shear stresses 3D Gerilme Analizi

3 Üç Boyutlu Gerilme Analizi
İç Kuvvetler: Dış kuvvetler etkisindeki katı bir cismin içerisinde iç kuvvetler meydana gelir. Bu iç kuvvetler ayırma prensibi uygulanarak hesaplanırlar (Şekil-1). 3D Gerilme Analizi

4 Gerilme kavramı Cisim bütün iken statik dengede olduğu için, ayırma prensibine göre (hayali olarak)ayrılan I ve II parçaları da dengede olmak zorundadır. B kesitindeki herhangi bir ∆A alanına düşen iç kuvvet miktarı ∆F‘tir. ∆F iç kuvvetinin ∆A kesit alanına oranı gerilmedir. Bu gerilme aşağıdaki gibi ifade edilir: Bu bileşke gerilmenin, kesite normal ve teğetsel yönlerde iki bileşeni bulunmaktadır: Burada σN normal gerilmedir, σT ise kayma gerilmesi olup τ ile gösterilir.

5 Bir Noktadaki Gerilme Bileşenleri
Bir noktadaki gerime bileşenleri: B düzleminden sonsuz küçük kübik bir eleman çıkartarak bu elemanın SCD’ını çizelim (Şekil-2). Bu elemanın boyutları sonsuz küçük olduğundan yüksek dereceden gerilme terimleri ihmal edilebilmektedir. 3D Gerilme Analizi

6 Gerilme tansörü Normal gerilmeler, yüzeylerin normalleri ile çakışmakta olup, eğer normal yönünde ise pozitif, normale zıt yönde is negatiftirler. Kayma gerilmeleri ise, yüzeylere paralel olup, karşılıklı yüzeylerde kuvvet çifti gibi düşünüldüklerinde, saatin tersi yönünde döndürme etkisi olanlar pozitif, aksi halde negatiftirler. Bu gerilme bileşenleri, bir matris içerisine aşağıdaki gibi yerleştirilirler ki bu matrise gerilme tansörü denir.

7 3D Gerilme Analizi

8 Birbirine dik kesitlerdeki kayma gerilmeleri
Birbirine dik kesitlerdeki kayma gerilmeleri arasındaki ilişkiyi kurmak için Şekil-3’te görülen düzlem gerilme durumunu ele almak daha kolaydır. t kalınlıklı ve a kenar uzunluklu bu eleman dengede olduğu için düzlem denge şartları aşağıdaki gibi yazılır: Bu denge denklemlerinden ΣMO=0 şartı kullanılırsa kayma gerilmeleri arasında aşağıda olduğu gibi bir bağıntı kurulabilir:

9 Birbirine dik kesitlerdeki kayma gerilmeleri
Birbirine dik kesitlerdeki kayma gerilmeleri arasındaki ilişkiyi kurmak için Şekil-3’te görülen düzlem gerilme durumunu ele almak daha kolaydır. Bu eleman dengede olduğu için düzlem denge şartları aşağıdaki gibi yazılır: Şekil-3 τxy τyx t ∆y ∆x Bu denge denklemlerinden ΣMZ=0 şartı kullanılırsa kayma gerilmeleri arasında aşağıda olduğu gibi bir bağıntı kurulabilir: Z

10 Simetrik Gerilme Tansörü
Burada OA=AB=BC=OC=a olduğundan bu denge denklemi şeklinde olur.3-D genel durum için ΣMy=0 denkleminden τzx=τxz ve ΣMz=0 denkleminden de τxy=τyx eşitlikleri bulunur. Bu eşitlikler gerilme matrisinin simetrik olduğunu gösterir. Böylece gerilme bileşenleri 9’dan 6’ya indirgenmiş olur. Buna göre gerilme tansörü aşağıdaki gibi olur: 3D Gerilme Analizi

11 Dördüncü Düzlemdeki Gerilmeler
Bir noktadaki gerilmeleri temsil eden Şekil-2’deki küp eleman herhangi bir dördüncü düzlemle kesilir ve elde edilen dört yüzlü katı cismin SCD’ı aşağıdaki gibi çizilir:

12 Dördüncü düzlemdeki birim vektör ve gerilme bileşenleri
ABOC dört yüzlüsünün statikçe dengede olabilmesi için ABC yüzeyinde bir dengeleyici S gerilmesinin olması gerekir. Bu gerilmenin x-y-z yönlerindeki bileşenleri Sx , Sy ve Sz şeklindedir. ABC düzleminin normalinin doğrultman cosinüsleri l, m ve n olup, normal doğrultunun x, y ve z eksenleri ile pozitif yönde yaptığı açıların kosinüsleridir. 3D Gerilme Analizi

13 Doğrultman kosinüsleri
Dördüncü düzlemdeki gerilme bileşenleri Şekil 4-b’deki dört yüzlünün x yönündeki statik dengesinden elde edilir. Bu denklem ABC alanı ile bölünürse şeklinde olur. Doğrultman kosinüsleri 3D Gerilme Analizi

14 Benzer şekilde diğer bileşenler ΣFy=0 ve ΣFz=0 şartlarından bulunur:
Bu denklemler aşağıdaki gibi matris formunda yazılabilir: 3D Gerilme Analizi

15 Dördüncü düzlemin normali yönündeki gerilme
Elde edilen S gerilmesi bileşenleri vektör formunda aşağıdaki gibi yazılır: ABC düzleminin normal doğrultusundaki birim vektör e olup bu iki vektörün skaler çarpımından ABC düzlemindeki normal gerilme aşağıdaki gibi bulunur: 3D Gerilme Analizi

16 Dördüncü düzlemin normali yönündeki gerilme
Bu bileşenler σN denkleminde yerine yazılarak aşağıdaki denklem elde edilir: 3D Gerilme Analizi

17 Gerilme dönüşümleri x-y-z eksen takımının orijini üzerinde yeni bir X-Y-Z eksen takımı tanımlayalım. Burada Y ekseni ile N yüzey normali ile çakıştırılırsa, eksen takımları arasındaki açıların kosinüsleri (doğrultman kosinüsleri) aşağıdaki gibidir: X-Y-Z yönlerindeki birim vektörler: X-Y-Z ve x-y-z arasındaki dönüşüm denklemi: 3D Gerilme Analizi

18 X-Y-Z yönlerindeki gerilme bileşenleri, daha önce bulunmuş olan N yönündeki σN gerilmesi gibi hesaplanır: 3D Gerilme Analizi

19 X-Y-Z yönlerindeki kayma gerilmeleri
Kayma gerilmeleri S vektörünün X, Y ve Z eksenleri üzerindeki izdüşümleri ile bulunur. X, Y ve Z yönlerindeki birim vektörler sırası ile e1, e2 ve e3 olmak üzere S1, S2 ve S3 gerilme bileşenleri ile, aşağıdaki gibi skaler çarpılarak bulunur:

20 Örnek: Üç boyutlu gerilme haline ait gerilme tansörü σij aşağıdaki gibi verildiğine göre:
Normalin doğrultman kosinüsleri olan düzlemdeki gerilme bileşenlerini, bileşke gerilmeyi, normal ve kayma gerilmelerini hesaplayınız. x-y-z eksenlerini sırasıyla 5, 10, 15 noktalarında kesen düzlemdeki gerilmeleri hesaplayınız. 3D Gerilme Analizi

21 Çözüm 3D Gerilme Analizi

22 ve 3D Gerilme Analizi

23

24 3D Gerilme Analizi

25 3D Gerilme Analizi

26 Asal gerilmeleri 3D Gerilme Analizi

27 3D Gerilme Analizi

28 3D Gerilme Analizi

29 veya 3D Gerilme Analizi

30

31 3D Gerilme Analizi

32

33 Asal gerilmelerin x, y, z eksenleriyle yaptığı açılar
3D Gerilme Analizi

34 3D Gerilme Analizi

35 3D Gerilme Analizi

36

37 3D Gerilme Analizi

38 Çözüm:

39 3D Gerilme Analizi

40 3D Gerilme Analizi

41 3D Gerilme Analizi

42 Örnek: Şekilde görülen konsol kiriş P=8 kN ve Q=6 kN luk kuvvetlere maruz kaldığına göre:
A noktasında oluşan gerilme bileşenlerini hesaplayınız. Gerilme tansörünü oluşturunuz. Gerilme invariantlarını hesaplayınız. Asal gerilmeleri ve doğrultularını belirleyiniz. y z P Q b h 8 4 A x y z O P Q L=0.2 m h=60 mm b=40 mm

43 Vy =-P=-8 kN Vz =Q=6 kN 3D Gerilme Analizi

44 Vy =-P=-8 kN Vz =Q=6 kN

45

46 Asal gerilmeler:

47 σ1 için doğrultman cos’lerini bulalım (i=1):

48

49

50 3D Gerilme Analizi

51

52 3D Gerilme Analizi

53 3D Gerilme Analizi

54 Asal gerilmeleri ve doğrultularını bulunuz.
Örnek: Bir noktadaki gerilme durumu aşağıdaki verilmektedir. Buna göre; Asal gerilmeleri ve doğrultularını bulunuz. Mohr çemberlerini çizerek kayma gerilmelerini belirleyiniz. 3D Gerilme Analizi

55 3D Gerilme Analizi

56

57 3D Gerilme Analizi

58 3D Gerilme Analizi

59 3D Gerilme Analizi

60 3D Gerilme Analizi

61 3D Gerilme Analizi

62 3D Gerilme Analizi

63 3D Gerilme Analizi

64 3D Gerilme Analizi